chuyen de PP giai PTB2 va ung dung cua DL viet

Phần I: Cơ sở lý luận
1. Phơng trình bậc hai và hệ thức viét học sinh đợc học trong trơng trình đại số
lớp 9 ở bậc THCS. Đối với các em học sinh có năng khiếu, các đối tợng học sinh
có năng lực học toán thì các dạng bài tập về phơng trình bậc hai trong sách giáo
khoa thờng cha làm các em thoả mãn. Vì tính hiếu học của mình, xét trên địa
bàn và thực tế qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 tôi thấy nhu cầu học tập của các
học sinh muốn đợc tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải
các bài tập trong kỳ thi vào trờng THCS, Trờng Chuyên Hùng Vơng học một số
trờng, lớp chất lợng cao ở một số vùng miền.
2. Từ thực tế các dạng bài tập với một số nội dung yêu cầu biện luận để phơng
trình có nghiệm, vô nghiệm khi các hệ số a của x
2
, hoặc hệ số b của x, hoặc hệ
số tự do của c có chứa tham số. Trong các trờng hợp này các em không thể quên
điều kiện xét hệ số a = 0 (trong trờng hợp a có chứa tham số).
3. Học sinh thờng chỉ làm quen với các công thức nghiệm, tính biệt số và tính
ngay tổng S và tích P của nghiệm, cha quan tâm đến dấu của để xem phơng
trình có nghiệm hay không.
4. Với các bài tập liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, phần lớn
không biết vận dụng, bắt đầu từ đâu để giải bài tập.
5. Khi học về phơng trình bậc hai và định lý viét có nhiều dạng toán phải vận
dụng các kiến thức có liên quan, học sinh rất lúng túng, không biết nên bắt đầu
từ đâu, làm thế nào để xuất hiện các hệ thức có chứa các dữ kiện cần tìm. Thậm
chí có học sinh đọc đề bài song không hiểu trong đó nói gì, yêu cầu gì.
6. Thực trạng học sinh nh vậy đã đề cấp đến việc phân loại, hớng dẫn học sinh
giải các bài tập liên quan tới phơng trình bậc hai và định lý viét ở chơng trình đại
số lớp 9 là điều cần thiết.
7. Trên cơ sở đã nắm đợc các dạng bài và cách giải học sinh vận dụng để giải các
bài tập tơng tự, nâng cao kiến thức và phát triển t duy cho học sinh.
Chính từ thực tế năng lực, trình độ học sinh khi học phần Phơng trình bậc
hai và định lý viét, từ nhu cầu của học sinh, qua những năm giảng dạy tôi đã tích

luỹ kinh nghiệm giảng dạy, tham khảo về mặt kiến thức, phơng pháp giảng dạy
của đồng nghiệp tôi mạnh dạn viết đề tài này với tên là:
"Dạy học sinh giải phơng trình bậc 2 và khả năng vận dụng
định lý viét trong giải bài toán về phơng trình bậc 2 ở lớp 9"
Phần II: Mục tiêu cần đạt đợc
1
1. Giúp các em củng cố lại kiến thức có liên quan đến phơng trình bậc hai và
định lý viét. Học sinh biết giải và biện luận phơng trình bậc hai có chứa tham số
mà cần đến kiến thức của phơng trình bậc hai và định lý viét.
2. Học sinh biết phân tích các điều kiện đề bài đã cho, xác định rõ yêu cầu của
đề bài để có hớng giải đúng.
3. Các em học sinh nắm chắc các dạng bài toán thờng gặp có áp dụng đến phơng
trình bậc hai và định lý viét.
4. Trên cơ sở các em đã nắm chắc các dạng bài tập, khi giải các bài toán các em
biết làm xuất hiện các hệ thức có liên quan đến điều kiện của đề bài đã cho.
5. Khi nắm chắc cách giải, học sinh tự tin giải bài tập nhanh hơn, có hiệu quả cao.
6. Phát huy tính t duy lô gích, độc lập sáng tạo và các em tự bổ xung cho mình
các kiến thức trớc đó mà các em còn hổng hoặc cha chắc chắn.
Phần iii: Quá trình nghiên cứu thử nghiệm
I- Quá trình nghiên cứu:
1. Phơng trình bậc hai và định lý viét học sinh đợc học trong chơng trình lớp 9 ở
bậc THCS khi giải phơng trình bậc hai: a x
2
+ bx + c = 0, các em học sinh rất
lúng túng khi xác định hệ số a, b, c nhất là khi các hệ số ấy đợc cho dới dạng
tham số. Phần lớn các em chỉ vận dụng vào công thức tính biệt thức và nghiệm
của phơng trình mà không cần biết phơng trình đã cho có tồn tại hay không. Khi
nào có nghiệm và khi nào không có nghiệm. Hơn nữa khi tính biệt thức các em
chỉ quen với khái niệm 0.
2. Trong quá trình nghiên cứu vì các phơng pháp giải phơng trình bậc hai (với

