Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự
đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng
tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 khơng trong
ngành giáo đục''. Chủ trương đó hồn tồn phù hợp với những u cầu cấp bách
của cơng cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước như nước ta hiện nay.
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng
dạy- học tốn hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường THCS
là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng
tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo.
Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ
huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào
của các thầy cơ giáo trong mọi miền đất nước .
Trong chương số học của THCS, các bài tốn về phân tích một số ra thừa số
ngun tố và tính chất chia hết của số ngun hết sức phong phú và đa dạng. Vì
nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải tốn và còn phát triển tư duy cho học sinh.
Khi gặp một bài tốn chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu khơng
nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài tốn chia hết và biết cách vận
dụng nó để giải các dạng tốn khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào
để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài tốn nhất là đối với
học sinh giỏi học tốn?
Đó là vấn đề tơi ln quan tâm và ln tìm phương pháp tối ưu, để đạt được
mục đích đó tơi lựa chọn đề tài "Một số dạng tốn áp dụng tính chia
hết của số ngun''.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy
nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một

cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất. Muốn đạt
được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải
đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng ,
tức l ta phải xc định:
- Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh
chiếm lĩnh kiến thức.
- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời
nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.
II) CƠ SỞ THỰC TIỄN
Thực trạng dạy và học tốn hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ
các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài tốn,
học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận
dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học. Nhiều
học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, cơng thức mà
thầy đ hướng dẫn. Vì thế khơng phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh.
1
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
- Đối với thầy cơng việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho
học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay
chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực
hố các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp.
- Trong thức tiễn vấn đề học khơng đi đơi với hành đ lm cho học sinh khơng
cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền
tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá
nhân khơng được phát huy thoả đáng.
- Trong nhiều năm giảng dạy tốn của bậc THCS tơi thấy phân tích một số
ra thừa số ngun tố , tính chia hết đối với số ngun, học sinh được học ở lớp 6,
nhưng khi gặp một bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết
của số ngun, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến
thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ

và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài tốn nhanh
hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải
pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay.
III CÁC GIẢI PHÁP
Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có
thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số ngun tố và sự
chia hết của số ngun, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
- Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học.
- Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy
nghĩ, định hình cch lm
- Cung cấp học sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra
thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có
vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số ngun tố mà
học sinh có thể ứng dụng được.
- Qua các bài tốn học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập
một cch linh hoạt,cĩ sng tạo.
- Thơng qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng
cao phát triển cho học sinh tư duy tốn: lơgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái
qt,tổng qt hố
Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra
thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về
các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính
chia hết của số nguyn''
SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6
Cấu tạo số

Chia hết cho 2
Chia hết cho 3
2

Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5
Chia hết cho 7
Chia hết cho 11
Phn tích một số ra thừa số nguyn tố

Bội và ước
BCNN ƯCLN
Tìm BC thơng qua tìm BCNN Tìm ƯC thơng qua tìm ƯCLN
Các bài tốn về BC và ƯC
Tính chất chia hết của số ngun
Chia hết Chia có dư
Bội và ước Chứng minh chia hết cho Tìm số dư trong php chia
Số ngun tố Hợp số Số chính phương Ngun lý Drich le
Giải phương trình nghiệm ngun
. . . . . . . . . .
IV. NỘI DUNG
1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số ngun được học ở lớp 6 , ảnh
hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc
THCS . Tơi có thể lấy các bài tốn đơn giản khi dạy về tính chia hết của số
ngun ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài tốn chia hết của số ngun sau này :
Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số ngun liên tiếp thì có một hiệu của hai
số chia hết cho n . (với n thuộc N)
3
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
Giải :
Gọi a1 , a2 , a3 , . . . lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 . 2 ,
3 , . . . thi a
n
chia cho n dư 0 , a

n+1
chia cho n có số dư là1.
Do đó : a
n+1
– a
1
= (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia
hết cho n
Đây chính là ngun lý Dirich- le .
Ví dụ 2 : Tìm hai số ngun biết tích của chúng bằng 21.
Giải :
Gọi hai số ngun cần tìm : là x , y
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y .
Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số ngun tố và tính ước của
số ngun .
Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của
chúng bằng 8 .
Giải :
+ Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại)
+Nếu x khơng chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x)
x = 8d
1
, y = 8d
2

