Các dạng toán cơ bản

Dạng I:
rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605− − +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+ −
;
3)
15 216 33 12 6− + −
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +
−
− +
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3
− +
+
+ −
;

6)
16 1 4
2 3 6
3 27 75
− −
;
7)
4 3
2 27 6 75
3 5
− +
;
8)
( )
3 5. 3 5
10 2
− +
+
9)
8 3 2 25 12 4 192− +
;
10)
( )
2 3 5 2− +
;
11)
3 5 3 5− + +
;
12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +

;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − −
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ + − −
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −
+
+ + − −
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−
;
17)
14 8 3 24 12 3− − −
;
18)

4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+ − −
;
19)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+ − −
20)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
− + + +
.
Bài 2: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1
  
− +
− −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 3: Cho biểu thức

x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2
 
−
 
+ + − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− + +
 
 
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
− +
− + − +
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
1
a)
2 2
2 2

x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + − + − −
+
+ − − + + −
;
b)
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
;
c)
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
− + +
;
d)
x 1 2 x 2
H =

x 2 1
− − −
− −
Bài 6: Cho biểu thức
1 1 a 1
M = :
a a a 1 a 2 a 1
+
 
+
 ÷
− − − +
 
a) Rút gọn biểu thức M;
b) So sánh M với 1.
Bài 7: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2
− −
−
và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
− + −
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 8: Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ − +
+ −
− +
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một
giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
−
+ − − +
 
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1

P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2
3
.
Bài 10: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
   
+ + +
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− + − − +
   
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2
≤ −
.
Dạng II
2
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A
; y
A

) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Vớ dụ 1: Tỡm hệ số a của hàm số: y = ax
2
biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2
a = 1
Vớ dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trỡnh:
y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cỏch tỡm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tỡm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trỡnh f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để
tỡm tung độ giao điểm.
Chỳ ý: Số nghiệm của phương trỡnh (II) là số giao điểm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b

1
.
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) cắt (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)

d) (d
1
) (d
2
) a
1
a
2
= -1
IV.Tỡm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trỡnh gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tỡm
(x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tỡm được vào phương trỡnh cũn lại để tỡm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx
2
(c 0).
1.Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tỡm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trỡnh:
3
cx
2
= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx
2
để
tỡm tung độ giao điểm.
Chỳ ý: Số nghiệm của phương trỡnh (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tỡm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau phương trỡnh (V) cú hai nghiệm phõn biệt.
b) (d) và (P) tiếp xỳc với nhau phương trỡnh (V) cú nghiệm kộp.

c) (d) và (P) khụng giao nhau phương trỡnh (V) vụ nghiệm .
VI.Viết phương trỡnh đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x
0
;y
0
)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tỡm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tỡm được và x
0
;y
0
vào công thức y = ax + b để tỡm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2

) nên ta có hệ phương trỡnh:
Giải hệ phương trỡnh tỡm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xỳc với (P): y = cx
2
(c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0) nờn:
Pt: cx
2
= ax + b cú nghiệm kộp
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trỡnh trờn để tỡm a,b.
VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x
0

;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x
0
;y
0
vào phương trỡnh đường thẳng chuyển về phương trỡnh ẩn m hệ số x
0
;y
0
nghiệm đúng
với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trỡnh trờn với 0 giải hệ tỡm ra x
0
;y
0
.
VIII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.
1.Ứng dụng vào phương trỡnh.
2.Ứng dụng vào bài toỏn cực trị.
bài tập về hàm số.
Bài tập 1.
cho parabol y= 2x
2
. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đường thẳng y= 3x-1.
4
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đường thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đường thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).

e. biện luận số giao điểm của (p) với đường thẳng y=2m+1. ( bằng hai phương pháp
đồ thị và đại số).
f. cho đường thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bài tập 2.
cho hàm số (p): y=x
2
và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phương trình đường thẳng d
1
vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm
phân biệt C,D sao cho CD=2.
Bài tập 3.
Cho (P): y=x
2
và hai đường thẳng a,b có phương trình lần lượt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đường thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đường thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm được hãy:
+ Chứng minh các đường thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ
giao điểm của (a) và (d).

