Hệ thống kiến thức Toán THPT

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
MÔN TOÁN
Năm học: 2010 - 2011
THPT QUANG TRUNG
1
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
PHẦN 1: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 10& 11
A/ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG
TRÌNH THƯỜNG GẶP:
I/ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1/ C ác dạng cơ bản :
1 /
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

2/
0B
A B
A B
A B
≥



= ⇔
=




= −


3/
A B A B A< ⇔ − < <
4/
A B
A B
a B
< −

> ⇔

>

2/ Dạng đặt ẩn số phụ :Ta thường đặt
( )t f x=
( ĐK:
0t
≥
3/ Dạng dùng phép bình phương :
2
2

A A=
4/ Dạng dùng định nghĩa :
A
A
A

=

−

II/ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PT CHỨA CĂN THỨC:
1/ C ác dạng cơ bản :
1/
0A
A B
A B
≥

= ⇔

=

2/
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔


=

3/
2
0
0
A
A B B
A B

≥

< ⇔ ≥


<

4/
2
0
0
0
A
B
A B
B
A B
 ≥




<


> ⇔

≥



>



2/ Đặt ẩn số phụ:Ta thường đặt
( )t f x=
( ĐK:
0t ≥
)
3/ Dùng phép lũy thừa:
( )
( ) ( )
n
n
f x f x=
THPT QUANG TRUNG
2
Nếu
0A

≥
Nếu A < 0
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
B/ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:
1/ Các hệ thức cơ bản:
1/
2 2
sin x cos x 1+ =
2/
sin
tanx
cos
x
x
=

3/
cos
cot x
sin
x
x
=
4/
1
tan
cot
x
x
=

5/
2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ =
6/
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =

2/ Công thức cộng:


3/ Công thức nhân đôi:
a/ sin2x = 2sinxcosx
b/ cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2 cos

2
x – 1 = 1 - 2 sin
2
x
c/ tan2a =
2
2tan a
1 tan a
−
d/ cot2a =
2
cot a 1
2cot a
−

4/ Công thức hạ bậc nâng cung:

2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=

2
1 cos2
cos
2

x
x
+
=
tan
2
a =
1 cos 2a
1 cos2a
−
+

5/ Công thức nhân ba:
THPT QUANG TRUNG
3
tg(a ± b) =
tga tgb
1 tga tgb
±
m

cotg(a ± b) =
1 tga tgb
tga tgb
±
m

sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb

a b a b a b
± = ±
± =
m
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Sin3x = 3sinx – 4sin
3
x cos3x = 4cos
3
x – 3cosx.
6/ Công thức biểu diễn theo tanx:

2
2tan
sin 2
1 tan
x
x
x
=
+

2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x

−
=
+


2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
7/ Công thức biến đổi tích thành tổng:

( )
( )
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +

( )
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
= − + +
8/ Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− =

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =

+ −
− =−
tanα ± tanβ =
sin( )
cos .cos
α ±β
α β

; k , k
2
π
 
α β ≠ + π ∈
 ÷
 
Z
9/ Các cung liên kết:
a. Cung đối:
α
và
−α

b. Cung bù:
α
và
π −α

THPT QUANG TRUNG
4
cos( ) cos

sin( ) sin
n( ) n
cot( ) cot
ta ta
−α = α
−α =− α
−α =− α
−α =− α
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN


c. Cung phụ:
α
và
2
π
− α
d. Cung sai kém nhau
π
:
α
và
π +α

e. Cung hơn kém nhau
2
π
:
α
và

2
π
+ α
THPT QUANG TRUNG
5
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) n
cot( ) cot
ta
π−α = α
π− α = − α
π− α = − α
π−α = − α
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
π
 
−α= α
 ÷
 
π
 
−α= α
 ÷
 

π
 
−α= α
 ÷
 
cot tan
2
π
 
−α = α
 ÷
 
tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) sin
cos( ) cos
π + α = α
π + α = α
π + α = − α
π+ α = − α
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
1/ Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ

π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình c ơ bản đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ ,
sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π , sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π ,
cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)
THPT QUANG TRUNG
6
sin cos
2

cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
 
+α = α
 ÷
 
π
 
+α =− α
 ÷
 
π
 
+α =− α
 ÷
 
π
 
+α =− α
 ÷
 
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
trong đó a
2
+ b

2
≠ 0
Cách giải : acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c
với
22
cos
ba
a
+
=

ϕ
.
4 / Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai :
asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách gi ải :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi
đặt t = tanx.
5/ PT dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó
sinxcosx =
2
1
2

−
t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo
t .phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó
sinxcosx =
2
1
2
t
−
6. Các phương trình lượng giác khác.
Tùy theo phương trình đã cho, ta dung các phép biến đổi lượng
giác để qui phương trình đã cho về các dạng phương trình
thường gặp
D. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG:
I. Hằng Đẳng Thức:
THPT QUANG TRUNG
7
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
1/
2 2 2
( ) 2a b a ab b± = ± +
2/
2 2
( )( )a b a b a b− = − +

