Ôn Thi ĐH2011 chương trình khối 12

CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm).
Câ
u
Nội dung kiến thức
Điểm
I
– Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
– Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị
của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số – Cực trị – Giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số – Tiếp tuyến – Tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước – Tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là
đường thẳng);
2.0
II
– Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
– Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
2.0
III
– Tìm giới hạn.
– Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
– Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối tròn xoay.
1.0
IV
– Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ
vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng
trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích
mặt cầu và thể tích khối cầu.

1.0
V – Bài toán tổng hợp. 1.0
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh
c làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn.
Câu
Nội dung kiến thức
Điểm
VI.a
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
–Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
– Đường tròn, elip, mặt cầu.
– Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
– Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
– Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2.0
VII.a
– Số phức.
– Tổ hợp, xác suất, thống kê.
– Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
1.0
2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu
Nội dung kiến thức
Đi
ể
m
Tổng ôn tập LTĐH2011 -1- GV Nguyễn Văn Nhương
VI.b
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:

– Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
– Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu.
– Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
– Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng;
khoảng cách giữa hai đường thẳng.
– Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2.0
VII.b
– Số phức.
– Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2
ax bx c
y
px q
+ +
=
+
và một số yếu
tố liên quan.
– Sự tiếp xúc của hai đường cong.
– Hệ phương trình mũ và lôgarit.
– Tổ hợp, xác suất, thống kê.
– Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
1.0
ĐỀ MẪU CỦA BỘ GIÁO DỤC TUYỂN SINH ĐH, CĐ (2010)
ĐỀ THI MINH HỌA KHỐI A 2010 (Đề Mẩu Bộ GD phát hành năm 2010)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2

1
+
=
+
x
y
x

2.Chứng minh rằng với mọi
0m
≠
, đường thẳng
3y mx m
= +
luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt, trong đó một giao điểm có hoành độ nhỏ hơn – 2
Câu II ( 2.0 điểm )
1. Giải phương trình:
( )
2
tan sin 2 3 cos 1
cos
x x x
x
− + = − +
2. Giải bất phương trình:
3
3
log 1
log 1

2 .5 400
x
x
+
+
<
Câu III ( 1.0 điểm ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
( )
( )
2
1 3
x
y x e= + +
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =1.
Câu IV ( 1.0 điểm )Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = DA = AB =
BC = CD = a. Biết thể tích khối chóp bằng
3
2
6
a
, tính độ dài SC theo a.
Câu V ( 1.0 điểm ). Các hệ số của x
4
, x
5
và x
6
trong khai triển thành đa thức
của

( )
1
n
x
+
theo đó lập thành một cấp số cộng. Tìm số nguyên dương n.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh làm 1 trong 2 phần
Tổng ôn tập LTĐH2011 -2- GV Nguyễn Văn Nhương
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a ( 2.0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng
1
: 2 3 0d x y+ − =
,
2
: 2 4 0d x y
+ − =
và
3
: 2 2 0d x y
− − =
. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc
1
d
và tiếp xúc đồng thời với
2 3
, d d
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

( )
1;2 3A
−
và đường thẳng
d có phương trình
1 2 2
2 1 3
x y z
+ − +
= =
−
. Viết phương trình tham số của đường
thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Có 5 ứng cử viên tham dự một kì thi tuyển nhân sự của
một công ty. Ở phần thi viết, người ta đưa cho mỗi ứng viên 10 phong bì dán
kín, trong mỗi phong bì có một câu hỏi kiểm tra (hai phong bì khác nhau đựng
hai câu hỏi khác nhau); ứng viên chọn một phong bì trong số đó để xác định
câu hỏi kiểm tra của mình. Biết rằng các phong bì có hình thức giống hệt nhau
và các bộ 10 câu hỏi kiểm tra dành cho các ứng viên là như nhau, hãy tính xác
xuất để 5 câu hỏi mà 5 ứng viên chọn, đôi một khác nhau.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b ( 2.0 điểm )
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác
kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương
trình là:
0y
=
, và
2 0x y
+ =

. Hãy xác định tọa độ của các đỉnh
A, B, C.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:
và các mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0P x y z
+ − + =
,
( )
: 2 2 1 0Q x y z
− − + =
. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc
đồng thời với hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
Câu VII.b ( 1.0 điểm ) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z
, biết
2
2 2 3 z i= − +
ĐỀ THI MINH HỌA KHỐI B 2010
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 3y x x= − −
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