Bài tập 4.
cho hàm số
xy
2
1−
=
(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đường thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân
biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài tập5.
cho hàm số y=2x
2
(P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài tập 6.
cho hàm số y=-x
2
(P) và đường thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
5
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại
hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. gọi (x
1
;y
1
); (x

2
;y
2
) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng
S=x
1
+y
1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập7.
cho hàm số y=
x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1-
2
)
2
+ x=m
2
-m+1
+ x=(m-n)
2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không
thuộc đồ thị hàm số? tại sao.

d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị
hàm số y= x-6
Bài tập 8.
cho hàm số y=x
2
(P) và y=2mx-m
2
+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1-
2
)
2
.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao
điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài tập 9.
cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm
cố định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x
2
tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB=
3
.
Bài tập 10.
trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đường thẳng (d) y=ax+b.
a. tìm a và b để đường thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bài tập 11.

cho hàm số y=x
2
(P) và y=3x+m
2
(d).
a.
chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt.
b.
gọi y
1
, y
2
kà các tung độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y
1
+y
2
= 11y
1
.y
2
bài tập 12.
cho hàm số y=x
2
(P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
6
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. hãy viết phương trình đường
thẳng AB.

c. lập phương trình đường trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bài tập 13
a. viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x
2
tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x
2
(P) và B(3;0), tìm phương trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với
(P) và đi qua B.
c. cho (P) y=x
2
. lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x
2
. lập phương trình d song song với đường thẳng y=2x và tiếp xúc
với (P).
e. viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x
2
tại điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x
2
tại điểm
có tung độ bằng 9.
Dạng III:
Hệ phương trình
Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
a.
2 3

3 7
x y
x y
− =


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =


Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= − = − = =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ − = = = − =
   
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =



5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + = =
  
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=


- Để giảI loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −



+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = − = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = + − = = −
   
Vaọy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


= −

- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:

7
1.2.
2 3

1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y≠ − ≠
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y


+ = −

+



+ = −

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x

x y

=
= =
 
 

+ = − = −
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
+ = = −
    
= =
+ =
+ +
 
 

+


Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

= −




=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y≠ − ≠
.
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   

+ = = = =
   

1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 
=
=




(TMĐK)
Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

= −



=

Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Baứi 2: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp theỏ)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)

2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =


Baứi 3: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp coọng ủaùi soỏ)
2.1.
3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b

x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y


− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2
x y
b
x y

+ =


− =


Baứi 4:
8
Giaỷi heọ phửụng trỡnh
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =



+ + =

trong moói trửụứng hụùp sau
a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Baứi 5:
a) Xaực ủũnh heọ soỏ avaứb, bieỏt raống heọ phửụng trỡnh
2 4
5
x by
bx ay
+ =


− = −

coự
nghieọm laứ (1; -2)
b) Cuừng hoỷi nhử vaọy neỏu heọ phửụng trỡnh coự nghieọm
( )
2 1; 2−
Baứi 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =



+ = −


a) Tửứ ủoự suy ra nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh
2
2
1 1
3
1
1 1
m n
m n
m n
m n

+ =


+ +


+ = −

+ +

Baứi 7: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau:

2 4
3 1
x y

x y
+ =


− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y

x y
− − =


+ − =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =

;
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y

y x
− =


− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =




+ =


;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =



Bài 8: Cho hệ phương trình



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(

)3;2
Bài 9: GiảI các hệ phương trình sau
a)







=
−
−
+
=
−
−
+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)






=+
−=−
22
843
yx
yx
c)





=−+−
=−−−
1222
32423
yx
yx
(đk x;y
≥
2 )

3 5
1
x y
x y

+ =



− + = −


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= − +


= −


;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



− =


;
( )( 2 ) 0

5 3
x y x y
x y
+ − =


− =

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

− =


+ = −



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

− = −


+ = +



;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ − = + −


− + = − +

.
9

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
− − + + − =



− + − − − =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + − =


− + + − =

;

1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =



;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =

+ −

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

− +




− = −

− +

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y

− =

− + + −



+ =

− + + −

………………………………………………………………………………
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS giải được các bài toán thực tế bằng cách lập HPT.