; (d
1
,d
2
)=1
Suy ra : d
1
.d
2
= 48 : 8 = 6
Nên : d
1
= 3 ; d
2
= 2 (hoặc ngược lại)
Do đó : x = 8.3 = 24
y = 8.2 = 16.
(Hoặc kết quả ngược lại )
Ta có thể xét sự quan hệ của các bài tốn này ảnh hưởng đến các bài tốn ở
chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như :
DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ1.Chứng minh rằng
A = n
3
(n
2
-7)
2
- 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Hướng phân tích

+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n
2
(n
2
-7)
2
-36]= n[(n
3
-7n
2
)-36]
= n(n
3
-7n
2
-6)( n
3
-7n
2
+6)
Mà n
3
-7n
2
-6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n
3

-7n
2
+6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số ngun liên tiếp.Trong 7 số ngun liên tiếp
4
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
+Tồn tại một bội của 5
⇒
A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7
⇒
A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3
⇒
A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4
⇒
A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đơi một ngun tố cùng nhau nên A chia hết
cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n
∈
N hoặc n
∈
Z).
Chú ý 1:

+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành
mơt tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết
cho tất cả các số đó.
+Trong q trình chứng minh bài tốn trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 :
-Phân tích một số ra thừa số ngun tố .
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số ngun tố )
-Ngun lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số ngun liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số ngun a thì
a) a
2
-a chia hết cho 2.
b) a
3
-a chia hết cho 3.
c) a
5
-a chia hết cho 5.
d) a
7
-a chia hết cho 7.
Giải:
a) a
2
- a =a(a-1), chia hết cho 2.
b)a
3
-a = a( a
2

- 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của
3.
+ Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài tốn đã quen thuộc
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2
(hoặc dụng ngun lý Dirich- le )
c) Cách 1
A = a
5
-1= a(a
2
+1)(a
2
-1)
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k
±
1, a=5k
±
2
+Ta vận dụng vào tính chia hết của số ngun về xét số dư
suy ra A chia hết cho 5
Cách 2.
A = a
5
-1= a(a
2
+1)(a
2
-1)
= a(a
2

+1)(a
2
-4+5)
= a(a
2
+1)(a
2
-4)+ 5a( a
2
-1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a
2
-1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số ngun liên tiếp nên chia hết cho 5,số
hạng thứ hai cũng chia hết cho 5.
Do đó A = a
5
-1 chia hết cho 5.
+Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải .
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
5
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho m.
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư
bằng 0 hoặc 1.
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng
0 hoặc 1.
c)Các số sau có là số chính phương khơng?

M = 1992
2
+ 1993
2
+1994
2
N = 1992
2
+ 1993
2
+1994
2
+1995
2
P = 1+ 9
100
+ 94
100
+1994
100
.
d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương khơng?
11, 111,1111,11111,
Giải: Gọi A là số chính phương A = n
2
(n
∈
N)
a)Xét các trường hợp:
n= 3k (k

∈
N)
⇒
A = 9k
2
chia hết cho 3
n= 3k
±
1 (k
∈
N)
⇒
A = 9k
2

±
6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .
b)Xét các trường hợp
n =2k (k
∈
N)
⇒
A= 4k
2
, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k
∈
N)

⇒
A = 4k
2
+4k +1
= 4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 .
Chú ý: Từ bài tốn trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).
c) Các số 1993
2
,1994
2
là số chính phương khơng chia hết cho 3 nên chia cho 3
dư 1,còn 1992
2
chia hết cho 3.
Vậy M chia cho 3 dư 2,khơng là số chính phương.
Các số 1992
2
,1994
2
là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.
Các số 1993
2
,1995
2
là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.