3/
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b± = ± + ±

4/
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b± = ± +m

5/
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ ± = + + + ± ±
6/
( )
2
2 2 2 2 2
1
( ) ( )
2
a b c ab bc ca a b b c c a
 
+ + − − − = − + − + −
 
7/
3 3 3 2 2 2 2 2 2
1
3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a b b abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a
 

+ + − = + + + + − − − = + + − + − + −
 
8/
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( )a b b c c a ab a b bc b c ca c a abc a b c ab bc ca abc
+ + + = + + + + + + = + + + + −
9/
( )( ) ( ) ( ) ( ) 3a b c ab bc ca ab a b bc b c ca c a abc+ + + + = + + + + + +
10/
2
( )( ) ( )x a x b x x a b ab+ + = + + +
11/
2
( )( ) ( )x a x b x x a b ab− − = − + +
12/
3 2
( )( )( ) ( ) ( )x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc+ + + = + + + + + + +
13/
3 2
( )( )( ) ( ) ( )x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc− − − = − + + + + + −
14/
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3
( ) 3 3 3 3 3 3 6
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 6
a b c a b c a b ab b c bc c a ca abc
a b c ab a b bc b c ca c a abc
+ + = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
II. Bất Đẳng Thức:
1. Bất Đẳng Thức Cơ Bản:

1/
2
0, 0,a a a a≥ ≥ ≥
2/
2a b ab+ ≥
( BĐT Cauchy cho hai số không âm)
3/
2 2 2
2( ) ( ) 4a b a b ab+ ≥ + ≥
4/
2 0, 0
a b
a b
b a
+ ≥ ∀ > >
5/
1 1 4
0, 0a b
a b a b
+ ≥ ∀ > >
+
6/
1 1 1 9
, , 0a b c
a b c a b c
+ + ≥ ∀ >
+ +
2. Mở rộng bđt cauchy cho n số không âm:
Cho a
1

, a
2
,…,a
n
là các số không âm. Khi đó:
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …= a
n
THPT QUANG TRUNG
8
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
3. Bất đẳng thứcSva xơ
Cho 4 số thực
1 2
,a a
và
1 2
,b b
. Khi đó:
( )
( ) ( )
2

2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b+ ≤ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
2 2
a b
a b
=
4. Bất Đẳng Thức BCS:
Cho một số nguyên dương
1n ≥
và hai dãy số thực
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
. Khi đó:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n

a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
2 2

n
n
a
a b
a b b
= = =
E. ĐẠI SỐ TOÅ HÔÏP :
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một
trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi
n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công
việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và
B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có
thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi
n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n
phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các
phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu
P
n
là: P

n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp
k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
THPT QUANG TRUNG
9
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A

là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:

a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n

Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
¥
III. Khai triển nhị thức Newton

( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu
và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1

thì:

k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
–
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
THPT QUANG TRUNG
10
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0
− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n

k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ
của a giảm dần.
–
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ
của a tăng dần.
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:
 Vectơ
u
r
có toạ độ (x;y) ⇔
u=x.i+y.j
r r r

.
 Điểm M có toạ độ (x;y) ⇔
OM=x.i+y.j
uuuur r r
.
 Nếu điểm A(x
A
;y
A
) và điểm B(x
B;
y
B
) thì :
o
B A B A
AB=(x -x ;y -y )
uuur
THPT QUANG TRUNG
11
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
o
( ) ( )
2 2
B A B A
AB= x -x + y -y
 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
A B A B
x -kx y -ky
MA=kMB M ;

1-k 1-k
 
⇔
 ÷
 
uuuur uuur
.
 Trung điểm I của AB có tọa độ
A B A B
x +x y +y
I ;
2 2
 
 ÷
 
.
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ
A B C A B C
x +x +x y +y +y
G ;
3 3
 
 ÷
 
.
2. Tích vô hướng của hai véctơ:
Cho
u=(x;y)
r
và

v=(x';y')
r
. Ta có:
 Các phép toán về vectơ:
o
u ± v = (x±x' ; y±y' )
r r
o
ku=(kx;ky)
r
o
2 2
| u|= x +y
r
 Tích vô hướng của hai vectơ:
o ĐN tích vô hướng:
u.v=
r r
u . v .cos(u,v)
r r r r
o Biểu thức toạ độ:
u.v=x.x'+y.y'
r r
o Góc giữa hai vectơ:
2 2 2 2
x.x'+y.y'
cos(u,v)=
x +y . x' +y'
r r
 Diện tích tam giác :

