Đường tròn-Tiết 34-Hình 10

TiÕt 34
TiÕt 34
® êng trßn
® êng trßn
Mục tiêu
Mục tiêu
- Học sinh viết đ ợc ph ơng trình đ ờng tròn trong một số tr ờng hợp đơn giản.
- Xác định đ ợc tâm và bán kính của đ ờng tròn có dạng (x-x
0
)2 + (y-y
0
)2
= R2
- Biết đ ợc khi nào ph ơng trình
x2 + y2 + 2ax + 2by + c =0 là ph ơng trình đ ờng tròn và chỉ ra đ ợc
tâm và bán kính của đ ờng tròn đó
Câu hỏi 1: Em hãy nêu định
nghĩa đ ờng tròn mà em đã
biết.
Đ ờng tròn là tập hợp những
điểm M trong mặt phẳng luôn
cách một điểm cố định I một
khoảng không đổi R
6
54
3
2
1
-1
-2
-4 -3

-2
-1
3
2
1
O
y
x
I
5
Câu hỏi 2: Trong mặt phẳng Oxy Cho đường tròn (C)
có tâm I(2; 3), bán kính bằng 5. Điểm nào sau đây
thuộc (C):
( 4; 2), ( 2;0 ) ?A B− − −
x
0
y
0
y
x
O
I(X
0
;Y
0
)
R
M(x;y)
x
y

C©u hái 3: Trong mÆt ph¼ng Oxy. H·y
t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ®iÓm M(x;y) thuéc ®
êng trßn t©m I(x
0
;y
0
) b¸n kÝnh R
Do M c¸ch I(x
0
;y
0
) mét kho¶ng R
Nªn ta cã IM = R hay IM
2
= R
2
hay (x-x
0
)
2
+ (y-y
0
)
2
= R
2
1 . Ph ơng trình đ ờng tròn
1 . Ph ơng trình đ ờng tròn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ph ơng trình đ ờng tròn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ph ơng trình đ ờng tròn

tâm I(x
tâm I(x
0
0
;y
;y
0
0
) bán kính R là
) bán kính R là


(x-x
(x-x
0
0
)
)
2
2
+ (y-y
+ (y-y
0
0
)
)
2
2
= R
= R

2 (1)
2 (1)
Ví dụ 1
Ví dụ 1


: Ph ơng trình của đ ờng tròn tâm I(1; 2) và bán
: Ph ơng trình của đ ờng tròn tâm I(1; 2) và bán
kính R = 3 là (x-1)
kính R = 3 là (x-1)
2
2
+ (y 2)
+ (y 2)
2
2
= 3
= 3
2
2




Có nhận xét gì về hệ số của x
và y trong ph ơng trình (1)
Trong ph ơng trình (1), ph ơng
trình của đ ờng tròn ta thấy hệ số
của x và y bằng nhau.
Nh vậy: Trong mặt phẳng Oxy ph

ơng trình của đ ờng tròn đ ợc xác
định khi biết tọa độ tâm và độ dài
của bán kính
¸p dông:
Bµi 1: C¸c ph ¬ng tr×nh sau cã ph¶i lµ ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn kh«ng? NÕu lµ ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn
th× chØ ra t©m vµ b¸n kÝnh cña ® êng trßn ®ã
1) (x-2)2 + (y – 1)2 = 32
Lµ ph ¬ng tr×nh ® êng trßn cã t©m I(2;1) b¸n kÝnh R =3
2) x2+y2=1
Lµ ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m 0(0;0) vµ b¸n kÝnh R =1
3) (x-0,5 )2 + (y+5)2 = 6
Lµ ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m I( 0,5 ;-5) b¸n kÝnh R =
4) (x-1)2+(2y-3)2 = 4
Kh«ng lµ ph ¬ng tr×nh ® êng trßn v× hÖ sè cña x vµ y kh«ng b»ng nhau
5) (2x+1)2 + (2y-5)2 = 9
•

6
Bài 2
Bài 2
Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3).
Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3).
a) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn tâm P và đi qua Q.
a) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn tâm P và đi qua Q.
b) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn đ ờng kính PQ
b) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn đ ờng kính PQ
Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết đ ợc ph
ơng trình của đ ờng tròn phải biết đ ợc
những yếu tố nào?
Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết

đ ợc ph ơng trình của đ ờng tròn phải biết
đ ợc tọa độ của tâm và độ dài của bán
kính
2) Nhận dạng ph ơng trình đ ờng tròn
2) Nhận dạng ph ơng trình đ ờng tròn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-a;-b) bán kính R là
(x+a)2 + (y+b)2 = R2
Mọi ph ơng trình có dạng x2 + y2 + 2ax+2by + c = 0 (2)
với điều kiện a2 + b2 > c đều là ph ơng trình của đ ờng tròn có tâm là
Ví dụ:
ph ơng trình của đ ờng tròn có tâm là I(-1; -2) và bán kính là R=3 là
x2 + y2 + 2x + 4y - 4 = 0

