SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÀ VINH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG
Sáng kiến kinh nghiệm:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN
TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Giáo viên: Ưng Hồng Diễm Châu

Năm học: 2011 - 2012
LỜI NÓI ĐẦU
 * 
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
Nhìn chung các phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối thường không
có cách giải tổng quát. Tùy theo từng dạng của phương trình mà ta có cách giải khác nhau.
Đa số ta thường đưa phương trình đã cho về một phương trình mới không chứa
dấu giá trị tuyệt đối hay một phương trình quen thuộc nào đó.
Nhằm tạo sự dễ dàng cho học sinh nhận biết được dạng, cũng như cách giải các
phương trình loại này. Tôi đã tập hợp một số phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối thương sử dụng, Ngoài ra còn có thêm ví dụ minh họa và bài tập đề nghị.
Nhờ đó giúp bản thân tôi có thể củng cố kiến thức, đồng thời giúp học sinh nhìn
nhận vấn đề một cách chính xác hơn, giúp cho việc giải toán được tốt hơn.
Nội dung gồm:
* Phương pháp giải
* Ví dụ minh họa
* Bài tập tương tự.

1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

* Định nghĩa:

a,
<0
a
≥

=


neáu a 0
-a, neáu a
Dạng 1:
Trang 2

2 2
A B
A B A B
A B
=

= ⇔ = ⇔

= −

Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An

Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 1 2 3x x− = + (1)

Giải
Ta có (1)
3 1 2 3
3 1 2 3
x x
x x
− = +

⇔

− = − −


4
2
5
x
x
=


⇒

= −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4; x=
2
5
−
.

Bài tập tham khảo:
Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2 3 6x x− = −
b)
3 4 2x x+ = −
c)
2
3 11 3 4x x x+ − = −
d)
2
3 2 2x x x− + = +
e)
2 2
3 7 1 5x x x x− + = + −
f)
2 2
5 4 2 3 1x x x x− + = − +
g)
2 2
3 1x x x− = +
Dạng 2:
Trang 3

2 2
0
0
B
B

A B
A B
A B
A B
h c
≥

≥


= ⇔ ⇔
=

 
=



=−


 ≥














A 0
A=B
oaë
A<0
-A=B
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An


Ví dụ : Giải phương trình:
a)
3
1 1x x x− = + + (1)
Giải
Ta có (1)
3 3
1 0 1 0
1 1 1 1
x x
x x x x x x
− ≥ − <
 
⇔ ∨
 
− = + + − + = + +

 


3 3
1 1
0
2 0 2 0
x x
x
x x x
≥ <
 
⇔ ∨ ⇔ =
 
+ = + =
 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.
b)
2
1
2
x
x
+
=
−
(2)
Giải
Ta có (2)

2
2
0
2 2
2 2
2 2
x
x
x
x x
x x
x x
≠

≠

 
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = −

 
+ = −




+ = − +



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.
Bài tập tham khảo: Giải các phương trình sau:
a)
3
5 2 2 3 2x x x− = − −
e)
2 2
1 2 8x x x− = − +
b)
3
1 1x x x− = + +
f)
3
2
2
x
x
+
=
+
c)
2
3 1 2 5x x x− − = −
g)
3
2 5 2 6x x x− − = −
d)
2
5 4 4x x x− + = +
2. PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG

Phương pháp này áp dụng cho dạng phương trình:


Được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức trong phương trình.
Trang 4

1 1 2 2 n n
A A Ak k k k
+ + + =
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, từ đó chia trục số thành
những khoảng sao cho trong mỗi khoảng các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chỉ nhận một
dấu xác định.
Bước 3: Giải phương trình trên mỗi khoảng đã chia.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ : Giải phương trình:

2
2 4 3x x x
− + − =
(1)
Giải
Lập bảng xét dấu cho hai biểu thức: x
2
– x và 2x - 4


