Tóm tắt toàn bộ lý thuyết toán 12 ôn thi đại học

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC
I. Tam thức bậc hai:



x


,
2
ax bx c 0  


a b 0
c0
a0
0
  




















x


,
2
ax bx c 0  


a b 0
c0
a0
0
  

















 
2
+ bx + c = 0
Gi s g trình có 2 nghim
12
x ;x
thì:
12
b
S x x ;
a
   
12
c
P x .x
a


 Pt có 2 nghim phân bit
a0

0







 Pt có nghim kép
a0
0







 Pt vô nghim
a0
a0
b0
0
c0





  








 Pt có 2 nghim trái du
P0

 Pt có 2 nghim cùng du
0
P0







 Pt có 2 nghim phân bi
0
P0
S0










 Pt có 2 nghim phân bit cùng âm
0
P0
S0









II. Đa thức bậc ba:
 
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Gi s m
1 2 3
x ;x ;x
thì:
1 2 3
b
S x x x ;
a

    
1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
   

1 2 3
d
P x .x .x
a


III. Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
(kx)' k

(ku)' k.u'

1
(x )' .x
 


1
(u )' .u'.u .




1
( x)'
2x


u'
( u)'
2u


'
2
11
xx





'
2
1 u'
uu





(sinx)' cosx

(sinu)' u'.cosu

(cosx)' sinx

(cosu)' u'.sinu

2
1
(tan x)'
cos x


2
u'
(tanu)'
cos u


2
1
(cot x)'
sin x



2
u'
(cotu)'
sin u




xx
(e )' e

uu
(e )' u'.e

1
(ln x)'
x


u'
(lnu)'
u


 
a
1
log x '
xlna


 
a
u'
log u '
ulna



xx
(a )' a .lna

uu
(a )' u'.a .lna

Quy tắc tính đạo hàm
(u  v) = u  v
(uv) = uv + vu
2
u u v v u
vv

  




(v  0)
x u x
y y .u   

Đạo hàm của một số hàm thông dụng
1.
 
2
ax b ad bc
y y'

cx d
cx d

  



2.
 
22
2
ax bx c adx 2aex be cd
y y'
dx e
dx e
    
  




LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 2

Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ.
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
 Tìm tnh ca hàm s.
 Xét s bin thiên ca hàm s:

o Tính y.
o m to hàm y bng 0
hoc không xnh.
o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn
vô cc và tìm tim cn (nu có).
o Lp bng bin thiên ghi rõ du co
hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.
 V  th ca hàm s:
o m un c th i vi hàm
s bc ba và hàm s ).
 Tính y.
 m t = 0 và xét du y.
o V ng tim cn (nu có) c
th.
o nh mt s c bit c
th m c th vi các trc to 
ng h th không ct các trc to 
hoc vic tìm to  m phc tp thì có th
b qua). Có th tìm thêm mt s m thu
th  có th v 
o Nhn xét v  th: Ch ra tr i
xi xng (nu có) c th.
2. Hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d (a 0)    
:
 Tnh D = R.
  th luôn có mm un và nhm un
i xng.
 Các d th:

m phân bit
 
2
 3ac > 0
a > 0
a < 0


m kép  
2
 3ac = 0
a > 0
a < 0


m  
2
 3ac < 0
a > 0
a < 0


3. Hàm số trùng phƣơng
42
y ax bx c (a 0)   
:
 Tnh D = R.
  th luôn nhn trc tung làm tri xng.
 Các d th:
m phân bit  ab < 0

a > 0
a < 0


1 nghim phân bit  ab > 0
a > 0
a < 0


4. Hàm số nhất biến
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d

   

:
 Tnh D =
 
d
R\
c

.
y
x
0
I
y
x

0
I
y
x
0
I
y
x
0
I
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 55

1. Vi   t ph   
m A, B, C.
2. Tìm to  cm M thuc mt phng
2x 2y z 3 0   
sao cho MA=MB=MC.
Câu IV:
1. Tính tích phân
4
0
sin x dx
4
I
sin2x+2(1+sinx+cosx)










2. Cho hai s thi và tho mãn
h thc x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca biu thc
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y




Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban)
1. Chng minh rng:
k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C










2. Trong mt phng vi h to  Oxy, hãy
 nh to  nh C ca tam giác ABC bit
rng hình chiu vuông góc c   ng
th   m H(-1;- ng phân giác
trong c
x y 2 0  
và
ng cao k t B có  
4x 3y 1 0  
.
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban)
1. Gii b:
2
0,7 6
xx
log log 0
x4







2. 
hình vuông cnh 2a, SA=a, SB =
a3
và mt
phng (SAB) vuông góc vi mt phi
M, N lm ca các cnh AB, BC.
Tính theo a th tích ca khi chóp S.BMDN và
tính cosin ca góc ging thng SM, DN.

KHỐI D – 2008
Câu I:
Cho hàm s y = x
3
- 3x
2
+ 4 (1)
1. Kho sát s bin thiên và v  th ca
hàm s (1).
2. Chng minh rng mng th
m I (1;2) vi h s góc k
(k 3)
u c
th ca hàm s (1) tm phân bit I, A, B
ng thm cn thng AB.
Câu II:
1. Gi
 
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx   

2. Gii h 

22
xy x y x 2y
(x,y )
x 2y y x 1 2x 2y

   



   




Câu III:
Trong không gian vi h to  Oxyz, cho
bm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1. Vi   t c   n
m A, B, C, D.
2. Tìm to  ng tròn ngoi tip tam
giác ABC.
Câu IV:
1. Tính tích phân
2
3
1
ln x
I dx
x




2. Cho x, y là hai s thi.
Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu
thc:
22
(x y)(1 xy)
P
(1 x) (1 y)




Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban)
1. Tìm s ho mãn h thc
1 3 2n 1 k
2n 2n 2n n
C C C 2048 (C

   
là s t hp
chp k ca n phn t)
2. Trong mt phng vi h to  Oxy, cho
parabol (P) : y
2
m
phân bing trên (P)
sao cho góc

BAC

= 90
0
. Chng minh rng
thm c nh.
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban)
1. Gii b:
2
1
2
x 3x 2
log 0
x



2.  
ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cnh bên
AA' a 2
. Gm ca cnh BC.
Tính theo a th tích ca kh ABC.A'B'C'
và khong cách ging thng AM, B'C.

Ht
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 54

2. Trong không gian vi h t Oxyz, cho
ng thng :
x 2 y 2 z
1 1 1




và mt phng
(P): x + 2y  3z + 4 = 0. Ving
thng d nm trong (P) sao cho d ct và vuông góc
vng thng .
Câu VII (B):
Tìm các giá tr ca tham s  ng thng
y 2x m  
c th hàm s
2
x x 1
y
x


ti
m phân bim ca
n thng AB thuc trc tung.

KHỐI A – 2008
Câu I:
Cho hàm s
 
 
22
mx + 3m -2 x -2
y = 1
x +3m

, vi
m là tham s thc.
1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s
(1) khi m =1.
2. Tìm các giá tr c góc gia hai
ng tim cn c th hàm s (1) bng 45
o
.
Câu II:
1. Gi
1 1 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2


  








2. Gii h 
 
2 3 2

42
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy 1 2x
4

     




    



Câu III:
Trong không gian vi to  m
ng thng
x 1 y z 2
d:
2 1 2



1. Tìm to  hình chiu vuông góc ca
ng thng d.
2. Vit phng () cha d
sao cho khong cách t n () ln nht.

Câu IV:
1. Tính tích phân
4
6
0
tan x
I dx
cos2x




2. Tim các giá tr ca tham s  
m thc phân bit:
4
4
2x 2x 2 6 x 2 6 x m (m )      

Câu V (A). (Chƣơng trình không phân ban)
1. Trong mt phng vi h t Oxy, hãy
vic ca elíp (E) bit rng
(E) có tâm sai bng
5
3
và hình ch nh
ca (E) có chu vi bng 20.
2. Cho khai trin
 
n
n

0 1 n
1 2x a a x . . . a x    




N* và các h s
0 1 n
a , a , . . . , a
tha
mãn h thc
1n
0
n
aa
a . . . 4096
22
   
. Tìm s
ln nht trong các s
0 1 n
a , a , . . . , a
.
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban)
1. Gi
22
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4

    

2.   dài cnh
bên bi A,
AB = a, AC =
a3
và hình chiu vuông góc ca
t phm ca
cnh BC. Tính theo a th tích kh
và tính cosin ca góc ging th


KHỐI B – 2008
Câu I:
Cho hàm s y = 4x
3
- 6x
2
+ 1 (1)
1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s
(1).
2. Vi   p tuyn c  th
hàm s (1), bit rng tip tuy  m
M(-1;-9).
Câu II:
1. Gi
3 3 2 2
sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx  

2. Gii h 
4 3 2 2

2
x 2x y x y 2x 9
(x,y )
x 2xy 6x 6

   



  




Câu III:
Trong không gian vi h to  Oxyz, cho ba
m A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 3

  th có mt tim cng là
d
x
c

và mt
tim cn ngang là
a
y
c


m ca hai tim
ci xng c th hàm s.
 Các d th:
ad – bc > 0
ad – bc < 0


5. Hàm số hữu tỷ
2
ax bx c
y
a'x b'




(
a.a' 0,
t không chia ht cho mu)
 Tnh D =
 
b'
R\
a'

.
  th có mt tim cng là
b'
x

a'

và mt
tim cm ca hai tim cn là tâm
i xng c th hàm s.
 Các d th:
y = 0 có 2 nghim phân bit
a0

a0



y = 0 vô nghim
a0

a0




CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI
ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƢỜNG CONG
Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca
hàm s y = f(x) tm x
0

là h s góc ca tip
tuyn v  th (C) ca hàm s t m
 
0 0 0
M x ;f(x )
.     p tuyn
ca (C) tm
 
0 0 0
M x ;f(x )
là:
y  y
0
= f (x
0
).(x  x
0
) (y
0
= f(x
0
))
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của
đƣờng cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Vip tuyn  ca
(C): y =f(x) tm
 
0 0 0
M x ;y

 Nu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nu cho y
0
thì tìm x
0
là nghim c
trình f(x) = y
0
.
 Tính y = f (x). Suy ra y(x
0
) = f (x
0
).
 p tuyn  là:
y  y
0
= f (x
0
).(x  x
0
)
Bài toán 2: Vip tuyn  ca
(C): y =f(x), bit  có h s c.

Cách 1: Tìm to  tim.
 Gi M(x
0
; y
0
) là tim. Tính f (x
0
).
  có h s góc k  f (x
0
) = k (1)
 Gic x
0
và tính y
0

= f(x
0
). T a .
Cách 2: u kin tip xúc.
 ng thng  có dng:
y = kx + m.
  tip xúc vi (C) khi và ch khi h 
trình sau có nghim:
f(x) kx m
f '(x) k






(*)
 Gii h c m. T 
trình ca .
0
x
y
0
x
y
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 4

Chỳ ý: H s gúc k ca tip tuyn cú th
c cho giỏn ti
to vi chic honh gúc thỡ
k = tan
song song vng thng
d: y = ax + b thỡ k = a
vuụng gúc vng thng
d: y = ax + b (a 0) thỡ k =
1
a


to vng thng d: y = ax + b mt
gúc thỡ
ka
tan
1 ka

Bi toỏn 3: Vip tuyn ca
(C): y = f(x), bit i qua m
AA
A(x ;y )
.
Cỏch 1: Tỡm to tim.
Gi M(x
0
; y
0
) l tiú:
y
0
= f(x
0
), y
0
= f (x
0
).
p tuyn ti M:
y y
0
= f (x
0
).(x x

0
)

AA
A(x ;y )
nờn:
y
A
y
0
= f (x
0
).(x
A
x
0
) (1)
Gi1c x
0
. T
via .
Cỏch 2: Dựng u kin tip xỳc.
ng thng
AA
A(x ;y )
v cú h s gúc k: y y
A
= k(x x
A
)

tip xỳc vi (C) khi v ch khi h
trỡnh sau cú nghim:
AA
f(x) k(x x ) y
f '(x) k





(*)
Gii h c x (suy ra k). T t
p tuyn .

Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
u kin c ng (C
1
): y = f(x)
v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
trỡnh sau cú nghim:
f(x) g(x)
f '(x) g'(x)





(*)

Nghim ca h (*) l ca ti m
c

Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d
m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip
tuyn vi th (C): y = f(x)
Gi s d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
) d.
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M

tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:

MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)






Th k t c:
f(x) = (x x

M
).f (x) + y
M
(3)
S tip tuyn ca (C) v t M = S nghim
x ca (3)

Dng 4: Tỡm nhng im m t ú cú th v
c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x)
v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(x
M
; y
M
).
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M

tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)

Th k t (2) vc:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3)
cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
.
Hai tip tuyi nhau
f (x
1
).f (x
2
) = 1
T c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao
cho 2 tim nm v hai phớa vi trc honh
thỡ


12
(3)coự2nghieọmphaõnbieọt
f(x ).f(x ) < 0

Vn 2. S TNG GIAO CA
CC TH
1. th (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x).
m ca (C
1
) v (C
2
)
ta gii l
m).
S nghim cng s giao
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 53

Cho cỏc s th i v tho món

3
x y 4xy 2
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc:
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2

y
2
) 2(x
2
+ y
2
) + 1
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
ng trũn (C) :
22
4
(x 2) y
5

ng
thng
1
: x y = 0,
2
: x nh to
tõm K v tớnh bỏn kớnh cng trũn (C
1
);
bing trũn (C
1
) tip xỳc vng thng

1
,

2
v tõm K thung trũn (C)
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho
t di nh A(1;2;1), B(-2;1;3),
C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vi t
phng cỏch t C
n (P) bng khong cỏch t n (P)
Cõu VII (A):
Tỡm s phc z tho món :
z (2 i) 10 v z.z 25

Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
tam giỏc ABC cõn t nh A(-1;4) v cỏc
nh B, C thung thng : x y 4 = 0.
nh to m B v C, bit din tớch
tam giỏc ABC bng 18.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho
mt phng (P): x 2y + 2z m
A(-3;0;1), B(1;- ng th
qua A v song song vi (P), hóy vi
ng thng m khong cỏch t ng
th nht.
Cõu VII (B):
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s ng thng
y x m
c th hm s
2
x1
y

x


ti 2
m phõn bit A, B sao cho AB = 4.

