ĐỀ CƯƠNG ÔN THI KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11

ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ II MÔN TOÁN 11
A. GIẢI TÍCH
Bài 1 Tìm các giới hạn sau
a. lim
3 2
3
6n 2n 3
n 3n 2
− +
+ +
b. lim
2
2n 1
n 3
+
+
c. lim(
2
n 3n 1 n+ + −
)
d. lim(
3
3 2
n 6n 4n n+ + −
) e. lim(
2n 3 n 1+ − +
) f. lim(
2
n n 3 n− + +
)
g. lim

n
n
1 3
4 3
+
+
h. lim
n n 1
n n
4.3 7
2.5 7
+
+
+
i. lim
n 1 n 2
n n
4 6
5 8
+ +
+
+
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
a.
2
3
x 1
x 3x
lim
x 2

→−
−
+
b.
2
x 4
x 5x 4
lim
x 4
→−
+ +
+
c.
3 2
3
x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6
→
+ − −
− −
d.
x 2
2 x
lim
x 7 3
→
−
+ −

e.
x 2
3x 5 1
lim
x 2
→
− −
−
f.
3
x 0
1 4x 1
lim
x
→
+ −
g.
3
x 0
x
lim
x 1 1
→
+ −
h.
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
→

+ + + −
i.
2
x 2
x 3x 3
lim
x 2
+
→
− +
−
j.
2
2
x 3
2x 15
lim
x 9
−
→
−
−
k.
2
2
x 1
x 5x 3
lim
(x 1)
→

− +
−
ℓ.
3
3
x
2x 3x
lim
x 1
→+∞
+
− +
m.
3
2
x
9x 4x
lim
3 2x
→−∞
+
−
n.
2
x
x 3x 2x
lim
3x 1
→−∞
− +

−
o.
2
x
lim ( x 2x 3 x)
→ +∞
+ + −
p.
2 2
x
lim ( x x 1 x x 1)
→ −∞
+ − − − −
q.
3 2
x
lim ( x x x 1)
→−∞
− + − +
r.
2
x
lim 3x 5x
→−∞
−
Bài 3 Xác định m để hàm số có giới hạn tại x
o
.
a.
mx 1 x 2

f (x)
x 2 2
x 2
x 2
+ ≤


=

+ −
>

 −
tại x
o
= 2 b.
2
mx x 0
f (x)
x 1 1
x 0
x
≤


=

+ −
>



tại x
o
= 0
Bài 4 Xét sự liên tục của hàm số
a. f(x) =
2
x 3x 4 x 1
2x 3 x 1

− + <


− ≥


tại x
o
= 1 b. f(x) =
3
2
x x 6
x 2
x x 2
11
x 2
3

− −
≠



− −


=


tại x
o
= 2
c. f(x) =
x 3 2
x 1
x 1
1
x 1
4

+ −
≠


−


=


tại x

o
= 1 d. f(x) =
2
x 1
x 1
x 1
x 2 x 1

−

>

−

+ ≤

tại x
o
= 1
Bài 5 Tìm m hoặc a để hàm số liên tục.
a. f(x) =
1 x 1 x
x 0
x
4 x
a x 0
x 2

− − +
<




−

+ ≥

 +
tại x
o
= 0 b. f(x) =
2
x x 2
khi x 2
x 2
2x 4m khi x 2

+ −

≠ −

+

+ = −

tại x
o
=
–2
c. f(x) =

3 2
x x 2x 2
x 1
x 1
3x 5m x 1

− + −

<

−

+ ≥

liên tục trên R.
d. f(x) =
2
x 1
x 1
x 1
1 m x 1

−

≠

−

+ =


liên tục trên R.
Bài 6 Chứng minh rằng phương trình x
5
– 5x³ + 4x – 1 = 0 có 5 ngiệm trên (–2; 2).
Bài 7 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có ngiệm với mọi giá trị của tham
số m:
a. m(x – 1)³(x – 2) + 2x – 3 = 0 b. x
4
+ mx² – 2mx – 2 = 0
Bài 8 Tìm đạo hàm
a. y = x³ – 3x + 1 b. y = x
4
– 8x² + 12 c. y = (x² + x)(5 – 3x²) d. y = (2x² + 5)³
e. y =
2
x 3x 2− +
f. y =
2x 3
x 2
−
−
g. y =
2
2x 6x 5
2x 4
− +
+
h. y =
2 3
3