* Kĩ năng:
- HS được củng cố kĩ năng phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải bài
toán bằng cách lập HPT.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, lô gíc chặt chẽ, rõ ràng.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Bước 1: + Lập HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập HPT.
* Bước 2: Giải HPT.
* Bước 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
III, Bài tập và hướng dẫn:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng
vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2. Một người đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng14
km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quãng
đường AB, vận tốc và thời gian dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô
xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và
vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km hết 7 giờ. Một lần khác ca nô
xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng hết 7 giờ. Tính vận tốc của dòng nước và vận
tốc thật của ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi được nửa quãng đường xe nghỉ 30
phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đường còn
lại. Tính thời gian xe chạy.
10
Bài 6. Hai người đi ngược chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ

B lúc 7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi người đi hết
quãng đường AB. Biết M đến B trước N đến A là 1 giờ 20 phút.
HPT:
2 1
1
1
3
x y
y x

− =




− =


Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngược chiều về phía nhau. Tính quãng
đường AB và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách
chính giữa quãng đường AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp
nhau sau 1 giờ 24 phút.

HPT:
10
2
1 ( 2 ) 2( )
5
x y
x y x y

− =



+ = +


Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì
số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng
tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao
nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để
mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong
5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn
thành trong bao lâu.
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi
5m thì diện tích giảm đi 75
2
m
. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi
bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải
kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi
hàng có bao nhiêu ghế.
DạngIV
Phương trình bậc hai+hệ thức vi-ét
Tóm tắt lí thuyết:

Cách giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
∆
= b
2
- 4ac
* Nếu
∆
> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
11
x
1
=
-b -
2a
∆
; x
2
=
-b +
2a
∆

* Nếu
∆
= 0 phương trình có nghiệm kép: x
1

= x
2
=
-b
2a
* Nếu
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm
Chú ý 1: Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công
thức nghiêm thu gọn.

∆
' = b'
2
- ac
* Nếu
∆
' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b' - '
a
∆
; x
2
=
-b' + '
a
∆

* Nếu
∆
' = 0 phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b'
a
* Nếu
∆
' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý 2:
* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 và x
2
=
c
a
Chú ý 3:
* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 và x
2
=
c
a
−

Chú ý 4:
* Hệ thức viét trong trường hợp phương trình có nghiệm
1 2
1 2
-b
x x =
a

c
x .x
a

+




=


Bài tập 1:
Giải các phương trình bậc hai sau
TT Các phương trình cần giải theo
∆
TT Các phương trình cần giải theo
∆
'
1.
6 x
2

- 25x - 25 = 0 1. x
2
- 4x + 2 = 0
2.
6x
2
- 5x + 1 = 0 2. 9x
2
- 6x + 1 = 0
3.
7x
2
- 13x + 2 = 0 3. -3x
2
+ 2x + 8 = 0
4.
3x
2
+ 5x + 60 = 0 4. x
2
- 6x + 5 = 0
5.
2x
2
+ 5x + 1 = 0 5. 3x
2
- 6x + 5 = 0
6.
5x
2

- x + 2 = 0 6. 3x
2
- 12x + 1 = 0
7.
x
2
- 3x -7 = 0 7. 5x
2
- 6x - 1 = 0
12
8.
x
2
- 3 x - 10 = 0 8. 3x
2
+ 14x + 8 = 0
9.
4x
2
- 5x - 9 = 0 9. -7x
2
+ 6x = - 6
10.
2x
2
- x - 21 = 0 10. x
2
- 12x + 32 = 0
11.
6x