Trường hợp 1: Với x

0≤
hoặc 1
2x≤ ≤
(1)
2 2
3 5
2
(2 4) 3 3 1 0
3 5

2
x
x x x x x
x

+
=


⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔

−
=


(loaïi)
(loaïi)
Trường hợp 2: Với 0
1x
< <

(1)
2 2
1 5
2
( ) (2 4) 3 1 0
1 5

2
x
x x x x x
x

− +
=


⇔ − − − − = ⇔ + − = ⇔

− −
=


(nhaän)
(loaïi)
Trường hợp 3: Với
2x
≥
(1)
2 2
1 29

2
2 4 3 7 0
1 29

2
x
x x x x x
x

− +
=


⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔

− −
=


(nhaän)
(loaïi)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 5
2
x
− +
=
;
1 29
2

x
− +
=
.
Bài tập tham khảo: Giải các phương trình sau:
a)
3
3
4 1
x
x
= +
− −
b)
1 2 2 3 3 4x x x− − − + − =
c)
2 2
2 6 8 1 30x x x+ + + − =
Trang 5
x
−∞
0 1 2
+∞
x
2

-

x + 0 - 0 + +
2x - 4

- - - 0 +
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
d)
2
1
2
x
x
x
−
=
−
e)
2
2
x x
x
+ −
=
f)
2 1 2 2x x x− − + =
3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một
ẩn phụ.
Ví dụ : Giải phương trình:
2
( 1) 4 1 3 0x x− + − + = (1)
Giải
Đặt t =

1 , 0x t− ≥

2
1
(1) 4 3 0 (
3
4
3
2
t
t t
t
x
x
= −

⇔ + + = ⇔

=

=

⇒ = ⇔

= −

Khi đó loại t = -1)
x-1
Vậy phương trình (1) co ùnghiệm x = 4; x = -2.
Dạng 2: sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với

một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

Ví dụ : Giải phương trình:

3 6
3
( 2) 3
3 , 0
x x x x
x x t
Khi
+ − =
− ≥
⇔ −
∆ =
4 2
2
2 2
1
-6x +9x +2x (2)
Giải
Đặt t =
đo ù (2) t (x+2)t + 2x = 0 (3)
Ta có (x + 2) - 8x = ( x-2)
Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An

3
3

3
3
3
3 2
0
2
2
2
3
2
1
3 2
1
2
2
; 1; 2.
x x x
x x
x
x
x
x
x x x
x
x
x x
x
x
x
x x


− =


⇔ ⇒


− =


 ≥

=



=

≥






 
=




⇔ ⇔ ⇔
− = ±
=






= ±



− = ±
= ±


= ±




= ±



= ± = ±
t=x
Do ñoù (3)
t=2

x 0

Vaäy phöông trình coù saùu nghieäm: x=2; x= 2
Bài tập tham khảo: Giải các phương trình sau:
a)
2
2 2
2 1
x
x
− + =
− +
b)
2
2
6
5 2 1
5 2
x x
x x
− + − = −
− +
c)
1
3
2
1 3
x
x
+

+ =
+
d)
2
3 (3 1) 1 1 0x x x− + − + =
e)
2
( 1) 2 2 0x x x x
+ + + − =

Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An


BÀI HỌC KINH NGHIỆM
 * 
Nhờ việc hệ thống lại cách giải một số dạng phương trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc đã giúp học sinh dễ dàng nhận dạng và
lựa chọn phương pháp thích hợp, ít tốn thới gian trong việc giải toán. Đồng
thời giáo viên cũng thuận lợi hơn trong việc hướng dẫn học sinh giải toán,
góp phần nâng cao hiệu quả trong giảng dạy.

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân, chắc chắn sẽ không
tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp nhiệt tình của quý
Thầy, Cô để hoàn thiện hơn.

Càng Long, ngày 06 tháng 5 năm 2011

ƯNG HỒNG DIỄM CHÂU

Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 GIẢI TỐT
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I . LỜI NÓI ĐẦU
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học và cuộc sống, giúp con
người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Thông qua việc học toán, học sinh có
thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó các em vận dụng vào các
môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành
khoa học khác, chính vì vậy toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi
người thầy phải lao động sáng tạo để tạo ra những phương pháp giảng dạy tốt giúp học sinh tiếp
thu bài tốt áp dụng vào giải các bài tập một cách linh hoạt.
Để giúp các em học tốt hơn môn toán. Người thầy giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em
nắm được những kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp
giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải một cách
nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển tư duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó các em yêu
toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tương lai.
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử dụng nhiều
trong quá trình dạy Toán ở THPT cũng như Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc
THPT sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc
học sau.
Trong toán học: “Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một vấn đề phức tạp.
Thế nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Khi gặp các phương trình
này không ít học sinh còn lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào?
Trong nhiều năm tham gia giảng dạy, với những kinh nghiệm được đúc kết từ thực tiễn,
tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình có chứa dấu giá
trị tuyệt đối để cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi, nhằm mục đích khắc phục những tồn tại
nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh khối 10 có được một cách nhìn nhận mới về phương pháp
giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang

bị của các cấp học, qua đó giúp các em trau dồi được những phẩm chất về trí tuệ như: tính độc
lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh
khá, giỏi bộ môn toán trong trường phổ thông.
Đó là những tích lũy kinh nghiệm của tôi trong qúa trình học và dạy toán,
với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng tìm ra hướng giải các phương
Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thường gặp trong chương trình sách giáo
khoa (SGK) toán 10.
II . THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
1) Thuận lợi :
- Trường THPT Định An – Gò Quao luôn có được sự quan tâm giúp đỡ của các
cấp lãnh đạo Đảng và Nhà nước. Sở giáo dục và Ban giám hiệu nhà trường thường
xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động của trường.
- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội
ngũ thầy cô trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.
- Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ môn toán.
2) Khó khăn :
+ Về khách quan:
Trường THPT Định An – Gò Quao là điểm trường thuộc vùng sâu, học sinh
dân tộc Khơmer chiếm tỷ lệ cao, cuộc sống của các em còn gặp nhiều khó khăn.
Ngoài giờ lên lớp các em còn phải phụ tiếp gia đình để kiếm sống cho nên các em
không thực hiện tốt được việc tự học ở nhà.
Trong thời đại thông tin bùng nổ, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trò vui
chơi giải trí như điện tử, bi da, đã làm một số em quên hết việc học tập của mình
dẫn tới các em sa sút trong học tập.
Bên cạnh những gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập của con em
mình còn rất nhiều gia đình bỏ bê việc học tập của các em do còn phải lo cho việc
làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày. Từ sự quản lí không chặt chẽ của

gia đình dẫn tới các em quen thói chơi bời, tụ tập và tư tưởng ỷ nại, lười học dần
dần xuất hiện.
+ Về chủ quan:
- Trong chương trình đại số lớp 10 ban cơ bản, việc tìm nghiệm của một phương trình có
chứa dấu giá trị tuyệt đối với học sinh còn gặp những khó khăn như chưa trình bày lời
giải một phương trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường mắc một số sai lầm
Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
cơ bản: như chưa đặt điều kiện của phương trình đã thực hiện các phép biến đổi để khử
dấu giá trị tuyệt đối hoặc khi tìm được nghiệm đã kết luận ngay không đối chiếu với điều
kiện để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương
một phương trình gắn với một hệ điều kiện và trình bày rời rạc không theo một qui trình,
không khoa học, thiếu thẩm mĩ.
- Mức độ kiến thức của dạng toán giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt
đối tương đối trừu tượng và phức tạp.
+ Do những khó khăn nêu trên và chưa sử dụng phương pháp mà học kì I năm học 2007 – 2008
kết quả giảng dạy môn toán của 3 lớp 10 tôi phụ trách như sau:
Bảng thống kê
Lớp Chất lượng học sinh khi chưa sử dụng phương pháp
10A
1
Giỏi 2.7%; Khá 5.4%;
Trung bình 55.1%, Yếu – Kém 36.8%
10A
4
Giỏi 1%; Khá 7%;
Trung bình 53%, Yếu – Kém 39%
10A
7

Giỏi 1.5%; Khá 5.7%;
Trung bình 41.1%, Yếu – Kém 51.7%
+ Nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn trên là:
- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của đa số học sinh còn
yếu.
- Học sinh không nắm được các kiến thức cơ bản khi giải một phương trình có chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
- Học sinh không nhận dạng được các dạng cơ bản của phương trình có chứa
dấu giá trị tuyệt đối
- Học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của
giá trị tuyệt đối:
A
A
A



≥
=
−
vôùiA 0
vôùiA < 0
- Học sinh không nắm được khái niệm về hai phương trình tương đương.
- Học sinh nhầm lẫn cách biến đổi để được phương trình hệ quả với cách biến đổi để được
phương trình tương đương.
Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
- Không đặt điều kiện đã phá dấu giá trị tuyệt đối
- Khi tìm được nghiệm, bỏ quên bước so sánh điều kiện mà kết luận nghiệm ngay.

- Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ được các dạng cơ bản của
phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
- Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ
yếu cho nội dung bài học mới.
III. GIẢI PHÁP
Do khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ
nên việc áp dụng lí thuyết cơ bản của dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt
đối còn gặp rất nhiều khó khăn. Nắm bắt được tình hình trên trong tiết dạy tự chọn
tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng
nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận
thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích
sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham
gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ
động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể.
Để giải tốt phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi yêu cầu học sinh
cần phải nắm được những yêu cầu cơ bản sau :
+ Nắm được phép biến đổi tương đương các phương trình có chứa dấu giá trị
tuyệt đối:
≥


=


= −

= ⇔
x o

A A x
A x
x
+ Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình hệ quả.
+ Nắm được các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương:
- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn ( có thể xuất hiện
nghiệm ngoại lai ).
Trang 12
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
- Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số ( có thể làm mất
nghiệm của phương trình đầu).
- Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức.
- Nâng hai vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: n > 1. Nếu n chẵn thì
khi nâng hai vế của phương trình f
1
(x) = f
2
(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn thì phương trình
mới nhận thêm nghiệm của phương trình f
1
(x)= - f
2
(x).
+ Nắm vững định nghĩa
A(x)
A(x)






≥
=
−
A(x) neáu A(x) 0
neáu A(x)< 0
và các tính chất của giá trị tuyệt đối:
A
A
A B A B ; A B A B ; A . B A.B ;
B B
+ > + − < − = =

A B A B A.B 0;+ = + ⇔ ≥
+ Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi tương đương và phép biến đổi để đưa về
phương trình hệ quả.
Bên cạnh những yêu cầu trên, tôi đã chỉ cho học sinh nhận biết được những dạng cơ bản
của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được trình bày trong sách giáo khoa toán 10, đồng
thời đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, giúp các em so sánh được cách giải nào
sáng tạo, ngắn hơn và hay hơn.
1) Một số ví dụ
• Dạng 1 :
( )
=
x
A a
a (1) (Trong đó
a R∈
).

* Phương pháp giải:
- Nếu a < 0
⇒
phương trình (1) vô nghiệm.
- Nếu a ≥ 0
⇒
phương trình (1)
⇔

( )
( )
=


= −


x
x
A a
A a
(2). Như vậy nghiệm của phương trình (2)
chính là nghiệm của phương trình (1).
(Ta có thể giải theo cách bình phương hai vế:
2 2
( )
=
x
A a
nhưng cách này thường dẫn tới

một phương trình bậc cao hơn)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
3 5 3− =x
b)
3 5− + = −x
Giải:
Trang 13
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
a)
3 5 3− =x

⇔
8
3
2
3
x
3x 5 3 3x 8
3x 5 3 3x 2
x


 
⇔ ⇔

 

 



=
− = =
− = − =
=
Kết luận phương trình
3 5 3− =x
có 1 nghiệm
8
3
=x
và
2
3
=x
b)
3 5− + = −x

Vì vế trái là biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối do vậy không âm, vế phải bằng (-5) nên
phương trình
3 5− + = −x
vô nghiệm.
• Dạng 2 :
( )
( )=
x
A B x
* Phương pháp giải:
Cách 1:

( )
2 2
( ) ( )
( ) 0
( )



=


≥
= ⇔
x
x x
A
A
B x
B x
B
Cách 2:
( )
( )
( )
( ) 0
( )
( )
( ) 0
( )






=









= −



≥
= ⇔
≥
x
x
x
A
A
A
B x
B x
B x

B x
B x
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
3 2 1− = +x x
(Ví dụ SGK đại số 10 ban cơ bản, trang 59)
b)
4
2
2 5 5−+ = +x x x

Giải:
Cách 1:
( )
2 1 0
3 2 1
2
2
3 (2 1)





+ ≥
− = + ⇔
− = +
x
x x
x x

2 1
2 2
6 9 4 4 1





≥ −
⇔
− + = + +
x
x x x x
Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
1
2
10 8
1
2
2
4
3
2
2
3 0
3





 

 

 
+ −







≥ −
≥ −
⇔ ⇔ ⇔ =
= −
=
=
x
x
x
x
x
x
x
(Nếu trình bày theo SGK toán 10 cơ bản thì ta phải thêm một bước thử nghiệm)
Cách 2:

3 2 1− = +x x
2x 1 0
x 3 2x 1
2x 1 0
x 3 (2x 1)






