PHÁT TRIỂN TƯ DUY BIỆN CHỨNG CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (HÌNH HỌC 10)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TRẦN LỆ THUỶ
PHÁT TRIỂN TƯ DUY BIỆN CHỨNG CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
(HÌNH HỌC 10)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
SƠN LA – NĂM 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TS.Bùi Văn Nghị,
người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực
hiện luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn: Phòng Đào tạo Sau Đại học trường ĐH
Tây Bắc, Khoa Toán – Lý – Tin trường ĐH Tây Bắc, các thầy (cô) giáo
trường ĐH Tây Bắc, trường ĐHSP Hà Nội đã nhiệt tình truyền thụ cho tác
giả kiến thức, kinh nghiệm quý báu và hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ
Toán – Tin trường THPT Chiềng Sinh tỉnh Sơn La đã tạo điều kiện thuận lợi
giúp tác giả hoàn thành luận văn này.
Tuy đã cố gắng và nỗ lực hoàn thiện luận văn, song chắc chắn luận
văn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý
kiến xây dựng của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Sơn La, tháng 10 năm 2014
Tác giả luận văn
Trần Lệ Thuỷ
ii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN:
Viết tắt Viết đầy đủ

ĐC Đối chứng
GV Giáo viên
HS Học sinh
NXB Nhà xuất bản
PT Phương trình
SGK Sách giáo khoa
THPT Trung học phổ thông
TDBC Tư duy biện chứng
TN Thực nghiệm
TNSP Thực nghiệm sư phạm
TH Trường hợp
tr Trang
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
iii
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
4. Đối tượng nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Giả thuyết khoa học 4
7. Cấu trúc luận văn 4
Chương 1 5
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1. Mục tiêu giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học 5
1.2. Tư duy 6
1.2.1. Khái niệm về tư duy 6
1.2.2. Phương tiện, tính chất và tác dụng của tư duy 7
1.2.3. Quá trình tư duy 7
1.2.4. Tư duy Toán học 8

1.3. Tư duy biện chứng 10
1.3.1. Khái niệm về tư duy biện chứng 10
1.3.2. Các đặc trưng của tư duy biện chứng 11
1.4. Nội dung phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn lớp
10 18
1.4.1. Phương trình đường thẳng 18
1.4.2. Phương trình đường tròn 20
1.5. Điều tra thực tiễn việc rèn luyện và phát triển tư duy biện chứng cho
học sinh khi dạy học chủ đề phương trình đường thẳng và phương trình
đường tròn tại một số trường Trung học phổ thông 21
1.5.1. Các bài toán về phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn
21
1.5.2. Xin ý kiến giáo viên 21
Tiểu kết chương I 25
iv
Chương 2 26
BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY BIỆN CHỨNG CHO
HỌC SINH KHI DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 26
(Hình học 10) 26
2.1. Biện pháp 1 (dựa theo tính khách quan): Rèn luyện cho học sinh thói
quen khi xem xét bài toán phải thật khách quan, không được xem xét bài
toán một cách chủ quan, tùy tiện, gán ghép cho hình vẽ những thuộc tính
mà nó không có 26
2.2. Biện pháp 2 (dựa theo tính toàn diện): Rèn luyện cho học sinh xem
xét vấn đề một cách toàn diện, theo nhiều phương diện khác nhau, hướng
tới sự đầy đủ, toàn vẹn 29
2.3. Biện pháp 3 (dựa theo tính lịch sử): Cần khắc sâu kiến thức về
phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn dựa trên cơ sở
hình thành và phát triển của nó; đồng thời khi xem xét bài toán phải