2
+ 13x - 5 = 0 11. x
2
- 6x + 8 = 0
12.
56x
2
+ 9x - 2 = 0 12. 9x
2
- 38x - 35 = 0
13.
10x
2
+ 17x + 3 = 0 13. x
2
-
2 3
x + 2 = 0
14.
7x
2
+ 5x - 3 = 0 14. 4
2
x
2
- 6x -
2
= 0
15.
x

2
+ 17x + 3 = 0 15. 2x
2
-
2 2
x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phương trình sau thành phương trình bậc hai rồi giải
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x
2
- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x
2
- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x
2

e) -6x
2
+ x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x
2
+ x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x
2

- x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x
2
- 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x
2
- x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 3: Cho phương trình: x
2
- 2(3m + 2)x + 2m
2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m lần lượt bằng các giá trị:
m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x lần lượt bằng
x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4: Cho phương trình: x
2
- 2(m - 2)x + m
2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m lần lượt bằng các giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x lần lượt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5:
Cho phương trình: x

2
- 2(m - 2)x + 2m
2
+ 3m = 0
a) Giải phương trình với m lần lượt bằng các giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x lần lượt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
13
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 6: Cho phương trình: x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= x
2
Bài tập 7:
Cho phương trình : ( m + 1) x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x

1
= 2x
2

Bài tập 8:
Cho phương trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Giải phương trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= - 2x
2
Bài tập 9:
Cho phương trình : x
2
- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 3x
2

Bài tập 10:
Biết rằng phương trình : x

2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có
một nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 11:
Biết rằng phương trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 12:
Biết rằng phương trình : x
2
- (6m + 1 )x - 3m
2
+ 7 m - 2 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm
14
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 13:
Biết rằng phương trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
- 3m + 3 = 0 ( Với m là tham số ) có
một nghiệm

x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14: Cho phương trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai
(m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài tập 16:Cho phương trình: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
a) Giải phương trình với m = - 2
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x

2
thảo mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2

Bài tập 17: Cho phương trình: mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phương trình: x
2
- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2

Bài tập 19: Cho phương trình: x
2
- (2m- 6)x + m -13 = 0
15
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
1
. x
2
- x
1
2
- x
2
2

Bài tập 20: Cho phương trình: x
2
- 2(m+4)x + m
2
- 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để A = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
- x
2
đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2

Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x
2
+ 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn: A = x
1
2
x
2
+ x
2
2
x
1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình
mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện
1
2

2
2
1
=+
xx
Bài tập 23:
Cho phương trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài tập 24:
Cho phương trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x

1
; x
2
của phương trình thoả mãn
x
1
+ 4x
2
= 3
b) Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 25: Cho phương trình x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x
1
= 2x
2
.
Bài tập 26: Cho phương trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
16
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm
nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x

1
; x
2
của phương trình thoả mãn: x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài tập 27:
a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm
nghiệm chung đó?
x
2
- (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
- (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình
(2) và ngược lại.
Bài tập 28: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình:
x

2
- (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 29: Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

Bài tập 30: Gọi x

1
, x
2
là các nghiệm của phương trình.
x
2
+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 31: Cho phương trình: x
2
- m + (m - 2)
2
= 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
17

Bài tập 32: Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho
2 nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả mãn 10x
1
x
2
+
2
2
2
1
xx
+
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị đó.
Dạng V
Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại
H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
∠ CEH = 90
0
( Vì BE là đường cao)
∠ CDH = 90
0
( Vì AD là đường cao)
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0
18

Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90
0
.
CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90
0
.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>
AC
AH

AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90
0
; ∠C là góc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ∠C
1
= ∠A
1
( vì cùng phụ với góc ABC)
∠C
2
= ∠A
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ∠C
1
= ∠ C
2
=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
=> ∠C
1
= ∠E
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
∠C
1
= ∠E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
∠E
1
= ∠E
2
=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường
tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
∠ CEH = 90
0
( Vì BE là đường cao)