4 2
2 4 0x x m
− − − =
Tổng ôn tập LTĐH2011 -3- GV Nguyễn Văn Nhương
Câu II ( 2.0 điểm )
1. Giải phương trình:
2
2sin 3 cos2 8sin .cos 3x x x x
− = +
2. Giải bất phương trình:
( )
2
9 1 3
3
log 3 log 2 log 2 1x x+ − − − <
Câu III ( 1.0 điểm ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
( )
3
1 lny x x
= +
, các đường thẳng x = 1, x = e
3
và trục hoành.
Câu IV ( 1.0 điểm ). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, BC = a và AC = 2a; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có
độ dài bằng
3a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng

SB. Tính thể tích của khối tứ diện HABC theo a.
Câu V ( 1.0 điểm ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình
sau có nghiệm.
( )
3
3 2
3 1 1x x a x x+ − ≤ − −
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).Thí sinh làm 1 trong 2 phần .
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a ( 2.0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 2 0d x y+ − =
,
2
: 2 3 0d x y
− + =
. Trên
1
d
lấy điểm M và trên
2
d
lấy
điểm N sao cho
0OM ON
+ =
uuuur uuur r
. Tìm tọa độ của các điểm M và N.
2. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

( )
3;2;4S
,
( )
1;2;3A
và
( )
3;0;3C
. Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho.
Câu VII.a ( 1.0 điểm ). Tại một điểm thi tuyển sinh đại học, cao đẳng có
10 phòng thi; gồm 5 phòng, mỗi phòng 25 thí sinh và 5 phòng còn lại mỗi
phòng 26 thí sinh. Sau một buổi thi, một phóng viên truyền hình chọn ngẫu
nhiên 5 thí sinh để phỏng vấn như nhau, tính xác suất để 5 thí sinh được
phỏng vấn thuộc cùng một phòng thi.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b ( 2.0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình
2 2
1
16 9
x y
+ =
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm
( )
2;1I
và cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng
MN.
2. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )

1;1;1A
và hai đường thẳng
Tổng ôn tập LTĐH2011 -4- GV Nguyễn Văn Nhương
1
4
:
3 1 1
x y z
d
−
= =
;
2
1 2 2
:
1 1 3
x y z
d
− − +
= =
−
Viết PT chính tắc của đg thẳng d đi qua điểm A, cắt
1
d
và vuông góc với
2
d
Câu VII.b ( 1.0 điểm )
Giải phương trình
( )

2
5 4 3 11 0x i x i
+ − + − =
trên tập số phức.
ĐỀ THI MINH HỌA KHỐI D 2010
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2y x x
= − +
2. Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m sao cho pt:
4 2
2 4 0x x m
− + − =
có 2 nghiệm phân biệt.
Câu II ( 2.0 điểm )
1. Giải phương trình:
4
2cos cos2 1 sin cos cos2x x x x x
− = +
2. Giải phương trình:
( )
2
9 1 3
3
log 3 log 2 log 2 1x x
+ − − − =
Câu III ( 1.0 điểm ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )

1 lny x x
= +
, các đường thẳng x = 1, x = e
2
và trục hoành.
Câu IV ( 1.0 điểm ). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B,
AC = a và
·
0
120ABC =
. Biết rằng SA = SB = SC và góc giữa đường thẳng SA
và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Câu V ( 1.0 điểm ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình
sau có nghiệm.
( )
3
3 2
3 1 1x x a x x+ − ≤ − −
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh làm 1 trong 2 phần.
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a ( 2.0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 3 9C x y
− + + =
và đường thẳng
: 1 0d x y

− + =
. Trên
( )
C
lấy
điểm M và trên d lấy điểm N sao cho gốc tọa độ ) là trung điểm của MN. Tìm
tọa độ của các điểm M và N.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
2;1;1M
và đường thẳng
{
: 1 2 ; 1 ; 2 ;
= + = + =
d x t y t z t
Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M
qua đường thẳng d.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -5- GV Nguyễn Văn Nhương
Câu VII.a ( 1.0 điểm ). Đề cương ôn tập cuối năm môn Lịch sử lớp 12 có
40 câu hỏi. Đề thi cuối năm gồm 3 câu hỏi trong số 40 câu đó. Một học sinh
cho đến ngày thi chỉ ôn 30 câu trong đề cương. Giả sử mỗi câu hỏi đều có xác
suất được chọn vào đề thi như nhau, tính xác suất để cả 3 câu hỏi của đề thi
cuối năm đều nằm trong số 30 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b ( 2.0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 1C x y
+ + − =

và đường thẳng
: 1 0d x y
− − =
. Trên
( )
C
lấy
điểm M và trên d lấy điểm N sao cho M và N đối xứng với nhau qua trục Ox.
Tìm tọa độ của các điểm M và N.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;4A
−
và đường
thẳng
1 2 1
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−
Viết ph trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
Câu VII.b ( 1.0 đ) Giải ph trình
( )
2
5 4 3 11 0x i x i
+ − + − =
trên tập số phức.