KHI D 2009
Cõu I:
Cho hm s y = x
4
(3m + 2)x
2

th l (C
m
), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca
hm s
2. ng thng y = -1 c th
(C
m
) t m phõn bi nh

Cõu II:
1. Gi
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0

2. Gii h
2
2

x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x







(x, y R)
Cõu III:
Tớnh tớch phõn
3
x
1
dx
I
e1




Cõu IV:

ABC l tam giỏc vuụng t
m c n thng
m c
th tớch khi t din IABC v khong cỏch t

n mt phng (IBC).
Cõu V:
Cho cỏc s th i v
tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr
nh nht ca biu thc S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) +
25xy.
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho
m ca cnh
ng trung tuynh A
l 2y 3 = 0 v 6x
y 4 = 0. Ving thng AC.
2. Trong khụng gian vi h t Oxyz, cho
m A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v mt
phng (P): x + y + z nh t
m D thung thng
thng CD song song vi mt phng (P).
Cõu VII (A):
Trong mt phng t Oxy, tỡm tp hp
m biu din cỏc s phc z tha mu kin:
z (3 4i)= 2.
Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao)
1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho
ng trũn (C) : (x 1)
2
+ y

2
= 1. Gi I l tõm
cnh t m M thuc (C) sao
cho

IMO
= 30
0
.
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 52

2. Ging trỡnh:

3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x R

Cõu III:
Tớnh tớch phõn

2
32
0
I cos x 1 cos x.dx




Cõu IV:

hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a, CD
= a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD)
bng 60
0
. Gm ca cnh AD. Bit
hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi
mt phng (ABCD), tớnh th tớch khi chúp
S.ABCD theo a.
Cõu V:
Chng minh rng vi mi s th
z tho món x(x + y + z) = 3yz, ta cú:


33
3
x y x z 3 x y x z y z
5 y z


.
Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
hỡnh ch nhm
c m M(1; 5)
thung thm E ca cnh
CD thu ng thng
:x y 5 0
. Vit
ng thng AB.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho

mt phng

P :2x 2y z 4 0
v mt cu

2 2 2
S :x y z 2x 4y 6z 11 0
. Chng
minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt
nh to tõm v tớnh bỏn kớnh
cng trũ
Cõu VII (A):
Gi z
1
v z
2
l hai nghim phc c
trỡnh z
2
+ 2z + 10 = 0. tớnh giỏ tr ca biu thc
A = |z
1
|
3
+ |z
2
|
3
.
Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao)

1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
ng trũn

22
C :x y 4x 4y 6 0
v
ng thng
:x my 2m 3 0
, vi m l
tham s thc. Gi I l tõm c ng trũn (C).


ct (C) tm phõn bit A v B
sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho
mt phng

P : x 2y 2z 1 0
ng
thng
1
x 1 y z 9
:;
1 1 6


2
x 1 y 3 z 1
:
2 1 2

. nh to m M
thung thng
1

sao cho khong cỏch t M
ng thng
2

t n
mt phng (P) bng nhau.
Cõu VII (B):
Gii h :



22
22
22
x xy y
log x y 1 log xy
x,y R
3 81

KHI B 2009
Cõu I:
Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm
s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no c
22
x x 2 m
m thc phõn bit?
Cõu II:
1. Gi
3
sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x)

2. Gii h
2 2 2
xy x 1 7y
(x,y )
x y xy 1 13y

Cõu III:
Tớnh tớch phõn
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)





Cõu IV:

a, gúc ging tht phng
(ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v

BAC
= 60
0

. Hỡnh chiu vuụng gúc c
lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam
giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t di
a.
Cõu V:
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 5

m c th.
2. th hm s bc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
ct trc honh ti 3
m phõn bit

32
ax bx cx d 0
cú 3
nghim phõn bit.
Hm s
32
y ax bx cx d
cú ci, cc
tiu v

Cẹ CT
y .y 0
.

Vn 3. BIN LUN S NGHIM

CA PHNG TRèNH BNG
TH
c
f(x) = g(x) (1)
S nghim c giao
m ca (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x)
Nghim c
m ca (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x)
bin lun s nghim c
F(x, m) = 0 (*) b th ta bii (*) v mt
trong cỏc dng sau:
Dng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1)

m cng: (C): y = f(x) v d: y
= m
ng thi Ox
D th (C) ta bin lun s m
ca (C) v d. T nghim ca (1)

Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thc hi, cú th t g(m) = k.
Bin lun lun theo m.

c bit: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc ba bng th
c
c ba:
32
ax bx cx d 0
(a 0) (1) th (C)
S nghim ca (1) = S m ca (C)
vi trc honh

Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v
m chung









Cẹ CT
f khoõng coự cửùc trũ (h.1a)

f coự 2 cửùc trũ
(h.1b)
y .y >0



Trng hp 2m (C)
tip xỳc vi Ox




Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
(h.2)
y .y =0



Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit
(C) ct Ox tm phõn bit




Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
(h.3)
y .y <0

Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim
cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghi
bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh









Cẹ CT
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
y .y <0
x >0, x >0
a.f(0) <0 (hay ad <0)



Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn
y
c.
x
m
c.
A

c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
C

y
CT

x
A

c.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 6

bit  (C) ct Ox tm phân bit có hoành
 âm








CÑ CT
CÑ CT

f coù 2 cöïc trò
y .y < 0
x < 0, x < 0
a.f(0) > 0 (hay ad > 0)






Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số
 
y = f x
(hàm số chẵn)
Gi
(C): y f(x)
và
 
1
(C ): y f x
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V  th (C) và ch gi li ph
th nm phía bên phi trc tung.
Bƣớc 2. Li xng ph th  c 1
qua tr th (C
1
).

2. Đồ thị hàm số
y = f(x)

Gi
(C): y f(x)
và
2
(C ): y f(x)
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V  th (C).
Bƣớc 2. Gi li ph th ca (C) nm phía
trên trc hoành. Li xng ph th nm
i trc hoành ca (C) qua trc hoành ta
 th (C
2
).

3. Đồ thị hàm số
 
y = f x

Gi
 
1
(C ): y f x
,
2
(C ): y f(x)

và
 
3
(C ): y f x
. D th v (C
3
) ta thc hin
c v (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)).





Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng
d: y = ax + b
Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau
qua d  d là trung trc cn AB
   ng thng  vuông góc

vi d: y = ax + b có dng: :
1
y x m
a
  

  m ca  và
(C): f(x) =
1
xm
a

(1)
  u kin c    ct (C) ti 2
m phân bi     
A
, x
B
là các
nghim ca (1).
 Tìm to  m I ca AB.
 T u kii xng qua d  I 
c m  x
A
, x
B
 y
A
, y
B

 A, B.

Chú ý:
 i xng nhau qua trc hoành

AB
AB
xx
yy






 i xng nhau qua trc tung

AB
AB
xx
yy






 i xng thng y = b

AB

AB
xx
y y 2b






 i xng thng x = a

AB
AB
x x 2a
yy







LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 51

2. Trong không gian t ng
thng :
x y 1 z
212



nh t m M
trên trc hoành sao cho khong cách t n 
bng OM.
Câu VII (B):
Gii h 
2
x x 2
log (3y 1) x
4 2 3y







(x, y  R)

KHỐI D – 2010
Câu I:



42
y x x 6   

1. (C) 
.
2. 







(C),  








1
y x 1
6


Câu II:
1. :
sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0    

2. :
33
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2 (x R)
     
   

Câu III:

e
1
3
I 2x ln xdx
x






Câu IV:




.ABCD 


, = a; 
(ABCD) 




,
AC

AH
4

. 
 . 






 .
Câu V:
:
22
y x 4x 21 x 3x 10       

Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn)
1. 







 , cho tam
 (3;-7), 




 (3;-1),
tâm 







 (-2;0). 




, 





.
2. 



, cho hai





(P): x + y + z  3 = 0 
(Q): x  y + z  1 = 0. 






(R) 



(P) (Q) sao cho
(R) 2.
Câu VII (A):

z2

2



.
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao)
1. 








 , 


A(0;2)    

 . 
 . 
 , 






.
2. 



, cho hai





1
:

x 3 t
yt
zt










2
:
x 2 y 1 z
2 1 2


. 



1








2

1.
Câu VII (B):

2
2
2
x 4x y 2 0
(x,y )
2log (x 2) log y 0

   



  





KHỐI A – 2009
Câu I:
Cho hàm s
 
x2
y1
2x 3





1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s
(1).
2. Vi   p tuyn c  th
(1), bit tip tuyt trc hoành, trc tung ln
t tm phân bit A, B và tam giác OAB
cân ti gc to  O.
Câu II:
1. Gi
 
  
1 2sin x cosx
3.
1 2sin x 1 sinx




LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 50

ABC có din tích bng
3
2
m A có hoành
 
2. Trong không gian t ng

thng
x 1 y z 2
:
2 1 1

  

và mt phng (P):
x 2y z 0  
. Gm ca  vi (P),
m thuc . Tính khong cách t n
(P), bit MC =
6
.
Câu VII (A):
Tìm phn o ca s phc z, bit:
2
z ( 2 i) (1 2i)  

Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao)
1. Trong mt phng t  Oxy, cho tam
giác ABC cân tng thng
   m ca các cnh AB và AC có

x y 4 0
. Tìm t nh B
và C, bim E(1; 3) n
nh C c
2. Trong không gian t m
0 0 2A( ; ; )

ng thng
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2
  
  
. Tính khong cách t A
n . Vit cu tâm A, ct  ti
m B và C sao cho BC = 8.
Câu VII (B):
Cho s phc z tha mãn
2
(1 3i)
z
1i



. Tìm
a s phc
z iz
.

KHỐI B – 2010
Câu I:
Cho hàm s y =
2x 1
x1



(C)
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca
hàm s 
2.  ng thng
y 2x m  
c
th (C) t m phân bit A, B sao cho tam
giác OAB có din tích bng
3
(O là gc ta
).
Câu II:
1. Gi
 
sin2x cos2x cosx 2cos2x sinx 0   

2. Gi
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0      
(x  R).
Câu III:
Tính tích phân I =
e
2
1
lnx
dx
x(2 ln x)


Câu IV:
 
có AB = a, góc gia hai mt ph  
(ABC) bng 60
0
. Gi G là trng tâm tam giác
 tích kh 
bán kính mt cu ngoi tip t din GABC theo a.
Câu V:
Cho các s thc không âm a, b, c tha mãn:
a b c 1  
. Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
M 3 a b b c c a 3 ab bc ca
2 a b c .
     
  

Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn)
1. Trong mt phng t  Oxy, cho tam
giác ABC vuông t   nh C(-4; 1), phân
      
    
.
Vi ng thng BC, bit din tích
tam giác ABC b      


2. Trong không gian t  Oxyz, cho các

t phng (P): y  z + 1 = 0. Xác
nh b và c, bit mt phng (ABC) vuông góc vi
mt phng (P) và khong cách t n mt
phng (ABC) bng
1
3
.
Câu VII (A):
Trong mt phng t  Oxy, tìm tp hp
m biu din các s phc z tha mãn:
z i (1 i)z  
.

Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao)
1. Trong mt phng t m
A(2;
3
) và elip (E):
22
xy
1
32

. Gi F
1
và F
2
là

m ca (E) (F
1
 âm); M là
 ng thng AF
1

vm i xng ca F
2
qua M. Vit
ng tròn ngoi tip tam giác
ANF
2
.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 7

Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phƣơng pháp: i xng nhau
qua I  m ca AB.
 ng thng d qua I(a; b), có
h s góc k có dng:
y k(x a) b  
.
  m ca (C)
và d: f(x) =
k(x a) b
(1)
 u ki d ct (C) tm phân
bit


A
, x
B
là 2 nghim ca (1).
 T u kii xng qua I  I là
m cc k  x
A
, x
B
.
Chú ý:
i xng qua gc to  O 
AB
AB
xx
yy







Dạng 3: Khoảng cách
Kiến thức cơ bản:
1. Khong cách gim A, B:
AB =
22
B A B A

(x x ) (y y )  

2. Khong cách t m M(x
0
; y
0
ng
thng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =
00
22
ax by c
ab



3. Din tích tam giác ABC:
S =
 
2
22
11
AB.AC.sinA AB .AC AB.AC
22

 


Nhận xét: Ngoài nh
tp phng kt hp vi phn hình hc

gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các
tính cht hình hc, các công c gii toán trong
hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý
Vi-et trong tam thc bc hai.








