Tai lieu on thi vao lop 10(Kha hay)

Rút gọn biểu thức chứa căn
Phần I.
Các kiến thức cần nhớ.
Các hằng đẳng thức:
1) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
+ = + +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
2) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3) a
2
b
2
= (a + b).(a b)
= + a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4) (a + b)
3
= a

3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6)
+ = + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
= = + +
3 3

a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9)
+ + = + + + + +
2
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b 0)
10)
=
2
a a
Phần II. Phân dạng bài tập:
Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện:
Bài 1.
Tính:
a)
10. 40
b)
5. 45
c)
2. 162
d)
9

169
e)
12,5
0,5
f)
12,5
0,5
g)


49
81
Bài 2.
Rút gọn
A = 4 + 2 3
Bài 3.
Rút gọn
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bài làm:
=
= = =
= = = =
2
2 2
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1
13 +30 2 + 8 +1) 13 +30 2 + 8 + 1 13 + 30 2 + 2 2 +1
13 + 30 2 + 1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5
(
( ( 3
Bài 4.

Rút gọn

C = 13 160 53 + 4 90
Bài làm:
= + +
= = =
2 2
2 5 8
( ) ( ) 3 4
C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8
8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5
Rút gọn
+ +40 60G = 10 + 24
1
Bµi 5.
Bµi lµm:
+ +
= + +
= + + = + +
2
40 60
. 2. 2. 5 2. 3. 5
( 5) 5
G = 10 + 24
2 + 3 + 5 + 2. 2 3
2 3 2 3
Bµi 6.
Rót gän
A = 3 + 5 + 3 - 5
Bµi lµm:

NhËn xÐt:
> 0A = 3 + 5 + 3 - 5
( )
2
2
)
2 2
A = 3 + 5 + 3 - 5
A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5
2
A = 6 + 2 =
A =
4 10
10
Bµi 7.
Rót gän
1 1
3 2 6( 2)
+ +
+
1
A =
3 3
Bµi lµm:
2 3 2
3 6 6 2
−
+ +
3 3
A = =

Bµi 8.
Rót gän
5 5
5 5
+ −
+
− +
7 7
A =
7 7
D¹ng 2: Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn:
Bµi 1.
Rót gän biÓu thøc:
a)
−
+
5
5
2
x
x
(Víi
≠ −x 5
)
b)
+ +
−
2
2
x

x
2 2.x 2
2
(Víi
≠ ±x 2
)
Bµi 2.
Rót gän biÓu thøc:
a)
−
2
9x 2x
(Víi x < 0)
b)
− + − +
2
x 4 16 8x x
(Víi x > 4)
Bµi 3.
Rót gän biÓu thøc:
a)
−
2
4(a 3)
(Víi
≥a 3
)
b)
−
2 2

b (b 1)
(Víi
<b 0
)
Bµi 4.
Rót gän biÓu thøc:
( ) ( )
+ −
−
x y y x x y
x y
(Víi x > 0 vµ y > 0)
Bµi 5.
Rót gän biÓu thøc:
+ +
= + +
−
− +
x 1 2 x 2 5 x
P
4 x
x 2 x 2
(Víi x
≥
0 vµ x
≠
4)
Bµi 6.
Rót gän biÓu thøc:
2

+
= +
+
a b a b
M
a b a b
(Với a

0, b

0 và a

b)
Bài 7.
Cho biểu thức:
+ (2 x y)(2 x y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài 8.
Cho biểu thức:

+ +

=
ữ
ữ
ữ

1 1 a 1 a 2
Q :
a 1 a a 2 a 1

a) Tìm điều kiện để Q xác định.
b) Rút gọn Q.
Bài 9.
Cho biểu thức:


+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +



3
3
2x 1 x x 1
B . x
x x 1 1 x
x 1

a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.

Bài 10.
Cho biểu thức:

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

x x 9 3 x 1 1
C :
9 x
3 x x 3 x x

a) Tìm điều kiện để C xác định.
b) Rút gọn C.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Bài 1.
Cho biểu thức:
= + +
2
A 2x x 6x 9

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = - 5
Bài 2.
Cho biểu thức:
=
+

1 1
B
1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4
Bài 3.
Cho biểu thức:


= + +
ữ
ữ
+



2
1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a

Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =
+
3
2 3
Bài 4.
Cho biểu thức:

= +

ữ ữ
+ +

1 1 1 1
D : x
1 x 1 x 1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức tại x =
3 2 2
Dạng 3: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
Bài 1.
Cho biểu thức:
3
= +
2
A 4x 4x 12x 9

Tính giá trị của x biết A = - 15
Bài 2.
Cho biểu thức:

= +
ữ ữ
ữ ữ

+ + + +

a a a a a
B :
b a

a b a b a b 2 ab

Biết rằng khi
=
a 1
b 4
thì B = 1. Tìm a; b
Rút gọn biểu thức chứa căn
Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện:
Bài 1.
Tính:
h)
10. 40
i)
5. 45
j)
2. 162
k)
9
169
l)
12,5
0,5
m)
12,5
0,5
n)


49

81
Bài 2.
Rút gọn
A = 4 + 2 3
Bài 3.
Rút gọn
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bài làm:
=
= = =
= = = =
2
2 2
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1
13 +30 2 + 8 +1) 13 +30 2 + 8 + 1 13 + 30 2 + 2 2 +1
13 + 30 2 + 1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5
(
( ( 3
Bài 4.
Rút gọn
C = 13 160 53 + 4 90
Bài làm:
= + +
= = =
2 2
2 5 8
( ) ( ) 3 4
C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8
8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5
Bài 5.