nhận ra nguồn gốc của nó trong sự phát triển, trong sự tự vận động của
nó 39
2.4. Biện pháp 4 (dựa theo tính hai mặt): Rèn luyện cho học sinh thấy
được sự chuyển hóa giữa hai mặt đối lập “lượng và chất”; nhìn bài toán
theo nhiều phương diện, vận dụng nhiều phương pháp giải toán và làm
rõ mỗi phương pháp giải toán đều có cái hay, cái không hay, không nên
vận dụng cứng nhắc chỉ một phương pháp nào đó bởi tính hai mặt của
nó 44
2.5. Biện pháp 5 (dựa theo tính thay đổi): Rèn luyện cho học sinh tìm
thấy cái đứng yên, bất biến trong sự thay đổi, thấy được quy luật của sự
vận động để lợi dụng nó trong giải toán 52
Tiểu kết chương 2 60
Chương 3 61
v
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61
3.1. Mục đích, tổ chức thực nghiệm sư phạm 61
3.1.1. Mục đích 61
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 62
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 62
3.2.1. Chọn nội dung 62
3.2.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm 62
Hoạt động 3(15’): Rèn luyện cho học sinh tìm thấy cái đứng yên, bất biến
trong sự thay đổi, thấy được quy luật của sự vận động để lợi dụng nó
trong giải toán 74
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 76
3.3.1. Bài kiểm tra đánh giá 76
3.3.2. Phân tích kết quả thực nghiệm 79
3.3.3. Kết luận của thực nghiệm sư phạm 79
Tiểu kết chương 3 80
KẾT LUẬN 80

vi
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong toàn bộ lịch sử triết học, phép biện chứng luôn chiếm một vị trí
đặc biệt trong đời sống tinh thần của các tầng lớp trong xã hội. Phép biện
chứng duy vật cho ta cách thức xem xét sự vật, hiện tượng một cách khoa
học. Mỗi luận điểm của phép biện chứng duy vật là kết quả của sự nghiên cứu
rút ra từ giới tự nhiên cũng như lịch sử xã hội loài người. Mỗi nguyên lí, quy
luật, phạm trù của phép biện chứng đều được khái quát và luận giải trên cơ sở
khoa học.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Triết học duy vật biện chứng thể hiện những
quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Nó
là cơ sở phương pháp luận cho mọi khoa học. Nó giúp ta hiểu được đối tượng
và phương pháp của khoa học toán học một cách đúng đắn và sâu sắc, giúp
hình thành thế giới quan duy vật biện chứng ở thế hệ trẻ. Nó cung cấp cho ta
phương pháp nghiên cứu đúng đắn: xem xét những hiện tượng giáo dục trong
quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong sự mâu
thuẫn và thống nhất, phát hiện những sự biến đổi số lượng dẫn tới những biến
đổi chất lượng v.v ” [9, tr.22]
Khi nghiên cứu về sự vật, hiện tượng, mỗi chúng ta có những phương
pháp nghiên cứu khác nhau dựa vào cách nhìn nhận sự vật hiện tượng dưới
nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, dù nhìn nhận sự, vật hiện tượng ở góc độ
nào đi nữa, chúng ta cũng cần phải nắm được bản chất của vấn đề. Đó là chìa
khóa để chúng ta có những đánh giá chính xác về đối tượng mà chúng ta đang
nghiên cứu. Trong thực tế, mỗi sự vật, hiện tượng đều vận động một cách liên
tục, không ngừng. Nếu chúng ta chỉ xét sự vật ở một góc độ riêng lẻ, tức là
xem xét đối tượng một cách phiến diện, một chiều, thì dễ đưa đến những nhận
định sai lệch. Vì thế, khi nghiên cứu chúng ta cần phải có cái nhìn tổng thể, đa
1
chiều để nắm bắt từng đặc tính của sự vật, hiện tượng. Từ đó, tổng hợp nên