LƢỢNG GIÁC

Vấn đề 1: ÔN TẬP
I. Góc và cung lƣợng giác:
1. Giá trị lượng giác của một số góc:
Α
0
6


4


3


2


Sinα
0
1
2

2
2

3
2

1
Cosα
1
3
2

2
2

1
2

0
Tanα
0
3
3

1
3



Cotα


3

1
3
3

0
2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo)

x

 x
2

 x

+ x
2

+ x
Sin
sinx

sinx
cosx
sinx
cosx
Cos
cosx
cosx
sinx

cosx
sinx
Tan
tanx
tanx
cotx
tanx
cotx
Cot
cotx
cotx
tanx
cotx
tanx
II. Công thức lƣợng giác:
1. Công thức cơ bản:
22
sin a cos a 1

tana.cota 1

2
2
1
1 tan a
cos a


2
2
1
1 cot a
sin a


2. Công thức cộng:
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan
tan( )
1 tan .tan
      
       
       
       
  

  
  
  
  
  

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 8

3. Công thức nhân đôi, nhân ba:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
(cos sin )(cos sin )
          
     
sin2 2sin .cos   

3
cos3 4cos 3cos   

3
sin3 3sin 4sin   

4. Công thức hạ bậc:
22
1 cos2x
cos x 1 sin x
2
(1 cosx)(1 cosx)


  
  

22
1 cos2x
sin x 1 cos x
2
(1 cosx)(1 sin x)

  
  

5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x y x y
cosx cos y 2cos cos
22
x y x y
cosx cos y 2sin sin
22
x y x y
sin x sin y 2sin cos
22
x y x y
sin x sin y 2cos sin
22



  


  



6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
        
        
       

 Một số chú ý cần thiết:
4 4 2 2
sin x cos x 1 2.sin x.cos x  

6 6 2 2
sin x cos x 1 3.sin x.cos x  

8 8 4 4 2 4 4
2 2 2 4 4

42
sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x
(1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx
1
sin 2x sin 2x 1
8
   
  
  
Trong một số phương trình lượng giác, đôi
khi ta phải sử dụng cách đặt như sau:
Đặt
t tanx

:
2
22
2t 1 t
sin2x ; cos2x
1 t 1 t





Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
I. Phƣơng trình cơ bản:

x k2

sin x sin k
x k2
   

   

   




x k2
cosx cos k
x k2
   

   

   




tanx tan x k k      


cotx cot x k k      

Trường hợp đặc biệt:


sinx 0 x k ,k    


sinx 1 x k2 k
2

     


sinx 1 x k2 k
2

       


cosx 0 x k k
2

     


cosx 1 x k2 k    

II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một
hàm lƣợng giác:

2
asin x bsinx c 0  
(1)


2
acos x bcosx c 0  
(2)

2
a tan x btanx c 0  
(3)

2
acot x acotx c 0  
(4)
Cách giải:
- 


III. Phƣơng trình
a.sinx b.cosx c

Cách giải:
- 
2 2 2
a b c
: 
- 
2 2 2
a b c
: 

22
ab


2 2 2 2 2 2
a b c
sinx cosx
a b a b a b

  


22
c
cos .sin x sin .cosx
ab
   



22
c
sin(x )
ab
  


Lƣu ý:
2 2 2 2
ba
sin ;cos
a b a b


   





LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 49

2. Nu bng thc có hai bit
ng thc v dng: f(a) < f(b). u
ca hàm s f(x) trong khong (a; b).
II. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất:
Phƣơng pháp:
Cách 1: ng dùng khi tìm GTLN, GTNN ca
hàm s trên mt khong.
 Tính f (x).
 Xét du f (x) và lp bng bin thiên.
 Da vào bng bi kt lun.
Cách 2: ng dùng khi tìm GTLN, GTNN ca
hàm s liên tục trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).
 Gi c các
nghim x
1
, x
2

n
trên [a; b] (nu có).

 Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2

n
).
 So sánh các giá tr va tính và kt lun.
 
1
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), , ( )
n
ab
M f x f a f b f x f x
 
1
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), , ( )
n
ab
m f x f a f b f x f x



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Kho sát hàm s Tr
2. , h i s Tr
3. Và tài liu ca các Thy Cô trên trang web:

 www.mathvn.com
 www.boxmath.vn
 www.violet.vn

Trong quá trình tng hp, biên son các kin
thc không tránh khi sai sót, mong Thy Cô và
các bn nhn xét, góp ý.
Xin chân thành c

Cao Hoàng Nam
Email:
n thoi: 0907894460



*** Như một món quà thay cho lời cảm ơn đến “đoàn thỉnh kinh”,
“gia đình nhóm TN” của ToánA(06 -10) ĐHSP. Cảm ơn mọi
người đã đồng hành cùng tôi suốt chặng đường Đại học, cho nhau
bao tiếng cười và niềm vui.
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

KHỐI A – 2010
Câu I:
Cho hàm s y = x
3
 2x
2
+ (1  m)x + m (1),
m là s thc
1. Kho sát s bin thiên và v  th ca

hàm s khi m = 1.
2.   th ca hàm s (1) ct trc
hoành tm phân bi x
1
, x
2
, x
3

thu kin :
222
1 2 3
x x x 4  

Câu II:
1. Gi
(1 sin x cos2x)sin x
1
4
cosx
1 tan x
2


  





2. Gii b
2
xx
1
1 2(x x 1)


  

Câu III:
Tính tích phân :
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
I dx
1 2e





Câu IV:
       
hình vuông cnh a. Gi M và N lt là trung
m ca các cm ca
CN và DM. Bit SH vuông góc vi mt phng
(ABCD) và SH =
a3

.
1. Tính th tích khi chóp S.CDNM.
2. Tính khong cách gi  ng thng
DM và SC theo a.
Câu V:
Gii h 
2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
4x y 2 3 4x 7

    


   


(x, y  R).
Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn)
1. Trong mt phng t  Oxy , cho hai
ng thng d
1
:
3x y 0
và d
2
:
3x y 0
.
Gng tròn tip xúc vi d

1
ti A, ct d
2

tm B và C sao cho tam giác ABC vuông
ti B. Vi   a (T), bit tam giác
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 48

Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S
I. Phát biểu:
 :
1 1 2 2
a .b a .b

2 2 2 2
1 2 1 2
(a a )(b b )


12
12
aa
bb


  

0)
 :

1 1 2 2 3 3
a .b a .b a b

2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
(a a a )(b b b )   


3
12
1 2 3
a
aa
b b b


 

0)
 :
2 2 2 2
1 1 n n 1 n 1 n
a .b a b (a a )(b b )      


1 2 n
1 2 n
a a a

b b b

  

 

0)
: Cho các s
 
2
2 2 2
1 2 n
1 2 n
1 2 n 1 2 n
a a a
a a a

b b b b b b
  
   
  


1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
  

II. Một số lƣu ý:
Dùng nhp các tt.

H qu B.C.S cho phép chúng ta gp mu.
t thêm bt.

Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ
I. Phát biểu:





a . b a.b
 


a,b


cùng


a b a b  
 


a,b






a b a b
 


a,b





1 2 1 2
a a a a a a
nn
      
     


11
a ,a , ,a
n
  

Trong
1 2 1 2
Oxy: a (a ,a );b (b ,b )


Trong
1 2 3 1 2 3
Oxyz: a (a ,a ;a );b (b ,b ;b )



II. Một số lƣu ý:
Chm có t thích hp.
 c bc hai
v mc bc hai.

Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm
của hệ tìm max, min
Bài toán:
 
G(x,y) 0

G(x,y) 0;G(x,y) 0
). Tìm

P F(x,y)

Cách giải:

G(x, y) 0
F(x,y) m






G(x, y) 0
F(x,y) m






;
G(x, y) 0
F(x,y) m






 

Lƣu ý
.

Vấn đề 6: Công cụ đạo hàm
I. Chứng minh bất đẳng thức:
Phƣơng pháp:
 Chuyn b ng thc v dng f(x) > 0
(hoc <, ,  ). Xét hàm s y = f(x) trên tp xác
 bài ch nh.
 Xét du f (x). Suy ra hàm s ng bin hay
nghch bin.
 D     ng bin, nghch
bi kt lun.
Chú ý:

1. ng hc du ca
f t h(x) = f (x) và quay li tip tc xét
du h n khi nào xét dc thì thôi.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 9

Biến thể:
a.sinx b.cosx csiny dcosy  


2 2 2 2
a b c d  

a.sinx b.cosx csiny

c.cosy
)

2 2 2
a b c

IV. Phƣơng trình
22
a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d  

Cách giải:
Cách 1:
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2


     



cosx 0
hay không?)
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2

     


2
cos x
. P
trình 
22
a.tan x b.tanx c d(1 tan x)   


t tanx
p.
Cách 2:
 
Chú ý: phƣơng trình thuần
nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos 

V. Phƣơng trình

a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0   

Cách giải:

t sinx cosx


t 2 Do t 2sin x
4
  

  





Ta có:
2 2 2
t sin x cos x 2sinx.cosx  

2
t1
sin x.cosx
2




2

t1
a.t b c 0
2

  


Chú ý: 
a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0   


t sin x cosx 2sin x
4


   




.
VI. Phƣơng trình
A.B 0

Cách giải:
- 

A.B 0

A0

A.B 0
B0








Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT
 Xut hin
3

 Xut hin
3
và góc ng giác ln
dng bin th c
 Xut hin góc ln thì dùng công thc tng
  các góc nh.
 Xut hin các góc có cng thêm
k ,k ,k
42


thì có th dùng công thc tng thành
tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc
công thc c làm mt các
k ,k ,k
42




 Xut hin
2

ho  còn li nhóm
c
(sinx cosx)
 trit
2
vì
t sin x cosx 2sin x
4


   



 
c n
kh  kh
c hai theo sin (hoc
cos) v tích c nht.
Chú ý: Góc ln là góc có s 
Ta ch s dng công th  bài
toán v sinx,
2
sin x

hoc cosx,
2
cos x
.

Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC
I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do
A B C   
nên:
a.
sin(A B) sinC

b.
cos(A B) cosC  

Do
A B C
2 2 2 2

  
nên:
a.
A B C
sin( ) cos
2 2 2


LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 10

b.
A B C
cos( ) sin
2 2 2


II. Định lí hàm số sin:
a b c
2R
SinA SinB SinC
  

III. Định lí hàm số cosin:
2 2 2
a b c 2bccosA  

IV. Công thức đƣờng trung tuyến:
2 2 2
2
a
2b 2c a
m
4



V. Công thức đƣờng phân giác:
a
A

2bc.cos
2
l
bc



VI. Các công thức tính diện tích tam giác:
a
1 1 abc
S ah bcsinA pr
2 2 4R
p(p a)(p b)(p c)
   
   

ĐẠI SỐ

Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
HAI
I. Phƣơng trình bậc hai
c hai
2
ax bx c 0  

(a 0)
có
2
b 4ac  
.

0
 vô nghim.


0
:  có nghim kép
b
x
2a

.

0
: (3) có hai nghim phân bit
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
     


II. Định lý Vi–et (thuận và đảo)
   
2
ax bx c 0  
có hai
nghim
12
x , x
thì
12
12
b

S x x
a
c
P x .x
a

   








 Nu bit
S x y
P x.y





thì
x, y
là nghim ca
ình
2
X SX P 0  
.

III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c
(a 0)

0:

x








y
Cùng du a
0:

x


0
x



y

Cùng du a 0 Cùng du a
0:

x


1
x

2
x



y
Cùng 0 trái 0 Cùng
IV. Cách xét dấu một đa thức:
 Tìm nghim cc gm c nghim
t và nghim mu (nc là phân thc)
 Lp bng xét du
 Xét du theo quy tng cùng, l
i, ch
Chú ý: Không nhn nhm mà hàm s
nh.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 47

1. Định nghĩa
Cho A là mt bin c n c 
xu là

A
, c gi là bin c đối
ca A.
2. Nhận xét:
 Gi  là không gian mu
 Gi 
A
là tp kt qu thun li cho A
p kt qu thun li cho
A
là :

A

=  \ 
A

IV. Quy tắc cộng xác suất:
1. Biến cố hợp:
Cho hai bin c A và B. Bin c c
B xi là bin c hp ca hai bin c A và
B, và kí hiu là
AB
.
2. Biến cố xung khắc:
Cho hai bin c A và B. Hai bin c A và
c gi là xung khc nu bin c này xy ra
thì bin c kia không xy ra.
3. Quy tắc cộng xác suất:
Nu A và B là hai bin c xung khc, thì:

     
P A B P A P B  

V. Quy tắc nhân xác suất
1. Biến cố giao
Cho hai bin c A và B . Bin c  A
và B cùng xy rai là biến cố giao của hai
biến cố A và B và kí hiu là : AB.
Vy AB là bin c A và B cùng xy ra
2. Hai biến cố độc lập
a. Khái niệm: Hai bin c A và B gi là
c lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy
ra ca bin c này không làm ng ti xác
sut xy ra ca bin c kia.
b. Nhận xét: Nu hai bin c A c lp
vi nhau thì A và
B
;
A
và B;
A
và
B

c lp vi nhau.
3. Quy tắc nhân xác xuất
 Nu A và B là hai bin c c lp vi nhau thì :
P(AB) = P(A).P(B)
 Nu A
1

; A
2
; A
3
là ba bin c c lp
vi nhau thì :
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
).P(A
2
).P(A
3
)

Chú ý: Hc kt h
m  phi s t hp.

BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
Dạng toán này là một dạng toán khó
thường nằm câu V trong đề thi đại học. Ở đây xin
chỉ nêu ngắn gọn các phương pháp. Bạn có thể
xem kĩ hơn trong “Chuyên đề bất đẳng thức – cực
trị”.
Vấn đề 1: Các tính chất.

1.

a, b

R có mt và ch mt trong ba quan
h: a > b, a = b, a < b.
2.

a, b, c

R mà a > b, b > c thì a > c.
3.

a, b

R mà a > b thì a + c > b + c
4. Nu a > b và c > d thì a + c > b + d.
c tr hai bng thc).
5. Nu a > b và c > 0 thì ac > bc
( c < 0 thì ac < bc).
6. Nu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd > 0.
7. Nu a > b > 0 thì 0 <
1 1
a b

và
a b
n n
  0
và

a b
n n
  0
.
8.
2
0A 


Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy
I. Phát biểu:
 
a + b

2
ab
hay a
2
+ b
2


2ab.

 
a + b + c

3
3
abc

.

 
1
, x
2
, x
3

n


trung bình nhân)
1 2 3 n
n
1 2 3 n
x x x x
x x x x
n
   


x
1
= x
2
= x
3

n

II. Một số lƣu ý:
Khi áp dng các a
 m bo.
N bài yêu cu: Cho a, b, c > 0. Chng
 xét trên min
1a b c  
, (do bng thi
(a,b,c)
i (ta, tb, tc)). C gng
chn min h n.

