Bài tập hệ thức lượng trong tam giác (Phân dạng chi tiết)

BÀI TẬP PHÂN DẠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CHI TIẾT
A. ĐỊNH LÝ COSIN
1. Cho ∆ ABC. Biết
a/ AB = 5 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60
o
. Tính BC
b/ AB = 6 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 120
o
. Tính BC
c/ AB = 4 ; AC = 2
2
;
A
ˆ
= 45
o
. Tính BC
d/ AB =
3
; AC = 2 ;
A
ˆ
= 30
o
. Tính BC

e/ AB = 2
3
; BC = 4 ;
B
ˆ
= 30
o
. Tính AC
f/ AB = 6 ; BC = 10 ;
B
ˆ
= 120
o
. Tính AC
g/ AB = 8 ; BC = 13 ;
A
ˆ
= 60
o
. Tính AC
h/ AB =
3
; BC =
2
;
C
ˆ
= 60
o
.Tính AC

i/
A
ˆ
= 60
o
; AC = 8 ; BC = 7 . Tính AB
j/
B
ˆ
= 120
o
; BC = 10 ; AC = 14 .Tính AB
2. Cho ∆ABC. Biết :
a/ AB = 3 ; BC = 7 ; AC = 8. Tính
A
ˆ
b/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14. Tính
A
ˆ
c/ AB = 5 ; BC = 8 ; AC = 7. Tính
B
ˆ
d/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14. Tính
B
ˆ
e/ BC = 2 ; AC =
6
; AB =
3
+ 1. Tính

A
ˆ
;
B
ˆ
;
C
ˆ
f/ BC = 2
3
; AC = 3
2
; AB = 3 +
3
. Tính
A
ˆ
;
B
ˆ
;
C
ˆ
g/ BC = 6 ; AC = 2
6
; AB = 3
2
−
6
. Tính

A
ˆ
;
B
ˆ
;
C
ˆ
h/ BC = 2
3
; AC = 2
2
; AB =
6
−
2
. Tính
A
ˆ
;
B
ˆ
;
C
ˆ
i/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15. Chứng minh
B
ˆ
là góc nhọn
B. ĐỊNH LÝ SIN

1. Cho ∆ ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
a/
A
ˆ
= 45
o
; BC = 4
2

b/
A
ˆ
= 120
o
; AB = 6 ; AC = 10
c/
A
ˆ
= 60
o
; AB = 3 ; AC = 8
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7
e/ AB = 5 ; AC = 2
3
; BC =
7
2. Cho ∆ ABC. Biết
a/ AC = 3 ; R =
3
. Tính

B
ˆ
b/ BC = 2 ; R =
2
. Tính
A
ˆ
c/
A
ˆ
= 60
o
; R =
21
. Tính BC
d/ Cos
A
ˆ
=
5
3
; R = 10 . Tính BC
e/
A
ˆ
= 60
o
;
B
ˆ

= 45
o
; BC =
3
. Tính AC
C. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
1. Tính diện tích ∆ ABC. Biết :
a/
A
ˆ
= 60
o
; AB = 6 ; AC = 8
b/
B
ˆ
= 45
o
; AB = 2
2
; BC = 5
c/
C
ˆ
= 30
o
; AC = 7 ; BC = 8
d/
A
ˆ

= 60
o
; AC = 2
3
+ 1 ; AB = 2
3
− 1
e/ Cos
A
ˆ
=
5
3
; AC = 7 ; AB = 5
f/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15
g/ AB = 7 ; AC = 6 ; BC = 5
h/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
i/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14
j/ BC = 6 ;
B
ˆ
= 60
o
;
C
ˆ
= 45
o
2. Cho ∆ ABC. Tính độ dài các đường cao, biết :
a/ AB = 5 ; BC = 7 ; CA = 8.

b/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14.
c/ AB = 3 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60
o
.
d/ AB = 6 ; AC = 10 ;
A
ˆ
= 120
o
.
e/ AC = 4 ; AB = 2 ; S = 2
3
f/ BC =
3
; AC = 1 ;
B
ˆ
= 30
o
.
3. Cho ∆ ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R
a/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
c/ AB = 3 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60

o
d/ AB = 6 ; AC = 10 ;
A
ˆ
= 120
o
e/ AB = 16 ; AC = 10 ;
A
ˆ
= 60
o
4. Cho ∆ ABC. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r.
a/ AB = 8 ; BC = 9 ; CA = 7
b/ AB = 5 ; AC = 6 ; BC = 7
c/ AB = 5 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60
o
d/ BC = 6 ;
B
ˆ
= 60
o
;
C
ˆ
= 45
o
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; BC = 2