Vậy số N chia cho 4 dư 2,khơng là số chính phương.
+Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các
số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ .
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương.
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng
các hằng đẳng thức bậc cao và cơng thức Niu-tơn sau đây:
+a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+ +ab
n-2
+b
n-1
) (1)
+a
n
+b
n
=(a+b)(a

n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
ab
n-2
+b
n-1
) (2)

với mọi số lẻ n.
Cơng thức Niu-tơn
6
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
(a+b)
n
= a
n
+c
1
a
n-1
b+c
2
a
n-2
b

2
+ +c
n-1
ab
n-1
+b
n
Trong cụng thc trờn, v phi l mt a thc cú n+1 hng t ,bc ca mi hng
t i vi tp hp cỏc bin l a,b l n.Cỏc h s c
1
,c
2
, c
n-1
c xỏc nh bi tam
giỏc Pa -xcan:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
c
1

c
2
c
3
c
4

p dng cỏc hng ng thc trờn vo tớnh chia ht, ta cú vi mi s t nhiờn
a,b v s t nhiờn n :
a
n
-b
n
chia ht cho a-b (a

b)
a
2n+1
+b
2n+1
chia ht cho a+b ( a

-b)
(a+b)
n
=Bs a+b
n
(Bs a l bi ca a).
c bit chỳ ý n:
(a+1)

n
= Bs( a +1)
( a -1)
n
= Bs (a- 1)
(a-1)
2n+1
= Bs( a 1)
*Tt c cỏc cụng thc Niu Tn trờn ch ỏp dng cho hc sinh cỏc khi 8 , 9 .
Vớ d 4.Chng minh rng vi mi s t nhiờn n, biu thc 16
n
-1 chia ht cho 17
khi v ch khi n l s chn.
Gii:
Cỏch 1:
Nu n chn (n=2k, k

N) thỡ
A= 16
2k
-1 = (16
2
)
k
-1 chia ht cho 16
2
-1
Theo hng ng thc (1)
M 16
2

-1 =255 chia ht cho 17.
Vy A chia ht cho 17
Nu n l thỡ A = 16
n
+1 -2,
m 16
n
+1 chia ht cho 17 theo hng ng thc (9),nờn A khụng chia ht cho 17
vy A chia ht cho 17

n chn.
Cỏch 2: A=16
n
-1 =(17-1)
n
-1
= B (17) +(-1)
n
-1(theo cụng thc Niu-tn)
Nu n chn thỡ A =B (17) +1-1 =B (17)
Nu n l thỡ A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2
Khụng chia ht cho 17.
Chỳ ý 4: Ngi ta cũn dựng phng phỏp phn chng,nguyờn lý Di rớchlet
chng minh quan h chia ht.
Vớ d 5. Chng minh rng tn ti mt bi s ca 2003 cú dng
2004 2004 2004
Gii: Xột 2004 s :
A
1
=2004

A
2
=2004 2004

7
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
A
2004
=2004 2004 2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần).
Theo ngun lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là a
m
và a
n
(1
≤
n
≤
m
≤
2004)
Thì a
m
-a
n
chia hết cho 2003.Ta có
a
m
-a
n

= 2004 2004 2004000 000
=
  
2004
2004 20042004
nnhómm=
. 10
4n
Do ( 10
4m
, 2003) =1 nên
  
2004
2004 20042004
nnhómm=
Chia hết cho 2003.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Chứng minh rằng n
6
+ n
4
- 2n
2
chia hết cho 72 với mọi số ngun n.
Giải:
Ta có n
6
+ n
4
- 2n

2

= n
2
( n
4
+n
2
- 2)
=n
2
(n
4
-1 + n
2
-1 )
= n
2
[ (n
2
-1)(n
2
+1) +(n
2
-1)]
= n
2
(n-1)(n+1)(n
2
+2)

+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1

⇒
n
6
+ n
4
- 2n
2


8
+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a
±
1
n
6
+ n
4
- 2n
2


9
vậy n
6
+ n
4
- 2n
2


72 với mọi số ngun n
Bài 2. Chứng minh rằng 3
2n
-9 chia hết cho 72 với mọi số ngun dương n
Giải:
Ta có B =3
2n
-9= 9
n
- 9,nên B chia hết cho 9
Mặt khác B = 3
2n
- 9 = (3
n
-1)(3
n
+1) -8
Do 3
n
-1,3
n
+1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8
Vậy B

