PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH có ẩn ở TRONG dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

PHẦN 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở
TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng có bản










−=
<



=
≥
⇔



=
≥
⇔=•

±=⇔=•
BA
A
BA
A
BA
B
BA
BABA
0
0
0
2

2). Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi
khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
11
2
=−+
xx
Giải
11
2
=−+
xx




=
=
⇔








−=∨=
=∨=
≤≤−
⇔









+−=−
−=−
≤≤−
⇔






−±=−
≥−
⇔
−=−⇔
0
1
21
10
11
11
11
11
)1(1
01
11
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
x

xx
xx
x
xx
x
xx
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình
( )
2
2 4 3 1x x x− + − =
Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
• Trường hợp 1:
0
1 2
x
x
≤


< ≤

ta có:
2 2
3 5
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x
±

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ =
.
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2:
0 1x< ≤
ta có
2 2
1 5
(1) 4 3 1 0
2
x x x x x
− ±
⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 5
2
x
− +
=
thỏa mãn.
• Trường hợp 3: x > 2 ta có
2 2
1 29
(1) 4 3 7 0
2
x x x x x
− ±
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 29

2
x
− +
=
thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
1 5
2
1 29
2
x
x

− +
=



− +
=


.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
956
2
+−=−
xxx
Giải
956

2
+−=−
xxx



=
=
⇔




−+−=−
+−=−
⇔
3
1
956
956
2
2
x
x
xxx
xxx
Vậy: x= 1; x= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9

Giải
(|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với
0
≥
t
PT: (t+ 1)
2
= 4t + 9




−=
=
⇔=−−⇔
)(2
4
082
2
loait
t
tt
Với t= 4 thì |x|= 4
4
±=⇔
x
Vậy x= 4; x= – 4

Ví dụ 5: Giải và biện luận |x
2
– 2x +m|+x=0
Giải
|x
2
– 2x +m|+x=0
m
mcóTa
mxx
mxx
x
xmxx
x
xmxx
41
49
)2(0
)1(03
0
2
0
2
2
1
2
2
2
2
−=∆

−=∆









=+−
=+−
≤
⇔



±=+−
≥−
⇔
−=+−⇔
Biện luận
+
2
411
2
493
0
m
x

m
xm
−−
=∨
−−
=≤
+ m> 0: Vô nghiệm
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1). 2 1 2 1 4x x− + + =

( 1)x = ±
7).
821
22
+−=−
xxx

9
( )
2
x =
2). 2 3 4x x− + − =
1 9
( ; )
2 2
x =
8).
x
x

x
=
−
−
2
1
2

1 3
( )
2
x
±
=
3). 2 2 2 1 5x x+ + − =
(PTVN) 9).
5
232
23
=
−++
−−
xx
xx

23 3
( ; )
9 23
x = −
4).

243
−=+
xx
1
( 3; )
2
x = − −
10).
2
1 1
2
( 2)
x x
x x
− + +
=
−
(x=5)
6).
11
2
=+−
xx
(x=0; – 1; 1) 11).
1223
2
+=+−
xxx

( 5 21)x = ±

Bài 2: Giải các phương trình sau
2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 17 1
1) 2 2 ( ; ) 5) 2 2 1 ( 1; ; 1 2)
3 4 3
2) 2 2 1 ( 1;3;5) 6) 3 2 2 1 ( 5 21)
3) 4 3 3 ( 0; 5) 7) 12 2 ( 5; 7)
1 1 3 17
4) 2 3 ( 1; ; )
2 4
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x
− ±
− − = + = − − = − = − − ±
− − = = ± − + − = = ±
− + = + = + − = − − = ±
+
− = =
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
0224).2
13).1
2
=−+−−+
−=+
mmxxx

xmx
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x
2
– 2x + m| = x
2
+ 3x – m – 1
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Các dạng cơ bản









>
≥
<
⇔











>−
<



>
≥
⇔



>
−<
⇔>•



<
>
⇔











<−
<



<
≥
⇔<<−⇔<•
<+−⇔<⇔<•
22
22
22
0
0
0
0
0
0
0
0))((
BA
B
B
BA
A
BA
A

BA
BA
BA
BA
B
BA
A
BA
A
BABBA
BABABABA
2). Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt
đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
- Dùng ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1241).2
3332).1
2
+≥−
−<−−
xx
xxx
Giải
3332).1
2
−<−−
xxx
52

23
31
50
31
06
032
05
032
3332
032
3332
032
2
2
2
2
2
2
2
2
<<⇔











>∨−<
<<−



<<
≥∨−≤
⇔












<+−−
<−−





<−
≥−−

⇔












−<++−
<−−





−<−−
≥−−
⇔
x
xx
x
x
xx
xx
xx

xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Vậy: 2< x< 5
1241).2
+≥−
xx



