Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Cát 2010-2011.

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
A = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có ba chữ số
abc
sao cho:
( )
2
2
abc = n - 1
cba = n - 2





Bài 3: ( 2,5 điểm)
Chứng minh: a + b = c thì a
4
+ b
4

+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
Bài 4: ( 3,0 điểm)
a. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
b. Chứng minh
cba
c
ab
b
ac
a
bc

++≥++
với mọi số dương a, b, c.
Bài 5: (3,0 điểm)
Giải phương trình:
6
4212
4
208
8
7216
2
64
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
xx
x
xx
x
xx

x
xx
Bài 6: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với
AB và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 3,0 điểm)
Với n = 0 ta có A(0) = 19
M
19
0,5
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5
2k
+ 12.6
k

M
19
0,5
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:
A(k + 1) = 7.5
2(k + 1)
+ 12.6
k + 1

M

19
0,5
Ta có: A(k + 1) = 7.5
2(k + 1)
+ 12.6
k + 1

= 7.5
2k
.5
2
+ 12.6
n
. 6
= 7.5
2k
.6 + 7.5
2k
.19 + 12.6
n
. 6
= 6.A(k) + 7.5
2k
.19
M
19
1,0
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.5
2n
+ 12.6

n
chia hết cho 19 với mọi số
tự nhiên n
0,5
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Ta có:
abc
= 100a + 10b + c = n
2
– 1 (1)

cba
= 100c + 10b + a = n
2
– 4n + 4 (2)
0,5
Lấy (1) – (2): 99(a – c) = 4n – 5
⇒
4n – 5
M
99
0,5
Mà 100
≤
n
2
– 1
≤
999
⇒

101
≤
n
2

≤
1000
⇒
11
≤
n
≤
31
⇒
39
≤
4n – 5
≤
119
0,75
Kết hợp với điều kiện 4n – 5
M
99 suy ra 4n – 5 = 99
⇒
n = 26
Vậy số
abc
= 675
0,75
Bài 3: ( 2,5 điểm)

Đặt P = a
4
+ b
4
+ c
4
- 2a
2
b
2
-2 b
2
c
2
- 2a
2
c
2

= (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
- 4a
2
b

2
- 4b
2
c
2
- 4a
2
c
2
0,5
Thay c
2
= (a+b)
2
vào ta được:
= (2a
2
+ 2b
2
+ 2ab )
2
- 4(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a

2
c
2
)
0,5
= 4[(a
2
+ b
2
+ ab)
2
- a
2
b
2
- c
2
(a
2
+b
2
)] 0,5
Thay c
2
= (a+b)
2
vào ta được:
= 4[ (a
2
+b

2
)
2
+2(a
2
+b
2
)ab + a
2
b
2
- a
2
b
2
-(a+b)
2
(a
2
+b
2
)]
= 4[ (a
2
+b
2
)
2
+2(a
2

+b
2
)ab -(a+b)
2
(a
2
+b
2
)]
0,5
= 4(a
2
+b
2
)[ (a
2
+b
2
) +2ab -(a+b)
2
]
= 0 ⇒ a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b

2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
0,5
Bài 4: ( 3,0 điểm)
⇔ 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)≥ 2(ab + ac + bc)
0,5
⇔ 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
-2ab -2ac - 2bc ≥ 0
0,5
⇔ (a-b)
2
+ (a-c)

2
+ (b-c)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)
2
≥ 0 …) nên có đpcm
0,5
Câu b
⇔
cba
abc
ab
abc
ac
abc
bc
++≥++
222
)()()(
0,5
Nhân hai vế với số dương abc được:
⇔
abcacbbcaabacbc
222222
)()()( ++≥++
0,5
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có:
≥++
222

)()()( abacbc
abcacbbca
222
++
⇒ đpcm
0,5
Bài 5: (3,0 điểm)
⇔
6
6)6(
4
4)4(
8
8)8(
2
2)2(
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
x

x
x
x
x
x
x
0,5
⇔
6
6
6
4
4
4
8
8
8
2
2
2
+
+++
+
++=
+
+++
+
++
x
x

x
x
x
x
x
x
0,5
⇔
6
6
4
4
8
8
2
2
+
+
+
=
+
+
+ xxxx
⇔
6
3
4
2
8
4

2
1
+
+
+
=
+
+
+ xxxx
⇔
)6)(4(
245
)8)(2(
165
++
+
=
++
+
xx
x
xx
x
0,5
⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x
2
+10x + 24) = (5x+24)( x
2
+10x + 16)

0,5
⇔ 5x
3
+ 50x
2
+ 120x + 16x
2
+ 160x + 16.24
= 5x
3
+ 50x
2
+ 80x + 24x
2
+ 240x + 24.16
⇔ 8x
2
+ 40x = 0
0,5
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,5
Bài 6: (6,0 điểm)
Câu a: 2,5 điểm
DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED
0,5
⇒
·
·

ADE = DCF
⇒
·
·
·
·
EDC + DCF = EDC + ADE
0,5


·
·
EDC + ADE
= 90
0

nên DE ⊥ CF
0,5
MC = MA (BD là trung trực của AC)
0,5
MA = FE nên EF = CM
0,5
Câu b: 2,0 điểm
⇒ ∆MCF =∆FED ⇒
·
·
MCF = FED
0,5
Từ
·

·
MCF = FED
chứng minh được CM ⊥ EF 0,5
Tương tự a) được CE ⊥ BF
0,5
A B
C
D
M
E
F
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui.
0,5
Câu c: 1,5 điểm
ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,5
⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
0,5
Lúc đó M là trung điểm của BD 0,5