72
* Bài tập tự làm
Chứng minh rằng
1.n

3
+6n
2
+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
2.n
4
-10n
2
+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ
DẠNG 2.Tìm số dư
Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2
100

a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125.
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 2
3
= 8 = 9-1
Ta có 2
100
=2( 2
3
)
33
= 2(9-1)
33
=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2
100

cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
2
10
= 1024 =B(25) -1
Ta có 2
100
= (2
10
)
10
=(B(25) -1)
10
=B(25) +1
8
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
S d khi chia 2
100
cho 25 l 1.
c) Dựng cụng thc Niu-tn:
2
100
= (5 - 1)
50

=5
50
-50.50
49
+ +

2
49.50
.5
2
-50.5+1.
Khụng k phn h s ca khai trin Niu-tn thỡ 48 s hng u ó cha lu
tha ca 5 vi sụ m ln hn hoc bng 3 nờn chia ht cho 125, s hng cui l 1 .
Vy 2
100
chia cho 125 d 1.
Chỳ ý: Tng quỏt hn,ta chng minh c rng nu mt s t nhiờn n khụng chia
ht cho 5 thỡ n
100
chia cho 125 cú s d l 1.
Tht vy, n cú dng 5k

1,5k

2.Ta cú
(5k

1)
100
=(5k)
100

+
2
99.100
(5k)

2

100.5k+1
= B(125) +1
(5k

2)
100
=(5k)
100

+
2
99.100
(5k)
2
.2
98


100.5k .2
99
+ 2
100

= B(125) +2
100

Ta li cú 2
100

chia cho 125 d 1
Do ú (5k

2)
100
chia cho 125 d 1.
Vớ d 7: Tỡm ba ch s tn cựng ca 2
100
khi vit trong h thp phõn.
Gii: Theo vớ d trờn ta cú
2
100
= BS 125 +1,m 2
100
l s chn, nờn ba ch s tn cựng ca nú ch cú
th l 126, 376, 626 hoc 876.
M 2
100
chia ht cho8 nờn ba ch s tn cựng ca nú phi chia ht cho
8.Trong 4 s trờn ch cú 376 tho món iu kin ny.
Vy ba ch s tn cựng ca 2
100
l 376.
Chỳ ý: Nu n l s chn khụng chia ht cho 5 thỡ 3 ch s tn cựng ca n
100
l 376.
Vớ d 8: Tỡm 4 ch s tn cựng ca 5
1994
vit trong h thp phõn.
Gii:

Cỏch 1. Ta thy s tn cựng bng 0625 nõng lờn lu tha nguyờn dng bt kỡ vn
tn cựng bng 0625.Do ú
5
1994
=5
4k+2
=25(5
4k
)=25(0625)
k
= 25.( 0625) = 5625
Cỏch 2. Ta thy 5
4k
-1 chia hờt cho 5
4
-1
= (5
2
-1)(5
2
+1) nờn chia ht cho 16.
Ta cú: 5
1994
= 5
6
( 5
332
-1) +5
6
Do 5

6
chia ht cho 5
4
, cũn 5
332
-1 chia ht cho 16 nờn 5
6
( 5
332
-1) chia ht cho
10000
V 5
6
= 15625.
Vy 4 ch s tn cựng ca 5
1994
l 5
Bi tp tng t
1.CMR vi mi s t nhiờn n thỡ 7
n
v 7
n+4
cú hai ch s tn cựng nh nhau.
+ Cho hs t cõu hi: Khi no hai s cú hai ch s tn cựng ging nhau?
- Khi hiu ca chỳng chia ht cho 100
Gii: Xột hiu ca 7
n +4
- 7
n
= 7

n
( 7
4
-1)
= 7
n
.2400
Do ú 7
n+1
v 7
n
cú ch s tn cựng ging nhau.
9
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
2.Tỡm s d ca 22
22
+55
55
cho 7.
+ Xột s d ca 22 v 55 cho 7?
Gii: Ta cú 22
22
+ 55
55
=(B(7) +1)
22
+(B(7) -1)
55

= B(7) +1+ B(7) -1

= B(7)
Vy22
22
+ 55
55
chia ht cho 7
DNG 3. Tỡm iu kin chia ht
Vớ d 9: Tỡm s nguyờn n giỏ tr ca biu thc A chia ht cho giỏ tr ca biu
thc B:
A= n
3
+2n
2
-3n+2 , B= n
2
-n
Gii: t tớnh chia:
n
3
+2n
2
-3n+2 n
2
-n