Rút gọn
+ +40 60G = 10 + 24
Bài làm:
+ +
= + +
= + + = + +
2
40 60
. 2. 2. 5 2. 3. 5
( 5) 5
G = 10 + 24
2 + 3 + 5 + 2. 2 3
2 3 2 3
Bài 6.
Rút gọn
A = 3 + 5 + 3 - 5
Bài làm:
Nhận xét:
> 0A = 3 + 5 + 3 - 5
( )
2
2
)
2 2
A = 3 + 5 + 3 - 5
A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5
4
⇒4 10 10
2
A = 6 + 2 = A =

Bµi 7.
Rót gän
1 1
3 2 6( 2)
+ +
+
1
A =
3 3
Bµi lµm:
2 3 2
3 6 6 2
−
+ +
3 3
A = =
Bµi 8.
Rót gän
5 5
5 5
+ −
+
− +
7 7
A =
7 7
Bµi 9.
Rót gän
− −F = 4 + 7 4 7
Bµi lµm:

− −
⇒ − −
+ − +
+ − −
+ − + =
⇒
2 2
2 2. 2.
1 1
( 1) ( 1)
1 1 2
F = 4 + 7 4 7
.F = 4 + 7 4 7
= 7 + 2. 7 7 - 2. 7
= 7 7
= 7 7
F = 2
Bµi 10.
Rót gän
−
3 3
A = 5 + 2 13 5 - 2 13
Bµi lµm:
( )
( ) ( )
( )
+ −
+ −
+ − + −
+ − + −

+ − +
+ ⇒ − −
⇒
⇒
⇒
3
2 2
5 2
5 2
3 . 5 2 3 . 5 2
3 . 5 2 5 2
3 )(5 2 .A 3 27.A
9.A 9.A 10
(
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3
3
3 3
2
A = 5 + 2 13 13
= 5 + 2 13 13
= 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13
= 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13
= 10 (5 + 2 13 13) = 10
A = 10 A = 0
A - 1)(A + A + 10) = 0
A -1 = 0

A = 1
Bµi tËp vÒ nhµ:
Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a)
6 - 11 - 6 + 11
b)
− − +
−
3 3
2
7 7
7
c)
+ − −6 10 6 10
3 3
3 3
5
d)
+ +
1 1 5 1
12
3 2 6
1
3 3
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện:
Bài 1.
Rút gọn biểu thức:
a)

+

5
5
2
x
x
(Với
x 5
)
b)
+ +

2
2
x
x
2 2.x 2
2
(Với
x 2
)
Bài 2.
Rút gọn biểu thức:
a)

2
9x 2x
(Với x < 0)
b)
+ +
2

x 4 16 8x x
(Với x > 4)
Bài 3.
Rút gọn biểu thức:
a)

2
4(a 3)
(Với
a 3
)
b)

2 2
b (b 1)
(Với
<b 0
)
Bài 4.
Rút gọn biểu thức:
( ) ( )
+

x y y x x y
x y
(Với x > 0 và y > 0)
Bài 5.
Rút gọn biểu thức:
+ +
= + +

+
x 1 2 x 2 5 x
P
4 x
x 2 x 2
(Với x

0 và x

4)
Bài 6.
Rút gọn biểu thức:
+
= +
+
a b a b
M
a b a b
(Với a

0, b

0 và a

b)
Bài 7.
Cho biểu thức:
+ (2 x y)(2 x y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài 8.
Cho biểu thức:

+ +

=
ữ
ữ
ữ



1 1 a 1 a 2
Q :
a 1 a a 2 a 1

a) Tìm điều kiện để Q xác định.
b) Rút gọn Q.
Bài 9.
Cho biểu thức:


+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ

+ + +



3
3
2x 1 x x 1
B . x
x x 1 1 x
x 1

a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 10.
Cho biểu thức:

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

x x 9 3 x 1 1
C :
9 x
3 x x 3 x x

a) Tìm điều kiện để C xác định.
6

b) Rút gọn C.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Bài 1.
Cho biểu thức:
= + +
2
A 2x x 6x 9

Tính giá trị của A khi x = - 5
Bài 2.
Cho biểu thức:
=
+
1 1
B
1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4
Bài 3.
Cho biểu thức:


= + +
ữ
ữ
+



2

1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a

Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =
+
3
2 3
Bài 4.
Cho biểu thức:

= +
ữ ữ
+ +

1 1 1 1
D : x
1 x 1 x 1 x 1 x

Tính giá trị của biểu thức tại x =
3 2 2
Bài 5.
Cho biểu thức:
x 1 1 8 x 3 x 2
E : 1
9x 1
3 x 1 1 3 x 3 x 1

= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +


Tính giá trị của biểu thức tại x =
3 2 2
Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
Bài 1.
Cho biểu thức:
= +
2
A 4x 4x 12x 9

Tính giá trị của x biết A = - 15
Bài 2.
Cho biểu thức:

= +
ữ ữ
ữ ữ

+ + + +

a a a a a
B :
b a
a b a b a b 2 ab

Biết rằng khi
=
a 1
b 4
thì B = 1. Tìm a; b
Bài 3.
Cho biểu thức:
(16 x) x 3 2 x 2 3 x 1
C :
x 4
x 2 x 2 x 4 x 4

+
=
ữ
ữ

+ + +


Tìm x biết C = 4.
Bài 4.
Cho biểu thức:
a 1 2a a a 1 2a a
D 1 : 1
2a 1 2a 1 2a 1 2a 1

+ + + +
= + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +


a) Tìm a biết D = - 1.
b) Tìm a biết Đ= - 4.
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.
* Chú ý:
7
Â
a
b
b
Ư(a)







Â
Â
a
a
a I
Bài 1.
Cho biểu thức:
a 2 2 a a 1

A .
a 1
1 a 2 a a

+ +
=
ữ
ữ

+ +

Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Bài 2.
Cho biểu thức:
3 a 3a 1 (a 1)( a b)
B :
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b


= +
ữ
ữ
+ + + +

a) Rút gọn B với a

0, b

0 và a

b.
b) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức B đạt giá trị nguyên.
Bài 3.
Cho biểu thức:
a 2 1 a 3a 3 9a
C
1 a 2 a a a 2
+ +
= +
+ +
Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.
Dạng 6: Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức.
Bài tập.
Cho biểu thức:
x 1 1 2
A :
x 1
x 1 x x x 1


= +
ữ
ữ
ữ

+


Tìm x để A < 0
Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức.

Bài tập.
Cho biểu thức:
a 2 a 1 a 1
A :
2
a a 1 a a 1 1 a

+
= + +
ữ
ữ
+ +

(với a

0, a

1)
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng 0 < A

2
Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Bài tập.
Cho biểu thức:
2
x 2 x 2 1 x
A .
x 1
x 2 x 1 2

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +



a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c) Tính giá trị lớn nhất của A.
Bài tập tổng hợp:
Cho biểu thức:

+
= +
ữ
ữ
+ + +

2
x x 2x x 2(x 1) 1
A .
x x 1 x x 1 x x 1
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x =

4
c) Tính giá trị của x biết A =
1
3
d) Chứng minh rằng A > 0
8
e) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
f) Tìm giá trị của x để A <
1
4
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần I. Tìm hiểu chung:
1. Khái niệm
2.
ứng dụng.
Phần II. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
PP1. Phơng pháp đặt nhân tử chung.
AB + AC + AD = A(B + C + D)
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
a 5 b 5
b) x(y + z) + 3(y + z)
c) m(n p) n + p
d) a(b a)(a + b) (a + b)(a
2
ab + b
2
)
e) x
m + 2

- x
m
Bài 2. Phân tích A và B thành nhân tử:
= + A 10a b 5a 5 a (a 0)
= B x y y x (x 0;y 0)
PP2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
Các hằng đẳng thức:
1) a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
+ + = +
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
2) a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
+ =
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
3) a
2
b
2
= (a + b).(a b)

4)
= + a b ( a b).( a b) (a,b 0)
5) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3
+ + + = +
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
6) a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)
3
+ =
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
7)
+ = + +

3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
9) a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)
2
10)
+ + + + + = + +
2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 25a
2
+ 10a + 1
b) 9x
2

xy +
1
36
y
2
c) x
4
y
4
9
Bài 2. Phân tích M, N, P thành nhân tử:
M =

2
a 2
N =
9a 1 (a 0)
P =
+ + x 1 2 x (x 0)
PP3. Phơng pháp nhóm các hạng tử.
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5a
2
5ax 9a + 9x
b) ma mb + na nb pa + pb
c) ax
2
+ 5y bx
2
+ ay + 5x

2
by
Bài 2. Phân tích D, E thành nhân tử:
D =
+ a 2 a 1 b (a 0;b 0)
E =
+ a b a 2 ab b b a (a 0,b 0)
PP4. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 9x
2
+ 6x 8
b) 4x
2
3x 1
Bài 2. Phân tích Q, K thành nhân tử:
Q =
+ a 3 a 2 (a 0)
K =
+ x 7 x 12 (x 0)
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Phần I. Lý thuyết:
1.
Định nghĩa.
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a' x b' y c '
+ =

+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

3.
Các phơng pháp giải hệ.
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =


a) Phơng pháp cộng đại số.
+ Nếu có
ax by c

ax b' y c '
+ =


+ =



(b b')y c c '
ax b' y c '
+ = +


+ =

+ Nếu có
ax by c
ax b' y c '
+ =


+ =




(b b')y c c'
ax b' y c '
=

+ =

10
+ Nếu có
ax by c
k.ax b' y c'
+ =


+ =


k.ax kby c
k.ax b' y c'
+ =


+ =


(kb b')y k.c c '
ax by c
=


+ =

+ Nếu hệ
ax by c

a' x b' y c '
+ =


+ =

có (a, a) = 1 thì hệ

aa' x ba' y ca'
aa' x ab' y ac'
+ =


+ =



b) Phơng pháp thế.
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =


a c
y x
b b
a' x b' y c '

= +



+ =



= +





+ + =
ữ



a c
y x
b b
a c
a' x b ' x c '
b b

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ:
(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phần II.