D. ĐỊNH LÝ TRUNG TUYẾN
* Cho ∆ ABC. Tính độ dài các trung tuyến
a/ AB = 5 ; AC = 6 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
c/ AB = 8 ; AC = 9 ; BC = 10
d/ BC = 4 ; AC = 2
7
; AB = 2
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; S = 3
3
E. PHÂN GIÁC TRONG
* Cho ∆ ABC. Tính độ dài đường phân giác trong AD
a/ AB = 6 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60
o
b/ AB = 4 ; AC = 8 ;
A
ˆ
= 60
o
c/ AB = 3 ; AC = 8 ; BC = 7
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7
e/ AB = 10 ; AC = 16 ; BC = 14
F. TOÁN TỔNG HP
1. Cho ∆ ABC có AB = 5, AC = 8,
A
ˆ
= 60

o
.
Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyến AM
2. Cho ∆ ABC có AB = 13, BC = 14, AC = 15.
Tính S, AH, R, r, trung tuyến AM
3. Cho ∆ ABC có AB = 3, AC = 8,
A
ˆ
= 60
o
.
Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyến BN
4. Cho ∆ ABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7.
Tính
A
ˆ
, S, AH, R, r, trung tuyến CK
5. Cho ∆ ABC có AB = 10, AC = 16,
A
ˆ
= 60
o
.
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM
6. Cho ∆ ABC có AB = 13, AC = 8, BC = 7
Tính
A
ˆ
, S, AH, R, r, trung tuyến AM
7. Cho ∆ ABC có AB = 6, AC = 10,

A
ˆ
= 120
o
.
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến BN
8. Cho ∆ ABC có AB = 10, AC = 16, BC = 14.
Tính
A
ˆ
, S, AH, R, r, trung tuyến BN và phân giác AD
HỆ THỨC LƯNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN
A. PHƯƠNG TÍCH :
1. Cho đường tròn (O, R) và 1 điểm M. Tính P
M/(O)
, biết :
a/ OM = R
2
b/ OM =
5
; R =
3
c/ OM =
3
2
; R =
3
4
d/ OM = R
e/ OM =

2
R3
2. Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M. Tính OM biết :
a/ P
M/(O)
= 3R
2
b/ P
M/(O)
= −
4
R
2
c/ P
M/(O)
= 0
d/ P
M/(O)
= −R
2
e/ P
M/(O)
= 5R
2
3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trực tâm H.
a/ Tính P
B/(AC)

b/ Tính P
H/(AC)

4. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 3, AC = 4 và đường cao AH.
a/ Tìm P
H/(AB)

b/ Tìm P
H/(BC)

c/ Tìm P
B/(AC)

5. Trong đường tròn (O) cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau ở I.
a/ Biết IA = 3, IB = 4, CD = 8. Tính IC, ID.
b/ Biết IA = 12, IB = 18,
ID
IC
=
8
3
. Tính CD.
c/ Biết IA = 12, IB = 16, CD = 32. Tính IC, ID.
d/ Biết IA = 8, IB = 24, CD =
3
91
. Tính IC, ID.
e/ Biết P
I/(O)
= −28 , AB = 3. Tính IA, IB
6. Cho đường tròn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ 2 cát tuyến IAB và ICD.
a/ Biết IA = 12, IB = 6, CD = 1. Tính IC, ID.

b/ Biết IA = 5, IB = 6, CD = 13. Tính IC, ID.
c/ Biết IA = 3, IB = 8,
ID
IC
=
3
2
. Tính CD.
d/ Biết IA = 4, AB = 5, CD = 35. Tính IC, ID.
e/ Biết P
I/(O)
= 28 , CD = 3. Tính IC, ID.
7. Cho đường tròn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến IAB và tiếp tuyến IT.
a/ Biết IA = 4, IB = 9. Tính IT
b/ Biết R = 5, IO = 13. Tính IT
c/ Biết IT =
3
, AB = 2. Tính IA, IB
d/ Biết P
I/(O)
= 49. Tính IT
B. TỨ GIÁC NỘI TIẾP & TIẾP TUYẾN
1. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Gọi (O) là đường tròn đường kính AB; d là đường thẳng qua C và vuông góc với
BC. Gọi M, N là 2 điểm tùy ý trên (O) và AM, AN lần lượt cắt d tại M’, N’. CMR : M, M’, N, N’ cùng nằm trên
1 đường tròn.
2. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A & B. Gọi M là điểm tùy ý trên AB (nằm ngoài đoạn AB). Vẽ tiếp
tuyến MT với (O) và cát tuyến MCD với (O’).
CMR : MT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆TCD tại T
3. Cho đường tròn (O), R = 5 và 1 điểm I sao cho OI = 9.
a/ Tính P

I/(O)

b/ Vẽ cát tuyến IAB, biết IA = 7, Tính IB.
c/ Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M. Vẽ MH ⊥ IO. CMR : M, B, O, H, A nằm trên đường tròn . Tính
IH.
d/ MH cắt AB tại N; K là trung điểm AB.
CMR :
IB.IA
=
IN.IK
4. Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên (O) lấy điểm A sao cho AB = R.
a/ Tính AC theo R
b/ Trong ∆ABC kẻ đường cao AH. CMR : AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp ∆AHC.
c/ Gọi K là trung điểm AC và BK cắt đường tròn (O) tại E. Tính P
K/(O)
và độ dài KE.