-
n
3
- n
2

n +3
3n
2
-3n +2

-
3n
2
-3n
2
Mun chia ht, ta phi cú 2 chia ht cho n(n-1),do ú 2 chia ht cho n(vỡ n l s
nguyờn)
Ta cú:
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n-1) 0 2 2 6
loi loi
Vy n= -1; n = 2
Vớ d 10
Tỡm s nguyờn dng n n
5
+1 chia ht cho n
3
+1.
Gii: Ta cú
n
5
+1 chia ht cho n
3
+1

n
2
(n
3
+1) - (n
2
-1) chia ht cho (n+1)(n
2
-n +1)


(n-1)(n+1) chia ht cho (n+1)(n
2
-n +1)


n -1 chia ht cho n
2
-n +1 (vỡ n+1

0)
Nu n =1 thỡ ta c 0 chia ht cho 1
Nu n>1 thỡ n -1< n(n-1) +1=n
2
-n +1, do ú khụng th chia ht cho n
2
- n +1.
Vy giỏ tr duy nht ca n tỡm c l 1.

Vớ d 11
Tỡm s nguyờn n n
5
+1 chia ht cho n
3
+1.
Gii: Theo vớ d trờn ta cú:
n -1 chia ht cho n
2
-n +1


n(n-1) chia ht cho n
2
-n +1


n
2
-n chia ht cho n
2
-n +1
10
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng

⇒
(n
2
-n +1) -1 chia hết cho n
2

-n +1

⇒
1 chia hết cho n
2
-n +1
Có hai trường hợp
n
2
-n +1 =1
⇔
n( n -1) =0
⇔
n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
n
2
-n +1= -1
⇔
n
2
-n +2 =0 khơng tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 12
Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n
-1 chia hết cho 7.
Giải:
Nếu n = 3k (k
∈
N) thì 2

n
-1 = 2
3k
-1 = 8
k
-1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k
∈
N) thì
2
n
-1= 2
3k+1
- 1=2(2
3k
-1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k
∈
N) thì
2
n
-1= 2
3k+2
-1 =4(2
3k
- 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2
n
-1 chia hết cho 7

⇔
n = 3k(k
∈
N).
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a
2
+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a
2
+3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
2
Do đó a
2
+3a +2 chia hết cho 3
⇔
a
2
+2 chia hết cho 3

⇔
a
2
: 3 dư 1
⇔
a khơng chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a khơng chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a

4
-1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số ngun tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số ngun tố liên tiếp a,b,c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
cũng là số ngun tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 2
2
+ 3
2
+ 5
2
=38 là hợp số (loại)
Còn 3
2
+ 5
2
+ 7
2
=83 là số ngun tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a

2
, b
2
, c
2
đều chia cho 3 dư 1 nên
a
2
+ b
2
+ c
2
chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng tốn trên
Bài 1. : Cho bốn số ngun dương a,b,c,d thảo mãn a
2
+b
2
= c
2
+ d
2
.Chứng minh
rằng a+ b+c+ d là hợp số.
Giải:
Xét biểu thức
A= (a
2
-a)+(b

2
-b)+( c
2
-c)+ (d
2
-d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số
ngun liên tiếp) nên
11
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
(a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a
2
+b
2
= c
2
+ d
2
nên a
2
+b

2
+ c
2
+ d
2

là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. : Cho các số ngun a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a
3
+ b
3
+ c
3

Chia hết cho 6
Giải:
Ta có A=a
3
+ b
3
+ c
3
- (a +b + c)
= (a
3
-a) + (b
3
-b) + (c

3
-c)
Do a
3
-a , (b
3
-b) , (c
3
-c) đều chia hết cho 6
Nên A

6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6
Do đó a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sơ ngun liên tiếp thì chia
hết cho 9.
+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số ngun liên tiếp có dạng
như thế nào?
- HS: a
3
+ ( a + 1)
3
+ ( a + 2)
3

hoặc ( a -1)
3
+ a
3
+ ( a+ 1)
3
+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách
nhẹ nhàng hơn
Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 99
3
+ 100
3
B= 1 + 2 + 3+ + 99 + 100.
+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài tốn trên thuộc dạng nào?
+ Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)
+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 1
3
+ 99
3