lớp 8 có thể đa về dạng tích, với lớp 9 các em đợc học trong chơng trình chính
khoá do vậy với chuyên đề này tôi không hệ thống lại các phơng pháp giải mà
chỉ đề cập đến các sai lầm thờng mắc của các em trong quá trình luyện tập, ôn
tập.
3. Trong quá trình luyện tập khi giải các bài toán mà còn phải sử dụng nhiều đến
kiến thức có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, nhiều phơng trình
phải quy về phơng trình bậc hai, với các dạng bài tập này các em thờng rất lúng
túng. Không tìm đợc mối liên quan giữa những "điều đã cho" tới "điều phải đi
tìm" khi bài toán ấy có chứa các tham số.
4. Những bài tập các em coi là "khó" - khó hiểu, khó trình bày lời giải nhất là khi
các em học khá muốn nâng cao năng lực học toán của mình tìm đến với các sách
tham khảo, đề thi tuyển sinh vào các trờng THCS chuyên cũng nh vào các trờng
THCS khác.
II- Quá trình thử nghiệm:
2
1. Để giúp các em học sinh giải các bài toán có liên quan đến phơng trình bậc
hai và định lý viét, tôi đã hớng dẫn và lu ý các em đến với các bài toán có chứa
tham số và phân loại các dạng bài tập. Nhất là các bài toán có thể đa về phơng
trình bậc hai quen thuộc đối với học sinh.
2. Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất
hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
3. Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hớng dẫn và phân loại cho các em
một số dạng bài tập có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét nh sau:
** Dạng 1: Phép giải và biện luận phơng trình bậc hai.
Hớng dẫn học sinh cần chú ý.
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Nếu hệ số a của x2 chứa tham số, khi đó phải xét từng trờng hợp a = 0
Ví dụ: Cho phơng trình:

(m
2
- 4) x
2
+ 2) x + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Để giải câu (a) cần lu ý học sinh xét trờng hợp a = 0 vì khi đó hệ số a chứa tham
số.
A = 0 m = 2
Khi này (1) chỉ có nghiệm khi m = 2 còn m = - 2 thì (1) vô nghiệm
Để giải câu (b); thờng học sinh chỉ xét trờng hợp:
a 0
' 0
Bỏ qua trờng hợp
a = 0
b 0
Mà ở câu (a) trờng hợp m = 2 thì a = 0 và b 0.
Phơng trình có nghiệm duy nhất x =
8
1

Phơng trình có nghiệm duy nhất khi m = 2
Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình:
x
3
- m (x + 2) + 8 = 0 (1) theo m
Bài toán này mới nhìn học sinh cho là phơng trình bậc 3 cha biết cách giải.
Hớng dẫn các em đa (1) về dạng tích trong đó có một nhân tử bậc nhất và một
nhân tử bậc hai.

