Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Lộc 2010-2011.

PHÒNG GD - ĐT PHÙ MY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011
Môn : TOÁN
(ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề )
Bài 1 : (6.0 điểm)
a- Cho tổng : A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ ………+ 5
2010
. Chứng minh rằng : A chia hết cho 126 .
b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương .
Bài 2 : (4.0 điểm)
a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
CMR :
a
b c a+ −
+
b
a c a+ −
+
c
a b c+ −

≥
3
b- Giải phương trình :
( )
2 2 2
2

2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
Bài 3 :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y=
2009
2010
. Tìm GTNN của S =
2008
x
+
1
2008y
Bài 4 :(4.0 điểm)
Cho
ABC
∆
cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong. Biết IA = 2
5
, IB = 3.
Tính độ dài AB ?
Bài 5 : (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P
đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài Đáp án Điểm
Bài 1
(6.0 đ)
Câu a
A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ … + 5
2010
= (5 + 5
4
) + (5
2
+ 5
5
) +(5
3
+ 5
6
) + … + (5
2007
+5
2010
)
= 5(1+5
3
)+5
2
(1+5

3
) +5
3
(1+5
3
)+ … + 5
2007
(1+5
3
)
= 126.(5 + 5
2
+ 5
3
+ … + 5
2007
)
Vì : 126

126 ⇒ A

126

1.0đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
Câu b

Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b

2
.
Biến đổi được: 26a – a
2
- 69 = b
2
.
( a – 13)
2
= 100 - b
2
.
Suy ra 100 – b
2
là số chính phương.
Tìm được :
Trường hợp: b = 10
⇒
a = 13.
b = 8
⇒
a = 19 .
b = 6
⇒
a = 21.
Vậy các số a là 13; 19, 21.
0.5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ

0,5đ
Bài 2
(4.0 đ)
Câu a

Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0
Khi đó ta có :
, ,
2 2 2
z y x z y x
a b c
+ + +
= = =
Do đó :
a
b c a+ −
+
b
a c a+ −
+
c
a b c+ −
=
1
2
x y y z z x
z x y
 
+ + +

+ +
 ÷
 
=
1 1
(2 2 2) 3
2 2
x y x z y z
y x z x z y
 
+ + + + + ≥ + + =
 ÷
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z
⇔
a = b = c
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
Câu b
Điều kiện :
0x ≠
Ta có :
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1

8 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
⇔
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x
 
       
+ + + + − + = +
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 

⇔
( )
2
2
2
2

1 1
8 8 4x x x
x x
   
+ − + = +
 ÷  ÷
   
( )
2
4 16x⇔ + =
( )
8 0x x⇔ + =
0 ( )
8
x loai
x
=

⇔

= −

Vậy phương trình có một nghiệm : x = -8 .
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3

(3.0 đ)
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có :
( )
2
2
2008 1 2008 1
. .
2008 2008
1 1
2008 2010
2008 2008
x y x y
x y x y
 
 
+ + ≥ +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
= + =
 ÷
 ÷
 
Suy ra :
1 2009 1
2010 : 2011
2008 2010 1004

s ≥ =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2008
2008
2008 1
2010
2009
2008
1
2010
2009
2010
2010
y
x
x y
x
x y
x y
y
x y

=


=
=




  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=




+ =


Vậy MinS =
1
2011
1004
đạt được khi
2008
2010
x =
;
1
2010
y =
1,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
Bài 4

(4.0đ)
- Từ A kẻ AM
⊥
AC (M
∈
tia CI)
- Chứng minh được :
AMI∆
cân tại A
⇒
AM = AI =
2 5

Kẻ AH
⊥
MI => MH = HI
Đặt HM = HI = x (x>0)
Tam giác AMC vuông tại A , có AM
2
MH . MC
=>
( )
( )
2
2 5 2 3x x= +
2
2 3 30 0x x⇔ + − =
( ) ( )
2 5 4 0x x⇔ − + =
=> x = 2,5 hoặc x = -4 (loại)

Do đó : MC = 2.2,5+3=8
AC
2
= MC
2
– AM
2
= 8
2
-
( )
2
2 5
= 44
=> AC = AB =
2 11
1,0đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(3.0đ)
Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và h
a
,h
b
,h
c
là các đường

cao tương ứng
Giả sử :
a b c≥ ≥
, khi đó
a b c
h h h≤ ≤
Ta có : S
ABC
= S
PAC
+ S
PBC
+ S
PAB

=> 2S
ABC
=a.PH + b.PK + c.PI
≤
a(PH + PK + PI)
=> PH + PK + PI
2
ABC
S
a
≥
= h
a
Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi P
≡

A
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
C
B
N
I
H
M
A
P
I
H
K
C
B
A