Chuyên Đề Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan.DOC

Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
I-KHÁI NIỆM VỀ TÂM TỈ CỰ:
Bài toán 1 : (Bài toán về tâm tỉ cự của hai điểm ).
Cho hai điểm A,B và hai số thực α,β thoả mãn α +
β ≠ 0.
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

. . 0IA IB
α β
+ =
uur uur r
.
2) Chứng minh rằng : với mọi điểm M ta luôn có :

( )
. .MA MB MI
α β α β
+ = +
uuur uuur uuur
.
Bài giải : 1) Ta có :

( )
. . 0 0IA IB IA IA AB
α β α β
+ = ⇔ + + =
uur uur r uur uur uuur r
.

( )
. 0IA AB

α β β
⇔ + + =
uur uuur r
.
Do α + β ≠ 0 (theo giả thiết ). Nên :

. . 0IA IB
α β
+ =
uur uur r

( )
. 0IA AB
α β β
⇔ + + =
uur uuur r
.

( )
. .AI AB
α β β
⇔ + =
uur uuur
.
Hay :
AI AB
β
α β
=
+

uur uuur
(1).
Vế trái của (1) là một vectơ hoàn toàn xác định,nên từ (1) ta suy ra tồn tại
duy nhất điểm I thoả mãn (1) tức là thoã mãn yêu cầu bài toán.

2) Với mọi điểm M ta có :

( ) ( )
. .MA MB MI IA MI IB
α β α β
+ = + + +
uuur uuur uuur uur uuur uur
.

( )
MI IA IB
α β α β
= + + +
uuur uur uur
.

( )
MI
α β
= +
uuur
. (đpcm).
Nhận xét : Điểm I xác định duy nhất từ hệ thức
. . 0IA IB
α β

+ =
uur uur r
với các số
thực α , β thoả mãn điều kiện α + β ≠ 0 được gọi là tâm tỉ cự của hai điểm
A,B ứng với bộ số (α;β).Tâm tỉ cự là khái niệm mở rộng của các khái niệm
thông thường .
Chẳng hạn : Khi α = β ≠ 0, thì hệ thức :

. . 0IA IB
α β
+ =
uur uur r
trở thành
0IA IB+ =
uur uur r
hay I là trung điểm của đoạn thẳng
AB.
Khi α ≠ 0 còn β = 0 thì hệ thức
. . 0IA IB
α β
+ =
uur uur r
trở thành
. 0IA I A
α
= ⇔ ≡
uur r
hay I trùng với
điểm A.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
1
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Khái niệm tâm tỉ cự được coi là mở rộng của khái niệm trung điểm,đầu mút
của một đoạn thẳng.Bằng cách chọn bộ α , β thích hợp hệ thức trên còn cho
ta nhiều khái niệm khac nữa.
Trong trường hợp α = β ≠ 0 thì công thức :
( )
. .MA MB MI
α β α β
+ = +
uuur uuur uuur
trở thành
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
đây là một công thức quen
thuộc mà ta đã biết.
Bài toán 2 : (Bài toán về tâm tỉ cự của ba điểm ).
Cho ba điểm A,B,C và ba số thực
, ,
α β γ
thoả mãn
0
α β γ
+ + ≠
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =

uur uur uur r
.
2) Chứng minh rằng : với mọi điểm M ta luôn có :

( )
. . .MA MB MC MI
α β γ α β γ
+ + = + +
uuur uuur uuuur uuur
.
Bài toán này được giải quyết hoàn toàn tương tự như bài toán 1.
Ta có nhận xét sau .

Nhận xét: Điểm I xác định duy nhất từ hệ thức
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
với
các số thực
( )
, ,
α β γ
thoả mãn điều kiện
0
α β γ
+ + ≠
được gọi là tâm tỉ cự
của hai điểm A,B,C ứng với bộ số
( )

, ,
α β γ
.
Trong trường hợp
0
α β γ
= = ≠
thì đẵng thức :
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
trở thành
0IA IB IC I G+ + = ⇔ ≡
uur uur uur r
Hay I là trọng tâm của tam giác

ABC .
Trong trường hợp
0, 0
β γ α
= = ≠
đẵng thức :
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
trở
thành :
. 0IA I A