Phân dạng bài tập:
Dạng 1:
GiảI hệ phơng trình không chứa tham số.
Ví dụ:
Giải các hệ phơng trình:
a)
+ =


=

2x y 7
4x 3y 4
b)
+ =



+ =


3a 3b 8
a
b 4
2
c)
2 3
2
x y
1 1

5
x y

+ =




+ =


Dạng 2:
GiảI hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:

+ =


+ + =


2
2
3mx (n 3) y 6
(m 1)x 2ny 13
a) Giải hệ pt với m = 2; n = 1
b) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
Dạng3:
GiảI biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số.

Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =


=

mx y 2
2x y 1
Giải và biện luận hệ theo m.
Bài làm:
2x y 1
mx y 2
=


+ =


(2 m)x 3 (1)
2x y 1 (2)
+ =


=

+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3
- Nếu 2 + m = 0

m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)

Do phơng trình (3) vô nghiệm

hệ vô nghiệm.
- Nếu 2 + m

0

m

- 2.
Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x =
3
2 m+
+ Thay x =
3
2 m+
vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 =
6
2 m+
- 1 =
4 m
2 m

+
11
Vậy với m

- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x

2 m
4 m
y
2 m

=


+



=


+
.
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

nx y 2n
nx ny n
Giải và biện luận hệ theo n.
Chú ý:
Phơng trình ax = b (1)
+ Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b.

- Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm.
- Khi b

0 phơng trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu a

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
b
a
Dạng 4:
Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

x 2y 5
mx y 3
Tìm m để x < 0, y < 0
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:

+ = + +

+ = +


2
2
x ay a a 1
ax 3y a 4a
Tìm m để x > 0, y < 0
Dạng5:
Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
+ =



+ =

ax by c (1)
a x b y c (2)
có nghiệm
0
0
x x
y y
=


=

Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (2) và giải.
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình
=


+ =

2
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2) = 7

3 + 4 = 7
Vậy (2; 1) là nghiệm của (1).
Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n
2
4n 3

7n 3 = n

2
4n 3

n(n 11) = 0

=


=

n 0
n 11
Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình
2
2
1
5m(m 1)x my (1 2m) (1)
3
4mx 2y m 3m 6 (2)

+ =



+ = + +

Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3.
12
Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m 1)

1
3
m.4m
Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:
5m
2
5m + m = 1 4m + 4m
2


m
2
= 1

m 1
m 1
=


=

(I)
Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có:
4m + 6 = m
2
+ 3m + 6

m(m 1) = 0

m 0
m 1
=


=

(II)
Từ (I) và (II)

Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3
D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

có nghiệm
0
0
x x
y y
=

=

Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hệ pt ta đợc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =



+ =


Giải hệ pt chứa ẩn là tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:
+ =


+ + =

2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5
Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:

(m 3).3 2n.( 1) 5
6m (n 2).( 1) 9
+ + =


+ =



3m 2n 4
12m 2n 14
=


=


m 2
n 5
=


=

Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1.
Dạng 6:
Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c (1)

a x b y c (2)
+ =



+ =

(I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)
+ Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)


(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
+ Kết hợp 2 pt đơn giản nhất.
+ Tìm nghiệm thay vào pt còn lại

Giải pt chứa ẩn là tham số
Ví dụ 1:
Cho hệ phơng trình
3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
+ =


+ + = +

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = - 6 (3)
Giải:
Điều kiện: 3.(m + 5) 6m

0

m

5
Do (x; y) là nghiệm của hệ pt (I) và thoả mãn (3)

(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
Kết hợp (1) và (3) ta có:
3x 2y 8
4x 2y 6
+ =


=


x 2
y 1
=


=

Thay x = 2, y = -1 vào pt (2) ta đợc:
13
6m (m +5) = m
2
- 1

m
2
5m + 4 = 0


m 1
m 4
=


=

( t/m)
Vậy với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x 2y = - 6
Ví dụ 2:
Cho hệ phơng trình
mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
+ =


+ =

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m 1)x + (m + 1)y = m (3)
Giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3

2.m

m

0.
Từ (1)

y = 5 mx. Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = 6

x =
9
m
(m

0)
Thay x =
9
m
vào y = 5 mx ta có: y = 5 -
9m
m
= - 4
Vậy với m

0 hệ (I) có nghiệm x =
9
m
; y = - 4
Thay x =
9
m

; y = - 4 vào pt (3) ta đợc:
(2m 1).
9
m
+ (m + 1)(- 4) = m

18 -
9
m
- 4m 4 = m

5m
2
14m + 9 = 0

(m 1).(5m 9) = 0

m 1
9
m
5
=



=

(thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m =
9

5
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn pt (3).
Dạng 7:
Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
Chú ý:
+)
a
Z
m



m

Ư(a) (a, m

Z)
+)
a
Z
m
b
Z
m

m

Ư(a,b)
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ + =


=

(m 2)x 2y 5
mx y 1

Tìm m

Z để hệ có nghiệm nguyên
Giải:
Từ (2) ta có: y = mx 1. Thay vào (1) ta đợc:
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5