∠ CDH = 90
0
( Vì AD là đường cao)
19
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
0
Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 90
0
.
AD là đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 90
0
.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90
0
=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính
AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ∠BEC = 90
0
.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2

1
BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác
AOE cân tại O => ∠E
1
= ∠A
1
(1).
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E
3
= ∠B
1
(2)
Mà ∠B
1
= ∠A
1
( vì cùng phụ với góc ACB) => ∠E
1
= ∠E
3
=> ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠E
2

+ ∠E
3

Mà ∠E
1
+ ∠E
2
= ∠BEA = 90
0
=> ∠E
2
+ ∠E
3
= 90
0
= ∠OED => DE ⊥ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED
2
= OD
2
– OE
2
 ED
2
= 5
2
– 3
2

 ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M
thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng
AD và BC cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh ∠COD = 90
0
.
3. Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6. Chứng minh MN ⊥ AB.
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác
của góc BOM, mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù => ∠COD = 90
0
.
Theo trên ∠COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2
AB
.
Theo trên ∠COD = 90
0
nên OC ⊥ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM
=> BM ⊥ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có
IO là bán kính.
20
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD
6. Theo trên AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=

=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu
vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà
CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB
=> M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp
góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24
Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp
góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI ⊥ BK hay∠IBK = 90
0
.
Tương tự ta cũng có ∠ICK = 90
0
như vậy B và C cùng nằm trên
đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có ∠C
1
= ∠C
2
(1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
∠C
2
+ ∠I

1
= 90
0
(2) ( vì ∠IHC = 90
0
).

∠I
1
= ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => ∠C
1
+ ∠ICO = 90
0
hay AC ⊥ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH
2
= AC
2
– HC
2
=> AH =
22
1220 −
= 16 ( cm)
CH
2
= AH.OH => OH =
16

12
22
=
AH
CH
= 9 (cm)
OC =
225129
2222
=+=+ HCOH
= 15 (cm)
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy
điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp
điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một
đường tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Lời giải:
(HS tự làm).
Vì K là trung điểm NP nên OK ⊥ NP ( quan hệ đường kính
21
Và dây cung) => ∠OKM = 90

0
. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 90
0
; ∠OBM = 90
0
. như vậy K,
A, B cùng nhìn OM dưới một góc 90
0
nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 90
0
nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA
2
hay OI.OM = R
2
; và OI. IM = IA
2
.
4. Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì
qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động
nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường
thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là
đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB ⊥CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung
tuyến của ∆BEC => BEC là tam giác cân. => ∠B
1
= ∠B
2

2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ∠B
1
= ∠B
2
=> ∆ AHB = ∆AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE ⊥ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường
tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng
minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt

nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
(HS tự làm).
Ta có ∠ ABM nội tiếp chắn cung AM; ∠ AOM là góc ở tâm
chắn cung AM => ∠ ABM =
2
AOM∠
(1) OP là tia phân giác ∠
AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => ∠ AOP =
2
AOM∠
(2)
Từ (1) và (2) => ∠ ABM = ∠
AOP (3)
Mà ∠ ABM và ∠ AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
22
Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ∠PAO=90
0
(vì PA là tiếp tuyến ); ∠NOB = 90
0
(gt NO⊥AB).
=> ∠PAO = ∠NOB = 90
0
; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN
(5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ
Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ.
(6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 90

0
=> K là trung điểm
của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)
AONP là hình chữ nhật => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8).
Từ (7) và (8) => ∆IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ⊥ PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của
góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Lời giải:
1. Ta có : ∠AMB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ∠KMF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
∠AEB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ∠KEF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).