α
= ⇔ ≡
uur r
.
Trong trường hợp :
0, 0
α β γ
= ≠ =
thì đẵng thức :
. . . 0IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
trở thành :
0IA IB+ =
uur uur r
hay I là trung điểm của AB.
Như vậy tuỳ thuộc vào các cách chọn bộ
( )
, ,
α β γ
mà tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C có thể là trọng tâm của ABC ,là một trong ba điểm A,B,C
hoặc là trung điểm của một trong ba đoạn thẳng AB,BC,CA
Khi
0
α β γ
= = ≠
thì hệ thức
( )

. . .MA MB MC MI
α β γ α β γ
+ + = + +
uuur uuur uuuur uuur
trở thành :
3MA MB MC MI+ + =
uuur uuur uuuur uuur
với moi điểm M,đây là một đẵng thức quen thuộc mà ta
đã biết.
Bài toán 3 : (Bài toán về tâm tỉ cự của n điểm ).
Cho n điểm
1 2
, , ,
n
A A A
và n số thực
1 2
, , ,
n
k k k
thoả mãn :

1 2
0
n
k k k+ + + ≠
.
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :

1 1 2 2

. . . 0
n n
k IA k IA k IA+ + + =
uur uuur uuur r
.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
2
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
2) Chứng minh rằng : với mọi điểm M ta luôn có :
( )
1 1 2 2 1 2
. . .
n n n
k MA k MA k MA k k k MI+ + + = + + +
uuuur uuuur uuuur uuur
.
Bài giải : 1) Ta có :
1 1 2 2
. . . 0
n n
k IA k IA k IA+ + + =
uur uuur uuur r

( ) ( )
1 1 2 1 1 2 1 1
. . . 0
n N
k IA k IA A A k IA A A⇔ + + + + + =
uur uur uuuur uur uuuuur r

( )
1 2 1 2 1 2 3 1 3 1
. . 0
n n n
k k k IA k A A k A A k A A⇔ + + + + + + + =
uur uuuur uuuur uuuur r

( )
1 2 1 2 1 2 3 1 3 1
. .
n n n
k k k A I k A A k A A k A A⇔ + + + = + + +
uuur uuuur uuuur uuuur

( )
2 1 2 3 1 3 1
1
1 2
. .

n n
n
k A A k A A k A A
A I
k k k
+ + +
⇔ =
+ + +
uuuur uuuur uuuur

uuur
(1).
Vế trái của đẵng thức (1) là một véc tơ hoàn toàn xác định ,nên từ (1) ta suy
ra tồn tại và duy nhất một điểm I thoả mãn đẵng thức (1) ,hay tồn tại duy
nhất một điểm I thoả mãn đẵng thức
1 1 2 2
. . . 0
n n
k IA k IA k IA+ + + =
uur uuur uuur r
(đpcm).
2) Áp dụng đẵng thức trên với mọi M ta có :

1 1 2 2
. . . 0
n n
k IA k IA k IA+ + + =
uur uuur uuur r

( ) ( ) ( )
1 1 2 2
0
n n
k IM MA k IM MA k IM MA⇔ + + + + + + =
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur r

( )
1 2 1 1 2 2
. . 0
n n n

k k k IM k MA k M A k MA⇔ + + + + + + + =
uuur uuuur uur uuuur r

( )
1 1 2 2 1 2
. .
n n n
k MA k M A k MA k k k M I⇔ + + + = + + +
uuuur uur uuuur uur
. (đpcm).
Từ ba bài toán nêu trên ta có định nghĩa về tâm tỉ cự như sau :
Định nghĩa : Cho n điểm
1 2
, , ,
n
A A A
và n số thực
1 2
, , ,
n
k k k
thoả mãn điều
kiện :
1 2
0
n
k k k+ + + ≠
.Khi đó nếu tồ tại duy nhất một điểm G sao cho :

1 1 2 2

. . . 0
n n
k GA k GA k GA+ + + =
uuur uuuur uuuur r
Thì G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A
i
gắn với các hệ số k
i
.
Trong trường hợp các hệ số k
i
bằng nhau
( )
1,i n=
thì G được gọi là trọng
tâm của hệ n điểm A
i
,
( )
1,i n=
;
II- MỘT VÀI BÀI TOÁN LIÊN QUAN :
Bài toán 1 : Cho ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi I là
tâm đường tròn nội tiếp ABC. Chứng minh rằng I là tâm tỉ cự của hệ ba
điểm A,B,C ứng với bộ số a,b,c