⇔







+ ≥
− = +
+ ≥
− = − +
1
x
2
2x 1
x 4
x 4 0
2

x
1
3
2x 1
x
2
3x 2 0
2
x
3
















⇔ ⇔





















≥ −
≥ −
= −
− − =
⇔ =
≥ −
≥ −
− =
=
Vậy phương trình
3 2 1− = +x x
có một nghiệm:
2

x
3
=
+ Hai cách giải có cùng kết quả nghiệm nhưng cách giải thứ nhất ta chỉ giải một hệ còn cách thứ
hai ta phải giải hai hệ
b)
4
2
2 5 5−+ = +x x x

4
2
2 5 5−+ = +x x x
4
4
6
4
4
2
2
x x 5 0
x x 4 1 0
2
2
2x 5 x 4x 5
x x 0
2
2
x 4x 5 0
x x 4 1 0

2
2
2x 5 (x x 5)
x 2x 10 0




−
−










+




⇔ ⇔





−
 


 


 
−






+ ≥
+ + ≥
+ = − +
− =
− + ≥
+ + ≥
+ = − +
− + =

Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
2
2
(x 2) 1 0 x R

x 0
x 0
x 6
x 6
(x 2) 1 0 x R
2
x 2x 10 0












⇔ ⇔














− + ≥ ∀ ∈
=
=
=
=
− + ≥ ∀ ∈
− + = (vo ânghieäm)
Vậy phương trình
4
2
2 5 5−+ = +x x x
có hai nghiệm x = 0 và x = 6
+Nếu ta sử dụng cách 1 là bình phương hai vế ta sẽ phải giải một phương trình bậc 4 rất phức tạp.
• Dạng 3 :
A B
(x) (x)
=
* Phương pháp giải:
Cách 1:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
= ⇔ =A B A B
x x x x
Cách 2:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






=
= ⇔
= −
A B
x x
A B
x x
A B
x x
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
1 2 5− = −x x
b)
2 2
6 9 4 4 1+ + = − +x x x x
Giải:
a)
2 2
( ( )1 2 5 1) 2 5⇔ =− = − − −x x x x

2 2
x 2x 1 4x 20x 25⇔ − + = − +

0
2

3x 18x 24⇔ − + =

x 4
x 2



=
⇔
=
Vậy phương trình
1 2 5− = −x x
có hai nghiệm: x = 2 và x = 4
b)
2 2
6 9 4 4 1
2 2
6 9 4 4 1
2 2
6 9 (4 4 1)


⇔


+ + = − +
+ + = − +
+ + = − − +
x x x x
x x x x

x x x x
Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An

2
3 10 8 0
2
5 2 10 0


⇔


− + + =
+ + =
x x
x x
4
2
3
2
5 2 10 0













=
−
=
⇔
+ + =
x
x
x x (vo ânghieäm)
Vậy phương trình
2 2
6 9 4 4 1+ + = − +x x x x
có hai nghiệm:
2
3
−
=x
và x = 4
+ Nếu ta giải phương trình trên theo cách bình phương hai vế ta sẽ thu được phương trình bậc 4
phức tạp hơn
• Dạng 4 :
0
( ) ( )
+ =A B
x x

* Phương pháp giải:
0
0
( )
0
( ) ( )
( )
=



=


+ = ⇔
A
x
A B
x x
B
x
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
x 3x 4 x 2x 3 0+ − + + − =

b)
2x 1 x 2 0− + − =
Giải:
a)

2 2
x 3x 4 x 2x 3 0+ − + + − =
2
x 3x 4 0
2
x 2x 3 0





+ − =
⇔
+ − =
x 1
x 4
x 1
x 1
x 3













=
= −
⇔ ⇔ =
=
= −
Vậy phương trình
2 2
x 3x 4 x 2x 3 0+ − + + − =
có 1 nghiệm: và x = 1
b)
2x 1 x 2 0− + − =
1
2
2x 1 0
x
x 2 0
x 2



 



− =
=
⇔ ⇔
− =
=

(Vô nghiệm)
Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm
Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An
Vậy phương trình
2x 1 x 2 0− + − =
vô nghiệm:
Ta còn có thể nhận xét ngay được
2x 1 x 2 0− + − =
khi 2x – 1 = x – 2 = 0(*) nên
không có giá trị nào của x thỏa mãn (*) nên phương trình
2x 1 x 2 0− + − =
vô nghiệm
* Ngoài việc phân biệt cho học sinh các dạng toán cơ bản tôi còn đưa ra cho học sinh dạng bài
toán cần vận dụng sự linh hoạt và sáng tạo khi giải: .
Trang 18
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
• Dạng 5 :
( ) ( ) ( )
+ =A B C
x x x

