Tải bản đầy đủ (.doc) (14 trang)

Ứng dụng bài tập SGK để giải các bài tập khác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (180.04 KB, 14 trang )

ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
I đặt vấn đề
Một trong nhng mục tiêu và nhiệm vụ của các bộ môn văn hoá nói
chung , môn toán học nói riêng là học sinh phải nắm đợc kiến thức cơ bản
của bài học,sau đó là phải biết vận dụng triệt để những kiến thức đó vào
những bài tập cụ thể hoặc những tình huống cụ thể . Nếu học sinh chỉ nắm
đợc kiến thức mà không biết vận dụng kiến thức đó thì mới đáp ứng đợc
một phần rất nhỏ yêu cầu của giáo dục. Học sinh phải biết phát triển , phải
biết vận dụng những kiến thức đã có từ đó mới thấy đợc ý nghĩa sâu sắc của
kiến thức và dần hình thành cho học sinh một phơng pháp nghiên cứu khoa
học , dần hình thành t duy sáng tạo cho học sinh .
Năm nay đợc nhà trờng phân công dạy môn toán lớp 9 là lớp cuối cấp
của bậc THCS , là một mắt xích rất quan trọng trong quá trình học tập của
các em . Nó đánh giá kết quả học tập của các em thông qua kì thi tuyển
sinh vào lớp 10 trung học phổ thông. Vì vậy để dạy cho học sinh phải có
một vốn kiến thức sâu rộng chắc chắn thì mới đảm bảo đợc các yêu cầu của
bậc học.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong sách giáo khoa toán 9
tập 2 có hai bài tập (bài 23 - trang 76 ,bài 34 - trang 80 ) có rất nhiều ứng
dụng trong việc phân tích tìm lời giải bài tập hình học dạng chứng minh
đẳng thức a.b = c.d , a
2
= c.d. Chính vì vậy tôi chọn viết sáng kiến kinh
nghiệm này với mục mục đích để giúp các em học sinh và các bạn đồng
nghiệp có thêm một kinh nghiệm giải toán hinh học .
II cơ sở khoa khọc
1.Cơ sở lí luận
Quy luật của quá trình nhận thức là từ trực quan sinh động đến t duy trừu
tợng ,song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không có bền vững
hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động ,sáng tạo của chủ thể .


ở lứa tuổi HS THCS các em đang có xu hớng vơn lên làm ngời lớn ,
muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trìmh nhận thức , muốn có
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 1 -
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
một hình thức học tập mang tính ngời lớn . Nhng ở lứa tuổi này các em cha
biết thể hiện nguyện vọng của mình , cha nắm đợc các phơng pháp thực
hiện các hình thức học tập mới . Vì vậy cần phải có sự hớng dẫn , điều
hành một cách khóa học của ngời thầy .
2.Cơ sở thực tiễn
Nhìn chung hiện nay học sinh của chúng ta còn lời học,lời t duy trong
quá trình học . Học sinh còn cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có đợc
nhng hoạt động đích thực của bản thân để chủ động nắm kiến thức . Hơn
thế nữa hình học là một môn học trừu tợng khó hiểu ,đa phần các em đều sợ
học môn hình ,có rất ít học sinh yêu thích môn hình. Đều do các em cha
biết cách học môn hình, cha biết vân dụng các bài đã làm vào làm các bài
khác.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong SGK toán 9 tập 2 có hai
bài tập (bài 23 trang 76,bài 34 trang 80) có rất nhiều ứng dụng trong việc
phân tích tìm lời giải bài toán khác.Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh
nghiệm này với mục đích giúp học sinh có thêm một công cụ giải toán ,dần
hình thành cho học sinh phơng pháp học tâp môn hình,cung nh tạo hứng thú
học tập cho học sinh .

III Giải quyết vấn đề
Bài 23: (SGK toan 9 trang 76 tập 2)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đờng tròn .
Qua điểm M kẻ hai đờng thẳng .Đờng thẳng thứ nhất cắt đờng tròn (O) tại
A và B. Đờng thẳng thứ hai cắt đờng tròn (O) tai C và D.Chứng minh
MA.MB = MC.MD .