Bài giải : Ba đường phân giác
1 1 1
, ,AA BB CC
cắt nhau tại I là tâm

đường tròn nội tiếp ABC .
Vẻ hình bình hành IB’CA’.
Theo quy tắc hình bình hành ta có :

' 'IC IA IB= +
uur uuur uuur
.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
3
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Trong BB’C : IA
1
// B’C . Theo định lý Talet ta có :

1
1
' ACIB
IB A B
=
(1).
Vì AA
1
là đường phân giác nên ta có :

1
1
AC AC b
A B AB c
= =

(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra :

1
1
' A CIB AC b
IB A B AB c
= = =

'IB b
c
IB
= −
uuur
uur
(do
IB
uur
và
'IB
uuur
đối nhau ) (3) .Lập luận hoàn toàn tương tự ta
có:

'IA a
c
IA
= −
uuur
uur

(4).
Từ (3) và (4) ta suy ra :
' '
b a
IA IB IB IA
c c
+ = − −
uuur uuur uur uur

' '
b a
IC IA IB IB IA
c c
⇒ = + = − −
uur uuur uuur uur uur

0aIA bIB cIC⇔ + + =
uur uur uur r
Rõ ràng a + b + c ≠ 0 nên từ đẵng thức trên ta suy ra I là tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C ứng với bộ số a,b,c . (đpcm).
Bài toán 2 : Cho ABC không vuông.Chứng
minh rằng trực tâm H của ABC là tâm tỉ cự
của bộ ba điềm A,B,C ứng với bộ số :
(tanA ; tanB ; tanC).

Bài giải :
Các đường cao của ABC cắt nhau tại trực
tâm H .Vẻ hình bình hành HB’CA’
Trong BB’C ta có HA
1

// B’C.
Suy ra :
1
1
' ACHB
HB A B
=
Ta lại có :
A
1
C = AA
1
.cot C.
A
1
B = AA
1
.cot B.
Do đó :

1 1
1 1
AA .cot' tan
AA .cot tan
AC CHB B
HB A B B C
= = =

tan
' .

tan
B
HB HB
C
⇒ = −
uuuur uuur
(1).
(vì
HB
uuur
và
'HB
uuuur
đối nhau).
Hoàn toàn tương tự ta có :

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
4
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

tan
' .
tan
A
HA HA
C
= −
uuuur uuur
(2).
Từ (1) và (2) ta có :

tan tan
' ' . .
tan tan
A B
HA HB HA HB
C C
+ = − −
uuuur uuuur uuur uuur


tan tan
' ' . .
tan tan
A B
HC HA HB HA HB
C C
⇔ = + = − −
uuur uuuur uuuur uuur uuur


tan . tan . tan . 0A HA B HB C HC⇔ + + =
uuur uuur uuur r
(3).
Ta luôn có :
tanA + tanB + tanC ≠ 0 ,do đó từ định nghĩa và đẵng thức (3) ta
suy ra H là tâm tỉ cự của hệ ba điểm A,B,C ứng với bộ số :
(tanA ; tanB ; tanC)
Trong trường hợp ABC có một góc tù được chứng minh hoàn toàn tương
tự.

Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Điểm I
là điểm thuộc cạnh GC sao cho : IC = 3GC.
Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có hệ thức :

4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
Bài giải :
Theo giả thiết,G là trọng tâm của

ABD nên :
G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,D ứng
với bộ số (1;1;1).Nghĩa là :

3IA IB ID IG+ + =
uur uur uur uur
(1)
Mặt khác :
3 3IC IG IC IG= ⇒ = −
uur uur
(Do
IC
uur
và
IG
uur
là hai vectơ đối nhau).
Thế
3IC IG= −
uur uur
vào biểu thức (1) ta có :

0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur r
.
Do đó với mọi điểm M ta luôn có :

0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur r
0IM MA IM MB IM MC IM MD⇔ + + + + + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur r
4 0IM MA MB MC MD⇔ + + + + =
uuur uuur uuur uuuur uuuur r
4MA MB MC MD MI⇔ + + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
,(đpcm).
Bài toán 4 :Cho

ABC, M là một điểm nằm trong tam giác.Chứng minh
rằng M là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số (S
a
,S
b
,S
c
).Trong đó: S
a
=
S
MBC
; S

b
= S
MCA
; S
c
= S
MAB
.