=> ∠KMF + ∠KEF = 180
0
. Mà ∠KMF và ∠KEF là hai góc đối
của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
Ta có ∠IAB = 90
0
( vì AI là tiếp tuyến ) => ∆AIB vuông tại A có AM ⊥ IB ( theo trên).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI
2
= IM . IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do ……)
=> ∠ABE =∠MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có ∠AEB = 90
0
=> BE ⊥ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung
điểm của AF. (3)
Từ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ∠HAK
(5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến =>
E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của
mỗi đường).
(HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 45
0
(t/c góc nội tiếp ). (7)

Tam giác ABI vuông tại A có ∠ABI = 45
0
=> ∠AIB = 45
0
.(8)
23
Từ (7) và (8) => ∠IAK = ∠AIF = 45
0
=> AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa
đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ∠ ABD = ∠ DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
C thuộc nửa đường tròn nên ∠ACB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường
tròn ) => BC ⊥ AE.
∠ABE = 90
0
( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là
đường cao => AC. AE = AB
2
(hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB
là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.
∆ ADB có ∠ADB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

=> ∠ABD + ∠BAD = 90
0
(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
)
(1)
∆ ABF có ∠ABF = 90
0
( BF là tiếp tuyến ).
=> ∠AFB + ∠BAF = 90
0
(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
)
(2)
Từ (1) và (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cùng phụ với ∠BAD)
Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 180
0
.
∠ECD + ∠ACD = 180
0
( Vì là hai góc kề bù) => ∠ECD = ∠ABD ( cùng bù với ∠ACD).
Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mà ∠EFD + ∠DFB = 180
0
( Vì là hai góc kề bù) nên suy
ra ∠ECD + ∠EFD = 180
0
, mặt khác ∠ECD và ∠EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác
CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM <

MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đương
vuông góc từ S đến AB.
1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn
2. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác
PS’M cân.
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải:
1. Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90
0
; ∠AMB = 90
0
( nội tiếp chắn
nửa đường tròn ) => ∠AMS = 90
0
. Như vậy P và M cùng nhìn AS
dưới một góc bằng 90
0
nên cùng nằm trên đường tròn đường kính
AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.
2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng
nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau
=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ⊥ AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB)
=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) => ∠AS’S = ∠ASS’.
24
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn => ∠ASP=∠AMP (nội tiếp cùng chắn AP
)
=> ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân tại P.

3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M => ∠B
1
= ∠S’
1
(cùng phụ với ∠S). (3)
Tam giác PMS’ cân tại P => ∠S’
1
= ∠M
1
(4)
Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => ∠B
1
= ∠M
3
(5).
Từ (3), (4) và (5) => ∠M
1
= ∠M
3
=> ∠M
1
+ ∠M
2
= ∠M
3
+ ∠M
2
mà ∠M
3
+ ∠M

2
= ∠AMB = 90
0
nên suy
ra ∠M
1
+ ∠M
2
= ∠PMO = 90
0
=> PM ⊥ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D,
E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.
CF
BM
CB
BD
=

Lời giải:
1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF
cân tại A => ∠ADF = ∠AFD < 90
0
=> sđ cung DF < 180
0
=> ∠DEF < 90
0
( vì

góc DEF nội tiếp chắn cung DE).
Chứng minh tương tự ta có ∠DFE < 90
0
; ∠EDF < 90
0
. Như vậy tam giác
DEF có ba góc nhọn.
2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) =>
AD AF
AB AC
=
=> DF // BC.
3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có ∠ B = ∠C (vì tam giác ABC
cân)
=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn .
4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có ∠ DBM = ∠BCF ( hai góc đáy của tam giác cân).
∠BDM = ∠BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (vì so le) => ∠BDM = ∠CBF .
=> ∆BDM ∼∆CBF =>
CF
BM
CB
BD
=
Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn
thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng

cố định nào.
Lời giải:
1. Ta có ∠OMP = 90
0
( vì PM ⊥ AB ); ∠ONP = 90
0
(vì NP là tiếp
tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90
0
=> M và N cùng
nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ∠OPM = ∠ ONM (nội tiếp chắn cung
OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN
=> ∠OPM = ∠OCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 90
0
; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM lại
có MO là cạnh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)
25