(x x 1)+ +
i. y = x
2
1 x+
j. y =
3
6 x
x
−
k. y =
2
1
x 2x−
ℓ. y = sin² 2x – 2cos
2x
m. y = 3sin (3x – 2) – 4cos 2x. n. y = sin 2x cos 3x o. y =
sin 2x 1+
p. y =
2sin 2x
q. y = 3sin² x + 2cos³ x r. y = (1 + tan x)² s. y = cos x sin² x
t. y =
1 sin x
2 sin x
+
−
u. y = tan³ 2x + 3tan (2x – π/4) v. y =
2
2 tan x+
Bài 9 Cho hàm số: y = x³ + 4x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong các
trường hợp sau

a. Tại điểm có hoành độ x
o
= 1
b. Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31
c. Tiếp tuyến Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3
d. Vuông góc với đường thẳng Δ: y = –
1
x 5
16
−
.
Bài 10 Tính các giới hạn:
a.
3
3 2
2n n
lim
4n 3n 1
−
− +
b.
2
2
2n n
lim
1 n
+
+
c.
2

3
(n 1)(3 2n)
lim
n 1
+ −
+
d.
2
4
2n n 2
lim
3n 5
− + +
+
e.
n n
n n
4 6
lim
3 2.6
−
+
g.
lim n( n 1 n)− −
h.
1 1 1
lim[ ]
1.2 2.3 n(n 1)
+ + +
+

i.
2 n
2 n
2 2 2
( ) ( )
3 3 3
lim
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
+ + +
+ + +
j.
n n
n n
2 3.4
lim
4 3
−
+
Bài 11 Tính các giới hạn
a.
2
x 2
6 3x
lim
2x 1
→−
−
+

b.
2
x 1
3x 4x 1
lim
x 1
→
− +
−
c.
2
x 2
x 3x 2
lim
x 4
→
− −
−
d.
2
x 2
x 3x 1
lim
x 2
+
→
− +
−
e.
2

2
x
2x 1
lim
3 x
→+∞
+
−
g.
2
x
x 3
lim
2x 1
→−∞
+
+
h.
2
x
lim ( x 1 x 1)
→+∞
+ − +
i.
3
x 8
x x 4
lim
x 8
→

− −
−
j.
2
2
x 0
x 1 1
lim
x 16 4
→
+ −
+ −
k.
2
x
x 2 3x 2
lim
2x 1
→−∞
+ − +
+
ℓ.
x 2
x 2
lim
x 7 3
→
−
+ −
m.

2
x 1
x 1
lim
2x 3x 1
→−
+
+ +
Bài 12 Xét tính liên tục của các hàm số
a.
2
x 5x 6
x 1
f (x)
x 1
7 x 1

+ −

≠
=

−

=

tại x = 1 b. g(x) =
1 2x 3
x 2
2 x

1 x 2

− −
≠


−

=

tại x = 2
c. h(x) =
3
x 2x 1 x 1
5x 1 x 1

+ + ≥


− <


trên R
Bài 13 Tìm số thực m sao cho hàm số sau liên tục tại điểm cho trước
a. f(x) =
2
3x x 2
2mx 1 x 2

<



+ ≥


liên tục tại x = 2b. g(x) =
2
x 3x 2
x 2
x 2
ax 5 x 2

− +

≠

−

+ =

liên tục tại x
= 2.
Bài 14 Chứng minh
a. Phương trình sau có nghiệm hay không trên khoảng (–2; 0): x³ + 3x² – 4x – 7 = 0
b. Với mọi m > 2 thì phương trình |x|³ – 2mx² + 2 = 0 luôn có bốn nghiệm phân biệt.
c. Phương trình (m² + 2)x
7
+ x
5
– 1 = 0 có nghiệm với mọi số thực m