Giải
Ta xét hai trờng hợp
*)Trờng hợp 1: Điểm M nằm ngoài đờng tròn (O)
Xét
AMD

CMB
Có góc M chung
ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC)
=>
AMD

CMB
(g-g)
=>
MB
MD
MC
MA
=
=> MA.MB = MC .MD
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 2 -
C
O
B
A
M
D
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải

bài tập khác .
* Trờng hợp 2: Điểm M nằm bên trong đờng tron (O)
Xét
MAD

MCB
Có AMD = CMB (đối đỉnh )
ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC )
=>
MAD

MCB
(g-g)
=>
MB
MD
MC
MA
=
=> MA.MB = MC .MD
Nh vậy với mọi vị trí của điêm M không nằm trên đờng tròn (O) thì ta có
MA.MB =MC.MD .
Bài 34: (SGK toán 9 - trang 80 tập 2)
Cho đờng tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đờng tròn đó .Qua điểm
M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh MT
2
= MA.MB.

Giải
Xét

MAT

MTB
Có góc M chung
MAT = MBT ( vì cùng bằng nửa số đo cung AT )
=>
MAT

MBT
( g-g)
=>
MB
MT
MT
MA
=
=> MA.MB = MT
2
Nh vậy MT
2
= MA.MB
*Kết hợp hai bài toán trên ta có kết quả sau:
Từ một điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O)
kẻ tiếp tuyến MT và hai cát tuyên MAB và MCD
ta có MT
2
= MA.MB = MC.MD
Ta coi kết quả trên là bài toán (*)
Chú ý: Tứ giác ABCD nội tiếp mà có
tia BA ,tia CD cắt nhau tại

điểm M nh hình vẽ thì ta có .
MA.MB = MD.MC
Bây giờ ta sẽ sử dụng bài (*) để làm một số bài tập hình học dạng
chứng minh đẳng thức a.b = c.d hoặc a
2
= c.d trong đó a,b,c,d là các độ dài
hình hoc.
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 3 -
C
A
D
B
O
M
M
T
A
B
O
M
C
O
D
T
B
A
M
C
B

D
A
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
Bài 1: ( Đề thi chon đội tuyển thi HSG thành phố -Vĩnh Bảo năm học
2007-2008 và thi lí thuyết gáo viên giỏi Vĩnh Bảo 2008-2009)
Cho đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh OX,OY của XOY lần lợt tại A và
B .Từ A kẻ tia song song với OB cắt đờng tròn tại C.Tia OC cắt đờng tròn
tại E.Tia AE cắt OB tại K. chứng minh OK = KB
*Phân tích tìm lời giải:
Theo bài toán (*) ta dễ nhận thấy KB
2
= KE.KA
=> Muốn chứng minh OK =KB ta
chứng minh OK
2
= KE.KA.Việc
làm này không khó ta chỉ việc chứng minh

OKE

AKO

* Từ việc phân tích trên ta có lời giải sau
Giải
Xét
KBE

KAB
Có góc K chung

KBE = KAB (Vì cùng bằng nửa số đo cung BE)
=>
KBE KAB
(g-g)
=>
KAKEKB
KB
KE
KA
KB
.
2
==
(1)
Xét
OKE

AKO
Có OKE = AKO (2)
ACO = EOK (So le trong )
OAK = ACO (Vì cùng bằng nửa số đo cung AE)
=> OAK = EOK (3)
Từ (2) và (3) =>
OKE

AKO
(g-g)
=>
KAKEOK
OK

KE
KA
OK
.
2
==
(4)
Từ (1) và (4) =>
22
KBOK =
=> OK = KB
Vậy OK = KB .
Bài 2:
Cho đờng tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đờng
tròn .Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ,cắt dây AB
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 4 -
O
K
B
E
C
A
y
x
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
tại D.Tia CP cắt đờng tròn (O) tại I .Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
Chứng minh CA.CB = CK.CD .
*Phân tích tìm lời giải:

Theo bài toán (*) ta có CA.CB = CI.CP
Nh vậy ta chỉ việc chứng minh CI.CP = CK.CD
Mà tứ giác DKIP nội tiếp nên thêo bài toán (*)
ta có CI.CP = CK.CD
=> CA.CB = CK.CD
Giải
Xét
CBP