Cho tam giác ABC với
( )
1 2
;AB a a=
uuur
và
( )
1 2
;AC b b=
uuur
. Ta có:

ABC 1 2 2 1
1
S = a b -a b
2
3. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có vectơ chỉ
phương là
u=(a;b)
r
. Khi đó:
THPT QUANG TRUNG
12

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
 Phương trình tham số của d là:
0
0
x=x +at
y=y +bt



(1)
 PT chính tắc của d (khi ab≠0) là:
0 0
x-x y-y
=
a b
(2)
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có vectơ pháp
tuyến
n=(A;B)
r

 Phương trình tổng quát của dA(x-x
0
)+B(y-y

0
)=0 (3)
 Phương trình : Ax+By+C=0 với A
2
+B
2
>0 là pt đt(d) có
vectơ pháp tuyến là
n=(A;B)
r
 Chú ý:
- Phương trình các đường thẳng đặc biệt:
Trục Ox: y = 0 ; Trục Ox: y = 0
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:Đường thẳng (d)
đi qua A(a;0), B(0;b)
 Phương trình là:
x y
+ =1
a b
(4)
Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k
Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có hệ số góc
k thì:
 Phương trình là:

( )
0 0
y k x x y
= − +
(5)
Phương trình đường thẳng dạng: y = ax + b (6)
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:
(d
1
): A
1
x+B
1
y+C
1
=0 có VTPT
1
1 1
n =(A ;B )
r
và
(d
2
): A
2
x+B
2
y+C
2

=0 có VTPT
2
2 2
n =(A ;B )
r
Gọi
ϕ
là góc giữa (d
1
) và (d
2
). Ta có:

1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 1 1
.
cosφ= =
.
.
n n
A A B B
n n
A B A B
+
+ +
uruur
ur uur

THPT QUANG TRUNG
13
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
;y
0
) đến đt (d) có phương
trình Ax+By+C=0 là:

( )
0 0
0
2 2
Ax +By +C
d M ,(d) =
A +B
6. Phương trình đường tròn:
 Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R.
Phương trình có dạng: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
.
 Dạng 2: Phương trình có dạng: x
2

+y
2
+2ax+2by +c=0,
với điều kiện : a
2
+b
2
>d, là phương trình đường tròn có tâm
I(a;b;c) và có bán kính
2 2 2
R= a +b +c -d
* Giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d); R là bán
kính của đường tròn :
o IH>R : (d)∩(C)=φ
o IH=R : (d)∩(C)=H, (d) tiếp xúc với (C)
o IH<R : (d)∩(C) tại hai điểm phân biệt
7. Phương trìnhtiếp tuyến của đường tròn:
 Dạng 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính
R và điểm M(x
0
;y
0
) thuộc (C). Khi đó
( )
0 0
;IM x a y b= − −
uuur

là VTPT của tiếp tuyến (d)

Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0x a x x y b y y− − + − − =
.
 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (d)của đường tròn đi qua
điểm M(x
0
;y
0
) không thuộc (C).
* Gọi
n=(A;B)
r
là VTPT của (d) qua M. Phương trình tiếp
tuyến (d) có dạng:
A ( x – x
0
) + B ( y – y
0
) = 0
0 0
0Ax By Ax By⇔ + − − =
* Do (d) tiếp xúc (C) nên :
( )
( )
;d I d R=
. Giải phương trình
tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (d)cho biết hệ số góc a.
THPT QUANG TRUNG
14
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
* Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = ax + b
0ax y b⇔ − + =
* Do (d) tiếp xúc (C) nên :
( )
( )
;d I d R=
. Giải phương trình
tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

PHẦN 3: GIẢI TÍCH 11& 12
A. ĐẠO HÀM :
1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
1/
( )
/
0C =
2/
( )
/
1x =
THPT QUANG TRUNG
15
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
3/
( )

/
2
2x x=
4/
( )
/
1n n
x nx
−
=
5/
/
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
6/
( )
/
1
2
x
x
=

( )
/

1 /
.
n n
u nu u
−
=

/
/
2
1 u
u u
 
= −
 ÷
 

( )
/
/
2
u
u
u
=
2/ Các qui tắc tính đạo hàm:
1/ QT1:
( )
/
/

. .a u a u=
2/ QT2:
( )
/
/ /
u v u v± = ±
3/ QT3:
( )
/
/ /
. . .u v u v u v= +
4/ QT4:
/
/ /
2
. .u u v u v
v v
−
 
=
 ÷
 
5/ QT5: ( Đạo hàm của hàm số hợp):
/ / /
.
x u x
y y u=
a/ Các hệ quả:
+ HQ1:
/

/
2
1 v
v v
 
= −
 ÷
 
+ HQ2:
/
/
2
C Cv
v v
 
= −
 ÷
 
b/ Nhận xét:

( )
/
2
ax b ad bc
cx d
cx d
+ −
 
• =
 ÷

+
 
+


( )
/
2 2
2
.2ax bx c adx ae x be cd
dx e
dx e
 
+ + + + −
• =
 ÷
+
+
 

( ) ( ) ( )
( )
/
/ / 2 / / / /
2
2
/ 2 / /
/ 2 / /
.2ab ba x ac ca x bc cb
ax bx c

a x b x c
a x b x c
− + − + −
 
+ +
• =
 ÷
+ +
 
+ +
3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
1/ ( sinx )
/
= cosx
2/ ( cosx )
/
= -sinx
1/ ( sinu )
/
= u
/
.cosu
2/ ( cosu )
/
= - u
/
.sinu
THPT QUANG TRUNG
16
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

3/
( )
/
2
1
tan
cos
x
x
=
4/
( )
/
2
1
cot
sin
x
x
= −
1/ ( sin
2
x )
/
= sin2x
2/ ( cos
2
x )
/
= -sin2x

3/ ( sin
2
u )
/
= u
/
sin2u
4/ ( cos
2
u )
/
= - u
/
sin2u
3/
( )
/
/
2
tan
cos
u
u
u
=
4/
( )
/
/
2

cot
sin
u
u
u
= −
4/ Đạo hàm của các hàm số mũ:


5/ Đạo hàm của các hàm số logarit:



B. KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa
thức
Các bước khảo sát hàm hữu
tỷ
THPT QUANG TRUNG
17
( )
/
x x
e e
=

( )
/
/

.
u u
e u e
=
( )
/
.ln
x x
a a a
=

( )
/
/
. .ln
u u
a u a a=
( )
/
1
ln x
x
=

( )
/
/
ln
u
u

u
=
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=

( )
/
/
log
.ln
a
u
u
u a
=

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị

- Điểm uốn
- Điểm đặc biệt
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Giới hạn, tiệm cận
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Tâm đối xứng
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ
không cần xét đaọ hàm cấp hai.
1/ Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
THPT QUANG TRUNG
18
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Pt y’
= 0 có
hai
nghiệ
m
phân
biệt.

2
-2
O
2
-2
Pt y’
= 0 có
nghiệ
m kép
2
2
Pt y’
= 0
vô
nghiệ
m
2
4
2
2/ Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
THPT QUANG TRUNG
19
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Pt y’
= 0 có

ba
nghiệ
m
phân
biệt
-2
2
Pt y’
= 0 có
một
nghiệ
m
2
-2
3/ Hàm số y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
THPT QUANG TRUNG
20
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
4
2
4
2
-2

4/ Hàm số y =
)0,0'.(
''''
2
≠≠
+
++=
+
++
raa
bxa
r
qpx
bxa
cbxax
a.a’ > 0 a.a’ < 0
THPT QUANG TRUNG
21
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Pt y’
= 0
có
hai
nghiệ
m
phân
biệt
2
-2

-4
O
2
-2
-4
O
Pt y’
= 0
vô
nghiệ
m
2
-2
O
2
-2
O

II . CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
1/ Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường
(C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
THPT QUANG TRUNG
22
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x)
là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C

1
),
(C
2
): f(x) = g(x) (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau
có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

2/ Bài toán 2: Dùng đồ thị biện luận pt: h(x,m) = 0
Đưa phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một
đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C

1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau
có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

3/ Bài toán 3: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình
tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.

− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
.
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.
− Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
THPT QUANG TRUNG

23
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k
a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của

( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải
có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có
nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x


=


=


.
C. MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ LOGARIT, LŨY
THỪA, MŨ
THPT QUANG TRUNG
24
log 1 0 1
a
= =
0
vi a
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN
x y x y
x y x y
y y
x.y x.y
. a a .
2/ a , a
a a
3/ a , a
x x
x x
x y y x
.

1/ a , ngược lại = a
a a
ngược lại
(a ) (a ) ngược lại (a
+ +
− −
=
= =
= = =
y y
I/ Công thức luy thừa .
Cho a, b là số thực dương và x, y là số thực tùy ý
a a
x x x x
x x
x x
x x
4/ a .b , a .b
a a
5/ ,
b b
x y y x
x x
) (a )
(a.b) ngược lại (a.b)
a a
ngược lại
b b
=
= =

   
= =
 ÷  ÷
   
m m
m mn n
n n
a a ngược lại a a
= =
( ) ( )
ngược lại =
ngược lại
ngược lại
nếu n le û .
5/ nếu n chẵn .
n n n n n n
n n
n n
n n
m m
m mn n
n n
n
n
nn
1/ a. b a.b a.b a. b
a a a a
2/
b b
b b

3/ a a a a
4/ a a ,
a a ,
=
= =
= =
=
=
THPT QUANG TRUNG
25
III/ Tính chất của căn bậc n
II/ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