Chuyên Đề 1: hµm sè trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc
Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Lý thuyết chung:
1. y = f(x) đồng biến trên (a, b)
( )
' 0f x
⇔ ≥
với mọi x
∈
(a, b).
2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b)
( )
' 0f x
⇔ ≤
với mọi x
∈
(a, b).
Chú ý:

Tam thức bậc hai: 1.
2
0y ax bx c= + + ≥

x R
∀ ∈

0
0
a

>

⇔

∆ ≤

2.
2
0y ax bx c
= + + ≤

x R
∀ ∈

0
0
a
<

⇔

∆ ≤


Tam thức bậc hai: Nếu:
2
0y ax bx c= + + ≥
với mọi x
∈
(p, q)

thì:
Trường hợp 1: Nếu có thể chuyển về
( ) ( )f x g m
≥
( Rút m độc lập ) .
Thì dùng phương pháp đồ thị ( Căn cứ vào Max , Min của f(x) và yêu cầu
của bài toán mà g(m) phải thuộc vào khoảng nào
Trường hợp 2: Nếu không thể chuyển về
( ) ( )f x g m
≥

Tổng ôn tập LTĐH2011 -6- GV Nguyễn Văn Nhương
• Lập denta
• Biện luận theo denta và hệ số a (Trường hợp phải so sánh nghiệm của
p/t với a;b thì đặt ẩn phụ x = p + t (x = q- t ) .Chuyển phương trình thành
p/t bậc hai theo t và biện luận với t dương hay âm )
. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3
y m x mx m x
= − + + −
.Tìm tất cả các giá
trị của m để hàm số đã cho :
a. đồng biến trên tập xác định .b. nghịch biến trên tập xác định của nó.
.Tìm m để hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m

= − + + +
đồng biến với mọi x.
Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx
= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên khoảng
( )
;0
−∞
.
Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx
= − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
.
Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x= − − + − +
. Với giá trị nào của m

thì hàm số đồng biến trên
[
)
2;
+∞
.
Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên
khoảng
( )
;1
−∞
.
Chủ đề 2: Cực trị của hàm số
I. Cực trị hàm bậc ba:

Điều kiện tồn tại cực trị:
Hàm số
( )y f x
=
có cực đại và cực tiểu ( 2 cực trị )
'( ) 0f x
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt

⇔
0
∆ >

1.Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x
0

⇔

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

2. Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0

⇔

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x

f x
=


>


Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình
đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -7- GV Nguyễn Văn Nhương

Chú ý: sử dụng định lý viét cho hồnh độ các điểm cực trị. ( Đặc biệt
:áp dụng cho các bài tốn có liên quan đến biểu thức đối xứng của hai
nghiệm , khỏang cách ,đối xứng , trung điểm ….)
II. Cực trị hàm bậc bốn:

y’ = 0

TH1: có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn x =
0và 1 nghiệm kép x = 0) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.


TH2: Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị.
Cho hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3

= + − + + + + −
y x m m x m x m
.
a)đạt cực tiểu tại x = - 2. b). đạt cực đại tại x = 1.
. Cho hàm số :
5
2
3
3
)2(
−+++=
mxxxmy
.Tìm các giá trò của m
sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu
Cho hàm số :
4
23
+−=
xmxy
. Đònh m để đồ thò hàm số có cực
đại và cực tiểu các điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn :
a) Nằm về hai phía trục tung. (cùng nằm bên trái , cùng nằm bên phải Ox)
b) Nằm hai phía a trục hồnh ( cùng nằm bên trái , cùng nằm bên phải Oy)
c) Có hồnh độ dương ( âm,trái dấu )
d) Có tung độ dương ( âm , trái dấu )
Cho hàm số :
1)1(6
2
)12(3
3