CIA

Có góc C chung
CAI = CPB (vì cùng bằng nửa số đo cung IB)
=>
CBP

CIA
(g-g)
=>
CPCICACB
CA
CP
CI
CB
==
(1)
Xét
CIK

CDP

Có góc C chung
Có CDP = CIK (Vì cùng bằng 90
o
)
=>
CIK

CDP
(g-g)
=>
CDCKCPCI
CP
CK
CD
CI
==
(2)
Từ (1) và (2) ta có CB.CA = CK.CD
Vậy CA.CB = CK.CD
Bài 3: (Bài 246 -nâng cao phát triển toan 9 - tâp. 2 - trang 97)
Cho tam giác ABC có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .
Chứng minh
a) BH.BE + CH.CF = BC
2
b) AH.AD + BH.BE + CH.CF =
2
222
BCACAB ++
* Phân tích tìm lời giải:
a)Tứ giác CDHE nội tiếp nên theo bài toán (*)

ta có BH.BE =BD.BC
Tứ giác BDHF nội tiếp nên thêo bài toán (*)
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 5 -
P
A
Q
C
I
D
K
B
O
A
F
E
H
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
ta có CH.CF =CD.BC
=> BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC
= BC (BD + CD ) = BC.BC = BC
2
* Từ phân tích trên ta có lời giả sau :
Giải
a) Xét
BHD

BCE


Có góc B chung
BDH = BEC (Vì cùng bằng 90
o
)
=>
BHD BCE
(g-g)
=>
BCBDBEBH
BE
BD
BC
BH
==
(1)
Xét
CDH

CFB
Có góc C chung
CDH = CFB (vì cùng bằng 90
o
)
=>
CDH CFB
(g-g)
=>
CFCHCBCD
CB
CH

CF
CD
==
(2)
Từ (1) và (2) ta có BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC
=> BH.BE + CH.CF = BC (BD + CD)
=> BH.BE + CH.CF = BC.BC
=> BH.BE + CH.CF = BC
2
b) Chứng minh tơng tự câu (a) ta có
BH.BE + CH.CF = BC
2
AH.AD + BH.BE = AB
2

CH.CF + AH.AD = AC
2

=> BH.BE+CH.CF+AH.AD+BH.BE+CH.CF+AH.AD = AB
2
+AC
2
+BC
2
=> 2AH.AD + 2BH.BE + 2CH.CF = AB
2
+ AC
2
+ BC
2

=> AH.AD + BH.BE + CH.CF =
2
222
BCACAB ++
Bài 4:( Đề thi HSG thành phố Hải Phòng năm
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). Đờng thẳng AD cắt đờng
thẳng BC tại E, đờng thẳng DC cắt đờng thẳng AB tại F .Chng minh EA.ED
+ FA.FB = EF
2
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 6 -
B
D
C
E
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .

* Phân tích tìm lời giải:
Trên EF lấy điểm H sao cho tứ giác ABHE
nội tiếp
EHB = BAD (Vì cùng bù với EAB)
BAD = BCF (Vì cùng bù với BCD)
=> EHB = BCF
Có EHB + BHF = 180
o
=> BHF + BCF = 180
o
=> Tứ giác BCFH nội tiếp => EB.EC = EH.EF
Có tứ giác ABCD nội tiếp => EA.EB = EB.EC

Có tứ giác AEHB nội tiếp => FA.FB = FH .EF
=> EA.ED + FA.FB = EH.EF + FH.EF
=> EA.ED + FA.FB = EF (EH + FH )
=> EA.ED + FA.FB = EF.EF
=> EA.ED + FA.FB =EF
2
* Bạn đọc tự trình bày lời giải.
Bài 5:
Cho tam giác ABC có đờng cao AH .M và N lần lợt là trung điểm của
AB và AC .Chng minh ba đờng tròn ngoại tiếp ba tam giác HBM , HCN
,AMN đồng qui tại điểm K và đờng thẳng HK đi qua trung điểm của MN .
Giải
* Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đờng tròn ngoại tiếp tam
giác BHM cắt nhau tại điểm K
Có tứ giác AMKN nội tiếp =>ANK+AMK = 180
o
Có BMK + AMK = 180
o
=>ANK = BMK (1)
Có tứ giác BMKH nội tiếp
=> BMK + BHK = 180
o
Có CHK + BHK = 180
o
=> BMK = CHK (2)
Từ (1) và (2) ta có CHK = ANK
Có ANK + CNK = 180
o
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 7 -

