Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Chánh 2010-2011.

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011
Đề đề nghị Môn: TOÁN, LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Câu 2: (3,0 điểm)
Với n
∈
N và n > 1, sao cho 2
n
-2
M
n
Chứng minh rằng :
2 1
2 2 2 1
n
n
−
− −
M
Câu 3: (4,0 điểm)
Cho a +b +c = 0. Tính giá trị của biểu thức :

a b b c c a c a b
A
c a b a b b c c a
− − −
  

= + + + +
 ÷ ÷
− − −
  
Câu 4: (3,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của :

1
1
y
x
B
x y
−
−
= +
Câu 5: (2,5 điểm)
Giải phương trình :

3 2
2
3 2
x x
x
x
−
+ =
−
Câu 6: (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi E và

F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC. Cho biết AB =30cm, tính diện
tích các tam giác BEM và AFN.
PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: TOÁN, LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu Nội dung B. điểm
1
Ta có:





=−
=+
2
2
65
24
hn
kn
2 2
k 24 h 65
⇔ − = +
( )( )
89.189
==+−⇔
hkhk




=
=
⇒



=−
=+
⇔
44
45
1
89
h
k
hk
hk

Vậy: n = 45
2
– 24 = 2001
0,5
0,5
0,5
0,75
0,25
2

Ta có:
2 2 2 2 ( )
n n
n kn k N
− ⇒ − = ∈
M

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 1
2
2 2
1
2
2 2 2
2
2
2 1 2 2 1
4
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 1 2 1
n
n
n
n
k
kn n
k

n n n
−
−
−
− = −
 
= − = −
 ÷
 ÷
 
 
= − = −
 
 
 
= − + + −
 
 
M
0,25
0,5
1,0
0,75
0,5
3
Đặt
a b b c c a
M
c a b
− − −

= + +
Ta có:

2 2
. 1
1 .
( )( ) ( )
1 .
( )( )
1 .
( )( )
1 .
c c b c c a
M
a b a b a b
c b bc ac a
a b ab
c b a b a c b a
a b ab
c b a a b c
a b ab
c a b c a b
a b ab
− −
 
= + +
 ÷
− −
 
− + −

= +
−
− + − −
= +
−
− + −
= +
−
− − −
= +
−

( )
1
c c c
ab
+
= +
(vì: a + b+ c =0 => c = - a - b)
0,25
0,5
0,5
0,5

2 3
2 2
1 1
c c
ab abc
= + = +

Tương tự:
3 3
2 2
. 1 ; . 1
a a b b
M M
b c abc c a abc
= + = +
− −

Vậy:
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2( )
3 3
a b c a b c
A
abc abc abc abc
+ +
= + + + = +

2.3
3 9
abc
abc
= + =
(vì khi a +b+c =0 thì
3 3 3
a b c
+ +
= 3abc)

0,5
1,0
0,25
0,5
4
ĐK : x
≥
1, y
≥
2
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
( 1) 1( 1)
1 1 1
;
2 2
( 2) 2( 2)
2 2 1 2
2 4
2 2 2
x x
x
x x x
y y
y
y
y
− −
+ −
= ≤ =
− −

+ −
= ≤ = =
1 2 2 2
2 4 4
B
+
⇒ ≤ + =
Vậy:
1 1 2
2 2
max
2 2 4
4
x x
B
y y
− = =
 
+
= ⇔ ⇔
 
− = =
 
(TM)
0,25
0,75
0,75
0,5
0,75
5

ĐK:
2
3
x
>
Áp dụng BĐT
2
a b
b a
+ ≥
với a>0, b>0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với
2
3
x
>
thì
3 2
2
3 2
x x
x
x
−
+ =
−

2
1 2

3 2
3 2 0
( 1)( 2) 0 1; 2( )
x x
x x
x x x x TM
⇔ = −
⇔ − + =
⇔ − − = ⇔ = =
Vậy tập nghiệm :
{ }
1;2

0,25
0,75
0,5
0,5
0,5
6
Ta có :
µ
µ
µ
·
0
1 1 1
( . . )
90
ABN BCM c g c
B C B BME

∆ = ∆
⇒ = ⇒ + =
Do đó:
BN CM⊥
tại E
Trong
∆
ABN vuông tại A
Có:
2 2 2 2 2
30 15 1125BN AB AN= + = + =
Ta lại có:
∆
BEM
∆
BAN (g.g)

2
225 1
1125 5
BEM
BAN
S BM
S BN
 
⇒ = = =
 ÷
 
1,0
0,5

0,75
1
1
E
F
M
N
A
B
D
C
Mà: S
BAN
=
1
2
.20.15= 225 => S
BEM
= 225.
1
5
= 45 (cm
2
).
Ta cũng có:
∆
AFN
∆
CFB (g.g)
1 1 1

2 2 3
FN AN
FN BF BN
FB BC
⇒ = = ⇒ = =
Nên S
AFN
=
1
3
S
ABN
=
1
3
.225 = 75 (cm
2
)
Vậy: S
BEM
= 45 (cm
2
); S
AFN
= 75 (cm
2
)
0,5
0,5
1,0

0,75
• Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được tính điểm tối đa theo biểu điểm của từng bài
từng câu.