các đặc tính mang tính bản chất của chúng để có những cái nhìn đúng đắn về
chúng. Chủ nghĩa Mác – Lênin đã khẳng định điều này thông qua phép biện
chứng duy vật.
Trong những năm trở lại đây, giáo dục và chất lượng giáo dục đang thu
hút mối quan tâm của dư luận toàn xã hội bởi những bất cập cũng như những
biến chuyển xung quanh nó. Sự kiện Hội nghị Trung ương lần thứ 8 khóa XI
năm 2013 đã nhất trí thông qua Nghị quyết về “đổi mới căn bản và toàn diện”
nền Giáo dục và Đào tạo có ý nghĩa quyết định cho sự phát triển giáo dục
nước nhà và là sự kiện trọng đại của ngành Giáo dục. Đây được coi là tiền đề
để đưa sự nghiệp giáo dục nước nhà lên một tầm cao mới, đáp ứng yêu cầu
công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước, hội nhập quốc tế.
Đã có một số công trình nghiên cứu trong nước về phát triển tư duy
biện chứng cho học sinh qua dạy học môn Toán như:
- Nguyễn Cảnh Toàn nghiên cứu về “Phương pháp luận duy vật biện
chứng với việc dạy học, nghiên cứu Toán học”. [21], [22]
- Nguyễn Thanh Hưng đã nghiên cứu về “Rèn luyện và phát triển tư
duy biện chứng khi dạy học môn hình học ở trường phổ thông”. [7]
- Nguyễn Văn Lộc đã nghiên cứu về “Tư duy và hoạt động Toán học”.
[10]
- Đặng Đình Phương (2013), Phát triển tư duy biện chứng cho học sinh
trong dạy học chủ đề tính thể tích khối đa diện (Hình học 12 ban nâng cao).
[14]
Thực tế dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng cho thấy,
nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc dạy cách tư duy, đặc biệt là tư
duy biện chứng cho học sinh. Trong khi đó, Toán học nói chung và Hình học
nói riêng là môn học có tiềm ẩn để phát triển tư duy biện chứng cho học sinh.
2
Xuất phát từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Phát triển tư duy
biện chứng cho học sinh trong dạy học chủ đề phương trình đường thẳng
và phương trình đường tròn” (Hình học 10)

2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất được một số biện pháp phát triển tư duy biện chứng cho học
sinh trong dạy học chủ đề phương trình đường thẳng và phương trình đường
tròn (Hình học 10).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá cơ sở lí luận về tư duy biện chứng.
- Đề xuất một số biện pháp phát triển tư duy biện chứng cho học sinh
trong dạy học chủ đề phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn
(Hình học 10).
- Thực nghiệm sư phạm để có cơ sở đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đã đề xuất.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: quá trình phát triển tư duy biện chứng cho học
sinh trong dạy học môn Toán.
- Phạm vi nghiên cứu: giới hạn trong chủ đề “Phương trình đường
thẳng và phương trình đường tròn” (hình học 10).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các công trình, tài liệu
liên quan đến đề tài; nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên,
chuẩn kiến thức kĩ năng Hình học 10, Hình học nâng cao 10 của Bộ Giáo dục
và Đào tạo.
- Phương pháp quan sát - điều tra: Lập các phiếu điều tra nhằm tìm hiểu
thực tiễn việc phát triển tư duy biện chúng cho học sinh hiện nay ở một số
trường THPT như thế nào.
3
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm một số
giáo án thiết kế dựa theo những biện pháp đã đề xuất và đánh giá tính kết quả.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu giáo viên vận dụng các biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì vừa
trang bị tri thức, kĩ năng về phương trình đường thẳng, đường tròn cho học

sinh, vừa góp phần phát triển tư duy biện chứng cho học sinh
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày trong 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy biện chứng trong
dạy học chủ đề phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn (hình
học 10)
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
4
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Mục tiêu giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Trong chương trình môn Toán năm 2002 của Bộ Giáo dục và Đào tạo,
các mục tiêu dạy học môn Toán được xác định như sau:
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng phương pháp toán
học phổ thông cơ bản, thiết thực.
- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành
khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống.
- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao
động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường
xuyên.
- Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học
chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng
phân ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn.
Để đạt được những mục tiêu trên, ngành Giáo dục cần phải đổi mới cả về
chương trình, nội dung, sách giáo khoa và phương pháp dạy học.
Theo Nguyễn Bá Kim [9, tr 114 – 126]: Các định hướng đổi mới
phương pháp dạy học được thể hiện qua các hàm ý sau, đặc trưng cho phương
pháp dạy học hiện đại.

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực chủ
động và sáng tạo của hoạt động học tập được thể hiện độc lập hoặc trong giao
lưu
- Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
- Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng
sức mạnh của con người
5
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản
thân người học
- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế ủy
thác, điều khiển và thể chế hóa.
Từ định hướng trên, trong phương pháp dạy học môn Toán, người học -
chủ thể của hoạt động học, được cuốn hút vào các hoạt động do giáo viên tổ
chức và chỉ đạo, thông qua đó tự mình khám phá ra những điều mình chưa rõ
chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt.
Người giáo viên phải có nhiệm kích thích tính tự giác, tinh thần tự học, tự tìm
hiểu của học sinh, lòng say mê và khả năng sáng tạo của học sinh.
1.2. Tư duy
1.2.1. Khái niệm về tư duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con
người, nó cung cấp các vật liệu cho hoạt động cao hơn. Tuy nhiên thực tế
luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận thức
và giải quyết được. Muốn cải tạo thế giới con người phải đạt tới mức độ nhận
thức cao hơn, nghĩa là phải tư duy.
Tư duy thể hiện ở những khái niệm, phán đoán, suy luận. Quá trình tư
duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ nhất định,
các thao tác của tư duy chủ yếu là: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
hóa, khái quát hóa. Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách

quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận,…tư duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại
một cách gián tiếp , phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật, nêu lên những
vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết,
những ý niệm,…Kết quả của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.
6
Có một số cách diễn đạt khác nhau về tư duy:
- Tư duy là giai đoạn cao nhất của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản
chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu
tượng, phán đoán và suy lí [15]
- Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc
biệt – bộ não người. Tư duy phản ánh hiện thực khách quan dưới dạng các
khái niệm, sự phán đoán, lí luận,… [23]
- Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong thế giới
khách quan
1.2.2. Phương tiện, tính chất và tác dụng của tư duy
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy. Ngôn ngữ được xem như
là phương tiện của tư duy.
Tư duy có các tính chất sau:
- Tính khái quát: tư duy phản ánh những thuộc tính chung, những mối
quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng.
- Tính gián tiếp: Tư duy phản ánh thông qua ngôn ngữ
- Tính trừu tượng: Tư duy bỏ qua những dấu hiệu không bản chất, tập
trung vào dấu hiệu bản chất.
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
1.2.3. Quá trình tư duy

Quá trình tư duy gồm 4 bước cơ bản sau:
Bước 1: xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách
khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
7
Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả
thiết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
Bước 3: Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì qua
bước sau, nếu giả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
Bước 4: Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
1.2.4. Tư duy Toán học
Tư duy Toán học được hiểu là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng
trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay quá trình áp dụng
Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế…
Tư duy Toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất
khoa học Toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp Toán học để nhận thức
các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức
chung của tư duy mà nó sử dụng. Nội dung của tư duy Toán học là những tư
tưởng phản ánh hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới
hiện thực.
Theo cuốn “Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông” của
Oganhexian và các cộng sự, được dịch ra tiếng Việt năm 1975, có viết rằng:
“Dễ dàng phát hiện ra rằng, tính biến dạng của tư duy Toán học không có gì
khác là bằng các dạng riêng biệt của cách biểu hiện tư duy biện chứng trong
quá trình nghiên cứu Toán học”.
Một số loại hình tư duy trong Toán học có liên quan nhiều tới tư duy
biện chứng là: Tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy hàm.
* Tư duy lôgic:
Tư duy lôgic là dạng tư duy được đặc trưng bởi năng lực rút ra kết luận
từ các tiền đề đã cho, năng lực phân hoạch các trường hợp riêng để khảo sát
đầy đủ một sự kiện Toán học, năng lực phán đoán các kết quả của lí thuyết,

khái quát hóa các kết luận nhận được. Tư duy lôgic liên quan tới quy luật
8
nhân quả, cặp phạm trù cái riêng và cái chung của duy vật biện chứng. Khi
giải toán, học sinh sử dụng tư duy lôgic để trình bày bài giải nhưng phải nhìn
bài toán một cách toàn diện (xét tất cả các trường hợp xảy ra). Để nhận thức
mặt nội dung của hiện thực cần có TDBC, để nhận thức mặt hình thức của
hiện thực cần có tư duy logic. Nội dung là cơ sở, là mặt chính của sự vật,
quyết định đặc điểm về chất lượng của sự vật, hình thức là phương thức tồn
tại, là cơ sở của nội dung làm cho nó có thể tồn tại.
* Tư duy trừu tượng:
Tư duy trừu tượng là loại hình tư duy gạt bỏ những dấu hiệu không bản
chất để đi vào những dấu hiệu bản chất. Đó là quá trình xem xét dựa trên các
cặp phạm trù “Nội dung và hình thức”, “Bản chất và hiện tượng” của duy vật
biện chứng.
* Tư duy sáng tạo:
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ
những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới, vận động đi liền với biện
chứng” [21].
Tư duy sáng tạo có ba thành phần chính là: tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn và tính độc đáo. Tính mềm dẻo của tư duy thể hiện ở ba đặc trưng cơ
bản sau: Năng lực dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí
tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác; Khả năng suy nghĩ
không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ năng
sẵn có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố thay đổi;
Khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tượng quen biết. Các đặc trưng cơ bản của tính nhuần
nhuyễn là: Tính đa dạng các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều
giải pháp và tìm được phương án tối ưu; Khả năng xem xét đối tượng dưới
nhiều khái cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía chứ không
9

