Bài toán góc

Bài toán góc.
1) Góc giữa hai đường thẳng:
a) Khi a, b đồng phẳng:
-Nếu a và b cùng phương thì góc (a, b) = 0
0
-Nếu a, b cắt nhau khi đó chúng tạo ra 4 góc, góc có số đo bé nhất là
góc giữa hai đường thẳng
b) Khi a, b chéo nhau. Từ một điểm O dựng a’ cùng phương với a, b’ cùng
phương với b. Góc (a, b) là góc (a’, b’).
c) Nếu
1 2
,u u
ur uur
là vectơ chỉ phương của a, b, thì
( )
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos , cos ,
.
u u
a b u u
u u
= =
ur uur
ur uur
ur uur
.
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

a) Khi a và mp(P) vuông góc thì góc (a, P) = 90
0
.
b) Khi a và mp(P) không vuông góc thì góc (a, P) là góc giữa a và hình
chiếu a’ của nó trên mp(P).
c) Nếu
a
u
uur
là vectơ chỉ phương của a,
P
n
uur
là vectơ pháp tuyến của (P), thì
( )
( )
.
sin , cos , .
.
a P
a P
a P
u n
a P u n
u n
= =
uur uur
uur uur
uur uur
3) Góc giữa hai mặt phẳng.

a) Góc giữa hai mp(P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mp này.
b) Lấy O thuộc giao tuyến m giữa hai mp, trong mp(P), dưng đường thẳng
a qua O và vuông góc m, trong (Q) dựng b qua O và vuông góc m, khi
đó góc giữa hai mp cũng bằng góc (a, b).
c) Cũng có thể làm như sau.
Lấy A thuộc mp(P), chiếu A xuống (Q) thành H, chiếu H lên giao tuyến
m của hai mp là O. Góc giữa hai mp là góc
·
A OH
.
d) Nếu
1 2
,n n
ur uur
là vectơ pháp tuyến của (P), (Q) thì
( )
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos , cos ,
.
n n
P Q n n
n n
= =
ur uur
ur uur

ur uur
.
4) Công thức hình chiếu
j
= góc(P, Q) thì S
A’B’C’
= S
ABC
cos
j
.
5) Bài tập
Bài 1 Tính góc giữa đường thẳng
3 1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ − −
= =
và mỗi trục toạ độ.
Bài 2 Cho
1
1
: 3 2
2
x t
d y t
z t
= +



= +


=

,
2
1
: 2
3 2
x at
d y t
z t
= − +


= −


= +

và
1 2
( , )d d
ϕ
=
a) Tính a, biết
4

cos
9
ϕ
=
. b) Tìm gía trị nhỏ nhất của
ϕ
.
Bài 3 Lập phương trình đường thẳng d qua O và tạo với trục hoành trục tung
các góc đều bằng 60
0
.
Bài 4 Cho hai đường thẳng
1 2
1 1 3 2 1 4
: , :
2 1 4 1 3 2
x y z x y z
d d
− + − − + −
= = = =
−
a) Tính góc giữa d
1
và d
2
.
b) Lập phương tình đường thẳng d
3
qua O cắt và tạo với d
1

một góc
ϕ
với
34 7
cos
147
ϕ
=
.
Bài 5 Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0, (Q): mx – 2y + z + m – 1 = 0.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng khi m = 1.
b) Xác đinh m để cosin góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng
1
3 3
.
c) Tìm m để góc giữa (P) và (Q) bé nhất. (Bất đẳng thức Bunhiacopski,
hay còn gọi Cauchy-Schwarz:
2 2 2 2
.ax by a b x y+ ≤ + +
, đẳng thức
xảy ra khi
x y
a b
=
).
Bài 6 Lập phương trình mp(P):
a) Chứa Oz và tạo với mp(Q) :
2 5 0x y z+ − =
một góc 60
0

.
b) Đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 60
0
.
Bài 5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
Gọi C
1
là trung điểm CC’.
a) Tính góc giữa C
1
B và A’B’ và góc giữa hai mp(C
1
AB) và (ABC)
b) Một mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc
j
. Tính diện tich thiết
diện theo a và
j
.
Bài 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, đường cao
SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mp(P)
đi qua M và vuông góc AA’. Đặt AM = x.
a) Xác định thiết diện giữa (P) và hinh chóp.
b) Xác đinh vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = b và
SA vuông góc với mp đáy.
a) Tính góc giữa SB và đáy.
b) Tính góc giữa SC và (SAB).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Tính góc giữa (SBC) và (SDC).

Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA’ = c.
a) Gọi
, ,
a b g
là góc giữa AC’ với AB, AD, AA’. chứng minh
2 2 2
cos cos cos 1
a b g
+ + =
b) Gọi x, y, z là góc giữa AC’ và mp(ABCD), mp(ABB’A’),
mp(ADD’A’). Chứng minh
cos cos cos 6x y z+ + £