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
5
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Bài giải : Giả sử AM,BM,CM kéo dài cắt BC,CA,AB lần lượt tại
A
1
,B
1
,C
1
.Dựng hình bình hành MB’CA’.Khi đó ta có :
' 'MC MA MB= +
uuuur uuuur uuuur
(1).Kẻ
AH BM⊥
và
CK BM⊥
.Theo
định lý Talet ta có :
1 1
'AB M CB B∆ ∆:

1
1
' CBB C
MA AB
⇒ =
(2)
1 1
AB h CB K∆ ∆:
1
1
CBCK
AH AB
⇒ =
(3)
Từ (2) và (3) ta suy ra :
1
1
' CBB C CK
MA AB AH
= =
(4).
Do
' 'B C MA
MA MA
=
(vì MA’ = B’C ) ;
MBC a
MAB c
S S
CK

AH S S
∆
∆
= =
'
' . '
a a a
c c c
S S S
MA
MA MA MA MA
MA S S S
⇒ = ⇒ = ⇒ = −
uuuur uuur
(5).(do
MA
uuur
và
'MA
uuuur
ngược hướng)
Lập luận hoàn toàn tương tự ta có :
'
b
c
S
MB MB
S
= −
uuuur uuur

(6).
Thay (5) và (6) vào (1) ta được :
' '
a b
c c
S S
MC MA MB MA MB
S S
= + = − −
uuuur uuuur uuuur uuur uuur
hay
. . . 0
a b c
S MA S MB S MC+ + =
uuur uuur uuuur r
(7).
Mặ khác: S
a
+ S
b
+ S
c
≠ 0 ,nên từ đẵng thức (7) ta suy ra M là tâm tỉ cự của
ba điểm A,B,C ứng với bộ số (S
a
,S
b
,S
c
). (đpcm).

Nhận xét : Qua các bài toán trên ta thấy rằng khái niệm tâm tỉ cự rất đa
dạng.Có thể kết luận rằng với mị điểm M nằm trong tan giác ABC đều có thể
xem là tâm tỉ cự của ba đỉnh A,B,C ứng với một bộ số nào đó.
 Từ bài toán trên ta có thể suy ra được nhiều kết quả đã biết.Chẳng hạn :
Nếu
M G
≡
(G là trọng tâm của tam giác ABC )thì khi đó : S
a
= S
b
= S
c
=
3
S
Và do đó G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,C ứng với bộ (1;1;1).
Nếu
M I≡
(I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) ,vì :

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
6
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

1 1 1
, ,
2 2 2
a b c
S ar S br S cr= = =

Khi đó : I là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,C ứng với bộ số (a,b,c).
Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì mọi điểm M nằm trong tam giác đều
là tâm tỉ cự của ba đỉnh A,B,C theo một bộ số (x;y;z) với x,y,z lần lượt là
khoảng cách từ M xuống các cạnh AB,BC,CA. (học sinh có thể tự chứng
minh nhận xét này ) .
Bài toán 5 : Cho tam giác ABC .
1)Hãy dựng điểm I là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số (3;-2;1).
2)Chứng minh rằng đường thẳng nối hai điểm MN được xác định từ hệ thức
3 2MN MA MB MC= − +
uuuur uuur uuur uuuur
luôn đi qua một điểm cố định.
3) Tìm quỹ tích của M sao cho:
3 2MA MB MC MB MA− + = −
uuur uuur uuuur uuur uuur
.
4)Tìm quỹ tích của M sao cho :
2 3MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur
.
5) Tìm quỹ tích của M sao cho:
2 4MA MB MB MC+ = −
uuur uuur uuur uuuur
.