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 46

 Gi  
0
f(k) m k
, s hng
cn tìm là
0 0 0
k n k k
n
C a b

và h s ca s hng cha
x
m
là M(k
0

).
Chú ý: S hng không cha x thì m = 0
c. Dạng tìm số hạng hữu tỉ:
 S hng tng quát trong khai trin
n
(a b)

là
mr
k n k k k
pq
nn
C a b C . .

  
(
, 
là hu t).
 Gii h
0
m
p
(k ,0 k n) k
r
q




   









.
 S hng cn tìm là
0 0 0
k n k k
n
C a b

.
d. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai
triển Newton:
 Xét khai trin
n
(a bx)
có s hng tng
quát là
k n k k k
n
C a b x

.
 t
k n k k

kn
u C a b , 0 k n

  
ta có dãy h
s là
 
k
u
.
  tìm s hng ln nht ca dãy ta gii h
bình
k k 1
0
k k 1
uu
k
uu








.
 H s ln nht là
0 0 0
k n k k

n
C a b

.

Vấn đề 3: XÁC XUẤT
I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1. Phép thử ngẫu nhiên:
a. Khái niệm: Phép th ngu nhiên (phép
th ) là mt thí nghing mà:
- Kt qu ca c .
- Có th c tp hp các kt qu có th
sy ra ca phép th 
b. Kí hiệu:
Phép th ngu nhiên hay kí hiu là : T
2. Không gian mẫu của phép thử:
a. Khái niệm : Tp hp tt c các kt qu có
th xy ra ca phép phép th gi là không gian
mu ca phép th 
b. Kí hiệu
Không gian mc kí hiu là : 
3. Biến cố của phép thử:
a. Khái niệm: Cho phép th T
- Bin c n phép th T là mt s
kin mà vic xy ra hay không xy ra ca A ph
thuc vào kt qu ca phép th T .
- Mi kt qu ca phép th T làm cho A xy ra
gi là mt kt qu thun li cho A . Tp hp các
kt qu thun li cho A kí hiu là : 
A


nói bin c c mô t bi tp 
A
.
b. Chú ý:
- Bin c ca mt phép th ta hay kí hiu là : A ,
hoc A
1
, A
2

- Ta luôn có : 
A
 
- Biến cố chắc chắn là bin c luôn xy ra khi
thc hin phép th T. Bin c chc chc mô
t bi tp  là không gian mu ca phép th T.
- Biến cố không thể là bin c không bao gi xy
ra khi thc hin phép th T . Bin c không th
c mô t bi tp rỗng  .
II. Xác suất của biến cố
1. Định nghĩa:
- Cho phép th T vi không gian mu  là mt
tp hu hn phn t và các kt qu ca phép th
ng kh 
- Gi A là mt bin c n phép th T
và 
A
là tp hp các kt qu thun li cho A .
- xác suất ca A là mt số , kí hiu P(A) ,

nh bi công thc :
A
()



PA


+ 
A
 là s phn t ca 
A
.
+  là s phn t ca 

.
Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép
thử T ta làm theo các bƣớc sau :
- nh không gian mu  m s phn t
ca nó (s kt qu có th xy ra ca phép th T ).
- nh s kt qu thun li cho A ( là s phn
t ca 
A
).
- Áp dng công thc.
2. Chú ý:
 0  P(A)  1
 P() = 1 , P() = 0
 Xác sut là mt s  n 1, xác

sut ca bin c chc chn bng 1, xác sut ca
bin c không th bng 0.
III. Biến cố đối
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 11

Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
CAO
I. Phƣơng trình bậc 3:
32
ax bx cx d 0(a 0)    

 c 1: nhm 1 nghim
x 

 c 2: chia
32
ax bx cx d  
cho
(
x 
) (dùn  
trình tích
2
(x )(ax Bx C) 0   
.
Chú ýng hp nghic ln
 gi.
 Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghim là
mt trong các t s c ca d vc ca a)

II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
a0
)
t t = x
2
,
t0
. (5)

at
2
+ bt + c = 0.
2. Phƣơng trình đối xứng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2


bx + a = 0 (
a0
)

c 1: Chia 2 v cho x
2
,
2
2
11
pt a x b x c 0
xx
   
     
   
   
.
c 2t
1
tx
x

 
bc hai theo t.
3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến:
(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
t
ab
tx
2



 

4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
cộng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vi a + c = b + d
 
trình bc 2 theo t
5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
nhân:
    
2
x a x b x c x d mx    
với ab=cd=p
t
ad
tx
2

hoc
t (x a)(x d)  

6. Phƣơng pháp hệ số bất định:
Gi s c 4:
x
4
+ ax
3
+ bx

2
+ cx + d = 0
và có phân tích thành
(x
2
+ a
1
x + b
1
) ( x
2
+ a
2
x + b
2
) = 0
L
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b
a b a b c
b b d



  









Tip theo tin hành nhm tìm các h s a
1
; b
1
;
a
2
; b
2
. Bu t b
1
b
2
= d và ch th vi các giá
tr nguyên.
Chú ý s bnh này còn
áp dng rt nhiu  các di nhóm
t tha s chung hay phân chia phân s.
III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên:
: Coi các giá tr tham s, hng s là
bin. Còn bic coi làm hng s.
IV. Phƣơng trình
   

22
a f(x) b.f(x).g(x) c g(x) 0  

c f(x) và g(x)

2.
 Xét g(x) = 0 th
 Xét g(x)

0 chia hai v cho
 
2
g(x)
t
f(x)
t
g(x)

.

Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
I. Các công thức:
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

2
A, A 0
AA
A, A 0









2
2
22
B 3B
A AB B A
24

    




 
3 3 3
(A B) A B 3AB A B    


2
2
b
ax bx c a x
2a 4a



    



2. Phƣơng trình – bất phƣơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối:

22
A B A B A B     


B0
AB
AB







LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 12


A B B A B    


B0

AB
B A B




  



AB
B0
B0
A B A B




   


3. Phƣơng trình – bất phƣơng trình vô tỷ:

A 0 B 0
AB
AB
  








2
A B B 0 A B    


A B 0 A B 0    


B0
AB
AB








2
A 0 B 0
AB
AB
  








2
B0
B0
AB
A0
AB




  







33
A B A B  


2n 1
2n 1
A B A B



  


2n 2n
A 0 B 0
AB
AB
  







2n
2n
B0
AB
AB







II. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình vô tỷ:

a. Dạng cơ bản:

     
f x g x f x g(x) 0   


   
f x g x
 
   
2
g x 0
f x g x









     
f x g x h x
. u kin

Chú ý:  có th không u kin,
c   m
m qu c
i tìm nghim ta phi th li.


       
f x g x h x k x  

Vi
       
f x h x g x k x  

 Ta bi dng
       
f x h x k x g x

 Bình , gi qu.

33
3
A B C



 
33
3
A B 3 A.B A B C   

 S dng phép th :
33
A B C

 T

3
A B 3 A.B.C C  

 Th li nghim.
b. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn
mới:
22
ax bx c px qx r    

ab
pq


Cách giit
2
t px qx r  
u kin
t0

Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
   
 
   
 
   
 
22
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0

   
       

Cách gii: t
   
t P x Q x

       
2
t P x Q x 2 P x .Q x   

Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0    

 
0 

Cách gii:
* Nu
 
P x 0
 
 
P x 0
pt
Q x 0










* Nu
 
P x 0
chia hai v cho
 
Px
t
 
 
Qx
t
Px

vi
t0

Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng với hai căn
thức:
  
a cx b cx d a cx b cx n      

Cách gii: t
t a cx b cx   

 

 
a b t 2 a b   

Dạng 5: Phƣơng trình dạng:
22
x a b 2a x b x a b 2a x b
cx m
        


Cách giit
t x b
u kin:
t0

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 45

Vấn đề 2: NHỊ THỨC NEWTON
I. Định nghĩa:
Nh thc Newton là khai trin t  a có
dng:
 
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2
n n n
n
k n k k n n k n k k
n n n
k0

a b C a C a b C a b
C a b C b C a b



    
   


 S hng th k+1 là
k n k k
k 1 n
T C a b




c gi là s hng tng quát.
 Các h s
k
n
C
c tính theo công thc t
hp chp hoc da vào tam giác Pascal sau:
Tính chất
1)
k n k
nn
C C (0 k n)


  

2)
k k 1 k
n n n 1
C C C (1 k n)


   
.
II. Phƣơng pháp giải toán:
1. Dạng khai triển:
 Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t ha là 1 hoc 1 và  1 xen k
nhau.
 Khai trin
 
n
ab
hoc
 
n
ab
.
 Cng hoc tr hai v ca 2 khai trin trên.
2. Dạng đạo hàm:
a. Đạo hàm cấp 1:
 Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t hn t n n (hoc
gim dn t n 1).

 Xét khai trin (1):
 
n
0 1 2 2 k k n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x       

 o hàm 2 v ca (1).
 Thay s thích hp vào (1) sau khi o hàm.
b. Đạo hàm cấp 2:
 Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t hm) dn
t n (n1).n hom) dn t
1
2
n n
2
.
 Xét khai trin (1):
 
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x

      

 o hàm 2 v cc (2):
 
n1

1 2 3 2 n n 1
n n n n
C 2C x 3C x nC x n 1 x


     

 Tip to hàm 2 v cc (3):
2 3 4 2 n n 2
n n n n
1.2C 2.3C x 3.4C x (n 1)nC x

    
n2
n(n 1)(1 x)

  
.
 Nhân x vào 2 v cc (4):
 
n1
1 2 2 3 3 n n
n n n n
C x 2C x 3C x nC x nx 1 x

     
.
 o hàm 2 v cc (5):
2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1
n n n n

n2
1 C 2 C x 3 C x n C x
n(1 nx)(1 x)


   
  

3. Dạng tích phân:
 Dấu hiệu nhận biết: Các h s ng
c t ha) là phân s gim
dn t n
1
n1
hon t
1
n1

n 1.
 Xét khai trin (1):
 
n
0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x

      

 Ly tích phân 2 v ca (1) t  n b ta
c:

 
b b b b
n
0 1 n n
n n n
a a a a
1 x dx C dx C xdx C x dx    
   

 
b
bb
n1
b
2 n 1
0 1 n
n n n
a
aa
a
1x
x x x
C C C
n 1 1 2 n 1



    


2 2 n 1 n 1
0 1 n
n n n
b a b a b a
C C C
1 2 n 1

  
   

n 1 n 1
(1 b) (1 a)
n1

  


.
Chú ý: Trong thc hành, ta d dàng nhn bit
giá tr c nhn bit 2 cn a và b ta nhìn vào
s hng
n 1 n 1
n
n
ba
C
n1




.
4. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức
Newtơn:
a. Dạng tìm số hạng thứ k:
 S hng th k trong khai trin
n
(a b)
là
k 1 n (k 1) k 1
n
C a b
   
.
b. Dạng tìm số hạng chứa x
m
:
 S hng tng quát trong khai trin
n
(a b)

là
k n k k f(k)
n
C a b M(k).x


(a, b cha x).
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 44

1) Nu mt quc thc hin
c) liên tip nhau sao cho
có m cách thc hin th nhng thi
ng vi m thc hin giai
n th c hin quá
trình trên.
2) Nu mt quá tr   c thc hin
c) liên tip nhau sao cho có
m
1
cách thc hi  n th nht, vi mi
   
2
  thc hi  n th

k
cách thc hin th k. Khi
   quá trình có m
1
.m
2

k
cách thc
hin.
VI. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp:
1. Hoán vị:
Định nghĩa. Cho tp hp X gm n phn t phân
bit
 

n0
. Mi cách sp xp n phn t ca X
theo mt th t c gi là mt hoán v
ca n phn t. S các hoán v ca n phn t c
ký hiu là P
n
.
P
n

2. Chỉnh hợp:
Định nghĩa. Cho tp hp X gm n phn t phân
bit
 
n0
. Mi cách chn ra k
 
0 k n
phn
t ca X và sp xp theo mt th t c
gi là mt chnh hp chp k ca n phn t. S các
chnh hp chp k ca n phn t c ký hiu là
k
n
A
.
k
n
n!
A

(n k)!



3. Tổ hợp:
Định nghĩa. Cho tp hp X gm n phn t phân
bit
 
n0
. Mi cách chn ra k
 
0 k n
phn
t cc gi là mt t hp chp k ca n
phn t. S các t hp chp k ca n phn t c
ký hiu là
k
n
C
.
k
n
n!
C
k!(n k)!



Nhận xét:
1) u ki xy ra hoán v, chnh hp và t

hp là n phn t phi phân bit.
2) Chnh hp và t hp khác nhau  ch là sau
khi chn ra k trong n phn t thì chnh hp có sp
th t còn t hp thì không.
VII. Phƣơng pháp giải toán đếm:
1. Phƣơng pháp 1.
Bƣớc 1. c k các yêu cu và s liu c bài.
ng hp, trong mng
hp ln.
Bƣớc 2. Tùy tn c th và gi thit bài
 s dng quy tc cng, nhân, hoán v,
chnh hp hay t hp.
Bƣớc 3.    ng kt qu c ng
hp trên.
2. Phƣơng pháp 2.
i vi nhit dài. Do
 di tr (phn bù)
theo phép toán
A A X A X \ A  
.
Bƣớc 1: Chia yêu cu c thành 2 phn là yêu
cu chung X (tng quát) gi là loại 1 và yêu cu
riêng A. Xét
A
là ph nh c
tha yêu cu riêng gi là loại 2.
Bƣớc 2: Tính s cách chn loi 1 và loi 2.
Bƣớc 3: áp án là s cách chn loi 1 tr s cách
chn loi 2.
Chú ý:

1) Cách phân loi 1 và loi,
ph thuc vào ch quan ci gii.
2) Gii bm là
ngng sai sót khi
tính s ng tng loi.
3*) ng thì ta x u kic, hoc
u kin ri gii quyt bài toán.
VIII. Phƣơng pháp phƣơng trình, bất
phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp:
Bƣớc 1u kin cho bài toán.
-
x
P
u kin là
x

-
k
n
A
,
k
n
C
u kin là
k,n
và
0 kn

Bƣớc 2: Áp dng công th 

v  c.
Bƣớc 3: Gi
u kin chn nghim.
Chú ýc bic ca nghim là s t
t s bài ta phi nhm
nghii vi nhng bài b
n lit kê các nghim.



LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 13

 v dng:
2
t a t a c(t b) m     

Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến
thiên.
 
22
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0      

c. Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng, hệ
nửa đối xứng:
Dạng 1: Phƣơng trình dạng
n
n
x a b bx a  

Cách gii: t
n
y bx a
:
n
n
x by a 0
y bx a 0

  


  



Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
 
2
ax b r ux v dx e    


a,u,r 0
và
u ar d,v br e   

Cách gii: t
uy v ax b  
:
 

 
2
2
uy v r ux v dx e
ax b uy v

    


  



Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
   
nm
a f x b f x c   

Cách gii: t
   
nm
u a f x ,v b f x   

K:
nm
u v c
u v a b




  


d. Nhân lượng liên hiệp:
Dạng 1nh có dng:
   
f x a f x b  

Cách gii: ng liên hp ca v 
ta có h:
   
   
f x a f x b
a
f x a f x
b

  







Dạng 2ng:
       
 
f x g x a f x g x  

Chú ý: Bài toán nhân liên hing dùng nu
ta nhc nghim ca bài toán và nghi
là nghim duy nht.
Ta nên bi ng liên hip
tng  vic chng minh nghim duy nhc
d dàng.

e. Phương pháp hàm số:
Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất
 ch
có nghim duy nht, ta thc hic sau:
 Chc nghim x
0
c
 Xét các hàm s y = f(x) (C
1
) và y = g(x)
(C
2
). Ta cn chng minh mt hàm s ng bin
và mt hàm s nghch bi
1
) và (C
2
)
giao nhau ti mm duy nh x
0
.
ó chính là nghim duy nht cng trình.
Chú ý: Nu mt trong hai hàm s là hàm

hng y = C thì kt lun trên v
Dạng 2: Biện luận tham số m
 t n ph 
 Chuyn m theo n ph m
 Dùng công c  nh m tha bài
toán.
f. Phương pháp đánh giá:
 yu da vào các bt
ng th dánh giá so sánh v trái và
v phi. Nghii quyt
du bng xy ra khi nào cng thc trái và
phi.

2. Bất phƣơng trình vô tỷ:
pháp gii b
c chia thành các dng gi gii 
trình.
Chú ý:
 u ki
 Mt s công thc b sung:
a.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)







hoặc
f(x) 0
g(x) 0






b.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)






hoặc
f(x) 0
g(x) 0







c.
2
B0
A
1
B
AB







d.
B0
A
1
A0
B






hoặc
2

B0
A0
AB











LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 14

Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c






Cách gii:

t
11
22
ab
D
ab

,
11
x
22
cb
D
cb

,
11
y
22
ac
D
ac


1.
D0
: H m duy
nht
x
y

x D / D
y D / D





.
2.
x
D 0, D 0
hoc
y
D0
: H 
trình vơ nghim.
3. D = D
x
= D
y
= 0: H có vơ s nghim tha
a
1
x + b
1
y = c
1
hoc a
2
x + b

2
y = c
2
.
II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất:
 
 
1
y c ax
ax by c
b
1
f(x, y) d
f x, c ax d
b



















III. Hệ đối xứng loại 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0





vi
f(x,y) f(y,x)
g(x, y) g(y,x)






Cách giit
u x y
v xy





vi
2

u 4v

IV. Hệ đối xứng loại 2:
Dạng 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0





vi
f(x,y) g(y,x)
g(x, y) f(y,x)






Cách gii:
f(x;y) g(x;y) 0 (x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0 f(x;y) 0
   






x y 0
f(x;y) 0









h(x;y) 0
f(x;y) 0






Dạng 2:
f(x, y) 0
g(x,y) 0





 có m
i xng.

Cách gii:
Cách 1i xng v dng
tích gii y theo x ri th i.
Cách 2: i xng v dng
f(x) f(y) x y  
v u.

V. Hệ đẳng cấp bậc 2:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

  


  



Cách gii:
 Xét y = 0.
 Xét
y0
t
x ty
và gii
c hai n t

VI. Hệ bậc hai mở rộng:
f(x,y) 0 f(x,y) 0
g(x,y) 0 .f(x,y) .g(x,y) 0




   



f(x,y) 0
(ax by c)(px qy r) 0




    


Chú ý: Mt s bài tốn cn pht n ph 
chuyn v các dt. 
 
th  gii.

LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 43

- Chú ý:  ln ca mt s phc ch
khơng phi là tr tuyi. (tr tuyng
hp riêng c la trên trc s
thc).
III. Tập hợp điểm.

- Gi s s phc biu din
m M(x; y). Tìm tp hm M là tìm h
thc gia x và y.
- Chú ý: Các dng
thng tròn, conic.
IV. Dạng lƣợng giác.
- Áp d

Chú ý: Vic kt hp khai trin nh thc Newton
trong tp s ph chng thc
c s dng.

ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP –
TỔ HỢP
V. Quy tắc đếm, cộng và nhân:
1. Quy tắc đếm:
a. Quy tắc:
V u kin là khong cách gia các s bng
u), ta có:
1


số lớn nhất số nhỏ nhấ
số các số
khoảng cách giữa 2 số liền ke
t

à
.

b. Các dấu hiệu chia hết:
 Chia ht cho 2: s có ch s tn cùng là 0, 2, 4,
6, 8.
 Chia ht cho 3: s có tng các ch s chia ht
cho 3.
 Chia ht cho 4: s có 2 ch s tn cùng lp
thành s chia ht cho 4.
 Chia ht cho 5: s có ch s tn cùng là 0, 5.
 Chia ht cho 6: s chia ht cho 2 và 3.
 Chia ht cho 8: s có 3 ch s tn cùng lp
thành s chia ht cho 8.
 Chia ht cho 9: s có tng các ch s chia ht
cho 9.
 Chia ht cho 10: s có ch s tn cùng là 0.
 Chia ht cho 11: s có hiu ca tng các ch s
 hàng l và tng các ch s  hàng chn chia ht
cho 11 (VD: 1345729 vì (1+4+7+9)  (3+5+2) =
11).
 Chia ht cho 25: s có 2 ch s tn cùng là 00,
25, 50, 75.
2. Quy tắc cộng:
1) Nu mt q trình (bài tốn) có th thc hin
c mng hp) loi tr ln
nhau: cách th nht cho m kt qu và cách th hai
cho n kt quc thc hin q trình
trên cho m + n kt qu.
2) Nu mt q trình (bài tốn) có th thc hin
ng hp) loi tr ln nhau: cách
th nht cho m
1

kt qu, cách th hai cho m
2
kt
qu k cho m
k
kt quc
thc hin q trình trên cho m
1
+ m
2

k

kt qu.
3. Quy tắc nhân:
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 42


11
22
zz
z.z' z.z';
zz







22
z.z a b

 z là s thc 
zz
;
z là s o 
zz

6. Môđun của số phức: z = a + bi

22
z a b zz OM   



z 0, z C, z 0 z 0     


z.z' z . z'


zz
z' z'



z z' z z' z z'    

7. Chia hai số phức:


1
2
1
zz
z


(z  0)

1
2
z' z'.z z'.z
z'z
z z.z
z

  


z'
w z' wz
z
  

8. Căn bậc hai của số phức:

z x yi
c hai ca s phc
w a bi


2
zw

22
x y a
2xy b






 c hai là z = 0
 w
0
i nhau
 c hai ca a > 0 là
a

 c hai ca a < 0 là
a.i

9. Phƣơng trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*)
(A, B, C là các s phc, A
0
).

2
B 4AC  


0
: (*) có hai nghim phân bit
1,2
B
z
2A
  

, (

c hai ca )

0
: (*) có 1 nghim kép:
12
B
zz
2A
  

Chú ý: Nu z
0
 C là mt nghim ca (*)
thì
0
z

t nghim ca (*).
10. Dạng lƣợng giác của số phức:

z r(cos isin )  
(r > 0) là d
giác ca z = a + bi (z  0)
22
r a b
a
cos
r
b
sin
r





  







  là mt acgumen ca z,
(Ox,OM)


z 1 z cos isin ( R)     

11. Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác:
z r(cos isin ), z' r'(cos ' isin ')      


 
z.z' rr'. cos( ') isin( ')    


 
zr
cos( ') isin( ')
z' r'
    

12. Công thức Moa–vrơ:

 
n
n
r(cos isin ) r (cosn isinn )    
,
(
*
nN
)

 

n
cos isin cosn isinn    

13. Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng
giác:
 S phc
z r(cos isin )  
(r > 0) có hai
c hai là:
r cos isin
22





hoc
r cos isin
22






r cos isin
22
   
   
     

   

   


 Mở rộng: S phc
z r(cos isin )  

c n là:
n
k2 k2
r cos isin , k 0,1, ,n 1
nn
   

  




Vấn đề 2: CÁC DẠNG TOÁN
I. Thực hiện các phép toán cộng trừ, nhân
chia số phức.
 Áp dng các quy tc cng, tr, nhân, chia
hai s phc hai ca s phc.
 Chú ý các tính cht giao hoán, kt hi
vi các phép toán cng và nhân.
II. Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số
phức:
- Gi s z = x + yi. Gi

n z là tìm x, y tho .
- Gic hai trong tp s
phc, kt hp vnh lý Vi-et.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 15

MŨ - LOGARIT

Vấn đề 1: CÔNG THỨC
I. Hàm số mũ y = a
x
(a > 0)
1. Tập xác định:
D  

2. Tập giá trị:
G (0; ) 

3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghch bin trên


 a > 1: Hàm s ng bin trên


4. Một số công thức cơ bản:

0
a 1 (a 0)


n
n
1
a
a




m n m n
a .a a




m n m n
a :a a




 
n
m m.n
aa


m m m
(ab) a .b


m
m
m
aa
bb






m
m
n
n
aa

II. Hàm số logarit y = log
a
x
(0 a 1)

: y = log
a
x

x = a
y

1. Tập xác định:
D (0; ) 

2. Tập giá trị:
G  

3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghch bin trên D
 a > 1: Hàm s ng bin trên D
4. Một số công thức cơ bản:

a
log x
ax


lnx
ex


bb
log c log a
ac


2n
aa
log x 2nlog x


a
a
log b log b







a
b
1
log b
log a



c
a
c
log b
log b
log a



a b a
log b.log c log c


a a a
log (bc) log b log c


a a a
b
log log b log c
c





III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ
bản:
1.
f (x)
a
b0
ab
f(x) log b
0 a 1











2.
f (x) g(x)
aa

a1
x :f(x),g(x)
0 a 1
f(x) g(x)




  













3.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
0 a 1
b0
x :f(x)


















  






4.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
a1
b0
x :f(x)



















  





5.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
0 a 1







6.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
a1







IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit
cơ bản:
1.
a
b
log f(x) b
f(x) a
0 a 1







2.
aa
log f(x) log g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
0 a 1












3.
a
b
log f(x) b
0 f(x) a
0 a 1


  




4.
a
b
log f(x) b
f(x) a
a1







5.
aa

log f(x) log g(x)
0 a 1






0 < f(x) < g(x)
6.
aa
log f(x) log g(x)
a1






f(x) > g(x) > 0
V. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Vi a > 0, a  1:
f (x) g(x)
a a f(x) g(x)  

Chú ý: ng h có cha n s thì:

MN

a a (a 1)(M N) 0    

b. Logarit hoá:

 
f (x) g(x)
a
a b f(x) log b .g(x)  

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 16

c. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
f (x)
P(a ) 0

f (x)
t a , t 0
P(t) 0





,
c theo t.
Dạng 2:
2f (x) f (x) 2f (x)
a (ab) b 0    

Cách gii:
Chia 2 v cho
2f (x)
b
, rt
f (x)
a
t
b





Dạng 3:
f (x) f (x)
a b m
, vi
ab 1
.
Cách gii: t
f (x) f (x)
1
t a b
t
  

d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
f(x) = g(x) (1)

 n x
0
là mt nghim ca (1).
 Dng bin, nghch bin ca f(x)
 kt lun x
0
là nghim duy nht.
 Nng bin (hoc nghch bin) thì
f(u) f(v) u v  

e. Đưa về phương trình các phương trình
đặc biệt:
 : A.B = 0 
A0
B0






 
22
A0
A B 0
B0


  





f. Phương pháp đối lập:
f(x) = g(x) (1)
Nu ta chc:
f(x) M
g(x) M





thì
(1)
f(x) M
g(x) M







2. Bất phƣơng trình mũ:
Cách gii 
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:
MN
a a (a 1)(M N) 0    

3. Phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số
Vi a > 0, a  1:
aa
f(x) g(x)
log f(x) log g(x)
f(x) 0 (g(x) 0)







b. Mũ hóa
Vi a > 0, a  1:
a
log f (x)
b
a
log f(x) b a a  

c. Đặt ẩn phụ
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e. Đưa về phương trình đặc biệt
f. Phương pháp đối lập
Chú ý:
    t kê không nêu cách

gii có cách gi 
Khi gi  u
ki biu thc c
 Vi a, b, c > 0 và a, b, c  1 thì:
bb
log c log a
ac

4. Bất phƣơng trình logarit:
Cách gii 
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:

a
log B 0 (a 1)(B 1) 0    
;

a
a
log A
0 (A 1)(B 1) 0
log B
    


5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit:
Cách gii: Kt hp các cách gii c
 logarit  trên và phn gi
h i s.

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 41










Một cách tổng quát: Chc h trc Oxy
nm trong mt phda trên các tính cht

vuông góc (O nm  ng tia
Oz vuông góc vi Oxy ti O.