(1) (x + 2) (x
2
- 2x + 4 - m)
3
Nh vậy số nghiệm của phơng trình sẽ phụ thuộc vào số nghiệm của:
F(x) = x
2
- 2x + 4 - m
Các em phải biện luận ' = m - 3
Nếu m < 3 phơng trình (1) có một nghiệm x = -2
Nếu m = 3 và




=+
0)2(
02
f
x
thì (1) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 1; m = 3
Nếu m > 3 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt.
** Dạng 2: Biểu thức đối xứng của hai nghiệm.
- Nhắc lại biểu thức F (x
1
; x
2
) gọi là đối xứng.
- Nếu F (x
2

; x
2
) đối xứng biểu diễn qua hai biểu thức đối xứng cơ bản
S = x
1
+ x
2
và P = x
1
x
2
- Nếu ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm thì:
S = x
1
+ x
2
và
a
b

và P = x
1
x
2
= c/a.
Ví dụ 1 cho f(x) = 2x
2
+ 2 (m + 1) x + m

2
+ 4m + 3
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của f(x). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

- Học sinh thờng mắc sai lầm không cần xem xét f(x) có nghiệm hay
không mà áp dụng luôn hệ thức:
S = x
1
+ x
2
= - (m + 1) và P =
2
34
2
++ mm
- Cần lu ý các em f(x) có nghiệm
0 (m + 1) (-m-5) 0 - 5 m -1
Khi đó áp dụng hệ thức.

S = -(m +1) và P =
2
34
2
++ mm
Biểu thị A theo S và P
A =
2
78
2
++ mm
Đến đây học sinh lại quên mất điều kiện có m khử dấu trị tuyệt đối
Vì - 5 m -1 nên m
2
+ 8m + 7 0 do đó
A = -
2
9
2
)4(9
2
78
2
2

+
=
++
m
mm

Xảy ra dấu bằng khi m = -4. Vậy mà A =
2
9
khi m = -4
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình:
4
3x
2
+ 4 (m-1)x + m
2
- 4m + 1 = 0
Có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn.
)(
2
111
21
2
1
xx
x
x
+=+
Với bài toán này học sinh cũng bỏ qua không xét xem với điều kiện nào của m
thì phơng trình đã cho có nghiệm mà áp dụng luôn hệ thức.
S = x
1

+ x
2
= -
3
)1(4 m
và P =
3
14
2
+ mm
Trớc hết phải xét phơng trình có nghiệm ' > 0
m
2
+ 4m + 1 > 0 m < - 2 -
3
hoặc m > - 2 +
3
(*)
Điều kiện thứ 2 là P 0 để có
21
1
,
1
xx
m +2
3
Một sai lầm học sinh thờng mắc phải đó là khi tính
)(
2
111

21
2
1
xx
x
x
+=+
2(x
1
+x
2
) = (x
1
+x
2
)x
1
x
2
hai vế của đẳng thức
x
1
+ x
2
liền rút gọn đi
Điều đó không thể đợc vì có thể có giá trị của m làm cho x
1
+ x
2
= 0

- Nhắc cho học sinh phải chuyển vế đa về dạng tích:
(x
1
+ x
2
)(2 - x
1
x
2
) = 0
4(m - 1)(-m
2
+ 4m + 5) = 0
m = 1
m = -1 Loại vì ĐK (*)
m = 5
Vậy m = 1 hoặc m = 5 thì phơng trình có nghiệm thoả mãn đầu bài.
** Dạng 3. Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số:
- Cần lu ý:
+ Điều kiện để phơng trình có nghiệm
+ Tính S và P. Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức phải tìm.
Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P.
Ví dụ 1: Cho phơng trình:
mx
2
- (2m + 3) x + m - 4 = 0
a) Tìm m phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2

.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
x
2
không phụ thuộc tham số.
- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
5
- > 0 28m + 9 > 0 m >
28
9

- Biểu thị S = x
1
+ x
2
= 2 +
m
3
và P = x
1
x
2
=
m
m 4
- Khử tham số đợc: 4(x
1
+x
2