phiến diện cứng nhắc. Những điều này liên quan trực tiếp tới nguyên lí về sự
toàn diện và nguyên lí về sự phát triển của duy vật biện chứng.
* Tư duy hàm:
Theo Nguyễn Văn Lộc: “Tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến
những tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp phản ánh
mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận
động của chúng”. Như vậy tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan
đến sự diễn đạt sự vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng chứ không
phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phị thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập,
tách rời nhau.[10]
Như vậy, Tư duy hàm gắn liền với tư duy biện chứng, gắn liền với khái
niệm hàm số. Tư duy hàm là phương thức tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức
phát triển các quan hệ chung và riêng giữa các đối tượng Toán học hay giữa
các tính chất của chúng.
1.3. Tư duy biện chứng
1.3.1. Khái niệm về tư duy biện chứng
Chủ nghĩa duy vật biện chứng dựa vào những quy luật trong việc
nghiên cứu tư duy để vạch ra phép biện chứng của tư duy. Chính từ đó làm
cho logic học trở thành khoa học về sự phát triển tư duy của con người, phản
ánh sự phát triển của thế giới khách quan, xem xét tư duy và các hình thức
của tư duy một cách khoa học và vạch ra con đường phải đi để nhận thức
đúng đắn thế giới bên ngoài đi đến chân lí.
Chủ nghĩa duy vật biện chứng dựa vào sáu cặp phạm trù (cái chung –
cái riêng; nguyên nhân – kết quả; tất nhiên – ngẫu nhiên; nội dung – hình
thức; bản chất – hiện tượng; khả năng – hiện thực), ba quy luật (lượng – chất;
thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; phủ định của phủ định), hai
nguyên lí (mối liên hệ phổ biến; sự phát triển). Những nội dung này ngày
10
càng khẳng định thêm rằng thế giới khách quan không chỉ tồn tại độc lập với
ý thức của con người mà còn luôn vận động, phát triển, chuyển hóa lẫn nhau

[5]
Để giáo dục được con người lao động sáng tạo có năng lực trí tuệ cao
cần phải vận dụng những phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển các
năng lực tư duy một cách biện chứng, năng lực xem xét các đối tượng và hiện
tượng trong mối liên hệ qua lại, trong quá trình vận động biến đổi, mâu thuẫn
và phát triển của chúng.
Theo [5]: “Tư duy biện chứng được đặc trưng bởi sự thấu tỏ tính thay
đổi, tính hai chiều, tính mâu thuẫn, bởi mối liên quan và phụ thuộc tương hỗ
của các khái niệm và quan hệ. Ngoài ra tư duy một cách biện chứng còn biểu
hiện khả năng có được không khuôn sáo, nhiều khía cạnh khi nghiên cứu các
đối tượng và xảy ra khi giải quyết vấn đề”.
Như vậy tư duy biện chứng là một phương thức tư duy, xem xét sự vật,
hiện tượng trong sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển,
trong mối liên hệ và phụ thuộc với các sự vật khác, [5]
Tư duy biện chứng tuân theo các quy luật của logic biện chứng. Tính
chất biện chứng của tư duy được đặc trưng bởi nhận thức: Tính khách quan,
tính toàn diện, tính lịch sử, tính hai mặt, tính thay đổi.
1.3.2. Các đặc trưng của tư duy biện chứng
Các đặc trưng của tư duy biện chứng là tính khách quan, tính toàn diện,
tính lịch sử, tính hai mặt, tính thay đổi. [5]
a) Tính khách quan
Đảm bảo tính khách quan là nguyên tắc xuất phát, nền tảng đầu tiên
dẫn đến việc nhận thức khách thể một cách đúng đắn, tránh được sự chủ quan
trong quá trình phản ánh. “Khi xem xét sự vật, phải xuất phát từ chính bản
11
N
F
E
M
I

