DS9 T57-Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
KIỂM TRA BÀI CŨ
Giải phương trình: 2x
2
- 5x + 3 = 0

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu pt bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm thì ta có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
1 2
-b +Δ -b - Δ
x = , x =
2a 2a
Hãy tính x
1
+ x
2
, x
1
.x
2
?1
1 2
-b +Δ + (-b)- Δ -2b -b
x + = = =

2a 2a
x
a
×
2 2 2
1 2
2 2 2
b -Δ b -(b - 4ac) 4ac
= = = =
4a 4a 4a
c
x x
a
Giải
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603)
nhà Toán học nổi tiếng người
Pháp đã phát hiện ra mối liên
hệ giữa các nghiệm và các hệ
số của phương trình bậc hai
vào đầu thế kỉ XVII, ngày nay

nó được phát biểu thành một
định lí mang tên ông.
F.Viète
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí Vi- et

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Bài 25 (SGK): Đối với mỗi pt
sau, kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm
(nếu có). Không giải phương trình,
hãy điền vào những chỗ trống (…)
b) Áp dụng
∆ =
x
1
+ x
2

= , x
1
. x
2
=
a) 2x
2
- 17x + 1 = 0
(-17)
2
– 4.2.1 = 281 > 0
1
2
17
2
…
…
…
Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì
a) Định lí Vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =

c
a
∆ =
x
1
+ x
2
= , x
1
. x
2
=
c) 8x
2
- x + 1 = 0
(-1)
2
– 4.8.1 = -31 < 0
…
…
…
∆ =
x
1
+ x
2
= , x
1
. x
2

=
Phương trình vô nghiệm

HOẠT ĐỘNG NHÓM
Nhóm 1 và nhóm 2(Làm ?2 )
Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính
a+b+c
b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của
phương trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2
Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)
Cho phương trình 3x2 + 7x + 4 =
0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của
phương trình và tính a – b + c
b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm
của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et
b) Áp dụng
=
1 2
x + x
-b

a
×
1 2
x x =
c
a

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et Phương trình 2x
2
-5x + 3 = 0
a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3
a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0
b) Thay x = 1 vào phương trình ta được
2.1
2
+ (-5).1 + 3 = 2 + (-5) + 3 = 0
Vậy x
1
= 1 là một nghiệm của ph/trình
c) Ta có
1 2 2
c 3 3
x .x = = x =
a 2 2
⇒
?2

Tổng quát 1: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Ho¹t §éng nhãm

Ho¹t §éng nhãm
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et Phương trình 3x
2
+ 7x + 4 = 0
a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4

a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0
b) Thay x = -1vào phương trình ta được
3.(-1)
2
+ 7.(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0
Vậy x
1
= -1 là một nghiệm của ph/trình
c) Ta có
1 2 2
c 4 4
x .x = = x = -
a 3 3
⇒
?3
Tổng quát 1: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
2
c
x
a
= −
Tổng quát 2: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì pt có một

nghiệm x1=-1, còn nghiệm kia là
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et
?4
Tính nhẩm nghiệm của các pt:









có

⇒






Vậy x1= -1


có
⇒
Vậy x1 =
1 
2
2 2
x
5 5
−
= =
−
Giải
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =

c
a
b) Áp dụng
Tổng quát 1: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
2
c
x
a
= −
Tổng quát 2: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=-1, còn nghiệm kia là

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et
=
1 2
x + x
-b
a

×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Tổng quát 1: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
2
c
x
a
= −
Tổng quát 2: Nếu pt ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì pt có một
nghiệm x1=-1, còn nghiệm kia là
Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Giả sử hai số cần tìm có tổng
bằng S và tích bằng P. Gọi một
số là x thì số kia là S - x.

Theo giả thiết ta có phương trình:

x (S – x) = P

hay
x
2
– Sx + P = 0 (1)

Nếu ∆ = S
2
– 4P ≥ 0 thì phương
trình (1) có nghiệm. Các nghiệm
này chính là hai số cần tìm.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0

Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×

1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -
4P ≥ 0
ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của
chúng bằng 27, tích của chúng bằng
180.
Giải:
Hai số cần tìm là hai nghiệm của
phương trình:



1 2
27 3 27 3
x 15 , x 12
2 2
+ −
= = = =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
2
27 4.1.180 9 0 3
∆ = − = > ⇒ ∆ =

Ta có:

Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -
4P ≥ 0
ÁP DỤNG
Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của

phương trình : x2- x + 5 = 0
Ta có Δ= (-1)
2
- 4.1.5 = -19 < 0
⇒Phương trình vô nghiệm
Vậy không có hai số nào có tổng
bằng 1 và tích bằng 5.
?5

Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -
4P ≥ 0
ÁP DỤNG
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của
phương trình x2 - 5x + 6 = 0.
Giải.
Vì 2 + 3 =5 ; 2.3 = 6
nên x1= 2, x2= 3 là
hai nghiệm của phương trình đã
cho.

Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -
4P ≥ 0
Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của
phương trình



Giải
Δ = (7)
2
- 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0

Vì 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12 nên
x1=3, x2= 4 là hai nghiệm của
phương trình đã cho.
ÁP DỤNG

Tổng quát: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x

-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -
4P ≥ 0
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình x
2
– 32x + 231 = 0
∆'= (-16)
2
– 1.231 = 25 > 0 ⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21, x
2
= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11
hoặc u = 11,v = 21
'
∆
Bài 28a (SGK)

Tìm hai số u và v biết:
u + v = 32 , u.v = 231
Giải
ÁP DỤNG

5x
2
-

9x + 4 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
2x
2
+ 3x + 1 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
x
2
- 5x + 6 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
2x
2

+ x + 5 = 0 ⇒
x
2
+ 3x - 10 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
1
2
3
4
5







 !"#$%&"'("#)*



−
1
2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
4
5

x
1
= ; x
2
=
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn câu trả lời đúng:
B
A
C
D
x
2
- 2x + 5 = 0
x
2
+ 2x – 5 = 0
x
2
- 7x + 10 = 0
x
2
+ 7x + 10 = 0
sai

ú
n
g
Đ
Sai
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào ?

HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
HD Bài 30b: Tìm giá trị của m để pt có nghiệm rồi tính tổng và
tích các nghiệm theo m: x
2
+ 2(m-1)x + m
2
= 0
- Tính Δ theo m rồi tìm điều kiện để pt có nghiệm (Δ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích các nghiệm theo m
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 ; a – b + c = 0
vaø khi tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên
có giá trị tuyệt đối không quá lớn.
* BTVN: 25bd, 26, 28bc, 30 (SGK) 38, 41 (SBT)


Chuyeân ñeà
Toå Toaùn