O
F
H
C
B
D
A
I
A
M
B
H
C
N
K
O
1
O
2
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
=> CNK + CHK = 180
o
=> Tứ giác CNKH nội tiếp => Điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác
HCN .Hay ba đờng tròn ngoại tiếp ba tam giác AMN , HBM,HCN đồng
quy tại một điểm K .
* Giả sử đờng thẳng HK cắt MN tại I , O
1



O
2
lần lợt là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác BHM và CHN .
Tam giác AHB vuông tại H , M là trung điểm của AB => MH = MB = MA
=>Tam giác BHM cân tại M => O
1
thuộc đờng trung trực của BH
=> MO
1


BH
Tơng tự NO
2

CH
Có MN là đờng trung bình của tam giác ABC => MN// BC
=> MN vuông góc với O
1
M, O
2
N lần lợt tại M và N
=>MN là tiếp tuyến chung hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác BHM và
CHN.
=> Theo bài toan (*) ta có IM
2
=IK.IH , IN
2
= IK.IH

=> IM
2
= IN
2
=> IM = IN => I là trung điểm của MN
=> Đờng thẳng HK đi qua trung điểm của MN .
Bài 6: (Trích đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2003 )
Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB và CD .Tiếp tuyến tại A của
đờng (O) cắt hai đờng thẳng BC và BD tại hai điểm tơng ứng E và F.Chứng
minh CE.DF.EF = CD
3

DF
CE
BF
BE
=
3
3
Giải
Xét tứ giác ACBD
Có CBD = ACB = CAD = 90
o
(vì đều
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
=> Tứ giác ACBD là hình chữ nhật
=> CD =AB
Có tam giác EBD vuông tại A
=> AB
2

= EA.FA => AB
4
= EA
2
.FA
2
Theo bài toán (*) ta có EA
2
=EC.EB , FA
2
=FD.FB
=>AB
4
=EC.FD.EB.FB mà EB.FB = EF.AB
=> AB
4
=EC.FD.EF.AB
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 8 -
O
B
E
A
F
D
C
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
=> AB
3

= EC.FD.EF
=> CD
3
= CE.DF.EF (do AB = EF )

CF
CE
BF
BE
BFDF
BECE
AF
AE
BF
BE
AF
AE
EFFA
EFEA
BF
BE
=====
3
3
2
2
4
4
2
2

.
.
.
.
Bây giơ ta xét xem bài toan (*) có bài toán đảo không .
Bài toán thứ nhất:
Cho góc XOY trên tia OX lấy hai điểm A và B,trên tia OY lấy hai điểm
C và D sao cho điểm A nằm giữa O và B,điểm D nằm giữa O và C và
OA.OB = OD.OC .Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Giải
Xét
OAD

OCD

OB
OD
OC
OA
=
( Do OA.OB = OD.OC )
Góc O chung
=>
OAC ODB
(c- g - c )
=> OAD = DCB
Có OAD + BAD = 180
o
( vì là hai góc kề bù )
=> BAD + DCB = 180

o
Xét tứ giác ABCD có BAD + DCB = 180
o
=> Tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài toán thứ 2:
Cho tam giác BCT .Trên tia CB lấy điểm A sao cho AT
2
= AB.AC .
Chứng minh AT là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCT .
Giải
Xét
ATB

ACT
Có góc A chung
AT
AB
AC
AT
=
(Do AT
2
= AB.AC )
=>
ATB

ACT
(c-g-c)
=>ATB = ACT hay ATB = BCT
Từ O kẻ OH vuông góc với BT (H


BT )
Có OT = OB => Tam giác OBT cân tại O
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 9 -
O
D
C
y
x
B
A
T
A
B
C
O
H
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
=> Đờng cao OH đồng thời là tia phân giác của góc BOT
=> HOT =
2
1
BOT mà BCT =
2
1
BOT => BCT = HOT
=> ATB = HOT
Có tam giác OHT vuông tại H