D
C
B
A
thân sự vật. Như vậy chủ thể không được xem xét sự vật một cách chủ quan,
tùy tiện, gán ghép cho sự vật những thuộc tính mà nó không có”. [7]
Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật
ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường
thẳng
: 5 0x y∆ + − =
. Viết phương trình đường thẳng AB.
Có học sinh giải bài toán trên như sau:
Vì E là trung điểm của CD và thuộc đường thẳng
∆
nên đường thẳng
AB song song với
∆
.
Khi đó phương trình của AB có dạng: y = – x + b. Do M thuộc AB nên
tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình: y = – x + b. Suy ra:
5 = –1 + b, hay b = 6.
Vậy AB có phương trình là: x + y – 6 = 0.
Phân tích:
Sai lầm của học sinh ở đây là đã cho rằng
điểm E thuộc đường thẳng
∆
mà E là trung
điểm của CD nên đường thẳng
∆

chứa cả hai
điểm C, D. Trong khi đó có vô số đường
thẳng đi qua E chứ không phải chỉ có đường
thẳng CD. Như vậy học sinh đã gán cho sự
vật những thuộc tính mà bản thân nó không
có. Vì vậy giáo viên cần phân tích cho học sinh thấy rằng có vô số đường
thẳng đi qua E và trong trường hợp này chưa chắc đường thẳng
∆
đã trùng
với đường thẳng CD.
Lời giải đúng của bài này như sau:
Gọi N là điểm đối xứng với M qua I. Ta có N(11; –1).
12
Vì E
: 5 0x y∈∆ + − =
nên nếu gọi hoành độ của E là e thì tọa độ của E là
E(e; 5 – e).
Lại có:
( 11;6 ); ( 6;3 )NE e e IE e e= − − = − −
uuur uur
. Vì
IE NE⊥
uur uuur
nên có:
Hình 1
(e – 11)(e – 6) + (6 – e)(3 – e) = 0 hay
(6 – e)(14 – 2e) = 0
6
7
e

e
=

⇒

=

Từ đó ta có E(6; –1) hoặc E(7; – 2)
Nếu gọi F là điểm đối xứng với E qua I ta có F(5; 6) hoặc F(6; 5)
Vậy phương trình của AB là: x – 4y = 19 = 0 hoặc y = 5
b) Tính toàn diện
Theo duy vật biện chứng “Khi nhận xét sự vật, phải xem xét một cách
đầy đủ với tất cả các tính phức tạp của nó”. Như thế, chủ thể cần phải nghiên
cứu đối tượng trong tất cả các mối quan hệ (bên trong, bên ngoài), tất cả các
mắt xích trung gian, trong tổng thể các mối quan hệ phong phú, phức tạp và
muôn vẻ của nó với các sự vật khác.
Ví dụ 1.2. Trong mặt phẳng (Oxy) cho hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) có
phương trình: (d
1
): 2x – y – 2 = 0, (d
2
): x + y + 1 = 0 và điểm P(3 ; 0). Viết
phương trình đường thẳng (d) qua P và cắt (d
1
), (d
2

) lần lượt tại hai điểm A, B
sao cho PA = 2PB.
* Phân tích:
Khi gặp bài toán này học sinh thường chỉ xét một trường hợp
2 2PA PB PA PB= ⇒ =
uur uur
mà không thấy trường hợp
2PA PB= −
uur uur
. Trong thực tế
trên đường thẳng (d), điều kiện PA = 2PB tương đương với
2PA PB=
uur uur
(P
nằm ngoài đoạn thẳng AB) hoặc
2PA PB= −
uur uur
(P nằm giữa đoạn AB).
13
Do đó khi giải bài toán cần xem xét đầy đủ cả hai trường hợp thì mới đảm bảo
chính xác và toàn diện. (Hình 2a và hình 2b)
Hình 2a Hình 2b
* Hướng dẫn:
Do (d
1
) đi qua A nên A(a; 2a – 2) và (d
2
) đi qua điểm B nên B( b; -b – 1)
( )
3;2 2PA a a= − −

uur
,
( )
3; 1PB b b= − − −
uur
Trường hợp 1:
2PA PB=
uuur uur
( )
( )
( ) ( )
3 2 3
1
1; 4 ; 1; 2
1
2 2 2 1
a b
a
A B
b
a b
− = −
= −