3mx + 2x = 7
14

x.(3m + 2) = 7 (m

2

3

)

x =
+
7
3m 2
.
Thay vào y = mx 1

y =
+
7
3m 2
.m 1

y =

+
4m 2
3m 2
Để x

Z

+
7
3m 2

Z

3m + 2

Ư(7) =
}
{

7; 7;1; 1
+) 3m + 2 = - 7

m = - 3
+) 3m + 2 = 7

m =
5
3
(Loại)
+) 3m + 2 = 1

m =
1
3

(Loại)
+) 3m + 2 = -1

m = - 1
Thay m = - 3 vào y =

+
4m 2
3m 2


y = 2 (t/m)
Thay m = - 1 vào y =

+
4m 2
3m 2


y = 6 (t/m)
Kết luận: m

Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
(m 3)x y 2
mx 2y 8
+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
Giải:
Từ (1) ta có y = 2 (m 3).x

y = 2 mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 mx + 3x) = 8

- mx + 6x = 4

x.(6- m) = 4 (m

6)

x =
4
6 m

. Thay vào y = 2 (m 3).x ta có: y =
24 6m
6 m


Để x

Z

4
6 m

Z

6 - m

Ư(4) =
}
{
1; 1;2; 2;4; 4

+) 6 m = 1

m = 5
+) 6 m = -1

m = 7
+) 6 m = 2

m = 4
+) 6 m = - 2

m = 8
+) 6 m = 4

m = 2
+) 6 m = - 4

m = 10
Thay m = 5 vào y =
24 6m
6 m

y = - 6 (t/m)
Thay m = 7 vào y =
24 6m
6 m



y = 18 (t/m)
Thay m = 4 vào y =
24 6m
6 m



y = 0 (t/m)
Thay m = 8 vào y =
24 6m
6 m



y = 17 (t/m)
15
Thay m = 2 vào y =
24 6m
6 m



y = 3 (t/m)

Thay m = 10 vào y =
24 6m
6 m



y = 9 (t/m)
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m


{ }
5;7;4;8;2;10
Dạng 8:
Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
2
2
mx y m
2x my m 2m 2

=


+ = + +



a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Tìm m để biểu thức: x
2
+ 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.
Giải:
a) Do m
2

0

với mọi m


m
2
+ 2 > 0 với mọi m.
Hay m
2
+ 2

0 với mọi m
Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx m
2
(3)
Thế vào (2) ta đợc
2x + m(mx m
2
) = m
2
+ 2m +2

2x + m
2
x m
3
= m
2
+ 2m +2

2x + m
2
x = m
3
+ m
2
+ 2m +2

x(2 + m
2
) = (m
3
+ 2m) + (m
2
+ 2)

x(2 + m
2
) =(m + 1)(m
2
+ 2) do m

2
+ 2

0

x = m + 1
Thay vào (3)

y = m.(m + 1) m
2
= m
Thay x = m + 1; y = m vào x
2
+ 3y + 4 ta đợc:
(m + 1)
2
+ 3m + 4 = m
2
+ 5m + 5
= (m
2
+ 2.
5 25 5
m )
2 4 4
+
=
2
5 5 5
(m )

2 4 4

+
Do
2
5
(m ) 0
2
+
Vậy min (x
2
+ 3y + 4) =
5
4

khi m =
5
2

Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

=


+ = +

Tìm m để biểu thức: A = 2y
2
x
2
nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Giải:
Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m
2
+ m + 2. Thay vào (2) ta có:
5x + m.( 3mx - 6m
2
+ m + 2) = m
2
+12m

x.(5 + 3m
2
) = 6m
3
+ 10m (5 + 3m
2


0 với mọi m)

3
2

6m 10m
x 2m
3m 5
+
= =
+
Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m
2
+ m + 2 ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)
2
(2m)
2
= -2(m
2
4m
16
(2)
(1)
4)
A = -2(m
2
4m + 4 8)
= -2(m
2
4m + 4) +16 =
2
2(m 2) 16 16 +
Do
2

2(m 2) 0

( )
m
Vậy max A = 16 khi m = 2
Dạng 9:
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số.
Ví dụ 1: Cho hệ pt:
+ =


+ =

2mx 3y 5
x 3my 4
a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:
2m.3m 3.(-1) = 6m
2
+ 3 > 0 với mọi m
Vậy 6m
2
+ 3

0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Rút m từ (1) ta đợc m =
5 3y
2x

thay vào (2) ta có: -x + 3.
5 3y
2x

=
4

2x
2
+ 8x -15y + 9y
2
= 0.
Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho hệ pt:
(m 1)x y m
x (m 1)y 2
+ =


+ =

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 3:
Cho hệ pt:

+ = +


=

2
2
5x ay a 12a
3ax y 6a a 2

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào a.
Bài tập về nhà:
Bài 1:
Giải hệ phơng trình:
( 2 1) 1
2
m 1 n
1 ( 2 1)
1
m 1 n


=




+

+ =


Bài 2:

Cho hệ phơng trình
2
2x 3y 7
3mx (m 3)y m 6m 3
=


+ + =

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)
Bài 3:
Cho hệ pt:
(m 1)x 2ny 2
3mx (n 2)y 9
+ + =


+ =

a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
17
(2)
Bài 4:
Cho hệ phơng trình
2
3x 2y 8
mx (3m 1)y m 1
+ =

+ + =

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = -6 (3)
Bài 5:
Cho hệ phơng trình
x my 3
2x 3my 5
+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m
2
1)x 10my = 4m + 5
Bài 6:
Cho hệ pt:
(m 2)x y 3
mx 3y 7
+ + =