50. 101
Bài5. Cho bốn số ngun dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng

a
5
+ b
5
+c
5
+ d
5
là hợp số
Giải:
Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k ngun dương)
Khi đó a = ka
1
, c= k .c
1
và ( a
1
, c
1
) =1
Thay vào a.b = c.d được
k.a
1
.b = k .c
1
.d nên a
1
.b = c
1
. d

ta có a
1
.b

c
1
mà ( a
1
, c
1
)=1
nên b

c
1
.Đặt b = c
1
.m (m ngun dương), thay vào (1) được
a
1
.c
1
.m = c
1
.d nên a
1
.m = d
Do đó
A = a
5

+ b
5
+c
5
+ d
5

= k
5
a
1
5
+ c
1
5
m
5
+ c
1
5
m
5
+k
5
c
1
5
+ a
1
5

m
5
= k
5
( a
1
5
+c
5
) + m
5
( a
5
+ c
5
)
= (a
1
5
+ c
1
5
)( k
5
+ m
5
).
Do a
1
, c

1
, k ,m là các số ngun dương nên A là hợp số.
Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a
2
+ b
2
= c
2
thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a
2
+ b
2
= c
2
(1)
12
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
Ta cú 60 = 3. 4. 5
*Nu a ,b ,c u khụng chia ht cho 3 thỡ a
2
, b
2
,c
2
u chia cho 3 d 1.
Khi ú
a
2

+ b
2
= Bs 3 + 2, cũn c
2
= Bs 3 + 1 trỏi vi (1).Vy trong ba sú a,b,c cú
mt s chia ht cho 3.
*Nu a,b,c u khụng chia ht cho 5 thỡ a
2
,

b
2
, c
2
chia cho 5 d 1 hoc 4. Khi ú
a
2
+b
2
chia cho 5 d 0,2,3 cũn c
2
chia cho 5 d 1,4 trỏi vi (1).Vy tn ti mt
trong ba s a,b,c chia ht cho 5.
*Nu a,b,c u khụng chia ht cho 4 thỡ a
2
, b
2
, c
2
chia cho 8 d 1 hoc 4

Khi ú a
2
+ b
2
chia cho 8 d 0, 2 , 5, cũn c
2
chia cho 8 d 1, 4 trỏi vi (1).Vy
tn ti mt s chia ht cho 4.
Kt lun: abc chia ht cho 3.4.5 tc l chia ht cho 60.
Bi 7. Tỡm s t nhiờn n giỏ tr ca biu thc l s nguyờn t:
a) 12n
2
-5n -15 b)
4
3
2
nn +
Gii:
a) Ta cú 12n
2
-5n -15
= 12n
2
+ 15n - 20n - 15
= 3n( 4n +3) - 5( 4n +3)
= (4n +3) (3n - 5)
Do 12n
2
-5n -15 l s nguyờn t nờn 4n +5, 3n - 5 l cỏc s nguyờn dng .
Ta li cú 3n -5< 4n + 5 ( vỡ n >1)

12n
2
-5n -25 l s nguyờn t thỡ tha s nh phi bng 1.
Nờn 3n -5 =1

n = 2
Khi ú 12n
2
-5n -25 = 13 .1 =13 l s nguyờn t.
b) B =
4
3
2
nn +
=
4
)3( +nn
.Do B l s t nhiờn nờn n(n+3) chia ht cho 4.Hai s n
v n + 3 khụng th cựng chn.Vy hoc n, hoc n+3 chia ht cho 4.
Nu n =0 thỡ B= 0, loi
Nu n =4 thỡ B =7, l s nguuyờn t.
Nu n = 4k (k

N,k>1) thỡ B = k( 4k -3) l tớch ca hai tha s ln hn 1 nờn B
l hp s.
Nu n+ 3 =4 thỡ B =1 loi
Nu n+3 = 4k (k

N,k>1) thỡ B = k( 4k -3) l tớch ca hai tha s ln hn 1
nờn B l hp s.