Bài 15 Tính đạo hàm của hàm số
a. y =
5
x 2 x− +
b. y =
3
( 3x)( x 3)
x
− + −
c. y =
2
x 3x
x 1
− +
−
d. y =
2
(2x 1) x 5− + +
e. y = (x³ + 2x)
5
. f. y = 2(x² – 4x) sin² 2x
g. y = sin³ 3x – cos² 2x + tan x h. y = (2tan³ 2x + 3sin² x)²
i. y = sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x j. y = sin² (cos x) + cos² (sin x)
k. y = x² cos x + x sin x ℓ. y =
sin x
sin x cos x
+
m. y =
1 2 tan x
+

Bài 16 Giải phương trình f’(x) = 0 biết f(x) =
3
cos x + sin x – 2x – 5
Bài 17 Cho hàm số y = xcos x. Chứng minh rằng: 2(cos x – y’) + x(y” + y) = 0.
Bài 18 Cho y = x cos 2x. Chứng minh xy” + 2(cos 2x – y’) + 4xy = 0.
Bài 19 Cho hàm số y =
2x 2
x 1
+
−
a. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc là –4/9.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = –4x + 8
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng y = 4x – 3
Bài 20 Cho hàm số y = x³ – 5x² + 2 có đồ thị (C).
a. Giải bất phương trình f’(x) ≥ –7
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng 3x + y – 1 = 0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng x – 7y – 28 = 0
Bài 21 Cho hàm số y = f(x) =
x 2
x 1
−
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường thẳng d
1

: x = –1 và d
2
: y = 1 lần lượt tại A và B
sao cho bán kính đường tròn nội tiếp ΔIAB là lớn nhất, với I là giao điểm của d
1
và d
2
.
Bài 22 Tìm vi phân của hàm số y = (sin 3x + 3)³
Bài 23 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
a. y = sin 5x b. y =
2
1
x
c. y =
x 2
x 1
−
−
Bài 24 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a. y =
1
x 2−
b. y = sin x c. y = sin 3x cos x
B. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA
vuông góc với (ABCD); SA = a
6
. Gọi AM, AN lần lượt là các đường cao của tam
giác SAB và SAD.

a. Chứng minh rằng các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích
các tam giác đó.
b. Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP vuông góc với (ABCD).
c. Chứng minh BD vuông góc với (SAC), MN vuông góc với (SAC).
d. Chứng minh SC vuông góc với (AMN).
e. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc
với (ABC). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SC tại H và K, có SA = AB = a.
a. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.
b. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK.
c. Tính góc giữa AK và (SBC).
Bài 27 Cho tứ diện ABCD có (ABD) vuông góc với (BCD), tam giác ABD cân tại A;
M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC.
a. Chứng minh AM vuông góc với (BCD)
b. Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (BCD)
c. Kẻ MH vuông góc với AN, chứng minh MH vuông góc với (ABC)
Bài 28 Chi tứ diện ABCD, tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm
của CD.
a. Chứng minh rằng (ACD) vuông góc với (BCD)
b. Kẻ MH vuông góc với BM tại H, chứng minh rằng AH vuông góc với (BCD)
c. Kẻ HK vuông góc với AM tại K, chứng minh rằng HK vuông góc với (ACD)
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé
và góc ACD = 90°.
a. Chứng minh rằng tam giác SCD, SBC vuông
b. Kẻ AH vuông góc với SB, chứng minh AH vuông góc với (SBC)
c. Kẻ AK vuông góc với SC, chứng minh AK vuông góc với (SCD)
Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA = SB = SC =
SD = a
2
; O là tâm của hình vuông ABCD.