Có nhận xét gì về hệ số của x
2

và y
2
trong ph ơng trình (2)
Hệ số của x
2
và y
2
bằng nhau
I(-a; -b) và bán kính là R=
2 2
a b c+
Bài 3:
Các ph ơng trình sau có phải là ph ơng trình của đ ờng tròn không? Nếu là ph ơng trình của đ ờng tròn

thì chỉ ra tọa độ tâm và bán kính của đ ờng tròn đó
1) x2 + y2+ 2x + 4y + 4 =0
Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-1;-2) và bán kính R=1
2) x2 + y2- 2x -4y - 6 =0
Không là ph ơng trình đ ờng tròn vì a2 + b2 - c < 0
3) 2x2 + 2y2+ 8x 4y - 22 = 0
Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-2;1) và R = 4
4) 2x2 + 3y2+ 7x y - 22 = 0
Không là ph ơng trình của đ ờng tròn vì hệ số của x2 và y2 không bằng nhau
Tr êng hîp ®Æc biÖt
Tr êng hîp ®Æc biÖt
a- § êng trßn ®i qua gèc to¹ ®é
cã ph ¬ng tr×nh lµ
x2+y2 +2Ax+2By=0
b -§ êng trßn tiÕp xóc víi trôc hoµnh cã ph ¬ng
tr×nh lµ
x2+y2+2Ax+2By+A2=0
+
I(a;b)
O
a
b
x
y
+ I
O
a
b
x
y

(a;b)
c- § êng trßn tiÕp xóc víi trôc tung
c- § êng trßn tiÕp xóc víi trôc tung
Cã ph ¬ng tr×nh lµ
x2+y2+2Ax+2By+B2=0
y
+ I(-A;-B)
O x-A
-B
O
+ I(-A;-B)
x
y
-A
-B
Bài tập luyện tập
Bài tập luyện tập
Bài 1: Lập ph ơng trìmh đ ờng tròn đi qua 3 điểm M(2;0), N(0;1), P(-1;2).
Giải: Gọi I(a;b) là tâm và R là bán kính của đ ờng tròn cần tìm. Ph ơng trình đ ờng
tròn có dạng (x-a)2+ (y-b)2 =R2 (1)
Do M, N, P thuộc đ ờng tròn nên toạ độ của chúng đồng thời thoả mãn ph
ơng trình (1).
Ta cã hÖ ph ¬ng tr×nh
Ta cã hÖ ph ¬ng tr×nh
2 2 2(*) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(2 ) (0 ) 4 4

(0 ) (1 ) 2 1
(1 ) (2 ) 2 4 5
4 4 2 1
4 4 2 4 5
7
4 2 3 0
2
6 4 1 0 11
2
 
− + − = + − + =
 
− + − = ⇔ + − + =
 
 
− + − = + + − + =
 

+ − + = + − +

⇔

+ − + = + + − +



=

− + + =



⇔ ⇔
 
− + − =


=


a b R a b a R
a b R a b b R
a b R a b a b R
a b a a b b
a b a a b a b
a
a b
a b
b
Thay vào (*) ta có R
Thay vào (*) ta có R
Vậy ph ơng trình đ ờng tròn cần tìm là
Cách 2: giả sử I(-A;-B) là tâm đ ờng tròn và ph ơng trình đ ờng tròn có dạng
x2 + y2+ 2Ax + 2By +C = 0(**)
Do M, N, P thuộc đ ờng tròn nên toạ độ của chúng lần l ợt thoả mãn (**)
2 2
7 11 130
( ) ( )
2 2 4
+ =x y
7 11

,
2 2
= =a b
130
4
Ta có hệ ph ơng trình:
Ta có hệ ph ơng trình:

Giải hệ ph ơng trình trên ta đ ợc

Vậy đ ờng tròn cần tìm có ph ơng trình là:

x2 + y2 - 7x - 11y + 10 = 0
7 11
; ; 10
2 2
= = =A B C
4 4 0
2 1 0
2 4 5 0
+ + =


+ + =


+ + + =

A C
B C

A B C
Bài 2:
Bài 2:
Viết ph ơng trình đ ờng tròn có đ ờng kính
Viết ph ơng trình đ ờng tròn có đ ờng kính
AB. Biết A(1;2) và B(3;4).
AB. Biết A(1;2) và B(3;4).
Giải Cách 1
Gọi I là tâm và R là bán kính của đ ờng tròn cần tìm.
Do AB là đ ờng kính nên I là trung điểm của AB
I(2;3) và R = IA=
Vậy ph ơng trình đ ờng tròn cần tìm là :
(x-2)2+ (y-3)2 = 2 hay x2+y2- 4x - 4y 9 = 0
2 2
(3 1) (4 2) 2 + =

H ớng dẫn giải cách 2
H ớng dẫn giải cách 2
Do AB là đ ờng kính nên điểm M(x;y) thuộc đ ờng tròn
Mà
Nên (1) (x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0
x2 + y2 - 4x - 6y + 11 = 0
Vậy ph ơng trình đ ờng tròn cần tìm là
x2+ y2- 4x - 6y + 11 = 0
. 0 =
uuuur uuuur
AM BM
( 1; 2)
( 3; 4)
=

=
uuuur
uuuur
AM x y
BM x y


Qua bài này các em cần nắm vững:
Qua bài này các em cần nắm vững:

Ph ơng trình của đ ờng tròn ở cả 2 dạng.

Xác định đ ợc tâm và bán kính của đ ờng tròn khi biết ph ơng trình của
nó.

Lập đ ợc ph ơng trình của đ ờng tròn biết 3 điểm mà nó đi qua hoặc biết đ
ờng kính của đ ờng tròn đó.

Viết đ ợc ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn khi biết ph ơng trình của đ
ờng tròn
Bài tập về nhà: Làm câu hỏi trang 92
Làm bài 21, 23, 24 Sgk trang 95