⇒ ⇒ − − −
 
=
− = − −




Suy ra phương trình của (d) là:
3
3 0
2 2
x y
x y
−
= ⇔ − − =
Trường hợp 2:
2PA PB=−
uuur uur
Suy ra phương trình của (d) là:
3
5 15 0
4 20
3 3
x y
x y
−
= ⇔ − − =
c) Tính lịch sử
Theo duy vật biện chứng “Khi xem xét sự vật, phải nhận thức sự vật
trong sự phát triển, trong sự tự vận động của nó”. Đôi khi chủ thể cần xem xét
sự vật ấy đã xuất hiện như thế nào trong lịch sử, đã trải qua giai đoạn phát
triển chủ yếu nào và hiện tượng đó ra sao?
14
Tuân thủ nguyên tắc này, chủ yếu tránh được sai lầm của cách xem xét
sự vật một cách siêu hình, cứng nhắc, bảo thủ [18].

Khi dạy về phương trình đường thẳng, đường tròn, giáo viên cần chú ý
khắc sâu kiến thức về phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn
trong quá trình hình thành và phát triển của nó.
Cụ thể như sau:
- Gốc rễ của phương trình tham số của đường thẳng là công thức
0
M M tu=
uuuuur r
.
Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
), có vectơ chỉ phương
( ; )u a b=
r
là tập hợp
các điểm M(x; y) thỏa mãn
0
M M tu=
uuuuur r
. Từ đó ta có mối quan hệ
0
0
x x ta
y y tb
= +



= +

,
t là tham số
Mối quan hệ này chính là phương trình tham số của đường thẳng.
- Gốc rễ của phương trình chính tắc của đường thẳng là sự bằng nhau
của tỉ số giữa các thành phần tọa độ tương ứng của hai vectơ cùng phương.
Hai véctơ
( )
0 0 0
;M M x x y y= − −
uuuuur
và
( ; )u a b=
r
và cùng phương khi tọa độ của
chúng tỉ lệ, ta sẽ được
0 0
x x y y
a b
− −
=
. Đây chính là phương trình chính tắc
của đường thẳng.
- Gốc rễ của phương trình đường tròn chính là công thức khoảng cách
giữa hai điểm (I và M) bằng R.
Đường tròn tâm I bán kính R là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách I
một khoảng không đổi R.
Từ đó, việc ghi nhớ và vận dụng các loại phương trình, giáo viên cần lư

ý cho học sinh chú ý tới nguồn gốc, bản chất sâu xa này.
15
Chẳng hạn, tìm một điểm trên đường thẳng là tìm giá trị của tham số t
tương ứng.
Ví dụ 1.3. Cho đường thẳng (d):
x t
y t
=


=

, t là tham số và điểm
A(0; 4). Tìm hai điểm B, C thuộc (d) sao cho ABC là tam giác đều.
* Hướng dẫn:
Do B, C thuộc (d) nên tọa độ của B và C là:
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;B t t C t t
ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 2 1 2 1
4 4

4
t t t t
AB AC AB AC
AB BC
AB BC
t t t t t t

+ − = + −

= =

 
⇒ ⇔
  
=
=


+ − = − + −



( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2
2
2 1 2 1
1 2 1 2
2

2 1 2 1
1 2
2
2 1 2 1
1 2
2
2 1 2 1
4 0
2 4 8 0
4 0
2 4 8 0
ô nghiê
2 4 8 0
4
2 4 8 0
2 3 2 3 2 3 2 3
2 ;2 ; 2 ;2
3 3 3 3
2 3 2 3
2 ;2
3 3
t t t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
t t
V m
t t t t
t t
t t t t

B C
B
− + − − =

⇔

− + − =


− + − =

⇔

− + − =


 =



− + − =


⇔

= −





− + − =


   
− − + +
 ÷  ÷
   
⇒

+ +


2 3 2 3
; 2 ;2
3 3
C




  

− −
÷  ÷

  

d) Tính hai mặt
“Quy luật đấu tranh giữa các mặt đối lập: Bất cứ sự vật nào cũng là một
thể thống nhất của các mặt đối lập và luôn luôn có sự mâu thuẫn giữa các mặt