2
++++−=
xmmxmxy
CMR với
mọi m hàm số luôn đạt cực trò tại
2
;
1
xx
với
21
xx
−
không phụ thuộc m
Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại
x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2

= 1.
Tìm m để hàm số
3 2
( 2) 2y x m x mx m= + − − +
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
< -1 < x
2
.
Cho hàm số :
1
23
−−=
mxxy
Chứng minh rằng với mọi m , hàm số
luôn có cực đại và cực tiểu
a) Tìm m > 0 sao cho điểm cực đại thuộc Ox
b) Tìm m > 0 sao cho điểm cực tiểu thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 .
Cho hàm số :
37
23
+++=
xmxxy
Đònh m để đồ thò hàm số có cực
đại và cực tiểu . Lập phtrình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò đó
Tổng ơn tập LTĐH2011 -8- GV Nguyễn Văn Nhương

Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x
= + − + −
có CĐ, CT cùng
nằm trên đường thẳng d: y = - 4x.
Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x
= + − + − −
có đường thẳng đi qua
CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3.
Tìm m để
3 2
7 3y x mx x
= + + +
có đường thẳng đi qua CĐ, CT vng
góc với đường thẳng d: y = 3x - 7.
Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m
= + − + −
.Tìm m để hàm số đạt CĐ,
CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.
Tìm m để hàm số
1
23

3
1
++−−= mxmxxy
có khoảng cách giữa các
điểm CĐ và CT là a) bằng
6

b) nhỏ nhất.
20.Cho hàm số :
4)12(3
2
)1(3
3
++−++−=
xmxmxy
.Đònh m
để đồ thò hàm số có cực đại và cực tiểu và hai điểm đó đối
xứng qua điểm I(0;4)
Tìm m để hàm số
3 2 2
3y x x m x m
= − + +
có cực đại, cực tiểu đối
xứng với nhau qua đường thẳng d:
1 5
2 2
y x= −
Cho hàm số
( )
3 2 2 2

3 3 1 3 1y x x m x m
= − + + − − −
. Tìm m để hàm số có
CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x
= + − +
có 3 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m
= − + +
có CĐ, CT lập thành tam
giác đều.
Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1y x m x
= − +
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một
tam giác vng cân.
Cho hàm số:
4 2
2 2y x mx m
= − +
.Xác định m để hàm số có các
điểm CĐ, CT:
a. Lập thành tam giác đều. b. Lập thành tam giác vng.
c. Lập thành tam giác có diện tích bằng 16.

Cho hàm số
3 2
3y x mx
= −
.Tìm m > 0 để hàm số có cực đại, cực tiểu và
điểm cực tiểu cách đều hai trục tọa độ
Tổng ơn tập LTĐH2011 -9- GV Nguyễn Văn Nhương
Cho hàm số :
2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có
điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách tự hai điểm đó đến đường
thẳng : x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Chủ Đề 3: Tiếp tuyến- Tiếp xúc và các bài tốn liên quan

1. Điều kiện Tiếp xúc : Cho hai đường y = f(x) ( C ) và y = g(x) ( C ‘ ).
• Để ( C ) tiếp xúc với ( C’) khi hệ PT sau Có nghiệm :



=
=
)2)((')('

)1)(()(
xgxf
xgxf
2.Tiếp tuyến : Cho hàm số y = f(x) ( C ) Viết phtrình tiếp tuyến của ( C )
a. Tại 1 điểm
)())
0
(;
0
(
0
CxfxM
∈
: Sử dụng công thức :
)
0
)(
0
('
0
xxxfyy
−=−
(*) với
)
0
(
0
xfy
=
và

)
0
(' xf
là Hệ số góc
của tiếp tuyến (Tại 1 điểm chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến )
b. Biết trước hệ số góc k:
• Gọi
)())
0
(;
0
(
0
CxfxM
∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến (d).Suy ra :
kxf
=
)
0
('
.Giải tìm
0
x
.tìm k p dụng công thức (*)
Chú ý : Các biến dạng của hệ số góc:

Biết trực tiếp hệ số góc k

Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.(d //d

1
: thì d và d
1
cùng hệ số góc ).

Tiếp tuyến vng góc với 1 đường thẳng cho trước.(d
⊥
d
1
: Thì Tích hệ
số góc bằng -1).

Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng
α
.

Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
α
.

Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng
α
cho trước.
c. tiếp tuyến đi qua
)
1
;
1
(
1

yxM
:
•
Viết phương trình đường thẳng đi qua
)
1
;
1
(
1
yxM
có hệ số góc k :
1
)
1
( yxxky
+−=
•
Tổng ơn tập LTĐH2011 -10- GV Nguyễn Văn
Nhương
• (Sử dụng Điều kiện Tiếp xúc) Để ( C ) tiếp xúc với ( C’) khi và chỉ khi
• hệ sau có nghiệm



=
+−==
)2()('
)1(
1

)
1
()(
kxf
yxxkyxf

Thay (2) vào (1) có p/t hoành độ tiếp điểm u(x) =0 (3).
Giải (3)tìm hoành độ tiếp điểm.Tìm k. p dụng (*)
Chú ý:
1.Số nghiệm của phương trình (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị
2. Nếu tham số k không độc lập thì ta chọn giải phương trình nào đơn
giản , thay vào p/t còn lại
. Viết PTTT của đồ thị (C):
3
3 5y x x
= − +
khi biết:
a. Tại điểm M(2; 7). b. Hồnh độ tiếp điểm là x
0
= - 1.
c. Tung độ tiếp điểm là y
0
= 5.
d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: 7x + y = 0
. Viết PTTT của đồ thị (C):
1
2
+
=
−

x
y
x
khi biết:
a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp
tuyến tại điểm A.
. Cho hàm số (C):
3 2
1
2 3
3
= − +
y x x x
khi biết:
Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Chú ý : Nếu hệ số a âm thì hệ số góc lớn nhất
.Chohàmsố(C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
= + − −
y x x x
. Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2.
Cho hàm số (C):
2 1
1

−
=
−
x
y
x
. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận
của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc
với đường thẳng IM.
Cho hàm số (C
m
):
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có
hồnh độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với
đường thẳng 5x – y = 0.
Tổng ơn tập LTĐH2011 -11- GV Nguyễn Văn
Nhương
Cho hàm số (C):
3
y x x

= −
.Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp
tuyến đó đi qua điểm A(0; 2).
. Cho hàm số (C):
3 2
2 6 5y x x
= − + −
. Tìm M là điểm thuộc (C) ,biết
PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; -13).
. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
3 1 1y x mx m x
= + + + +
.Tìm các giá trị của m để
tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x = - 1 đi qua điểm
A(1; 2).
. Cho hàm số (C):
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
.Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp
tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox.

. Cho hàm số (C):
1
x
y
x
=
−
.Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d
và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
. Cho hàm số (C):
3 1
1
x
y
x
+
=
+
.Tính diện tích của tam giác tạo bởi các
trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-2; 5).
. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
=
+
.Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến
của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích

bằng
1
4
.
Cho hàm số (C):
2
2 3
x
y
x
+
=
+
.Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và
tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Cho hàm số (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
.Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song
song với nhau.
Cho hàm số (C):
2 1

1
x
y
x
−
=
−
.Cho M bất kì trên (C) có x
M
= m. Tiếp
tuyến của (C) tạ M cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận.
Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi.
Cho hàm số (C
m
):
3 2
3 1y x x mx
= + + +
.Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y
= 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại
D và E vuông góc.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -12- GV Nguyễn Văn
Nhương
Chủ Đề 4 : Tương giao giữa hai đồ thị hàm số
1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của

hai đồ thị là nghiệm của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).

Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm
số.
Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x
0
; y
0
) thì phương
trình d: y – y
0
= k(x – x
0
). Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
2.Bài toán cơ bản:
Cho đồ thị y = f(x, m) và trục hoành: y = 0.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = 0.
3.Phương pháp chung:

Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
* Cho phương trình:
1
1 1 0
( ) 0
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−

= + + + + =
.
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ
p
x
q
=
(p, q)=1 thì
\
n
q a
và
0
\p a
.

Phương pháp hàm số
• Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
• Khi đó số nghiệm là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đ thẳng y = m.
Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1.
B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox.
1.Các phương pháp xét tương giao:

Phương pháp nhẩm nghiệm cố định : Dùng phương pháp nhẩm nghiệm
hữu tỷ.Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x =
α
thì
( )
( )
2

( , ) ( ) ( ) ( )f x m x a m x b m x c m
α
= − + +
.

Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số :
Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số

** Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.

Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ thị và 1
đường thẳng g(x) = m.
2.Đặc biệt : Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số
a. Lập thành cấp số cộng:
Tổng ôn tập LTĐH2011 -13- GV Nguyễn Văn
Nhương
Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x
1
, x
2
, x
3
lập cấp số. Khi đó đồng nhất hai
vế ta có:
2
3
b
x
a
−

=
. Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm.
Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề
bài không. Từ đó kết luận.
b. Cấp số nhân.Tương tự ta cũng có:
3
2
d
x
a
−
=
. Thế vào và kiểm tra.
C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox.
1.Đặc biệt : Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Phương pháp: Sau khi đặt t = x
2
ta đựơc ph trình bậc hai. Căn cứ vào điều
kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t
1
, t
2
dương và thỏa
mãn t
2
= 9t
1
.
Vậy điều kiện là:

{
2 1
0 ; 0 ; 0 ; 9S P t t
∆> > > =
D. Phép Suy đồ thị:
Cho đồ thị y = f(x) ( C )ta suy ra các đồ thị ( C ‘)hàm số sau:


( )
y f x
=


( )
y f x=


Từ
( )
( )f x
y
g x
=
suy ra
( )
( )
f x
y
g x
=

.
Phương pháp chung : Bỏ trị tuyệt đối , nhận xét quan hệ giữa ( C ) và ( C ‘
) chú ý các tính chất : hàm số chẵn , lẻ ( đối xứng qua Ox , O y ….)
Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
( )
3 2 2
3 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − +
cắt Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1.
. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2 2
2 2 1 (1 )y x mx m x m m
= − + − + −
cắt Ox
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2
3 2 4 9y x mx m m x m m
= − + − + −
cắt Ox
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.

Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2
(3 1) 5 4 8y x m x m x
= − + + + −
cắt Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
Tìm m để đồ thị (C
m
):
4 2
2( 1) 2 1y x m x m
= − + + +
cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2 4 2
2 2x x m m
− = −
.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -14- GV Nguyễn Văn
Nhương
Cho hàm số (C):
2 1
2
x
y
x

+
=
+
. CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C)
tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số (C):
2
3
x
y
x
+
=
−
. .Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách
từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang .
. a). Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
tại A, B phân biệt thuộc 2 nhánh của (C).
b). Tìm m để AB đạt min.
.Cho hàm số (C):
3 5
2

x
y
x
−
=
−
.Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M
đến hai tiệm cận của(C) là nhỏ nhất.
. Cho hàm số:
4 2
2 4y x x
= −
.Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m
− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
. Cho hàm số (C
m
):
( )
4 2
3 2 3y x m x m
= − + +
.Tìm m để đường thẳng y = -
1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Cho hàm số (C):
3 2

3 4y x x
= − +
.CMR: mọi đường thẳng đi qua điểm
I(1; 2) với hệ số góc k(k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân
biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Cho hàm số (C):
3
3 2y x x
= − +
.Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20)
và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt.
Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
.Với các giá trị nào của m đường thẳng d
m
đi
qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C)
(a) Tại hai điểm phân biệt b)Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
61. Cho hàm số (C):
1
2
x

y
x
−
=
−
Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C)
tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song
với nhau.
Cho hàm số (C):
3 2
2 9 12 4y x x x
= − + −
. Tìm m để phương trình:
3 2
2 9 12x x x m
− + =
có 6 nghiệm phân biệt.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -15- GV Nguyễn Văn
Nhương
Cho hàm số (C):
3 2
3 6y x x= − −
. Tìm m để phương trình:
3 2
3 6x x m− − =
có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số (C): y = 3x – 4x
3
. Tìm m để phương trình:
( )

2
3 4x x m
− =
có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số (C):
3
3 2y x x
= − +
.Tìm m để phương trình:
( )
2
1 2x x x m
− − − =
có 3 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số (C):
3 2
6 9 6y x x x
= − + −
.Tìm m để đường thẳng
d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
.Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
2 3 1 6 2y x m x mx
= − + + −
.Tìm m để đồ thị (C
m
)

cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
. Cho hàm số (C
m
):
4 2
1y x mx m
= − + −
.Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
. Cho hàm số (C):
3
3 4y x x
= −
.Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số
nghiệm của phương trình
3 3
3 4 3 4x x m m
− = −
.
. Cho hàm số (C)
2
1
=
−
x
y
x
:

a. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
b. Biện luận theo m số nghiệm
[ ]
1;2x
∈ −
ph trình:
( )
2 0m x m
− − =
Chủ đề 5:Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước
1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (C
m
): y = f(x, m)
 Giả sử M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ (C
m
).
 Khi đó: y
0
= f(x