Bài giải: 1) Điểm I là tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C ứng với bộ số (3;-2;1) nên điểm
I cần tìm yhoả mãn hệ thức sau :

3 2 0IA IB IC− + =

uur uur uur r
( )
2 0IA IB IA IC⇔ − + + =
uur uur uur uur r
2 2 0BA IE⇔ + =
uuur uur r

(Với E là trung điểm của đoạn AC).
IE AB⇔ =
uur uuur
.
Suy ra I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABEI (với E là trung điểm của AC).
2)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :
3 2 (3 2 1)MA MB MC MI− + = − +
uuur uuur uuuur uuur
3 2 2MA MB MC MI⇔ − + =
uuur uuur uuuur uuur
Suy ra :
3 2 2MN MA MB MC MI= − + =
uuuur uuur uuur uuuur uuur
hay
2MN MI=
uuuur uuur
.
Do đó ba điểm M,N,I luôn thẳng hàng ,hay mọi đường thẳng nối hai điểm
M,N đều đi qua một điểm cố điịnh. (đpcm).
3)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta suy ra :
3 2 2MA MB MC MI− + =
uuur uuur uuuur uuur

Do đó :

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
7
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

3 2MA MB MC MB MA− + = −
uuur uuur uuuur uuur uuur
2MI AB⇔ =
uuur uuur
2MI AB
⇔ =
2
AB
MI⇔ =
.
Vậy quỹ tích điểm M là đường
tròn tâm I có bán kính bằng
2
AB
.
4)Gọi G là trọng tâm của

ABC .
Và F là trung điểm của cạnh BC.Ta có :

MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
.

2MB MC MF+ =
uuur uuuur uuur
.
Do đó :
2 3MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur

2 3 3 2MG MF⇔ =
uuuur uuur
6 6MG MF MG MF
⇔ = ⇔ =
.
Suy ra quỹ tích của M chính là đường
Trung trực của đoạn thẳng GF với G là
trọng tâm của

ABC ,và F là trung điểm của BC.
5) Gọi P là tâm tỉ cự của hai
điểm A,B ứng với bộ số
(2;1),và K là trung điểm của
canh AB.Khi đó P thoả mãn
đẵng thức véctơ sau :
2 0PA PB+ =
uuur uuur r

( )
0PA PA PB⇔ + + =
uuur uuur uuur r
2 0PA PK⇔ + =
uuur uuur r

.
Tương tự gọi Q là tâm tỉ cự của
hai điểm B,C ứng với bộ số
(4;-1).Khi đó Q thoả mãn đẵng thức véctơ sau :

4 0QB QC− =
uuur uuur r

( )
3 0QB QB QC⇔ + − =
uuur uuur uuur r
3 0QB CB⇔ + =
uuur uuur r
hay
1
3
QB BC=
uuur uuur
.
Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :

( )
2 2 1 3MA MB MP MP+ = + =
uuur uuur uuur uuur
;

( )
4 4 1 3MB MC MQ MQ− = − =
uuur uuuur uuuur uuuur
;

Từ đẵng thức :
2 4MA MB MB MC+ = −
uuur uuur uuur uuuur
ta suy ra :

3 3MP MQ=
uuur uuuur
Hay MP = MQ .

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
8
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
Do đó quỹ tích điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC.
1) Xác định điểm I sao cho nó là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng
với bộ số : (1;3;-2).
Xác định điểm D sao cho nó là tâm tỉ cự của hai điểm B,C ứng với
bộ số : (3;-2).
2) Chứng minh rằng A,I,D thẳng hàng .
3) Gọi E là trung điểm của AB và N là một điểm sao cho :
AN k AC=
uuur uuur

hãy xác định k sao cho AD,EN,BC đồng quy.
4) Tìm quỹ tích điểm M sao cho :

3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − − − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
;
Bài giải : 1) Giả sử I là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số

(1;3;-2) ,E là trung điểm của AB.
Khi đó I thoả mãn đẵng thức véctơ sau :

3 2 0IA IB IC+ − =
uur uur uur r


( )
2 0IA IB IB IC⇔ + + − =
uur uur uur uur r

2 2 0IE CB IE BC⇔ + = ⇔ =
uur uuur r uur uuur
Vậy I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
BCEI.
Gọi D là tâm tỉ cự của hai điểm B,C ứng với bộ số (3;-2).Khi đó D thoả
mãn đẵng thức sau :
3 2 0DB DC− =
uuur uuur r

( )
2 0DB DB DC⇔ + − =
uuur uuur uuur r
2 0 2DB CB DB BC⇔ + = ⇔ =
uuur uuur r uuur uuur
Vậy B,C,D cùng nằm trên một đường thẳng,B nằm giữa C,D và
DB = 2BC
2) Chứng minh A,I,D
thẳng hàng:
E là trung điểm của AB

