de thi HSG toan 6 (2010 - 2011)

trờng thcs mão điền Đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm
học 2010 2010
Môn Toán 6
Thời gian làm bài 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
__________________________________

Bài 1 (4,5 điểm) Tính một cách hợp lý:
a) 38 + 41 + 117 + 159 + 62
b) 37.69 + 31.37 - 37.30
c) 1999.19981998 + 19991999.1998
Bài 2 (4 điểm) Tìm số tự nhiên x biết:
a)
( )
1 2 3 2 7x
+ =
b) (13.3
x

2
- 3
x
) : 2 = 162 (với x

2)
c.) Cho S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4

+ 5
5
+ 5
6
+ 5
2004
. Chng minh S chia ht cho 126 .
Bài 3 (4,5 điểm):
a) Tìm a, b bit rng
23ab
chia ht cho 2 , 3 v 5
b) Vit thêm 5 s hng ca dãy s sau : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ;
c) Tìm số nguyên tố p biết p + 1 cũng là số nguyên tố.
Bài 4 (4 điểm):
Số học sinh lớp 6A của một trờng trung học cơ sở trong khoảng từ 23 đến 45, khi
ngồi bàn 3, bàn 4, bàn 5 thừa ra số học sinh lần lợt là 1, 3, 1. Tính số học sinh của lớp
đó.
Bài 5 (3 điểm):
Trờn on thng AB = 3 cm ly im M. Trờn tia i ca tia AB ly im N sao cho
AM = AN.
a. Tớnh di on thng BN khi BM = 1 cm.
b. Hóy xỏc nh v trớ ca M (trờn on thng AB) BN cú di ln nht.
================== Hết =================
Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 6
__________________________________
Bài 1 (3 điểm) Tính một cách hợp lý:
a) 37.69 + 31.37 - 37.30
= 37.(69 + 31 - 30)
= 37.70

= 2590
b) 1999.19981998 + 19991999.1998
= 1999.1998.10001+ 1999.1998.10001
= (1999.1998 + 1999.1998).10001
= 0.10001 = 0
Bài 2 (4,5 điểm) Tìm số tự nhiên x biết:
a)
( )
1 2 3 2 7x
+ =

1 6 4 7
5 4 7
4 7 5
4 12
3
x
x
x
x
x
+ =
=
=
=
=
=> x = 3
hoặc x = -3 (loại vì
x N

)
Vậy x = 3
b) (13.3
x

2
- 3
x
) : 2 = 162
13.3
x 2
- 3
x

2 + 2
= 162 . 2
13.3
x

2
- 3
2
. 3
x

2
= 324

(13 - 9).3
x

2

= 324
4.3
x

2

= 324
3
x

2

= 324 : 4
3
x

2

= 81
3
x

2

= 3
4

x 2 = 4
x = 6
Bài 3 (2 điểm):
Ta có p và p + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên phải có một số chẵn
Mà p và p + 1 là hai số nguyên tố và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất nên một trong
hai số p và p + 1 có một số bằng 2
Vì p > 1 => p + 1 > 2
=> p = 2
Bài 4 (3 điểm):
Gọi số học sinh của lớp 7A là a ( a

N; 23

a

45 )
Lập luận để có 2a 2

BC (3; 4; 5) 1 đ
Nên 2a - 2 = k.BCNN (3; 4; 5) với k là số tự nhiên 0,5 đ
Hay 2a - 2 = k.60 => a = k.30 + 1 0,5 đ
Vì số học sinh trong khoảng từ 23 đến 45 nên ta có 23
30 1k
+
45
0,25 đ
Từ đó tìm đợc k = 1 0,5 đ
Vậy số học sinh lớp 7A là 31. 0,25 đ
Bài 5 (3 điểm):
Giả sử tích (a

1
- b
1
)(a
2
- b
2
) (a
3
- b
3
)

(a
2007
- b
2007
) là số lẻ
Suy ra các hiệu a
1
- b
1
; a
2
- b
2
; a
3
- b
3

;