0
, m) với mọi m. Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ
số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị (x
0
; y
0
).
 Kết luận.
Chú ý:  am + b = 0,
∀
m
⇔

0
0
a
b
=


=

Tổng ôn tập LTĐH2011 -16- GV Nguyễn Văn
Nhương
 am
2
+ bm + c = 0,
∀
m
⇔

0
0
0
a
b
c
=


=


=

2.Dạng 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.
 Giả sử hàm số y =
ax b
cx d
+
+
, ta biến đổi về dạng phân thức.
 Nếu a chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu và sử dung tính chia hết.
 Nếu a không chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu
( )
ax b a bc ad

y
cx d c c cx d
+ −
= = +
+ +

⇔

bc ad
cy a
cx d
−
− =
+
Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d.
Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm.
3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = f(x) thỏa mãn điều kiện K.
 Giả sử M(x
0
; y
0
) = M(x
0
; f(x
0
)).
 Thiết lập điều kiện K cho điểm M.  Kết luận.
. Cho hàm số (C
m
):

3 2
3 9 1y x mx x
= − + +
.Tìm m để điểm uốn của (C
m
)
thuộc đường thẳng y = x + 1.
Cho hàm số (C
m
):
2
1
mx m
y
x
− −
=
+
.Chứng minh rằng họ (C
m
) luôn đi qua 1
điểm cố định.Tìm điểm cố định
Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
−
=

+
. Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có
các toạ độ là nguyên.
Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x
= − + −
. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà
qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C).
Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
+
=
−
.Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được
hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối
với trục Ox.
Cho hàm số (C):
4 2
2 1y x x
= − + −
.Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung
sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C).
. Cho hàm số (C
m
):

( )
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m
= − + − + −
. Tìm m để trên
đồ thị (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -17- GV Nguyễn Văn
Nhương
. Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x
= + −
.Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp
điểm đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18).
. Cho hàm số (C):
3
12 12y x x
= − +
.Tìm trên đường thẳng y = - 4 các
điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
. Cho (C):
( )
3
1 1y x k x
= + − +
.Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao
điểm của (C) với Oy. Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 8.

Cho hàm số (C):
4
2
+
=
−
x
y
x
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm phân
biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 6 = 0.
. Cho hàm số (C):
2
3
x
y
x
+
=
−
.Tìm trên đồ thị (C) của hàm số điểm M cách
đều hai đường tiệm cận của (C).
. Cho hàm số (C):
3
3y x x
= −
a. CMR: đường thẳng d: y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại 1 điểm A cố định.
b. Tìm m để d cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại
B, C vuông góc với nhau.
Tìm các điểm trên đồ thị (C):

3
1 2
3 3
y x x
= − +
mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thẳng d:
1 2
3 3
y x
−
= +
.
Cho (C
m
):
3 2
1y x mx m
= + − −
. Viết PTTT của (Cm) tại các điểm cố định
mà (Cm) đi qua với moi giá tri m
Chủ đề 6: GTLN và GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x
≤

∀
x D
∈
thì M =
f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x
≥

∀
x D∈
thì M =
f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.

Để tìm GTLN, GTNN ta có thể
1.Xét trên khoảng D=( a ; b ) Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết
luận
Tổng ôn tập LTĐH2011 -18- GV Nguyễn Văn
Nhương
2.Xét trên đoạn D= [a ; b ] Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả
sử có các nghiệm x
1

, x
2
thuộc D.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
+ So sánh các giá trị trên và kết luận.

Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN,
GTNN của hàm số theo biến mới.
• Ứng dụng của GTLN, GTNN để Biện luận & giải PT, BPT:
1. Giải phương trình:
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên
là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).
+ Để PT có nghiệm thì
⇔
min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m
≤ ≤
.
+ Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.
2.Giải bất phương trình: Áp dụng các tính chất sau:
+Bất phương trình
( )f x m
≥
đúng
x I
∀ ∈

⇔
Min f(x)
m
≥

x I
∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m
≤
đúng
x I
∀ ∈

⇔
Max f(x)
m
≤

x I
∀ ∈
+ Bất phương trình
( )f x m
≥
có nghiệm
x I
∈
⇔
max f(x)
m

≥

x I
∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m
≤
có nghiệm
x I
∈

⇔
Max f(x)
m
≤

x I
∀ ∈

.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1)
2 cos2 4sin
= +
y x x
trên
0;
2
π
 
 

 
.2)
3
4
2sin sin
3
y x x
= −
trên
[ ]
0;
π
.