SỐ PHỨC

Vấn đề 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA – TÍNH
CHẤT.
I. Khái niệm số phức
 Tp hp s phc: C
 S phc (di s) :
z a bi

(a, b
R
, a là phn thc, b là phn 
o, i
2

= 1)
 z là s thc  phn o ca z bng 0
(b = 0)
 z là thun o  phn thc ca z bng 0
(a = 0)
 S 0 va là s thc va là s o.
 Hai s phc bng
nhau:
a a'
a bi a ' b'i (a,b,a',b' R)
b b'


    




2. Biểu diễn hình học: S phc z = a + bi (a,
b
R)
c biu din bm M(a; b) hay bi
u (a; b)

trong mp(Oxy) (mp phc)

3. Cộng và trừ số phức:

       
a bi a' b'i a a' b b' i      


       
a bi a' b'i a a' b b' i      

 S i ca z = a + bi là z = a  bi

u

biu din z,
u'

biu din z' thì
u u'

biu di
u u'

biu din
z  
4. Nhân hai số phức:

      
a bi a' b'i aa' bb' ab' ba' i     


k(a bi) ka kbi (k R)   

5. Số phức liên hợp ca s phc z = a + bi là
z a bi


z z ; z z' z z';   

Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 40

Dng 5: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba
im A, B, C cú tõm nm trờn mt phng Oxy
Gi I(x
I
; y
I
; 0) l tõm ca mt cu,

I Oxy

Ta cú AI
2
= BI
2
= CI
2

Ta cú h
22
22
AI BI
AI CI

Gii h

tõm I

IA = R
Kt lun

Vn 5: Cỏc dng toỏn tam giỏc
Trong khụng gian Oxyz cho tam giỏc ABC
bi m C(a;b;c ng thng ct nhau
12
d ,d

tham s :

1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
x x a t
d : y y b t
z z c t

v
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x a t
d : y y b t
z z c t









Hóy tỡm t ng
hp :

12
d ,d
l hai ng cao ca tam giỏc .

12

d ,d
ng trung tuyn ca tam giỏc.

12
d ,d
ng phõn giỏc trong gúc A , B

1
d
ng cao,
2
d
l trung tuyn ca tam
giỏc

1
d
ng cao,
2
d
l phõn giỏc trong ca
tam giỏc

1
d
l trung tuyn,
2
d
l phõn giỏc trong ca
tam giỏc

Phng phỏp
hc phng.
Chỳ ý: Hỡnh hc gi thi
i hng tp trung vo cỏc dng toỏn
ng gp cng thng, cỏc
dng toỏn khong cỏchi xng nờn hc
sinh cn nm (vỡ hỡnh hc gii tớch trong Oxy
u t tam giỏc)

Vn 6: ng dng hỡnh hc gii tớch
gii cỏc bi hỡnh hc thun.
C s lý lun:
t trong vi cụng c gii tớch
ta cú th c din tớch m tớch
mt khn, khong cỏch gia hai mt
phng, ging thng, gúc gia hai mt
phng, ging thng v mt phng, gia hai
ng th
Vỡ vy gii bi toỏn thun tỳy hỡnh hc cú
th mt bi toỏn hỡnh hc gii tớch nu ta
xõy dng mt h trc Oxyz hp lý.
Nhn xột:
- u: Gii bi toỏn ch n l tớnh toỏn,
u.
- Khuyt: Khụng thc cỏi hay ca hỡnh hc
thun tỳy, tớnh toỏn phi ht sc cn thn.
Mt s cỏch chn h trc Oxyz thng dựng:
1. Vi hỡnh lc hỡnh hp ch
nht
ABCD.A'B'C'D'

2. Vi hỡnh h l hỡnh thoi
ABCD.A'B'C'D'

3. Vi hỡnh chúp t u S.ABCD
4. Vu S.ABC
5. Vi hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh
ch nht v SA

(ABCD)
6. Vi hỡnh chúp S.ABC cú ABCD l hỡnh
thoi v SA

(ABCD)
7. Vi hỡnh chúp S.ABC cú SA

(ABC) v

ABC vuụng ti A.
8. Vi hỡnh chúp S.ABC cú SA

(ABC) v

ABC vuụng ti B.
9. Vi hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)

(ABC),

SAB cõn ti S v

ABC vuụng ti C
10. Vi hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)

(ABC),

SAB cõn ti S v

ABC vuụng ti A
11. Vi hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)

(ABC),

SAB cõn ti S v

ABC vuụng cõn ti C





Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 17

NGUYấN HM TCH PHN
BNG NGUYấN HM
Haứm
soỏ f(x)
Hoù nguyeõn
haứm F(x)
Haứm soỏ

f(x)
Hoù nguyeõn haứm
F(x)+C
a
ax + C


x


+1
x
+C
+1

(ax b)



1
a
1
(ax b)
C
1

1
x

ln x C

1
ax b

1
ln ax b C
a


x
a

x
a
C
lna




x
e

x
eC

ax b
e


ax b
1
eC
a



sinx
-cosx + C
sin(ax+b)

1
cos(ax b) C
a


cosx
sinx + C
cos(ax+b)

1
sin(ax b) C
a


2

1
cos x

tgx + C
2
1
cos (ax b)

1
tg(ax b) C
a


2
1
sin x

-cotgx + C
2
1
sin (ax b)

1
cotg(ax b) C
a


'
u (x)
u(x)

ln u(x) C

22
1
xa

1 x a
ln C
2a x a




tgx
ln cosx C

22
1
xa

22
ln x x a C

cotgx
ln sinx C

Vn 1: NGUYấN HM
I. nh ngha:
Hm s

Fx
gi l nguyờn hm ca hm s

fx
trờn

a,b
nu

F x f x , x a,b


.
Chỳ ý: Nu

Fx
l nguyờn hm ca

fx
thỡ
mi hm s cú dng

F x C
(
C
l hng s

l nguyờn hm ca

fx
v ch nhng hm s cú
dng

F x C
mi l nguyờn hm ca

fx
. Ta
gi

F x C
l h nguyờn hm hay tớch phõn bt
nh ca hm s

fx
v ký hiu l

f x dx

.
y:

f x dx F x C


II. Tớnh cht:
1.

kf x dx k f x dx; k 0


2.

f x g x dx f x dx g x dx




3.

f x dx F x C

thỡ

f u du F u C



Vn 2: TCH PHN
I. nh ngha:

b
b
a
a
f x dx F x F b F a

II. Tớnh cht:
1.

ba
ab
f x dx f x dx


2.

bb
aa
kf x dx k f x dx (k 0)


3.

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx




4.

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

5. Nu


f x 0, x a;b
thỡ

b
a
f x dx 0


6. Nu

f x g x
thỡ

bb
aa
f x dx g x dx ,



x a;b

7. Nu


m f x M, x a;b

thỡ

b
a
m b a f x dx M b a


Chỳ ý:
- Mun tớnh tớch phõn bni
bii hm s i du tớch phõn thnh tng
hoc hiu ca nhng hm s t nguyờn hm.
- Nu hm s i du tớch phõn l hm s
hu t cú bc ca t lc bng bc ca
mu ta phi thc hin phộp chia t cho mu.





LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 18

Vấn đề 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
I. Cơng thức:
     
.
b
a
f x x dx f t dt










II. Những phép đổi biến phổ thơng:
Hàm s có cha
 
n
(x)

t
t (x)

Hàm s có mu s
t t là mu s
Hàm s có cha
(x)

t
t (x)
hay
t (x)

Tích phân cha
dx
x

t
t lnx

Tích phân cha
x
e

t
x
te

Tích phân cha
dx
x

t
tx

Tích phân cha
2
dx
x

t
1
t
x


Tích phân cha
cosxdx

t
t sinx

Tích phân cha
2
dx
cos x

t
t tgx

Tích phân cha
2
dx
sin x

t
t cotgx
.
Tích phân cha
22
ax

t x = asint,
t
;
22







Tích phân cha
22
1
ax

t x = atant,
t
;
22








Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Cơng thức:
 
bb
b
a
aa

uv dx uv vu dx




hay
 
bb
b
a
aa
udv uv vdu


c thc hin:
 c 1:








u u(x) du u (x)dx (Đạohàm)
Đặt
dv v (x)dx v v(x) (nguyên hàm)

 c 2: Th vào cơng thc (1).
 c 3: Tính

 
b
a
uv

tính tip
b
a
vdu


II. Những cách đặt thơng thƣờng:

u
dv
x
P(x).e dx


P(x)
x
e dx

P(x).cosxdx


P(x)
cosxdx

P(x).sin xdx



P(x)
sinxdx

P(x).lnxdx


lnx
P(x)
Chú ý :
Tích phân hàm hữu tỉ:
- Nu mu là bc nht thì ly t chia mu
- Nu mu là bc hai có nghi
hng thc
- Nu mu là bc hai có hai nghing
nht thc
- Nu mu là bc hai vơ nghim ti bin s.
Tích phân hàm lƣơng giác:
- Nu sinx,cosx có s n thì h bc
22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
22






- Nu sinx,cosx có s  thì tách ra rt t
- Nu có tan
2
x hoc cot
2
x thì thêm bt 1
- Nu có tanx,cotx có th  sinx,cosx ri
t t
- Nu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng
cơng thc bii tích thành tng.
- Nhiu bài chúng ta phi bii các hàm
  các dng có kh 
c.
Chú ý:  i hc ng
i dng kt nhiu dng tính tích phân. Vì
th, t u ta bii v tng hoc
hing tích phân d
c b
ng là mi bin và mt tích
phân tng phn).






LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 39

Ta có:

0
H
0
H
0
H
x x'
x
2
y y'
y
2
z z'
z
2

















M
Dạng 14: Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
chéo nhau

và
'

 Gi
u

và
u'

lt là VTCP ca

và
'



m M
0
,
0
M' '

 
00

u,u' .M M'
d , '
u,u'


  


 




Vấn đề 3: MẶT CẦU
I. Phƣơng trình mặt cầu:
1. Phƣơng trình mặt cầu tâm
I(a;b;c)
bán
kính R
     
2 2 2
2
x a x b x c R     
.
2. Phƣơng trình mặt cầu tâm
I(a;b;c)
, bán
kính
2 2 2
R a b c d   

:
2 2 2
             

vi a
2
+ b
2
+ c
2
 d > 0
II. Vị trí tƣơng đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mt cu
(S):
     
2 2 2
2
x a x b x c R     

tâm
I(a;b;c)
bán kính R và mt phng (P):
Ax + By + Cz + D = 0.
 Nu d(I,(P)) > R thì mt phng (P) và mt cu
m chung.
 Nu d(I,(P)) = R thì mt phng (P) và mt cu
(S) tip xúc nhau. i là tip din ca
mt cu (S) m chung gi là tim
 Nu d(I,(P)) < R thì mt phng (P) và mt cu
(S) ct nhau theo giao tuyng tròn có

:

     
2 2 2
2
x a y b z c R
Ax By Cz D 0

     


   



ng tròn
22
r R d(I,(P))
và tâm H cng tròn là
hình chiu ca tâm I mt cu (S) lên mt phng
(P).
III. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt
cầu:
Cho mt cu (S):(x  a)
2
+(y  b)
2
+(z  c)
2
=

R
2
ng thng (d) :
01
02
03
x x a t
y y a t
z z a t









Mum gia (d) và (S) , ta thay x,

c mc hai theo t .
 Nm thì (d) và
m chung
 Nt nghim t thì
(d) tip xúc vi là tip tuyn
ca mt cm chung gi là tim .
Nm phân bit
t
1
; t

2
thì (d) ct (S) tm phân bit.
IV. Dạng tốn thƣờng gặp:
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt cầu
 nh tâm I(a ; b ; c) ca mt cu
 Bán kính R
 Vit cu

     
2 2 2
2
x a x b x c R     

Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng
kính AB
 Gm ca AB. Tính to  I


I là tâm mt cu
 Bán kính
1
R AB
2


 Vit cu
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm
I (a; b; c) và tiếp xúc với
 


:
Ax + By + Cz + D = 0
 Mt cu (S) có tâm I và tip xúc vi
 

. Nên
có bán kính

 
 
R d I,

I I I
222
Ax By Cz D
A B C
  



 Vit cu
Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại
tiếp tứ diện ABCD
 t cu (S) có dng
x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
 A, B, C, D thuc (S). Ta có h 
 Gii h A, B, C, D
 Kt lun
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 38

 Gi (P) là mt phm A và cha
1


 Gi (Q) là mt phm A và cha
2


 P ng thng d:
 
 
P
Q






 Chuyn v c (tham s)
Dạng 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
 
P

cắt cả hai đƣờng
1

và
2

.
 Gi
 
1
AP  

 Gi
 
2
BP  

 ng thng thng AB
Dạng 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d
1

và cắt cả hai đƣờng
1

và
2

.
 Gi (P) là mt phng cha
1


và (P) // d
1

 Gi (Q) là mt phng cha
2

và (Q) // d
1


   
d P Q

 ng thng d
 
 
P:
Q:






Dạng 9: Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc
chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau
1

và

2

.
Cách 1:
 Gi
1
u

và
2
u

lt là VTCP ca
1

và
2


 Gi
 
12
v u ,u
  

 Gi (P) là mt phng cha
1

và có mt
VTCP là

v

. Nên có VTPT là
 
P1
n u ,v





t phng (P)
 Gi (Q) là mt phng cha
2

và có mt
VTCP là
v

. Nên có VTPT là
 
Q2
n u ,v





t phng (Q)
 ng vuông góc chung ca

1


và
2

:
 
 
P
Q






Cách 2:
 Chuyng thng
1

và
2


v dng tham s.
 Gi
1
M
và

2
N
i dng tham
s). Tính
MN

.
 Gii h:
1
2
MN.u 0
MN.u 0







 
 
c tham s


c t m M, N

vi
trình MN.
Dạng 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d
vuông góc (P) và cắt hai đƣờng thẳng

1

và
2


 Gi
 

là mt phng cha
1

và có mt
VTCP là
P
n

( VTPT ca (P) )
 Gi
 

là mt phng cha
2

và có mt
VTCP là
P
n

( VTPT ca (P) )

 ng thng
   
d    

Dạng 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi
qua điểm M
0
vuông góc với đƣờng thẳng
1

và
cắt đƣờng thẳng
2


 Gi
 

là mt ph
0
và vuông
góc
1


 Gi
 

là mt phm M
0

và
cha
2


 ng thng
   
d    

Dạng 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi
qua giao điểm của đƣờng thẳng

và mặt
phẳng
 

và
 
d ,d   

 Gi
   
A   

 Gi
 

là mt ph
vi


. Nên
 

có VTPT là VTCP ca


 ng thng
   
d    

Dạng 13: Tìm tọa độ điểm M' đối xứng của M
0

qua đƣờng thẳng d
 Gi M (x ; y ; z )
 Gi (P) là mt phm M
0
và
 
Pd
. Nên (P) nhn VTCP ca d làm
VTPT
 Gi
   
H d P

 M i xng ca M
0
ng thng
d. Nên H m cn M

0
M
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 19

Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA
DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Gi s cn tính tích phân
b
a
I f (x) dx

.
Bƣớc 1. Lp bng xét du (BXD) ca hàm s f(x)
n [a; b], gi s f(x) có BXD:
X
a

x
1


x
2


b
f(x)

+

0

0
+

Bƣớc 2. Tính
12
12
xx
bb
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx   
   
.
Chú ý: Nu trong kho
f(x) = 0 không có nghim thì:
bb
aa
f(x) dx f(x)dx



Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Trƣờng hợp 1:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x), x a, x b   
là:

b
a
S f(x) g(x) dx


2. Trƣờng hợp 2:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x)
là:
S f(x) g(x) dx





 
, 
là nghim nh nht và ln
nht ca f(x) = g(x).
Chú ý:
 Nu trong khong
 
; 
 
f(x) g(x)
không có nghim thì:
 
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx



  


 Nu tích S gii hn bi x = f(y) và x = g(y) thì
i vai trò x cho y trong công thc trên.