đối lập. Sự mâu thuẫn ấy chính là nguồn gốc và động lực bên trong của sự
16
phát triển đối với các sự vật và hiện tượng”. Mặt đối lập là sự khái quát,
những mặt, những thuộc tính, những khuynh hướng trái ngược nhau trong
một chỉnh thể làm nên sự vật và hiện tượng. Thống nhất và đối lập là hai mặt
liên hệ với nhau và ràng buộc với nhau và quy định lẫn nhau, mặt này lấy mặt
kia làm tiền đề tồn tại cho mình. Tuân thủ nguyên tắc này tức là chủ thể đã
nắm được hạt nhân của phép biện chứng. [21]
Mỗi phương pháp giải toán đều có cái hay, cái không hay, không nên
vận dụng cứng nhắc chỉ một phương pháp nào đó bởi tính hai mặt của nó.
Chẳng hạn, bài toán quy về tìm một điểm thuộc một đường thẳng cho trước
thỏa mãn một tính chất nào đó thì nên dùng phương trình tham số của đường
thẳng (quy về chỉ một tham số); Bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng
thì nên dùng phương trình tổng quát của đường thẳng (vì có thể giải bằng máy
tính bỏ túi).
e) Tính thay đổi
“Quy luật chuyển hóa từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về
chất”.
Một ví dụ dễ thấy về sự thay đổi này là khi ta xét vị trí tương đối của
đường thẳng và đường tròn:
Gọi d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và R là bán
kính đường tròn thì:
- Nếu d > R thì đường thẳng không cắt đường tròn;
- Nếu d = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn;
- Nếu d < R thì đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.
Như vậy, việc học các kiến thức Toán học, đặc biệt là giải các bài tập
đã góp phần quan trọng vào việc rèn luyện tư duy biện chứng. Các bài toán
chính là cơ sở để hình thành tư duy biện chứng cho học sinh.
17
1.4. Nội dung phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn lớp 10

1.4.1. Phương trình đường thẳng
Trong bài phương trình đường thẳng sách giáo khoa hình học lớp 10
gồm các nội dung sau:
1) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: Vec tơ
u
r
được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆
nếu
0u ≠
r r
và giá của
u
r
song song hoặc trùng với ∆
Khi đó nếu
u
r
là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k
u
r
cũng
là vec tơ chỉ phương của ∆. Do đó một đường thẳng có vô số vec tơ chỉ
phương. Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó.
2) Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mp Oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M
o
(x
o

; y
o
) và nhận
1 2
( ; )u u u=
r
làm vectơ chỉ phương thì hệ phương trình:
1
2
o
o
x x tu
y y tu
= +


= +

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ với t là
tham số.
Nếu đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương
1 2
( ; )u u u=
r
với u
1
≠ 0 thì ∆ có
hệ số góc
2
1

u
k
u
=
1) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Định nghĩa: Vectơ
n
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆
nếu
0n ≠
r
và
n
r
vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.
18
Khi đó nếu
n
r
là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k
n
r
cũng
là vec tơ pháp tuyến của ∆. Do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp
tuyến. Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ
pháp tuyến của đường thẳng đó.
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nếu đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vectơ
pháp tuyến là
( )
;n a b=
r
và có vectơ chỉ phương
( )
;u b a= −
r
3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng
1
∆
và
2
∆
có phương trình tổng quát lần lượt là :

1 1 1
0a x b y c+ + =
và
2
2 2
0a x b y c+ + =
Tọa độ giao điểm của
1
∆
và
2
∆

là nghiệm của hệ :
( )
2
1 1 1
2 2
0
1
0
a x b y c
a x b y c
+ + =


+ + =

Khi đó:
Hệ (1) có 1 nghiệm (x
0
; y
0
) thì
1
∆
cắt
2
∆
tại điểm M(x
0
; y
0

).
Hệ (1) có vô số nghiệm thì
1
∆
trùng
2
∆
.
Hệ (1) vô nghiệm thì
1
∆
song song với
2
∆
.
4) Góc giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
được kí hiệu:
( )
1 2
;∆ ∆
Cho hai đường thẳng :
1
∆
:

1 1 1
0a x b y c+ + =
và
2
∆
:
2
2 2
0a x b y c+ + =
19