) + 3x
1
x
2
= 11
* Dạng 4. Điều kiện để hai nghiệm liên hệ bởi một hệ thức cho trớc.
Cần lu ý:
Nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình bậc hai thoả mãn hệ thức nào đó, chẳng hạn
F(x
1
,x
2
) = 0. Nếu (x
1
, x
2
) là biểu thức đối xứng.
Còn nếu F (x
1
, x
2
) không phải biểu thức đối xứng thì phải đặt điều kiện để phơng
trình có nghiệm.
áp dụng hệ thức x
1
+ x

2
= -b/a và x
1
x
2
= c/a kết hợp F(x
1
, x
2
) = 0 khử x
1
, x
2
Tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 1: Tìm m sao cho
x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
với
1
= 2x
2
Phơng trình có nghiệm 0 4m - 3 0 m 3/4
Biểu thị

+=
+=




+==
+=+=
12
123
1
12
22
2
2
21
21
mx
mx
mxxP
mxxS
Rút x
2
theo m đợc hệ thức m
2
- 8m + 7 = 0
Từ đó ta có m = 1 hoặc m = 7
Ví dụ 2: Chứng minh hệ thức: (k + 1)

2
ac = kb
2
(với k -1)
Là điều kiện cần và đủ để phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm đồng
thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.
Hớng dẫn học sinh xác định điều kiện cần, điều kiện đủ của bài toán.
+ Điều kiện cần:
Phơng trình ax
2
+ bx = c = 0 (a 0)
Giả sử có nghiệm x
1
, x
2
và x
1
= kx
2
Thì ta có hệ thức: (k + 1)
2
ac = kb
2
(với k -1)
Biểu thị S = x
1
+ x
2

= -b/a
P = x
1
x
2
= c/a



=
=+

ackx
abxk
/
/)1(
2
2
2
(Sử dụng điều kiện x
1
= kx
2
)
Khử x
2
đợc hệ thức cần chứng minh: (k + 1)
2
ac = kb
2

+Điều kiện đủ: Ta có hệ thức (k + 1)
2
ac = kb
2
6
Phải chứng minh phơng thức ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x
1
= kx
2
Rút ac từ hệ thức đã có (liên quan đến ).
Vì k - 1 khi đó ac =
2
2
)1( +b
kb
Do đó phơng trình có hai nghiệm.
=
0
)1(
)1(
2
22

+

k
kb
x1 =

)1(2 +
=

ka
kb
a
b
x2 =
)1(2 +
=
+
ka
b
a
b
Vậy x
1
+ kx
2
Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm:
mx
2
- 2 (m - 1) x + 3 (m - 2) = 0
Có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn x
1
+ 2x

2
= 1




+<<





>

0
5252
0
0'
m
m
a
Biểu thị

==

=+=
m
m
xxP
m
m
xxS
)2(3
)1(2
21
21
Biểu thị x
1
theo x
2
từ hệ thức x
1
+ x
2
= 1
Tính x
2
theo m để khử x
2
đợc:
3m
2
- 8m + 4 = 0 m = 2 hoặc m = 2/3

** Dạng 5. Xét dấu các nghiệm số.
Phơng trình bậc hai ã2 + bx + c = 0 (a 0)
Nếu P =
0
a
c
thì phơng trình có nghiệm
Nếu P > 0 xét điều kiện 0
Nếu P > 0 thì xét dấu của S =
a
b

cho biết kết quả so sánh giá trị tuyệt đối các
nghiệm.
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình
x
2
- 2mx + (m + 1) x - m + 1 = 0 (1) có nghiệm duy nhất
Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
7
X = x - m với 0 X ta đợc phơng trình
X
2
+ (m = 1) X - m
2
+ 1 = 0(2)
Tìm điều kiện để (2) có nghiệm 0
m -1 hoặc m
5
3

Nếu X là nghiệm của (2) thì
X = x - m x = X + m
Xét X = 0 x = m
X 0 x = m X
Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất (2) có nghiệm X
1
, X
2
thoả mãn
X
1
X
2
= 0
Đa về phơng trình hỗn hợp:




=





=

=
1
1
01
01
0
0
2
m
m
m
m
S
P
Vậy m = 1
** Dạng 6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng bậc hai
Cho đờng bậc hai y = f(x) và đờng thẳng y = ax + b. Hoành độ điểm chung của
hai đờng là nghiệm của phơng trình f(x) = ax + b (*)
- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì hai đờng cắt nhau tại hai điểm.
- Nếu (*) có một nghiệm kép thì hai đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có
hoành độ là nghiệm kép. Khi đó đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thì
hàm số y = f(x).
- Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng không có điểm chung.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x luôn cắt parabol
y = x
2
- 2 (m + 2)x + m
2
+ 3m = -x có hai nghiệm phân biệt và khoảng cách giữa

hai điểm không phụ thuộc vào m.
- Phơng trình x
2
- 2(m +2) x + m
2
+ 3m = -x có hai nghiệm phân biệt ' > 0
' = 9 > 0
- Hoành độ giao điểm x
A
, x
B
là nghiệm của phơng trình, khi đó x
A
= m và
x
B
= m + 3.
- Tìm tung độ của A và B: y
A
= -m - 3
- áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm
AB =
2318)()(
22
==+
BAAB
yyxx
không phụ thuộc vào m.
8
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

1
2
2


x
xx
a) Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thì tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm k sao cho OA OB.
Phơng trình x2 - 2x = (x - 1) (-x + k) có hai nghiệm phân biệt
> 0 (k - 1)
2
+ 8 > 0k
OA OB tích các hệ số bằng - 1
Hệ số của OA, OB là tỷ số giữa tung độ và hoành độ tơng ứng.
a
1
=
A
A
B
A
x
kx
y
y +
=
a =
AB
A

x
kx
y
y
+
=
a
1
a
2
= - 1
(*)1
)(
2
=
++
BA
BABA
xx
kkxxxx
áp dụng hệ thức Viét:







=
+

=+
2
2
3
k
xx
k
xx
BA
BA
Từ (*) k
2
- k = 0 k = 0 hoặck = 1
Loại k = 0 vì khi đó a
1
a
2
= 1
** Dạng 7: Thiết lập phơng trình bậc hai.
Nếu có hai số x
1
, x
2
mà x
1
+ x
2
= S và x
1
x

2
= P thì x
1
, x
2
là nghiệm của phơng
trình X
2
- SX + P = 0.
Ví dụ: Giả sử phơng trình: x
2
+ px + q = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
khác 0. Hãy lập
phơng trình bậc hai có hai nghiệm
1
1
x
và
2
1
x
;
Với bài toán này không cần điều kiện 0 vì đầu bài đã giả sử phơng trình có
nghiệm x1, x2 khác 0.
áp dụng hệ thức Viét:

=
=+




=
=+
qxx
q
p
xx
qxx
pxx
111
11
21
21
21
21
Phơng trình cần lập: x
2
+
010
1

2
=++=+ pxqx
q
x
q
p
** Dạng 8: Hệ đối xứng hai ẩn.
Hệ đối xứng hai ẩn x, y biểu diễn từng phơng trình theo x + y và x.y;
Đặt S = x + y và P = x . y đợc hệ chứa các ẩn mới S và P
9
Giải hệ tìm S và P. Các số x và y là nghiệm của phơng trình.
X
2
- SX + P = 0. Giải và biện luận phơng trình chứa ẩn X.
Ví dụ 1: Giải hệ



=+
=+
26
2
33
yx
yx
Làm xuất hiện x + y và x. y đợc



=++

=+
26)(3)(
2
3
yxxyyx
yx
Đặt S = x + y = 2, P = xy đợc



=
=
263
2
3
SPS
S
Tìm S = 2 và P = -3
Nghiệm của hệ (-1; 3) và (3; -1)
Chú ý: Nếu hệ đối xứng nêu trên có nghiệm (a; b) nó cũng có nghiệm (b; a).
Ví dụ 2: Giải hệ





=+
=+
35
30

yyxx
xyyx
Trớc hết đặt điều kiện x 0 và y 0.
Đặt ẩn phụ U =
x
và V =
y
(U, V 0)
Đa hệ về



=++
=+
25)(3)(
30)(
3
VUUVVU
VUUV
Đặt S = U + V và P = U. V đợc hệ



=+
=
353
30
3
SPS
SP

Giải tìm đợc S = 5 và P = 6.
Chú ý U và V là nghiệm không âm của phơng trình
t
2
- 5t + 6 = 0 t = 2 và t = 3
đa về





=
=
3
2
y
x
hoặc





=
=
2
3
y
x
Nghiệm của hệ (4; 9) và (9 ; 4).