II. Tính thể tích khối tròn xoay:
1. Trƣờng hợp 1.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bng
y f(x) 0

 
x a; b
, y = 0, x = a và x = b
(a < b) quay quanh trục Ox là:
b
2
a
V f (x)dx


2. Trƣờng hợp 2.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bi các ng
x g(y) 0

 

y c; d
, x = 0, y = c và y = d
(c < d) quay quanh trục Oy là:
d
2
c
V g (y)dy


3. Trƣờng hợp 3. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng
y = f(x),
y g(x)
, x = a và x = b
 
 
a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b    
quay
quanh trục Ox là:
b
22
a
V f (x) g (x) dx  


4. Trƣờng hợp 4. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng x = f(y),
x g(y)
, y = c và y = d
 

 
c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d    
quay
quanh trục Oy là:
d
22
c
V f (y) g (y) dy  


Chú ý: Cách gii tích phân có du giá tr
tuy trên.










LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 20

Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Kiến thức cơ bản:
1. Kiến thức hình học 9 – 10:
1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tng trung tuyn AM. Ta có:


2 2 2
AB AC BC


2
AH BH.CH



2
AB
= BH.BC

2
AC CH.BC


2 2 2
1 1 1
AH AB AC



AH.BC AB.AC


b c b c
sinB , cosB , tanB ,cotB
a a c b

   

M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng:
Cho tam giác ABC có các cnh lng trung tuyn AM.
 Định lý hàm cos:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
2 2 2
b c a
cosA
2bc




 Định lý hàm sin:
a b c
2R
sinA sinB sinC


 Định lý đƣờng trung tuyến:
2 2 2

22
a
2(b c ) a
m AM
4



1.3 Các công thức tính diện tích:
Tam giác ABC:
ABC
1
S BC.AH p.r
2
abc 1
.AB.AC.SinA
4R 2.
p(p a)(p b)(p c)



   

Hình thang ABCD
(AB // CD), đƣờng cao DH:
ABCD
1
S (AB CD).DH
2


Hình vuông ABCD cạnh a:
ABCD
2
S AB.AC
1
AC.BD a
2



Hình chữ nhật ABCD:
ABCD
S AB.AD

Diện tích hình thoi ABCD:
ABCD
1
S AC.BD
2


Diện tích hình tròn:
2
(O;R)
S .R

Diện tích hình bình hành:
S = cx chiu cao
Diện tích tam giác đều:

2
ABC
a3
S
4



Tam giác vuông tại A:
1
S AB.AC
2



LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 37

 () n 
a.n 0
M ( )









III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi
qua M
0
có VTCP
a

.
0
[M M,a]
d(M, )
a

 


2. Khoảng cách giữa hai đƣờng chéo nhau :
0 0 0 0
quaM (x ;y ;z )
:
VTCPa







;
0 0 0 0

quaM' (x' ;y' ;z' )
':
VTCPa'








[a,a'].MM'
d( , ')
[a,a']
  
  
 

Chú ý :
* Nu () và (t nhau hoc trùng nhau thì:
d((),(
* Nu () và ( song song thì:
d((),())
 () và N  (

IV. Góc:
1. Góc giữa hai đƣờng thẳng:
0 0 0 0
quaM (x ;y ;z )
:

VTCPa







;
0 0 0 0
quaM' (x' ;y' ;z' )
':
VTCPa'








1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a '
cos cos(a,a ')
a . a '
a .a' a .a ' a .a '
a a a . a ' a ' a'
  



   
 
 
 

2. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
(
0
có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )


VTPT
n (A;B;C)

.Gp bi () và
, ta có:
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin cos(a,n)
A B C . a a a
  
   


V. Dạng toán thƣờng gặp:
Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

:
 Cn bit VTCP
 
1 2 3
a a ;a ;a

và m
 
0 0 0 0
M x ;y ;z


 Vi theo công thc.
 Vic theo công thc.
Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

khi:
:

1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0
   


   





có VTCP là :
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 2
B C C A A B
a ; ;
B C C A A B






 m M
0
.
 Ving thng.
Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

đi
qua điểm
 
0 0 0 0
M x ;y ;z
và vuông góc với mặt
phẳng
 

:Ax By Cz D 0    

 Mp
 

có VTPT là
 
n A;B;C


 ng thng

m M
0
và có VTCP
là
n


 Ving thng.
Dạng 4: Viết phƣơng trình hình chiếu của d
trên mặt phẳng
 


 Gi d là hình chiu ca d trên mp
 


 Gi

 

là mt phng cha d và
   
  

 Nên
 

có cp VTCP là VTCP ca d là
d
u


và
n


là VTPT ca mt phng
 


 Mp
 

có VTPT
 
d
n u ,n





m
M
0


d
 Ving quát ca Mp
 


 ng thng d:
 
 
:
:








 Chuyn v c (tham s).
Dạng 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua
điểm
 

0 0 0 0
M x ;y ;z
và vuông góc với hai
đƣờng
1

và
2



1

có VTCP
1
u



2

có VTCP
2
u


 d vuông góc vi
1

và

2

. Nên d có VTCP là
 
d 1 2
u u ,u
  

Dạng 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi
qua điểm A và cắt cả hai đƣờng
1

và
2

.
 Thay to  
1

và
2


12
A ,A  

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 36

 Mt phng (P) có VTPT là

Q
n AB,n





và
qua A
 Kt lun.
Dạng 7: Viết phƣơng trình mp
 

đi qua các
điểm là hình chiếu của điểm
 
0 0 0
M x ;y ;z

trên các trục toạ độ.
 Gi M
1
, M
2
, M
3
lt là hình chiu ca
m M trên Ox, Oy, Oz. Thì M
1
(x

0
;0;0),
M
2
(0;y
0
;0), M
3
(0;0;x
0
)
 t phng
 

là:
00
x y z
1
x y z
  

Dạng 8: Viết phƣơng trình mp
 

đi qua
điểm M
0
và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
 (P) có VTPT là

P
n


 (Q) có VTPT là
Q
n


 Mp
 

có VTPT là
PQ
n ,n



và qua M
o

 Kt lun.
Dạng 9: Tọa độ điểm M
’
đối xứng của M qua
mặt phẳng
 


 Gi M

(x; y; z i xng ca M
qua
 


 Gng th
 
d 
.
Nên d có VTCP là
n


 Vi ca d
 Gi
   
Hd  

 T m H là nghim ca h 
 
 
d:
:








T m H
 m ca MM

T m

Dạng 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp
diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
 nh tâm I ca mt cu (S)
 Mt phng
 

: Mp tip din có VTPT :
IA


 Vi tng quát.



Vấn đề 3: ĐƢỜNG THẲNG
I. Phƣơng trình đƣờng thẳng:
1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng:
m
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
m thung
thng


và
1 2 3
a (a ;a ;a )

là VTCP cng
thng

 cng thng

:
01
02
03
x x a t
y y a t (t R)
z z a t



  





2. Phƣơng trình chính tắc của đuờng thẳng:
m
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
m thung

thng

và
1 2 3
a (a ;a ;a )

là VTCP cng
thng

c cng thng

:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  


II. Vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và
các mặt phẳng:
1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng:
ng thng (
a

và (
a'

.
 () chéo (

a,a' .MM' 0


  

 () ct (
a,a' .MM' 0


  
vi
a,a ' 0


  

 () // ( 
[a,a']=0
M'






  
hoc
'
a;a = 0
a;MM' = 0













  

 () 
[a,a']=0
M'






  
hoc
'
a;a = 0
a;MM' = 0













  

2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt
phẳng:
ng thng (
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )

và mt
ph
Ax By Cz D 0   
có VTPT
n (A;B;C)

.
 () c 
a.n 0



 ( 
a.n 0
M ( )









LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 21

1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:
a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:
Tam giác ABC có các góc A;B;C các ci di ng a;b;c. Chu vi 2p.
Din tích S
Tính chất:
 Hai tam giác bng nhau thì các yu t ng bng nhau.
 Hai ng dng thì :
 T s gia các yu t( không k góc; và ding bng nhau và bng t
s ng dng.
 T s din tích b s ng dng.
 Hai ng dng nu có 1 yu t v  ng bng nhau thì bng nhau.
b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:
Do 2 tam giác vuông có góc vung bng nhau nên có s c bit so vi

ng:
 Hai cnh góc vuông bng nhau (t l ).
 Mt góc nhng bng nhau và 1 cnh góc vuông bng nhau (t l).
 Mt cnh góc vuông và cnh huyn bng nhau (t l).
1.5 Định lý Thalet:
 Nhng thnh ra trên 2 cát tuyn nhn thng t l.
 ng thng song song vi c nh ra trên 2
cnh kia nhn thng t l.
 ng thng song song vi mt cnh thì to vi 2 cnh kia 1 tam giác
ng dng vu.
1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác:
 Ba ng trung tuyng quy tm: trnh bng
2
3
mng.
Mng trung tuyn chia tam giác thành hai phn có din tích bng nhau.
 Ba ng quy ti mt m: trc tâm H.
 Ba ng trung trng quy ti mt m gng tròn ngoi tip, còn gi là
tâm ca tam giác.
 Ba ng quy ti mt m gi là tâm ng tròn ni tip.
Mng phân giác chia ci din thành hai phn t l vi hai cng.
1.7 Các tính chất đặc biệt:
Cho tam giác nhn ABC, ni ting kính
m BC, H là tri xng vi H qua BC.
Ta có:
- BH là i xng
ca H qua M
- ng tròn tâm O.
- m gm 3 cm AH, BH, CH,
ng cao nm trên mm

c gng tròn Euler.




LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 22

2. Kiến thức hình học 11:

Quan hệ song song:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
Mng thng và mt mt phng
c gi là song song nu chúng
m chung.
a / /(P) a (P)   

a
(P)

Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d không
nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng a nằm trên
mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
song song với mặt phẳng (P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)










d
a
(P)

ĐL2: Nu mng thng song
song vi mt phng thì nó song
song vi giao tuyn ca mt phng
t phng bt k cha nó.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d








d
a

(Q)
(P)

ĐL3: Nu mng thng song
song vi 2 mt phng ct nhau thì
nó song song vi giao tuyn ca hai
mt ph
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a








a
d
Q
P


Bài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là song
song nm
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)   

Q
P

Định lý:
ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt
phẳng song song là trong mặt
phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau cùng song song với mặt
phẳng kia.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b / /(Q)



  




I
b
a
Q
P

ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song
với nhau thì mọi đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này đều song song

với mặt phẳng kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)






a
Q
P

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 35

Vấn đề 2: MẶT PHẲNG
I. Phƣơng trình mặt phẳng:
1. nh dng
Ax + By + Cz + D = 0 vi A
2
+ B
2
+ C
2

 trình tng quát ca mt phng, trong

n (A;B;C)


là mn ca nó.
2. Mt phm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và
nh
n (A;B;C)

áp tuyn có
dng :
A(x  x
0
) + B(y  y
0
) + C(z  z
0
) = 0
3. Mt ph
0
(x
0
;y
0
;z

0
) và nhn
1 2 3
a (a ;a ;a )

và
1 2 3
b (b ;b ;b )

làm c
ch  thì mt ph
tuyn:
2 3 3 1
12
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
n a,b ; ;
b b b b b b






  
.
II. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng:
1. Cho hai mt phng (P): Ax + By + Cz + D = 0
 +  +  +  = 0

 (P) ct (Q)  
 (P) // (Q)  

  
2. Cho hai mt phng ct nhau :
 
 
P :Ax By Cz D 0
     
   



   


.
t phnh bi
(P) và (Q) là:

= 0 (vi m
2
+ n
2

III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khong cách t M
0
(x
0

;y
0
;z
0
n mt phng
(): Ax + By + Cz + D = 0.
0 0 0
0
222
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
  



IV. Góc gữa hai mặt phẳng:
Ga hai mt phng :
 
 
P :Ax By Cz D 0
     
   



   


. Ta có:

PQ
PQ
PQ
n .n
cos cos(n ,n )
n . n
  
 
 
 

 
00
2 2 2 2 2 2
A.A' B.B' C.C'
0 90
A B C . A' B' C'

   
   

0
PQ
90 n n   
 
 hai mt phng vuông góc
nhau.
V. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng:
 Tìm VTPT

 
n A;B;C


qua
 
0 0 0 0
M x ;y ;z

 Dng:
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     

Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba
điểm A, B, C:
 Tính
AB,AC
 

 Mp (ABC) có VTPT là
n AB,AC



 

và
qua A
 Kt lun.

Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng
 

đi
qua điểm A và vuông góc BC
Mt phng
 


BC nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
 Trc Ox cha
 
i 1;0;0


 Trc Oy cha
 
j 0;1;0


 Trc Oz cha
 
k 0;0;1


Dạng 4: Viết phƣơng tình mp
 

là mặt

phẳng trung trực của AB.
 Mt phng
 



m ca AB
 Kt lun.
Dạng 5: Viết phƣơng tình mặt phẳng
 

đi
qua điểm
 
0 0 0 0
M x ;y ;z
và song song với mặt
phẳng
 
:Ax By Cz D 0    


   
//

 

có dng:
Ax + By + Cz + D= 0


 
0
M D'  

 Kt lun.
Dạng 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai
điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
 Mt phng (P) có cp VTCP là:
AB

và VTPT
ca (Q) là
Q
n


LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 34

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ

Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ
VECTƠ
I. Tọa độ của véctơ:
Trong khơng gian vi h t Oyz
1.
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k    
    

2.
i (1,0,0)

;
j (0,1,0)

;
k (0,0,1)


3. Cho
1 2 3
a (a ;a ;a )

và
1 2 3
b (b ;b ;b )

ta có :

11
22
33
ab
a b a b
ab



  








1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )    



1 2 3
k.a (ka ;ka ;ka )



222
1 2 3
a a a a  



1 1 2 2 3 3
a.b a . b cos(a;b) a b a b a b   
     

II. Tọa độ điểm :
Trong khơng gian vi h t Oxyz
1.

 
M M M M M M
M x ;y ;z OM x i y j z k   
   

2. Cho
 
A A A
A x ;y ;z
và
 
B B B
B x ;y ;z
ta có:

 
B A B A B A
AB x x ;y y ;z z   



2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )     

3. N   n AB theo t s k
 
MA kMB
 
thì ta có :

A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
  
  
  

(V –1)
 c bim AB (k =  1 ) thì
ta có:
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ;y ;z
2 2 2
  
  

III. Tích có hƣớng của hai vectơ và ứng
dụng:
1. Nu
1 2 3
a (a ;a ;a )

và
1 2 3
b (b ;b ;b )


thì:
2 3 3 1
12
2 3 3 1 1 2
a a a a
aa
a,b ; ;
b b b b b b








2. ng
c a,b



  


a

và
b

.

3.
a,b a b sin(a,b)



     
.
4.
ABC
1
S [AB,AC]
2

 
.
5. V
HộpABCDA’B’C’D’
=
[AB,AD].AA'
  
.
6. V
Tứdiện ABCD =
1
[AB,AC].AD
6
  
.
IV. Điều kiện khác:
1.

a

và
b

:
11
22
33
a kb
a,b 0 k R :a kb a kb
a kb




       





    

2.
a

và
b


vng góc:
1 1 2 2 3 3
a.b 0 a .b a .b a .b 0     


3. 
a, b, c
  
ng phng 
a,b .c 0


  

4. A,B,C,D là b nh ca t din 
AB, AC, AD
  
ng phng.
5. G là trng tâm ca tam giác ABC:

A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y

y
3
z z z
z
3
















6. G là trng tâm t din ABCD
GA GB GC GD 0    
   





A B C D

G
A B C D
G
A B C D
G
x x x X
x
4
y y y y
y
4
z z z z
z
4
















7. G là trng tâm ca t din ABCD:

GA GB GC GD 0   
    
.
8. Chiều cao AH kẻ từ đỉnh A của tứ diện
ABCD:
AH =
ABCD
BCD
3V
S


LÝ THUY Cao Hồng Nam
Trang 23

ĐL3: Cho 2 mt phng song song.
Mt phng nào ct mt phng này
t mt phng kia và 2
giao tuyn song song vi nhau.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


  






b
a
R
Q
P


Quan hệ vng góc:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
ng thng vng góc vi mt
phng khi và ch khi nó vng góc
vi mng thng nm trong
mt ph
a (P) a c, c (P)    

P
c
a

Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vng
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vng góc với
mp(P).
d a, d b
a,b (P) d (P)

a b A



  





d
a
b
P

ĐL2: (định lý 3 đƣờng vng
góc): Cho đường thẳng a có hình
chiếu trên mặt phẳng (P) là đường
thẳng a’. Khi đó một đường thẳng b
chứa trong (P) vng góc với a khi
và chỉ khi nó vng góc với a’.
a (P),b (P)
b a b a'
a' a / (P)



  






a'
a
b
P


Bài 2: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là vng
góc vi nhau nu góc gia chúng
bng 90
0
.

0
(P) (Q) ((P),(Q)) 90  


Định lý:
ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vng góc với một
mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vng góc với nhau.
a (P)
(Q) (P)
a (Q)








Q
P
a

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vng góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vng góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vng góc với (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d



   





d
Q
P

a

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 24

ĐL3: Nu hai mt phng (P) và (Q)
vuông góc vi nhau và A là mt
ng th
m A và vuông góc vi (Q)
s nm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
Aa
a (Q)













A
Q

P
a

ĐL4: Nu hai mt phng ct nhau
và cùng vuông góc vi mt phng
th ba thì giao tuyn ca chúng
vuông góc vi mt phng th ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)



  





a
R
Q
P


Bài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

1.
 
 

a / /b
bP
aP








2.
 
 
aP
a / /b
bP









3.
   
 
 

P / / Q
aQ
aP








4.
 
 
   
aP
P / / Q
aQ









5.
 
   

ab
a / / P haya P
Pb










Bài 4: KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đƣờng thẳng, đến 1
mặt phẳng:
Khong cách t ng thng a (hon
mt phng (P)) là khong cách gim O và H,
u cng thng a
(hoc trên mt phng (P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P

2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

song song:
Khong cách ging thng a và mt phng (P)
song song vng thng a là khong cách t m O
bt k thung thn mt phng (P)
a
H
O
P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khong cách gia hai mt phng song song là khong
cách t m thuc mt phn mt phng kia.
H
O
Q
P

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau :
Khong cách ging th dài
n vuông góc chung cng th
B
A
b
a

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 33

 B


d
2
nên có h theo t
1
và t
2
. Gii h có t
1

suy ra t m B
 :
 Nd
2
suy ra t N theo t
2

 m CA suy ra t A theo t
2

 A

d
1
nên có h theo t
1
và t
2
. Gii h có t
2

suy ra t m A
Chú ý: Có th gii theo cách khác :
 Tìm t trng tâm G ca tam giác ;
 i xng D ca C qua G
 Ving th
1
qua D
song song vi d
2

 Ving thng qua d
2
qua D
song song vi d
1

 Gii h
1
1
d'
d




t A ;
 Gii h
2
2
d'

d




t B
Dạng 3:
12
d ,d
là hai đƣờng phân giác trong
của góc A và góc B.
 Tìm t m C
1
i xng ca C
qua d
1
;
1
C AB

 Tìm t m C
2
i xng ca C
qua d
2
;
2
C AB

 Vi C

1
C
2

trình ca AB
 T ca A là nghim ca h :
12
1
CC
d




 T ca B là nghim ca h :
12
2
CC
d




Dạng 4:
1
d
ng cao,
2
d
là trung tuyn.

Gi s d
1
: ng cao AM; d
2
: trung tuyn BN
 Vi
 Gii h
2
CB
d



tìm t m B
 Dùng tính chm N thuc BN , 




c AM suy ra t
m A
Dạng 5:
1
d
là đƣờng cao ,
2
d
là phân giác
trong.
Gi s d

1
: ng cao AM; d
2
: phân giác trong BN
 Vinh CB
 Gii h
2
CB
d




t m B
 Tìm t m C
2
i xng ca C
qua d
2
( C
2
thuc AB)
 Vi
2
(BA)
 Gii h
1
BA
d





t m A .
Dạng 6:
1
d
là trung tuyến ,
2
d
là phân giác
trong
Gi s d
1
: ng trung tuyn AM; d
2
: phân giác
trong BN

2
1
Md
MA MC
Ad









t m B.
 Tìm C
2
i xng ca C qua d
2

 Vi tham s BC
2
(BA)
 Gii h
1
BA
d




t m A
Nhận xét:
 Hc sinh ch cn nng 1, 2, 3 thì
các d
 Nng cao cn
   m hình chiu c   t
 ng cao hoc VTPT c ng cao
hoc tìm VTCP ca cnh và vi
tham s ca cnh tam giác
 Nn trung tuyn cn
n tính chm .

 Nu bài toán có yu t ng phân giác trong
ci xng ct
.
Chú ý i hng s dng các
tính chi xi xng trc
ng)  n Phép bin hình 11. Ngoài
ra s kt hp gia các tính cht cng tròn và
ng toán rng gp.








LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 32

III. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 tiếp
điểm:
Cho
MM
M(x ;y )
nng tròn tâm
I(a;b)
bán kính R. T M dng 2 tip tuyn tip
ng tròn t
ng thng AB có dng:
     

2
MM
x a x a y b y b R     

IV. Phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai
đƣờng tròn:
Bƣớc 1: Xét tip tuyn vuông góc vi 0x :
x a R
và
x a R
. Kim tra tip tuyn tha
u kiu bài?
Bƣớc 2: Xét tip tuyn không vuông góc vi 0x
có dng:
y kx m
.  tìm k và m: Ta gii h
lc t u kin tip xúc.
 Nu (C
1
) và (C
2
) ngoài nhau: có 4 tip tuyn
chung.
 Nu (C
1
) và (C
2
) tip xúc ngoài: có 3 tip
tuyn chung.
 Nu (C

1
) và (C
2
) ct nhau: có 2 tip tuyn
chung.
 Nu (C
1
) và (C
2
) tip xúc trong: có 1 tip
tuyn chung.
 Nu (C
1
) và (C
2
) lng nhau: không có tip
tuyn chung.

Vấn đề 4: ELÍP
I. Định nghĩa:
Cho
1 2 1 2
F ,F coá ñònh vaø FF = 2c (c> 0)

12
M (E) MF MF 2a (a c 0)     

II. Phƣơng trình chính tắc:
22
22

xy
(E) 1 (a,b 0)
ab
  

III. Các tính chất:
1. m :
12
F( c;o), F (c;o)
.
2. Tiêu c :
12
FF 2c
.
3. nh trc ln:
12
A ( a;0), A (a;0)
.
4. nh trc bé :
12
B (0; b), B (0;b)
.
5.  dài trc ln:
12
A A 2a
.
6.  dài trc bé :
12
B B 2b
.

7. Tâm sai :
c
e1
a

.
8. m :
1M
2M
MF a e.x
MF a e.x






9. nh hình ch nh:
xa
yb






10. ng chun
2
a
x

c


IV. Phƣơng trình tiếp tuyến của Elip:
1. p tuyn TẠI
00
M(x ;y )
:

00
22
x.x y.y
: 1 (a,b 0)
ab
   

2. u kin tip xúc:
Cho:
22
22
xy
(E) 1 (a,b 0)
ab
  
và ng
thng
(Δ) : Ax By C 0  

(Δ)
tip xúc (E)

2 2 2 2 2
A a B b C  


Vấn đề 5: Các dạng toán tam giác
Trong mt phng Oxy cho tam giác ABC bit
   ng thng ct nhau
12
d ,d

 :
1 1 1
1
1 1 1
x x a t
d:
y y b t





và
2 2 2
2
2 2 2
x x a t
d:
y y b t







Hãy tìm t ng
hp :
Dạng 1:
12
d ,d
là hai đƣờng cao.
Gi s d
1
ng cao AM , d
2
ng cao BN
 ViBC: (BC có VTCP là
VTPT ca d
1
)
 Gii h
2
BC
d




t m B
 :

 ViAC (AC có VTCP là
VTPT ca d
2
)
 Gii h
1
AC
d



có t m A
Dạng 2:
12
d ,d
là hai đƣờng trung tuyến.
Gi s d
1
: là trung tuyn AM ; d
2
là trung tuyn
BN
 Md
1
suy ra t M theo t
1

 m CB suy ra t B theo t
1

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 25

Phƣơng pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b.
Cách 1: Gi s a  b:
 Dng mt phng (P) cha b và vuông góc vi a ti
A.
 Dng AB  b ti B
 n vuông góc chung ca a và b.
a
b
A
B

Cách 2: S dng mt phng song song.
 Dng mt phng (P) cha b và song song vi a.
 Dng hình chia a trên (P).
 T  m B c     ng thng
vuông góc vi (P) ri lm A cng thng
này vi a.
 n vuông góc chung ca a và b.
b
a'
a
B
A

Cách 3: S dng mt phng vuông góc.
 Dng mt phng (P)  a ti O.
 Dng hình chiu b ca b trên (P).

 Dng OH  b ti H.
 T H, dng thng song song vi a, ct b ti
B.
 T B, dng thng song song vi OH, ct a
ti A.
 n vuông góc chung ca a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
a
b'
b
O
H
B
A


Bài 5: GÓC

1. Góc giữa 2 đƣờng thẳng trong không gian:
Góc ging thng trong không gian là góc hp
bng thi chúng, xut phát
t cùng mm.
Lƣu ý:

 
00
0 a,b 90

b'
b

a'
a

2. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
 ng thng không vuông góc vi mt phng: Là
góc ging thu ca nó lên
mt phng.
 ng thng vuông góc vi mt phng: góc gia
chúng bng 90
0

P
a'
a

Phƣơng pháp: Xác định góc giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P).
 m O ca a vi (P).
 Chm A  a và dng AH  


AOH (a,(P))