+ =


a) Giải hệ pt với m = -1
b) Tìm m để x > 0, y > 0

Bài 7:
Cho hệ pt:
mx my m
mx y 2m
+ =


+ =

Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.
Bài 8:
Cho hệ pt:
(m 1)x 2y 5
mx y 1
+ + =


=


a) Giải hệ pt với m = 2
b) Tìm m

Z để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 9:
Cho hệ pt:
(m 3)x y 2
mx 2y 5
+ =

+ =


Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
Bài 10:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

=


+ = +



Tìm m để biểu thức: A = 2y
2
x
2
nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Bài 11:
Cho hệ pt:
2
2
3mx y 3m 2m 1
x my 2m

= +


+ =


Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
HD:
2
2
3mx y 3m 2m 1
x my 2m

= +


+ =



2
2
6mx 2y 6m 4m 2
3x 3my 6m

= +


+ =

2
6mx 3x 2y 3my 4m 2
x my 2m
= +


+ =

Rút m từ (1) ta đợc:
3x 2y 2
m
6x 3y 4
+ +
=
+
. Thay vào (2) ta có:
2
3x 2y 2 3x 2y 2
x .y 2.( )
6x 3y 4 6x 3y 4
+ + + +
+ =
+ +
. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y
không phụ thuộc vào m.
Phơng trình bậc hai một ẩn.
Phần I. Lý thuyết:

18
I.
Định nghĩa.
II.
Phân loại.
1.
Phơng trình khuyết b và c.
2.
Phơng trình khuyết c: ax
2
+ bx = 0 (a

0)
Phơng pháp giải:
ax
2
+ bx = 0 (a, b

0)

x(ax + b) = 0

x 0
b
x
a
=

=


Phơng trình có hai nghiệm x
1
= 0; x
2
=

b
a
3.
Phơng trình khuyết b: ax
2
+ c = 0 (a, c

0)
Phơng pháp giải:
ax
2
+ c = 0 (a

0)


2
c
x
a

=
+)
+)
Nếu
c
a

< 0

Phơng trình vô nghiệm.
Nếu
c
a

> 0

P. trình có hai nghiệm phân biệt:

=
1
c
x
a
;

=
2
c
x

a
4.
Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax
2
+ bx + c = 0 (a , b, c

0)
Phơng pháp giải:

= b
2
4ac
+)

< 0

Phơng trình vô nghiệm
+)

> 0

P.trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
+
b
2a
; x
2
=

b
2a
+)

= 0

Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
b
2a

Ví dụ 1: Giải phơng trình:
+ =
2
x 5x 6 0
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
+ =
2
3x 12x 6 3 0
Ví dụ 3: Giải phơng trình: x
2
-2(
3
+ 1)x + 2
3
= 0

Ví dụ 4: Giải phơng trình: (
3
+1)x
2
-2(
3
+ 2)x +
3
+ 3 = 0
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
2
5 3 1
x x 0
4 2 4
+ =
(1)
Phần II.
Phân dạng bài tập:
Dạng 1:
Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số.
Bài 1: Cho phơng trình
+ =
2
x 5x m 0
. Giải phơng trình với m =
6
Bài 2: Giải phơng trình
+ =
2
mx 4mx 6 3 0

với m = 3
Bài 3: Giải phơng trình x
2
-2(m + 1)x + 2m = 0 với m =
3
Bài 4: Giải phơng trình mx
2
-2(m + 1)x + m + 2 = 0 với m =
3
+1
Bài 5: Giải phơng trình
+ =
2
5 1
mx 3mx 0
2 4
với m =
1
2
Dạng 2:
Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phơng trình.
19
- Đặt điều kiện: a

0
- Tính

(

)

- Để phơng trình vô nghiệm thì

< 0 (

< 0);
Để phơng trình có nghiệm kép thì

= 0 (

= 0)
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì

> 0 (

> 0)
Bài 1:
Cho phơng trình: x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 2m + 1 = 0
a) Tìm m để pt vô nghiệm
b) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
Bài 2:
Cho phơng trình: (m + 3)x
2
+ 2.(m + 5)x + m + 1 = 0
Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
Bài làm: Điều kiện: m + 3

0

m

-3
Xét

= 2
2
(m + 5)
2
4.(m + 3)(m + 1) = 24m + 88
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì:

> 0

24m + 88 > 0

m >
11
3

Vậy pt có hai nghiệm phân biệt khi m >
11
3

và m

-3
Bài 3:

Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 3)x + 2m + 6 = 0
Tìm m để pt có nghiệm kép.
Bài làm:
Xét

= 2
2
.(m + 3)
2
4.( 2m + 6) = 4(m
2
+ 4m -3 )
Để pt có nghiệm kép thì:

= 0

4(m
2
+ 4m -3) = 0

m
2
+ 4m -3 =0


1
2
m 1

m 3
=


=

Vậy pt có nghiệm kép khi m = -1 hoặc m = -3
Bài 4:
Cho phơng trình: (2m - 10)x
2
+ (3m - 15)x + m+1 = 0 (1)
Tìm m để pt có nghiệm kép.
Bài làm:
(1)

2(m 5 )x
2
+ 3(m 5)x + m +1 = 0
Điều kiện: 2(m 5 )

0

m

5
Xét

= 3
2
.(m - 5)

2
4.2.( m 5)(m + 1) = (m 5 )(m 53)
Để pt có nghiệm kép thì:

= 0

(m 5 )(m 53) = 0


=


=

m 5 (loai)
m 53 (tm)
Vậy pt có nghiệm kép khi m = 53
Dạng 2:
Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 1:
Cho phơng trình: 7x
2
- (3m + 1)x m
2
- 1 = 0 (1)
CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài làm:
Ta có: a.c = 5.( m
2
- 1) = -5(m

2
+ 1) < 0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
20
Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 3)x +2m 4 = 0 (1)
CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Bài làm:
Ta có:

= 2
2
.(m + 3)
2
4.( 2m 4)
= 4(m
2
+4m + 4 + 9) = 4(m + 2)
2
+ 36 > 0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Bài 3:
Cho phơng trình: (m
2
m + 3) x
2
- 2(m + 3)x 5 = 0 (1)
CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài làm:
Ta có:
Hệ số a = m
2
m + 3 = (m -
1
2
)
2
+
11
4


0 m

'
= (m + 3)
2
+ 5(m
2
m + 3)
= m
2
+6m + 9 + 5m
2
5m + 15
= 6m
2
+ m + 24

= 6(m +
1
2
)
2
+
69
2
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Tổng quát: Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt:
- Cách 1: Chứng minh: a.c < 0
- Cách 2: Chứng minh:
0
a 0
>




Dạng 3:
GiảI và biện luận phơng trình bậc hai dạng ax
2
+ bx + c = 0.
Tổng quát:
Với a = 0: phơng trình trở thành pt bậc nhất bx + c = 0.
+ Nếu b

0 thì phơng trình có nghiệm x =

c
b
+ Nếu b = 0 và c

0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
Với a

0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt số:

= b
2
4ac ( hay

= b
2
ac)
+ Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= -
b
2a

+ Nếu

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
+ +
=
b b' '
2a a
x
2
=

=
b b' '
2a a
Bài 1:
Giải và biện luận phơng trình:
(m 2)x
2
2(m + 1)x + m = 0
Bài làm:
Bài 2:
Giải và biện luận phơng trình:
(m 3)x
2
2mx + m - 6 = 0
21
Dạng 4:

Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung.
Tổng quát:
Giả sử x
0
là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = x
0
vào hai ph-
ơng trình ta đợc hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay
không.
Ví dụ :
Cho hai phơng trình: x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0
a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung:
b) Định a để hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài tập về nhà:
Bài 1:
Giải các phơng trình:
a) 3x
2
+ 7x + 2 = 0
b) (5 -
2
)x
2
10x + 5 +

2
= 0
Bài 2:
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
5x
2
12x + m 3 = 0
Bài 3:
Xác định m để phơng trình sau vô nghiệm.
(m
2
- 1)x
2
+ mx + 5 = 0
Bài 4:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh phơng trình sau vô
nghiệm:
b
2
x
2
(b
2
+ c
2
a
2
)x + c
2
= 0

Bài 5:
Xác định m để phơng trình sau có đúng một nghiệm.
(m 2)x
2
2(m + 1)x + m = 0
Bài 6:
Cho phơng trình (5m
2
+ 1)x
2
+ (31m 13)x 6 = 0
Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 7:
Cho phơng trình x
2
- 2(m - 4)x 6m + 1 = 0
Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 8:
Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
x
2
+ mx + 2 = 0 và x
2
+ 2x + m = 0
GiảI bài toán bằng cách lập phơng trình
và lập hệ phơng trình.
Các dạng toán:
Dạng 1:
Toán chuyển động.
- Ba đại lợng: S, v, t

- Quan hệ: S = vt; t =
S
v
; v =
S
t
.
Chú ý: V
xuôi
= V
thực
+ V
nớc
;

V
ngợc
= V
thực
V
nớc
Bài 1:
Hai ngời đi trên hai con đờng vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc
từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đờng
biết rằng nếu hai ngời đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngợc chiều nhau
thì mỗi giờ họ cách nhau 7km.
Bài 2:
Một ngời dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu
ngời đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng AB giảm
đi 1giờ. Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờng

AB tăng 2giờ so với dự định. Hỏi ngời đó đi với vận tốc và thời gian dự định
22
là bao nhiêu?
Giải:
Gọi vận tốc mà ngời đó dự định đi là x(km/h) (x > 0)
Gọi thời gian mà ngời đó dự định đi là y(h) (y > 0)

Quãng đờng AB là: xy
- Khi tăng vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x + 10 (km/h). Và
thời gian giảm đi 1giờ nên thời gian đi hết quãng đờng là: y - 1 (h).
- Khi giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x - 10 (km/h). Và
thời gian tăng 2 giờ nên thời gian đi hết quãng đờng là: y + 2 (h).
Do quãng đờng AB luôn không đổi nên ta có hệ pt:
+ =


+ =

(x 10)(y 1) xy
(x 10)(y 2) xy


+ =


=

x 10y 10
2x 10y 20

=


=

x 30(tm)
y 4(tm)
Vậy vận tốc mà ngời đó dự định đi là: 30 (km/h)
Và thời gian mà ngời đó dự định đi là: 4giờ
Bài 3:
Hai bến sông A và B cách nhau 240km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến
địa điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngợc dòng
từ B đến C. Ca nô từ A đến C trớc ca nô đi từ B đến C 1 giờ. Tìm vận tốc của
dòng nớc biết vận tốc thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h.
Dạng 2:
Lập số.
= +
ab 10a b
= + +
abc 100a 10b c
Điều kiện: 0 < a