=> HOT + HTO = 90
o
=> ATB + HTO = 90
o
=> ATO = 90
o
=> AT vuông góc với OT tại T
=> AT là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại T
* Nh vậy bài toán (*) có bài toán đảo.
Chú ý: Bài toán (*) chính là một phần bài toán phơng tích mà học sinh đợc
học ở lớp 10.Nội dung bài toán nh sau:
Từ một điểm M không nằm trên đờng tròn (O;R) kẻ cát tuyến MAB với
đờng tròn.Tích MA.MB đợc gọi là phơng tích của điểm M với đờng tròn
(O;R) và đợc kí hiệu kà P
M/(o)
= MA.MB = d
2
- R
2
( trong đó d = OM ) .
Chứng minh
Trờng hợp 1: Điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O)
Từ M kẻ tiếp tuyên MT với đờng tròn (O)
Ta có MA.MB = MT
2
Tam giác MTO vuông tại T nên theo định lí PITAGO
Ta có MT
2
= MO
2

- OT
2
= d
2
- R
2
=> MA.MB = d
2
- R
2
Trờng hợp 2: Điểm M nằm bên trong đờng tròn (O)
Kẻ đơng kính CD đi qua điểm M
Ta có MA.MB = MC.MD
Mà MC.MD = (OC OM).(OD + OM)
=> MC.MD = (R - d)(R + d) = R
2
- d
2
=> MA.MB = R
2
- d
2
Nh vậy P
M/(O)
=MA.MB = d
2
-R
2

Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh

- 10 -
B
M
O
T
A
B
A
D
O
M
C
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
IV Kết quả thực nghiệm
Từ năm học 2005 đến nay tôi đợc phân công giảng dạy môn toán lớp 9
và tôi đã áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy. Bớc
đầu tôi đã gây đợc hứng thú học tập cho học sinh ,học sinh đã có khả năng
làm nhanh các bài tập cơ bản , đặc biệt học sinh khá giỏi đã vận dụng kha
tôt nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào gải bài tập. Cuối cùng với khả
năng bình thờng của một giáo viên tôi mạnh dạn viết nên sáng kiến kinh
nghiệm của mình mong các bạn đồng nghiệp hởng ứng và góp ý kiến cho
tôi để công tác giảng dạy của tôi ngày càng tiến bộ.
Cao Minh ngày 2 tháng 2 năm 2009
Ngời viết

Phạm Vãn Hng
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 11 -
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải

bài tập khác .

Tài liệu tham khảo
STT Tài liệu Tác giả
1 Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2
Vũ Hữu Bình
2 Bộ đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng
3 1001 bài toán sơ cấp
Nguyễn Văn Vĩnh
Nguyễn Văn Đồng
4 Toán nâng cao hình học 9
Võ Đại Mau

Mục lục
Phầ
n
Nội dung Trang
I
Đặt vấn đề
1
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 12 -
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
II
Cơ sở khoa học
1.Cơ sở lí luận
2.Cơ sở thực tiễn
2
III

Giải quyết vấn đề
3 -13
IV
Kết quả thực nghiệm
14
V
Tài liệu tham khảo
15
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
bản cam kết
I. Tác giả:
Họ và tên : Phạm Văn Hng
Ngày, tháng, năm sinh : 17/ 8/1980
Đơn vị : Trờng THCS Cao Minh.
Điện thoại : Di động: 01698047019
II. Sản phẩm :
Tên sản phẩm : ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm
định hớng giải bài tâp khác.
III. Cam kết:
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân
tôi. nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 13 -
ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định h ớng giải
bài tập khác .
sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh
đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD ĐT về tính trung thực của bản cam kết này.
Cao Minh, ngày 15 tháng 1 năm 2009
Ngời cam kết

( Ký, ghi rõ họ tên)


Phạm Văn Hng
Ngời viết : Phạm Văn H ng- Tr ờng THCS Cao Minh
- 14 -

×