* Phương pháp giải:
+ Xét dấu các biểu trong dấu giá trị tuyệt đối, phân khoảng bỏ giá trị tuyệt đối để giải.
+ Ngoài ra một số trường hợp ta có thể sử dụng tính chất
A B A B A.B 0=+ + ⇔ ≥
để giải
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a)
5 3 3 1− + + = −x x x

b)
3 11 8− + − =x x
Giải:
a)
5 3 3 1− + + = −x x x
(1)
+ Nếu x < -3 thì
5−x
= 5 – x và
x 3 3 x− = −
phương trình (1) trở thành:
(5 – x) + (3 – x) = 3x – 1

⇔
-5x = - 3

3
x
5
⇔ =
(không thuộc khoảng đang xét nên ta loại)
+ Nếu
3 x 5− ≤ <
thì
5−x
= 5 – x và
x 3 x 3− = −
phương trình (1) trở thành:
(5 – x) + (x – 3) = 3x – 1
⇔

-3x = - 9
x 3⇔ =
( thuộc khoảng đang xét nên ta nhận)
+ Nếu
x 5≥
thì
5−x
= x – 5 và
x 3 x 3− = −
phương trình (1) trở thành:
(x – 5) + (x – 3) = 3x – 1
⇔
x = - 1(không thuộc khoảng đang xét nên ta loại)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3
b)
3 11 8− + − =x x
+ Ngoài cách xét khoảng như trình bày ở ý a ta còn cách làm như sau:
- Ta thấy: x – 3 + x – 11 = 8 nên ta sử dụng tính chất
A B A B A.B 0
=
+ + ⇔ ≥
- Vậy
3 11 8− + − =x x

⇔
(x – 3)(11 – x)
0≥

⇔
3 x 11≤ ≤

Nghiệm của phương trình
3 11 8− + − =x x
là:
x [3; 11]∈
+ Nhận xét: Cách giải trên tuy nhanh nhưng chỉ sử dụng cho đối tượng khá, giỏi
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 19
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
Ví dụ 6: Giải phương trình sau
x 2 1 5− − =
( Bài tập này mở rộng cho học sinh khá giỏi)
Giải
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
x 2 1 5
− − =
⇔
x 2 1 5(1)
x 2 1 5(2)




− − =
− − = −
Giải 1:
x 2 1 5 x 2 6− − = ⇔ − =
x 2 6 (1')
x 2 6 (2')





− =
⇔
− = −
Giải 1':
x 2 6 x 8− = ⇔ =


x 8
x 8



=
⇔
= −
Giải 2':
x 2 6 x 4− = − ⇔ = −
Không tồn tại giá trị của x để
x 4= −
Giải 2:
x 2 1 5 x 2 4− − = − ⇔ − = −

Không tồn tại giá trị của x để
x 2 4− = −
Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8
+ Nếu bình phương hai vế thì ta phải thực hiệm 3 lần
2. Kết quả
Học kì I năm học 2008 – 2009 tôi đã vận dụng phương pháp nêu trên vào 4 lớp 10 mình phụ
trách và thu được kết quả tương đối khả quan như sau:

Bảng thống kê
Lớp Chất lượng học sinh sau khi sử dụng phương pháp
10A
1
Giỏi 7%; Khá 15%;
Trung bình 55%, Yếu – Kém 23%
10A
2
Giỏi 8%; Khá 13%;
Trung bình 49.1%, Yếu – Kém 29.9%
10A
3
Giỏi 5%; Khá 12%;
Trung bình 46.5%, Yếu – Kém 36.5%
10A
4
Giỏi 4.3%; Khá 10.6%;
Trung bình 48.3%, Yếu – Kém 36.8%
IV. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 20
1
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
Trên đây là một số phương pháp thường được áp dụng để giải các phương trình có chứa dấu
giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp nói trên phải được lựa chọn một cách sao
cho thích hợp. Mỗi một phương pháp nói trên không được quan trọng hoá và đề cao trong quá trình
giải phương trình vô tỉ. Điều quan trọng nhất là sử dụng phương pháp nào cho phù hợp và đạt kết quả
cao, nhanh nhất. Vấn đề này đòi hỏi người thầy có một kinh nghiệm tốt trong giảng dạy, phải biết
phối hợp một hay nhiều phương pháp cho thích hợp.
Một số phương pháp: “Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối” mà sau 10 năm tham
gia giảng dạy tôi tự rút ra được bài học kinh nghiệm quí báu sau:

- Thường xuyên khắc phục những sai lầm sau khi giải một phương trình có chứa dấu giá trị
tuyệt đối nói riêng và phương trình đại số nói chung có tác dụng giúp cho học sinh hiểu sâu, nắm
vững các kiến thức cơ bản, rèn các kĩ năng giải toán chính xác, lời giải phải ngắn gọn, rõ ràng.
- Hệ thống phương pháp giải cho từng dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, giúp
học sinh có được công cụ hữu hiệu khi trình bày một cách linh hoạt, hợp lý, tránh máy móc, rập
khuôn mất thời gian. Đặc biệt là giúp học sinh lựa chọn được cách giải hay cho một bài toán, hình
thành đức tính tư duy linh hoạt, làm việc có khoa học tránh sai lầm nghiêm trọng.
- Rèn cho học sinh khi gặp bất kì một phương trình nào đều định hướng được các thao tác:
quan sát, nhận dạng, đưa về phương trình có dạng quen thuộc, lựa chọn một phương pháp hợp lý và
kiểm tra kết quả sau khi giải.
- Luôn luôn ghi nhớ các kiến thức cơ bản, kĩ năng cần thiết cho mỗi loại phương trình, giúp
học sinh có một lời giải sáng tạo.
- Áp dụng phương pháp giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối cho các dạng phương
trình khác vẫn có hiệu quả tích cực và mang lại kết quả tốt.
Sự nghiệp đổi mới giáo dục và đào tạo, đòi hỏi mỗi giáo viên phải năng động, sáng tạo, tìm
tòi những biện pháp tốt nhất để đạt được hiệu quả cao. Chúng ta, mỗi thầy giáo, cô giáo hãy làm tròn
trọng trách của một “Kĩ sư tâm hồn” với đầy đủ trách nhiệm và lương tâm khi giáo dục thế hệ trẻ.
Tuy tôi đã có rất nhiều cố gắng nhưng chắc đề tài của tôi không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi trân trọng tất cả những ý kiến phê bình, đóng góp của cấp trên và
đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộng rãi
trong ngành.
Định An, ngày 12 tháng 04 năm 2010.
Người thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 21
1
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
Trần Quang Tú
PHẦN 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng có bản










−=
<



=
≥
⇔



=
≥
⇔=•
±=⇔=•
BA

A
BA
A
BA
B
BA
BABA
0
0
0
2

2). Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên
mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
11
2
=−+ xx
Giải
11
2
=−+ xx



=
=

⇔








−=∨=
=∨=
≤≤−
⇔









+−=−
−=−
≤≤−
⇔






−±=−
≥−
⇔
−=−⇔
0
1
21
10
11
11
11
11
)1(1
01
11
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
x
xx
xx
x
xx

x
xx
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình
( )
2
2 4 3 1x x x− + − =
Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
• Trường hợp 1:
0
1 2
x
x
≤


< ≤

ta có:
2 2
3 5
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x
±
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ =
.
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2:

0 1x
< ≤
ta có
2 2
1 5
(1) 4 3 1 0
2
x x x x x
− ±
⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 5
2
x
− +
=
thỏa mãn.
• Trường hợp 3: x > 2 ta có
2 2
1 29
(1) 4 3 7 0
2
x x x x x
− ±
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 29
2
x
− +

=
thỏa mãn.
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 22
1
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
1 5
2
1 29
2
x
x

− +
=



− +
=


.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
956
2
+−=− xxx
Giải
956
2

+−=− xxx



=
=
⇔




−+−=−
+−=−
⇔
3
1
956
956
2
2
x
x
xxx
xxx
Vậy: x= 1; x= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9
Giải
(|x|+ 1)

2
= 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với
0
≥
t
PT: (t+ 1)
2
= 4t + 9




−=
=
⇔=−−⇔
)(2
4
082
2
loait
t
tt
Với t= 4 thì |x|= 4
4±=⇔ x
Vậy x= 4; x= – 4
Ví dụ 5: Giải và biện luận |x
2
– 2x +m|+x=0
Giải

|x
2
– 2x +m|+x=0
m
mcóTa
mxx
mxx
x
xmxx
x
xmxx
41
49
)2(0
)1(03
0
2
0
2
2
1
2
2
2
2
−=∆
−=∆