Ví dụ 3: Tìm m để hệ





+=+
=++
64
11
2
mmyx
myx
có nghiệm
Tìm điều kiện để tồn tại các câu





1
1
y
x
Đặt ẩn phụ u =
1+x
và v
1y
(với u 0, v 0)
u

2
= x + 1 và v
2
= y - 1 đợc hệ



=
=




+=+
=+
vuP
mS
mmvu
mvu
.
64
222
10




+=
=
642

22
mmPS
mS




=
=

32mP
mS
u, v là nghiệm của phơng trình t
2
- mt + 2m - 3 = 0 (*)
vì u 0 và v 0 nên (*) không có nghiệm âm
Giải hệ bất phơng trình

+









2
2
3
6
0
032
0128
0
0
0
2
m
m
m
m
mm
S
P
Ví dụ 4: Biết rằng các số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của: F = x
3
+ y
3
.
Tìm điều kiện của F để có nghiệm (thờng học sinh bỏ qua điều kiện này).
Từ đó có thể tìm đợc min F
Hệ có nghiệm



=++
=+




=+
=+
Fyxxyyx
yx
Fyx
yx
)(3)(
22
333

Đặt S = x + y và P = xy đợc

=
=




=
=
6
8
2
3
2
3
F
P
S
FPSS
S
x, y là nghiệm của t
2
- 2t +
(*)0
6
8
=

F
Có nghiệm ' 0 1 -
2,0
6
8


F
F
Vậy min F = 2 khi x = y = 1
** Dạng 9. Quan hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai.
- Xét ba mối quan hệ quan trọng
1. Hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
2. Hai phơng trình tơng đơng.
3. Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ.
I- Hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung:
ax
2
+ bx + c = 0 và a'x
2
+ b'x + c' = 0 có nghiệm chung nếu hệ





=++
=++
0 c' x b' xa'
0 c bx ax

2
2
có nghiệm
Nếu hệ có chứa tham số cả hai ẩn
đặt y = x
2
đợc



=++
=++
0 c' x b' y a'
0 c bx ay
Hai phơng trình có nghiệm chung hệ hai ẩn
x, y có hệ thoả mãn y = x
2
Ví dụ 1: Tìm m để hai phơng trình
x
2
+ mx + 1 = 0 và x
2
+ x + m = 0 có nghiệm chung.
11
Đặt y = x
2
0 hệ có nghiệm chung

=++
=++
0 m x
0 1 mx
y
y
Tính định thức (học sinh thờng tìm 0 cho cả hai phơng trình đã cho rồi giả sử
(x
0
; y
0
) là nghiệm chung của hai phơng trình).
D = m - 1. Hệ có nghiệm duy nhất nếu D 0 m 1.
Tìm đợc x = -1; y = -m - 1
Vì y = x
2
- m - 1 = 1 m = -2.
D = 0 m = 1 hai phơng trình đều vô nghiệm nên không có nghiệm chung.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình.
x
2
+ p
1
x + q
1
= 0 và x
2
+ p
2
x + q

2
= 0
có nghiệm chung thì (q
1
- q
2
) + (p
1
- p
2
) (q
2
p
1
- q
1
p
2
) = 0
Cách làm tơng tự ví dụ 1:
Trờng hợp D = 0 p
1
= p
2
hệ có nghiệm khi q
1
= q
2
II- Hai phơng trình tơng đơng:
Hai phơng trình vô nghiệm là tơng đơng.