9; 0

b, c

9 (a, b, c

Z )
Bài 1:

Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai
chữ số ta đợc số mới có ba chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai
chữ số đã cho ta đợc một số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị.
Giải:
Gọi số cần tìm là:
ab
(
0 a 9<
;
0 b 9<
; a,b

Z )
- Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta đợc số mới lớn hơn số đã
cho là 280 nên ta có:
a1b ab 280 =


100a + 10 +b 10a b = 280

a = 3 (1)
- Do khi đổi chỗ hai chữ số ta đợc một số mới lớn hơn số đã cho là 18
nên ta có:
ba ab 18 =


10b + a 10a b = 18

b a = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có: a = 3, b = 5.

Vậy số cần tìm là: 35
Bài 2:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số
hàng chục 4 đơn vị. Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta đợc
thơng là 3 và d 7.
Giải:
Gọi số cần tìm là:
ab
(
0 a 9<
;
0 b 9<
; a,b

Z )
- Do chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 4 đơn vị nên ta có: b
a = 4 (1)
- Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta đợc thơng là 3 và d 7
nên ta có:
ab
= 3. (a + b) + 7

10a + b = 3a + 3b + 7

7a 2b = 7 (2)
23
Từ (1), (2) ta có hệ pt:
b a 4
7a 2b 7
=

=



a 3
b 7
=


=

Vậy số cần tìm là: 37
Dạng 3:
Toán làm chung làm riêng.
+ Qui ớc: Cả công việc là 1 đơn vị.
+ Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc bao
nhiêu phần công việc.
Phần công việc =
1
thoigian
Bài 1:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất
làm trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ
hoàn thành công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong
công việc?
Giải:
Cách 1:
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình thì xong công việc là: x(giờ) (x >

0).
Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình thì xong công việc là: y(giờ) (y> 0).
- Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc:
1
x
(công việc)
- Trong 1 giờ ngời thứ hai làm đợc:
1
y
(công việc)
Vậy trong 1 giờ cả hai ngời làm đợc
1
8
(công việc) nên ta có:
+ =
1 1 1
x y 8
(1)
- Trong 6 giờ ngời thứ nhất làm đợc:
6
x
(công việc)
- Trong 9 giờ ngời thứ hai làm đợc:
9
y
(công việc)
Theo bài ra ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ
thì xong công việc nên ta có:
+ =
6 9

1
x y
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

+ =




+ =


1 1 1
x y 8
6 9
1
x y
Đặt
1
a
x
=
;
1
b
y
=
ta đợc:

+ =



+ =

1
a b
8
6a 9b 1



=




=


1
a
24
1
b
12


=

=

x 24
y 12
Vậy thời gian ngời thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là: 24giờ
Và thời gian ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ
Cách 2:
Gọi số phần công việc ngời thứ nhất làm trong 1giờ là: x (x > 0)
Và số phần công việc ngời thứ hai làm trong 1giờ là: y (y > 0)
- Do hai ngời làm chung trong 8 giờ thì xong công việc nên ta có: x + y
=
1
8

8x + 8y = 1 (1)
24
- Do ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ
thì xong công việc nên ta có pt: 6x + 9y = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
+ =


+ =

8x 8y 1
6x 9y 1

=




=


1
x
24
1
y
12

Vậy thời gian ngời thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là: 24giờ
Và thời gian ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ
Bài 2:
Trong một bể nớc có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai
vòi thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao nhiêu lâu thì đầy
bể. Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn thời gian chảy ra hết
bể nớc đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi.
Dạng 4:
Toán diện tích.
Bài 1:
Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ
tăng thêm 88m
2
. Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì

diện tích sẽ tăng thêm 18m
2
. Tìm kích thớc hình chữ nhật?
Giải:
Gọi chiều dài ban đầu của HCN là x(m) (x > 0)
Và chiều rộng ban đầu của HCN là y(m) (y> 0)

Diện tích của HCN là: xy (m
2
)
Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng thêm 88m
2
nên
ta có:
(x + 4)(y + 4) xy = 88

x + y = 18 (1)
Do khi giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm
18m
2
nên ta có:
(x 2 )(y + 3 ) xy = 18

3x 2y = 24 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
x y 18
3x 2y 24
+ =

=




x 10
y 8
=


=

Vậy chiều dài ban đầu của HCN là 10 (m)
Và chiều rộng ban đầu của HCN là 8 (m)
Bài 2:
Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm đợc 900 sản phẩm. Sang tháng 2 do sự thay
đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ
I; số sản phẩm của tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II. Vì vậy
tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm. Hỏi trong
tháng 1 mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm?
Giải:
Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất đợc trong tháng1 là x(sản phẩm) (x > 0, x

Z)
Và số sản phẩm của tổ II sản xuất đợc trong tháng 1 là y(sản phẩm) (y> 0, y

Z)
Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm đợc 900 sản phẩm nên ta có:
x + y = 900 (1)
Trong tháng 2 tổ I sản xuất đợc:

90
x
100
(sản phẩm)
Trong tháng 2 tổ II sản xuất đợc:
120
y
100
(sản phẩm)
Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có:
25