a. Chứng minh rằng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).
b. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD)
c. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
d. Tính góc giữa đường SB và (ABCD).
e. Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH vuông góc với SM, chứng minh H là trực tâm
tam giác SCD
f. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g. Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) và SA = a; đáy ABCD
là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết AB = BC = a, AD = 2a.
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
c. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD, SM. Chứng minh rằng AH vuông góc với
(SCM)
d. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)
e. Tính góc giữa SC và (SAD)
f. Tính tổng diện tích các mặt của chóp.
Bài 32 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB =
OC = a.
a. Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc nhau
b. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (OAM)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
d. Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Bài 33 Cho chóp OABC có OA = OB = OC = a; góc AOC = 120°; góc BOA = 60°;
góc BOC = 90°.
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông
b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BOM là tam giác vuông
c. Chứng minh rằng (OAC) vuông góc với (ABC)
d. Tính góc giữa (OAB) và (OBC)

Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA = CB =
2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA = a. Gọi D là
trung điểm của AB.
a. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (SAB)
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 35 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
b. Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy
c. Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d. Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
Bài 36 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BB’ và A’B’.
a. Tính d(BD, B’C’)
b. Tính d(BD, CC’), d(MN, CC’)
Bài 37 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = BC = a; AC = a
2
a. Chứng minh BC vuông góc với AB’.
b. Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh rằng (BC’M) vuông góc với (ACC’A’)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC.
Bài 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA = a; CB =
b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH vuông góc với AB, kẻ
HK vuông góc với AA’.
a. Chứng minh rằng BC vuông góc với CK, AB’ vuông góc với (CHK)
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)
c. Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B)
Bài 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; SA vuông góc với
(ABCD). Một mặt phẳng (α) đi qua A và song song với đường chéo BD của hình thoi
cắt các cạnh SB, SD theo thứ tự tại các điểm E, F. Chứng minh EF vuông góc với SC
Bài 40 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác cân ABC đỉnh A. Trên đường thẳng vuông

góc với (P) tại A lấy điểm D. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A trên
DM.
a. Chứng minh AH vuông góc với CD.
b. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).
Bài 41 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H và K lần lượt là
trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh
a. AH, SK, BC đồng quy.
b. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)
c. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Bài 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, SA vuông góc
với (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với SC và cắt SC tại I.
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
c. Tìm giao điểm K của SO và mặt phẳng (α).
d. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // (α)
e. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).
Bài 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc
với (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy (ABCD) góc 60°.
a. Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD.
b. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
c. Chứng minh BD vuông góc với SC và (SBC) vuông góc với (SAB).
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB.
e. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng (ABK).
Bài 44 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a
2
.
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAD)
c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)

d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
e. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện. Tính góc giữa AB và mặt phẳng
(P).
Bài 45 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a. Chứng minh BC’ vuông góc với (A’B’CD)
b. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.
c. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’.
Bài 46 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
nhọn A = 60°. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a
3
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD).
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
d. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC.
Bài 47 Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a
2
, SC vuông góc với (ABC), tam
giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0
< t < 2a).
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
c. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và
SA.
Bài 48 Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại điểm A. Điểm M di động trên Δ; gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm C
trên đường thẳng BM.
a. Chứng minh rằng tích BM.BN là đại lượng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
trên Δ.
b. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MBC khi M thay đổi trên Δ.

Bài 49 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết
rằng (AMN) vuông góc với (SBC).
Bài 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA
vuông góc với đáy. Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a. Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
d. Chứng minh (SAC) vuông góc (AIK)
Bài 51 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy, SA = a
3
a. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAM).
b. Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 52 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là
tâm của đáy ABCD.
a. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD), (SBD) vuông góc với (ABCD).
b. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) và từ điểm O đến mặt phẳng
(SBC).
c. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = a
6
a. Chứng minh: BD vuông góc với SC, (SBD) vuông góc với (SAC).
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
c. Tính góc giữa SC và (ABCD).
ĐỀ 1
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a)lim

52
32
3
3
++
++
nn
nn
b)
2
1
lim
2
1
−+
−
→
xx
x
x
Bài 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3