≥
≤
⇔















≥
>





≤
≤
⇔










+≥+−
<−



+≥−
≥−
⇔
1
0

1
4
1
0
4
1
1241
041
1241
041
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Vậy
10
≥≤
xhoacx
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
2 2
2 3x x a x x a− + ≤ − −
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2
2
( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0
5
0
( )
2
2 5 0
2
2 0
5
2 5 0
2
2 0
0
2
x x a x x a x x a x x a x x x a
x
I
x x
x a
x a
x
x x
II
x a
x
x a
− + ≤ − − ⇔ − + − − − ≤ ⇔ − + ≤



≤ ≤






− ≤

≥ −




+ ≥



⇔ ⇔




≥

− ≥











+ ≤

≤






≤ −


• Trường hợp 1:
5
2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2
2
a a I x II x a− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
5
0
2
2
x

x a

≤ ≤


≤ −

• Trường hợp 2:
5 5 5
0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0
2 4 2
a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤
.Vậy nghiệm hệ là
5
2
2
0
a x
x

− ≤ ≤


≤

• Trường hợp 3:
0
5 5
2 ( ) ;( )
5

2 4
2
2
x
a a I VN II
x a
≤


− ≥ ⇔ ≤ − ⇒ ⇔

≤ ≤ −

.Vậy nghiệm hệ là
0
5
2
2
x
x a
≤



≤ ≤ −

III). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
2
2

2
2 2
2
2 2
1) 6 ( 6 1 7)
2) 5 6 ( 1 2 3 6)
3) 5 4 2 ( 2 2 4)
1 1
4) 3 2 1 ( )
4 2
5) 5 9 6 (1 3)
6) 2 4 0 ( 2 1)
1
7) 1 2 )
2
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
− − < < < +
− < − < < ∨ < <
− + > − < + ∨ ≥
− − < − − < < −
− + < − < <
− + − > > ∨ < −
− − < > −

8) 1 2 3 ( 0 2)
2
9) 3 5 3 ( )
3
x x x x x
x x x x
− + − > − < ∨ >
− + − < >
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
2
2
2
2
2
2
1). 2 4 2 , ( 3 5) 6). 2 (0 1)
3
4 2
2). 1 ,( ) 7). 1 ( 5 2 1)
2 5 2
2 5 3 1
3). 1 0 (3 2) 8). 3 ( 2 1)
3 1
2 2 3
10 3 1 1 3
4). 3 (3 ) 9). 1 ( )
5 6 3 1 4 2 4 2
5).
x x
x x x x x x

x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
+ −
≤ − + − ≤ ∨ ≥ ≥ < ≤
+ +
−
≤ ≥ − > − < < − ∨ > −
+ + +
− − +
+ > ≠ > < < − ∨ > −
− + +
− −
≥ < ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
− + +
2
3
1 ( 4 1 1 4)
4
x
x x x
x

< ≤ − ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥
−
C). MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
I). PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
( )
2 2
2 1 0 1x x m x m− − − + =
có nghiệm.
Giải:Đặt
1 0t x= − ≥
ta có t
2
-1=x
2
-2x nên pt (1) trở thành:t
2
-mt+m
2
-1=0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm
0t ≥
• Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0
2
0 1 0 1P m m⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±
.
• Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 0 1 0 1 1t t P m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ − < <

.
• Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm
2
2
1 2
2 3 2 3
3 3
3 4 0
0
1
2 3
, 0 0 1 0 1 .
1
3
0 0
0
m
m
m
t t P m m
m
S m
m

−
≤ ≤



− + ≥

∆ ≥


>



> ⇔ > ⇔ − > ⇔ ⇔ < <
  

< −

  
> >



>


Đáp số:
2 3
1
3
m− ≤ ≤
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
2 1x x m x− + = −
a) Giải phương trình với m=0.
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành
2
1 (*)t m t+ − =
a) Với m = 0 ta có
2 2
3 5
0
0 0
1 5
2
1 5
2
1 1 0
1 5
2
2
t
x
t t
t
t t t t
t
x

+
≥

=

≥ ≥

 
± +


⇔ ⇔ ⇔ = ⇒
  
± ±

− = ± ± − =
=
+
 

=



b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
2 2
0 0
(*)
1 1 0
t t
t m t t t m
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
+ − = ± ± + − =
 

.Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi
phương trình t
2
– t + m – 1 = 0 và t
2
+ t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt. Nhưng phương
trình t
2
+ t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
2
2
2
1). 2 1 0
1 1
2).4 2 6 0
3). 1 0
4). 4 2 2 0
x mx x m
x x
x
x
x x m
x x x m m
− + − + =
+ + − − =
+ + =
+ − − + − =

II). PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ : Thường sử dụng phương pháp này khi tham số đứng độc lập.
Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2x x m− =
.
Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số
2 ;y x x y m= − =
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
) ( 2) 1
) 2 1
)( 3) 1
a x x x m
b x x x m
c x x m
+ + + =
− + − + =
− − =
.