=+−
=+−
≤
⇔



±=+−
≥−
⇔
−=+−⇔
Biện luận
+
2
411
2
493
0
m
x
m
xm
−−
=∨

−−
=≤
+ m> 0: Vô nghiệm
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1). 2 1 2 1 4x x− + + =

( 1)x = ±
7).
821
22
+−=− xxx

9
( )
2
x =
2). 2 3 4x x− + − =
1 9
( ; )
2 2
x =
8).
x
x
x
=
−
−
2

1
2

1 3
( )
2
x
±
=
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 23
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
3). 2 2 2 1 5x x+ + − =
(PTVN) 9).
5
232
23
=
−++
−−
xx
xx

23 3
( ; )
9 23
x = −
4).
243 −=+ xx
1
( 3; )

2
x = − −
10).
2
1 1
2
( 2)
x x
x x
− + +
=
−
(x=5)
6).
11
2
=+− xx
(x=0; – 1; 1) 11).
1223
2
+=+− xxx

( 5 21)x = ±
Bài 2: Giải các phương trình sau
2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 17 1
1) 2 2 ( ; ) 5) 2 2 1 ( 1; ; 1 2)
3 4 3

2) 2 2 1 ( 1;3;5) 6) 3 2 2 1 ( 5 21)
3) 4 3 3 ( 0; 5) 7) 12 2 ( 5; 7)
1 1 3 17
4) 2 3 ( 1; ; )
2 4
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x
− ±
− − = + = − − = − = − − ±
− − = = ± − + − = = ±
− + = + = + − = − − = ±
+
− = =
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
0224).2
13).1
2
=−+−−+
−=+
mmxxx
xmx
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x
2
– 2x + m| = x
2
+ 3x – m – 1

B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Các dạng cơ bản









>
≥
<
⇔










>−
<




>
≥
⇔



>
−<
⇔>•



<
>
⇔










<−
<




<
≥
⇔<<−⇔<•
<+−⇔<⇔<•
22
22
22
0
0
0
0
0
0
0
0))((
BA
B
B
BA
A
BA
A
BA
BA
BA
BA
B
BA
A

BA
A
BABBA
BABABABA
2). Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị
tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
- Dùng ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1241).2
3332).1
2
+≥−
−<−−
xx
xxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 24
Trường THPT Nguyễn Đáng GV: Ưng Hồng Diễm Châu
Giải
3332).1
2
−<−− xxx
52
23
31
50
31
06
032

05
032
3332
032
3332
032
2
2
2
2
2
2
2
2
<<⇔










>∨−<
<<−




<<
≥∨−≤
⇔












<+−−
<−−





<−
≥−−
⇔













−<++−
<−−





−<−−
≥−−
⇔ x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Vậy: 2< x< 5

1241).2 +≥− xx



≥
≤
⇔














≥
>





≤
≤

⇔










+≥+−
<−



+≥−
≥−
⇔
1
0
1
4
1
0
4
1
1241
041
1241

041
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Vậy
10 ≥≤ xhoacx
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
2 2
2 3x x a x x a− + ≤ − −
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0
5
0
( )
2
2 5 0
2
2 0
5

2 5 0
2
2 0
0
2
x x a x x a x x a x x a x x x a
x
I
x x
x a
x a
x
x x
II
x a
x
x a
− + ≤ − − ⇔ − + − − − ≤ ⇔ − + ≤


≤ ≤






− ≤

≥ −





+ ≥



⇔ ⇔




≥

− ≥










+ ≤

≤







≤ −


• Trường hợp 1:
5
2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2
2
a a I x II x a− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
5
0
2
2
x
x a

≤ ≤


≤ −

• Trường hợp 2:
5 5 5
0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0
2 4 2

a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤
.Vậy nghiệm hệ là
5
2
2
0
a x
x

− ≤ ≤


≤

• Trường hợp 3:
0
5 5
2 ( ) ;( )
5
2 4
2
2
x
a a I VN II
x a
≤


− ≥ ⇔ ≤ − ⇒ ⇔


≤ ≤ −

.Vậy nghiệm hệ là
0
5
2
2
x
x a
≤



≤ ≤ −

III). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 25