− +

≠
=

−

+ =


x x
khi x
f x
x
x khi x
2
5 6
3
( )
3
2 1 3
2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
= − +y x x x x
2
(2 )cos 2 sin
b)
=
+
y
x
4
2 5
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD), SA= 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD.
1) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông.
2) Chứng minh MN vuông góc với mặt phẳng (SAC).
3) Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho AP = 2PB. Tính khoảng cách từ P đến
(SBD)

Bài 4.
1) Chứng minh rằng phương trình:
m x x
2 5
(1 ) 3 1 0− − − =
luôn có nghiệm với mọi m.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x x
3 2
3 2= − +
:
Biết tiếp tuyến song song với d y =9x+5
Bài 5.Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
………………Hết…………
ĐỀ 2
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
1
3 2.5
lim
3.5 4
n n
n n
+
−

−
b)
2
3
9
lim
1 2
x
x
x
→
−
+ −
Bài 2. 1) Tìm điều kiện của số thực a để hàm số sau liên tục tại x
0
=2
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x
ax khi x

+ −
≠


=

−

− =

2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y
b)
3
y cot (2x )
4
π
= +
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và
hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a
2
.
1. CMR: BC
⊥
mp(SAB).

2. CMR: CD
SC⊥
.
3. Tính góc
α
giữa SC và (ABCD), góc
β
giữa SC và (SAB), góc
γ
giữa SD và
(SAC).
Bài 4.
1) Chứng minh rằng phương trình:
4 2
2( 3) 2 0x mx m x+ − − − =
luôn có nghiệm với
mọi m
2) Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
3) Cho hàm số
.siny x x=
. Chứng minh rằng:
2( sin ) 0xy y x xy
′ ′′
− − + =
.
Bài 5. Cho (C): y = x
3

– 3x
2
+ 2. Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ
đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
………………Hết…………
ĐỀ 3
Câu 1. (2đ) Tính các giới hạn sau:
a)
3 7
lim
9 7
n
n
− +
+
b)
− − +
→
−
x x
x
x
2
3 4 7
lim
1
1
Câu 2. (2đ)
a) Cho hàm số:


+ −
≠


−
=



=

x
khi x
x
f x
ax +2 khi x
2
1 2
3
9
( )
3 3
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 3.
b) Chứng minh phương trình
m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
luôn luôn có nghiệm với mọi
m.
Câu 3(3đ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC)

và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Tính khoảng cách giữa SA và BC.
Câu 4(3đ) .
a) Cho
f x x x
2
( ) sin( 2)= −
. Tìm
f (2)
′
.
b) Cho đường cong (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
= +y x
1
1
3
.
c) Cho hàm số
2 1
1
x
y

x
−
=
−
(C) . (2đ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến bằng
2
………………Hết…………
ĐỀ 4
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
4 1
lim
1 2
n n
n
+ +
−
2)
x
x
x
2
3
1 2
lim
9
→
+ −

−
3)
x
x
x
3
7 1
lim
3
+
→
−
−
Bài 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

− +

≠
=

−

+ =

x x
khi x
f x
x
x khi x
2

5 6
3
( )
3
2 1 3
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
x x x
3 2
2 5 1 0− + + =
.
Bài 3. 1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2
1= +
b)
y
x
2
3
(2 5)
=
+
2)Cho hàm số
x
y
x
1
1
−

=
+
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với
d:
x
y
2
2
−
=
.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy, SA =
a 2
.
1) Chứng minh rằng: (SAC)
⊥
(SBD) .
2) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
3) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) .
Bài 5.1) Cho hàm số
= −
2
y 2x x
. Chứng minh rằng:
+ =
3
y y" 1 0

2) Cho
x x
y
x
2
3 3
1
− +
=
−
. Giải bất phương trình
y
/
0>
………………Hết…………
ĐỀ 5
………………Hết…………
ĐỀ 5
………………Hết…………
ĐỀ 6
………………Hết…………
ĐỀ 7