Đề thi HSG Toán 9 Huyện Bạch Thông

UBND HUYỆN BẠCH THÔNG
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1:(4 điểm)
Rút gọn biểu thức:
2 3 5 13 48
6 2
A
+ − +
=
+
Câu 2:(4 điểm)
a. Giải phương trình sau:
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − =
b. Giải hệ phương trình sau:
2 2
1
2011
x y
x y
+ =


− =

Câu 3:(4 điểm) Giải bài toán cổ sau:
Một đoàn em bé tắm bên sông,
Lấy ống làm phao, nổi bồng bềnh.

Hai chú một phao, thừa bảy chiếc,
Hai phao một chú, bốn người không.
Hỡi người thạo tính, cho hỏi thử,
Mấy phao, mấy chú, tính cho thông?
Câu 4:(4 điểm)
a. Trong hình bên, cho biết M là
trung điểm của AC và các đường
thẳng AD, BM và CE đồng qui
tại K. Hai tam giác AKE và BKE
có diện tích là 10 và 20. Tính
diện tích tam giác ABC.
b. Với giá trị nào của góc nhọn
α
thì biểu thức
3sin 3 cosP
α α
= +
có giá trị lớn nhất?
Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Câu 5:(4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, Â = 45
0
. Đường tròn
đường kính BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EOFC là hình
gì? Vì sao?
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
1
2

2
2 3 5 ( 12) 2 12 1
2 3 5 13 48
6 2 6 2
2 3 5 ( 12 1) 2 3 4 2 3
6 2 6 2
2 3 ( 3 1) 2 3 3 1
6 2 6 2
2 2 3 2 4 2 3 2( 3 1)
1
6 2 6 2 6 2
A
+ − + +
+ − +
= = =
+ +
+ − + + −
= = =
+ +
+ − + −
= = =
+ +
+ + +
= = = =
+ + +
0.5
1.0
1.0
1.5
2

a.
ĐK:
{
1
1
2 1
x
x
x x
≥


<=> ≥

≥ −


2
2
2 1 2 1 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 4
2 2 4( 1) 4
( 2) 2
2 2 2 0 2
x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x
x x x x
+ − + − − =

<=> + − + + − − − + − − =
<=> + − − =
<=> + − =
<=> − = − <=> − ≥ <=> ≤
Kết hợp với điều kiện bài ra ta có:
1 2x≤ ≤
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
b.
2 2
1
1
( )( ) 2011
2011
1 1 1006
2011 2 2012 1005
x y
x y
x y x y
x y
x y x y x
x y x y
+ =
+ =



<=>
 
+ − =
− =


+ = + = =
  
<=> <=> <=>
  
− = = = −
  
1.0
1.0
3 - Gọi số người là x (x >4) ; số phao là y (y >7)
- Vì hai chú một phao thừa bảy chiếc nên ta có : y -
2
x
= 7 (1)
- Vì hai phao một chú bốn người không nên ta có : 2x - y = 8 (2)
- Từ (1) và (2 ) ta có hệ phương trình :
7
2
2 8
x
y
x y

− =




− =

- Giải hệ phương trình ta tìm được :
10
12
x
y
=


=

ĐS: 10 em bé và 12 phao.
0.5
0.75
0.75
0.5
1.0
0.5
4
a.
- vì MA = MC =>
ABM CB M
S S
∆ ∆
=
và
AK M CKM

S S x
∆ ∆
= =
(1)
10 1 1
20 2 2
AK E
BK E
S AE
AE BE
S BE
∆
∆
= = = => =
=>
1
2
AEC BEC
S S
∆ ∆
=
(2)
- Từ (1) và (2) =>
30
BK C
S
∆
=
(3)
=> 20 + 30 = 2(10 + 2x) => x = 7,5

= >
ABC
S
∆
= 10 + 20 + 30 +2. 7,5 = 75
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
b.
- Vì 0
0
< α < 90
0
=>
3sin 3 cosP
α α
= +
>0
- Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

2 2 2 2
3sin 3 cos (3 ( 3) ).(sin cos ) 2 3
α α α α
= + ≤ + + =P
=> giá trị lớn nhất của P là: P =
2 3
với 0

0
< α < 90
0

0.5
1.0
0.5
5 Ta có = mà = 45
0
nên = 90
0
. Điểm O nhìn đoạn BC dưới một góc
vuông nên O thuộc đường tròn đường kính BC. Từ đó :
-
∆
BOC vuông cân tại O nên = = 45
0
, = = 45
0
(góc nội tiếp cùng
chắn cung OC của dd]ơngf tròn đường kính BC).
-
∆
AEC vuông tại E có Â = 45
0
nên = 45
0
.
Tứ giác EOFC nội tiếp có = = 45
0

nên = = 135
0
.
=> EOFC là hình thang cân.
1.0
1.0
1.0
1.0
Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác nhưng đúng thì vẫn cho điểm tối đa.