2IE IA IB⇒ = +
uur uur uur
.Thay
2 2IE BC DB= =
uur uuur uuur

vào đẵng thức trên ta được :
DB IA IB DB IB IA DI IA= + ⇒ − = ⇔ =
uuur uur uur uuur uur uur uuur uur

suy ra A,I,D thẳng hàng. (đpcm).
3)Theo chứng minh trên ta có AD và BC giao nhau tại D .Giả
sử DE cắt AC tại N,N thuộc AC,theo giả thiết
AN k AC=
uuur uuur
,do đó k > 0 .Kẻ
BH song song với AC, H thuộc DN.

HEB NEA BH NA∆ = ∆ ⇒ =
.
Theo định lý Talet ta có :
2 2
3 3
BH DB
BH CN
CN DC
= = ⇒ =
.

2 2

3 5
AN NC AC⇒ = =

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
9
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
( Vì
2 2 5 5
3 3 3 3
AN NC AN NC NC NC NC AC NC= ⇔ + = + = ⇔ =


5 5 3 5 2
. .
3 3 2 2 5
AC NC AN AC AN AN AC⇔ = = ⇔ = ⇔ =
).
Suy ra :
2 2
5 5
AN AC k= ⇒ =
uuur uuur
.
Vậy Với
2
5
k =
thì AD,BC,EN đòng quy tại D.

4)Gọi J là trung điểm của BC.

Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :
3 2 2MA MB MC MI+ − =
uuur uuur uuuur uuur
.
Mặt khác :
( ) ( )
2MA MB MC MA MB MA MC− − = − + −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

BA CA= +
uuur uuur
( )
2AB AC AJ= − + = −
uuur uuur uuur
.
Do đó :
3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − − − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
2 2MI AJ MI AJ⇔ = ⇔ =
uuur uuur
.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kinh AJ.

III-BÀI TẬP VẬN DỤNG :
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
đó.Chứng minh các đẵng thức véc tơ sau :
1)
1 1 1
0
a b c

IA IB IC
h h h
+ + =
uur uur uur r

2)
sin . sin . sin . 0A IA B IB C IC+ + =
uur uur uur r

3)
cot cot . cot cot . cot cot . 0
2 2 2 2 2 2
B C C A A B
IA IB IC
     
+ + + + + =
 ÷  ÷  ÷
     
uur uur uur r

4)

( ) ( )
( )
.cos .cos . .cos .cos .
.cos .cos . 0
b C c B IA c A a C IB
a B b A IC
+ + +
+ + =

uur uur
uur r
5)
cos cos cos cos cos cos
. . . 0
sin sin sin sin sin sin
C B A C B A
IA IB IC
B C C A A B
     
+ + + + + =
 ÷  ÷  ÷
     
uur uur uur r

6)
( ) ( ) ( )
2 2 2
.sin . .sin . .sin . 0
2 2 2
A B C
p a IA p b IB p c IC− + − + − =
uur uur uur r

Gọi R
1
,R
2
,R
3

, là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác

Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
10
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
BIC, AIC, AIB ,chứng minh rằng:
7)

1 2 3
.cos . .cos . .cos . 0
2 2 2
A B C
R IA R IB R IC+ + =
uur uur uur r
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
Chứng minh rằng :
8)

( ) ( ) ( )
. . . 0b c a IM c a b IN a b c IP+ − + + − + + − =
uuur uur uur r
.
9)

cot . cot . cot 0
2 2 2
A B C
IM IN IP+ + =
uuur uur uur r
.

Với D,E,F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC,CA,AB với đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng :
10)
. . . 0a ID b IE c IF+ + =
uur uur uur r


11)
. . . 0a AD b BE c CF+ + =
uuur uuur uuur r
.

Cho M là một điểm nằm trong tam giác. D’ ; E’ ; F’ lần lượt
là hình chiếu của M lên các cạnh BC,CA,AB.
Chứng minh rằng :
12)

2 2 2
. ' . ' . ' 0
a b c
a b c
MD ME MF
S S S
+ + =
uuuur uuuur uuuur r
Với S
a
= S
MBC

; S
b
= S
MCA
; S
c
= S
MAB





Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
11
Chuyên Đề : Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan


Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký
12