; a
2007
- b
2007
(1)

cùng lẻ
Mà (1) có số các hiệu là số lẻ (2007 hiệu) nên ta có:
(a
1
- b
1
) + (a
2
- b
2
) + (a
3
- b
3
)

+

+ (a
2007
- b
2007

) là số lẻ (2)
Ta có b
1
; b
2
; b
3
;; b
2007
là một hoán vị của các số a
1
; a
2
; a
3
;

; a
2007
.
Nên a
1
+ a
2
+ a
3
+

+ a
2007

= b
1
+ b
2
+ b
3
+ + b
2007
=> (a
1
- b
1
) + (a
2
- b
2
) + (a
3
- b
3
) +

+ (a
2007
- b
2007
) = 0
=> (a
1
- b

1
) + (a
2
- b
2
) + (a
3
- b
3
) +

+ (a
2007
- b
2007
) là số chẵn (3)
Từ kết quả trên ta thấy (2) mẫu thuẫn với (3)
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
x
o
Do đó điều giả sử (a
1
- b
1
)(a
2

- b
2
) (a
3
- b
3
)

(a
2007
- b
2007
) là số lẻ là sai
Vậy (a
1
- b
1
)(a
2
- b
2
) (a
3
- b
3
)

(a
2007
- b

2007
) là số chẵn
Bài 6 (4,5 điểm):
a) (2 điểm) Điểm M
2
có là trung điểm của đoạn thẳng M
1
M
3
hay không? Vì sao?
Trên tia Ox ta có OM
1
< OM
2
< OM
3
=> M
2
nằm giữa M
1
và M
3
(1)
0,5 đ
Tính đợc M
2
M
3
= 7 cm
0,5 đ

Tính đợc M
1
M
2
= 7 cm
0,5 đ
Suy ra M
1
M
2
= M
2
M
3
(2) 0,25 đ
Từ (1); (2) => M
2
là trung điểm của đoạn thẳng M
1
M
3
0,25 đ
b) (2,5 điểm):
Giả sử trong các điểm M
1
; M
2
; M
3
; M

4
; ; M
101
; M
102
(1) không có ba
điểm nào thẳng hàng
0,25 đ
Từ một điểm bất kỳ trong (1) ta vẽ đợc 101 đờng thẳng qua các điểm còn
lại trong (1)
0,5 đ
Làm nh thế với 102 điểm ta đợc 101 . 102 = 10302 đờng thẳng
0,5 đ
Nhng mỗi đờng thẳng đã đợc tính 2 lần nên tất cả chỉ có 10302 : 2 = 5151
(đờng thẳng)
0,5 đ
Vì trong (1) có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đờng thẳng giảm đi là
3 1 = 2
0,5 đ
Vậy số đờng thẳng cần tìm là: 5151 2 = 5149 (đờng thẳng).
0,25 đ
* Chú ý:
1, Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng ứng.
+ Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với
nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn.
Cõu 5: (2.0 im)
- Hỡnh v:
- M nm gia hai im A, B nờn MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm)

- AN = AM = 2 (cm).
- A nm gia hai im N, B nờn BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm).
- BN = AN + AB, AB khụng i nờn BN ln nht khi AN ln nht.
- AN ln nht khi AM ln nht.
- AM ln nht khi AM = AB.
- Lỳc ú M trựng vi B v BN bng 6(cm).
Cú: 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
= 5(1 + 5
3
) + 5
2
(1 + 5
3
) + 5
3
(1 + 5
3
)
= 5. 126 + 5
2
.126

+ 5
3
.126
5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
chia ht cho 126.
0,50
M
1
M
2
M
3
0,25 đ
N A M B
S = (5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4

+ 5
5
+ 5
6
) + 5
6
(5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
) + … + 5
1998
(5 + 5
2
+
5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ 5
6
).

Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
0,25
Có: 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
= 5+ 5
3
+ 5(5 + 5
3
) = 130 + 5. 130.
⇒ 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
chia hết cho 130 .
0,25
S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
4
(5 + 5

2
+ 5
3
+ 5
4
) + … + 5
2000
(5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
)
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
0,25
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 0,25