Hai phơng trình có nghiệm dựa vào định lý Viét để suy ra điều kiện phải tìm của
tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để hệ hai phơng trình.
x
2
- mx + 2m - 3 = 0 (1) và x
2
- (m
2
+ m - 4) x + 1 = 0 (2)
Tơng đơng hai phơng trình vô nghiệm (học sinh thờng bỏ qua trờng này).





<<



<<
<<




<
<
62
21

23
0
0
2
1
m
m
m
Điều này không xảy ra.
(1) và (2) có nghiệm x1, x2 thì
2
132
4
21
2
21
=



==
+==+
m
mxx
mmmxx
Ví dụ 2: Tìm m và n để hai phơng trình.
x
2
- (m + n)x - 3 = 0 (1) và x
2

- 2x + 3m - n - 5 = 0
Tơng đơng
Xét (1) có nghiệm = (m + n)
2
+ 12 > 0
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm. Để (1) và (2) tơng đơng thì (2) có nghiệm x
1
, x
2
Dùng hệ thức Viét để tìm m n.



=
=




==
=+=+
1
1
533
2
21

21
n
m
nxx
nmxx
12
Phần III: Cơ sở lý luận
Đối chứng với những vài giải lần đầu với các bài giải lần sau khi đó có h-
ớng dẫn phân loại, kết quả có tăng. Số học sinh có phơng pháp giải hớng đi đúng
đạt tỷ lệ cao hơn. Kết quả thực hiện đối với học sinh đại trà và đối với một số
học sinh xếp loại khá trở lên.
TS
Lần 1 Lần 2 Lần 3
Ghi chú
Không
làm đợc
Làm
đợc
Không
làm đợc
Làm
đợc
Không
làm đợc
Làm
đợc
30 20 10 17 13 15 15 HS Đại trà
30 10 20 8 22 5 25 HS Khá
Phần Iv: đánh giá kết luận
Học sinh THCS - Lớp 9 với các em có năng lực có ý thức học tập. Kỹ năng tính

toán tơng đối tốt nhng cũng không ít em còn lời suy nghĩ, ngại khó. Với các bài
toán cần t duy, vận dụng nhiều kiến thức có liên quan hoặc biến đổi các em th-
ờng gặp nhiều khó khăn. Do đó trong quá trình truyền đạt ngời thầy hớng dẫn
cho các em cách phân tích, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết của bài toán
với các dữ kiện cần tìm để các em có thể vận dụng đợc. Nếu phân loại đợc các
dạng bài ập khi làm bài và ôn tập, có em giải nhanh và có hiệu quả hơn.
Với các dạng bài toán nêu trên đối với đối tợng của học sinh chúng ta chỉ cần
cung cấp cho các em năm dạng bài toán, còn các dạng khác với các em có năng
lực t duy tốt ham học hỏi, biết tự học nên cho các em đợc học, các dạng toán
dàng cho học sinh khá giỏi.
Trong quá trình thầy trò cùng giải bài tập, thầy đã tác động đến trò, giúp các em
phát huy tính tích cực, chủ động, suy nghĩ tìm tòi những lời giải hay hơn và ngắn
gọn hơn. Việc này đã hỗ trợ nhiều cho việc giải toán nói chung và giúp các em tự
tin, có hứng thú học tập hơn.
Trong thực tế giải dạy, với trình độ của học sinh của trờng tôi chỉ hớng dẫn đợc
một phần nào các kiến thức mà mình đã chọn cho học sinh vận dụng có hiệu
đúng đối tợng. Qua bài viết này và qua thực tế giảng dạy tìm hiểu tài liệu tham
khảo tôi mạnh dạn trao đổi với các bạn đồng nghiệp trong tổ và đợc ủng hộ triểu
khai hớng dẫn học sinh có hiệu quả. Rất mong đợc sự góp ý bổ xung thêm để
vấn đề tôi đa ra có hiệu quả và đợc nhân rộng sau khi đợc thẩm định và bổ xung
thêm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Ngời viết
13
Vò M¹nh Trêng
14