Vy n =4, khi ú B = 7
Bi 8. Chng minh rng: 2
70
+ 3
70
chia ht cho 13.
Gii: Ta cú 2
70
+ 3
70
= (2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35
+ 9
35
.
Do ú chia ht cho 4 + 9 =13
(p dng a
n
+ b
n
chia ht cho a+b vi n l s l)
Vy 2

70
+ 3
70
chia ht cho 13.
Bi 9.Tỡm s nguyờn t p 2p
2
+ 1 l s nguyờn t.
+ Vi p l s nguyờn t thỡ p cú dng nh th no? ( Thng xột s d ca
mt s khi chia cho 2 hoc 3)
13
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
+ Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p
2
= 1 là số
ngun tố thì => p.
Bài 10.Chứng minh:17
19
+ 19
17
chia hết cho 18.
+ Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18?
2/Ta phân tích mối quan hệ của việc phân tích một số ra thừa số ngun tố có ảnh
hưởng rất lớn đến các dạng tốn : ƯCLN , BCNN , Qui đòng mẫu các phân số ,
và các dạng tốn có liên quan ở mức độ cao hơn như giải phương trình nghiệm
ngun . Tơi chỉ lấy một vài ví dụ .
Ví dụ 1: Phân tích các số sau ra thừa số ngun tố : 720 . 630, 729 ,
Xác định số ước số của mỗi số ?
Giải : Ta có : 720 = 2
4
.3

2
.5
630 = 2.3
2
.5.7
729 = 3
6

Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30
Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24
Số ước số của số 729 là (6+1) = 7
Đây là bài tốn các học sinh có thể giải được .
Ví dụ 2 : Rút gọn phân số :
102010201020
092009200920
Giải :
Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009
= 2009(100000000+10000+1)
= 2009.100010001
Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010
= 2010(100000000+10000+1)
= 2010.100010001
Nên :
2010
2009
100010001.2010
100010001.2009
102010201020
092009200920
==

Ví dụ 3 : Các bài tốn thực tế về BCNN và ƯCLN
Các bài tốn diễn đạt bằng lời văn .

C .PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
*Áp dụng cho việc dạy bồi dưỡng phần số học cho học sinh khá giỏi của cấp
THCS , chú trọng nhất là học sinh khối 6 .
*Áp dụng cho tồn bộ học sinh khối 6 ở các bài tập nâng cao .
*Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 .
D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
*Năm học 2006 – 2007 có 40% học sinh giỏi khối 6 ham học tốn .
*Năm học 2007 – 2008 có 50% học sinh giỏi khối 6;8 ham học tốn số học .
*Năm học 2008 – 2009 có 55% học sinh giỏi của cấp THCS ham học tốn số
học .
*Bằng chương trình ngoại khóa : Chun đề giúp em học tốt mơn tốn trong
năm học 2009 - 2010 đã thu hút gần như tất cả học sinh khối 6 ham thích học tốn
14
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
E. KẾT LUẬN
Tơi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra
trong những năm giảng dạy và học tập của bản thân . Bằng sự học hỏi thơng qua
các tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo và qua tiếp thu các ý kiến của đồng
nghiệp. Đã giúp tơi hồn thành đề tài và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6 làm nền tảng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8 , 9 sau này.
Sau khi viết và thực hiện đề tài , tơi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho bản
thân:
* Khi dạy học cần đặt vị trí của mình vào vị trí học sinh. Có thể có những vấn
đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ.
* Phải ln cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu
cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút học

sinh tham gia.
* Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm
quen dần với các dạng tốn. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi
hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển được tư
duy, khả năng sáng tạo của học sinh.
* Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là
nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tơi xung quanh vấn đề nâng cao
chất lượng dạy học mơn tốn. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo
của học sinh thơng qua chun đề '' Một số dạng tốn áp dụng việc phân tích một
số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun''. Khi viết đề tài này chắc
hẳn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được sự góp ý, phê
bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chun mơn của mình.
Cuối cùng tơi xin chân thành cám ơn!

Đại an ngày 05/03/2010
Người viết
Nuyễn Văn Minh
15
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
PH LC :

A. t vn
B. Gii quyt vn
I/ C s lý lun
II/ C s thc tin
III/ Cỏc gii phỏp .
IV/ Ni dung .
Dng 1 Chng minh quan h chia ht
Dng 2 Tỡm s d

Dng 3 Tỡm iu kin chia ht .
C. Phm vi ca ti .
D , Kt qu t c .
E , Kt lun .
16