3)
2x
y x e
= −
trên đoạn
[ ]
0;1
.
4)
2
1y x x= + −
.
5)
3 2
8 16 9y x x x
= − + −

trên đoạn
[ ]
1;3
.
6)
2 cosx x
+
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
. 7)
2
3 9y x x
= + −
.
8)
3 2
3y x x
= −
trên đoạn
[ ]
1;1
−
. 9)
2
y x x

= −
trên đoạn
[ ]
1;1
−
.
VẬN DỤNG GTLN-GTNN VÀO GIẢI – BIỆN LUẬN P/T VÀ BPT:
Chứng minh rằng:
sin tan 2x x x
+ >
với .
Tìm m để ph trình
3 2
3 0x x m
− + =
có ba nghiệm phân biệt.
Tổng ôn tập LTĐH2011 -19- GV Nguyễn Văn
Nhương
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 
Tìm m để bất PT:
3
3
1

3 2x mx
x
− + − ≤ −
nghiệm đúng với mọi
1x
≥
. a. Tìm m để phương trình
2
2 1x x m
+ + =
có nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình
2
2 1x x m
+ + >
với mọi x
R
∈
.
Tìm m để ph trình:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
có nghiệm.
Tìm m để pt:
( ) ( )
3 6 3 6x x x x m
+ + − − + − =
có nghiệm.
Tìm m để ph trình:

cos2 4sin cos 2 0m x x x m
− + − =
có nghiệm x.
Xác định m để phương trình
( )
2
1 4 1x x m
+ − + =
có nghiệm.
Xác định m để phương trình
9 2 1x x m− = +
có nghiệm thực.
. Tìm m để BPT:
( ) ( )
2
3 2 2 5 2 5 0m x m x m
− − − − + >
có nghiệm.
Tìm GTLN, GTNN của
1 9y x x
= − + −
trên đoạn
[ ]
3;6
.
Tìm m để ph tr:
( ) ( )
2 2 2 2x x x x m
− + + − − + =
có nghiệm.

Chuyên Đề 2: ph¬ng tr×nh-hÖ ph¬ng tr×nh-
bÊt ph¬ng tr×nh : mò vµ logarit
I. Phương trình, bất phương trình mũ :
1/ Đưa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số:
2
1
8 1 3 1 2 3 4
1/ 3
0,2
1/ 2 4 ; 2 / 3 3 3 3 750;
3 / 5 .8 500 (5.2 ) 1 3; 2
x
x
x x x x x x x
x x x
x log
−
− + − + − − −
−
= + − + =
= ⇔ = ⇒ =
1
1
1
1
4 / ( 5 2) ( 5 2) 1 ( 2; 1) (1; )
1
x
x
x

x
x x
x
−
−
+
−
+ ≥ − ⇔ − ≥ − ⇒ ∈ − − ∪ +∞
+
( )
1 2 1 2
9/4
5 / 9 9 9 4 4 4 9 .91 4 .21
9 / 4 21/ 91 log (21/ 91)
x x x x x x x x
x
x
+ + + +
+ + < + + ⇔ <
⇔ < ⇔ <
2
2 3 1 2
6 / 2 .4 256; 7 / 2 .5 0,01; 8 / 2 . 3 216;
9 / (3 3 3) (1/ 81) ; 10 / 2 .3 .5 12
x x x x x x
x x x x x+ − −
= = =
= =
2
2

4 2 2
2
3 1
1/ 2 1
1/(3 1)
1 3
11/ 2 5 12 / 8 36.3 ; 13 /1 5 25;
14 / 2 2 ; 15 / ( 10 3) ( 10 3)
x
x x
x x x
x
x x
x
x
x x
−
− − −
+
− +
−
+
− +
= = < <
≥ + < −
Tổng ôn tập LTĐH2011 -20- GV Nguyễn Văn
Nhương
2/ Đặt ẩn phụ:
2 2 2
2

2 2 1 2
1/ (7 4 3) 3(2 3) 2 0( 3 / 2 0);
2 / (3 5) (3 5) 2 0
x x
x x x x x x
t t
− − + −
+ − − + = − + =
+ + − − ≤
3 3( 1) 1
2 4 4
( 1/ 2 0); 3 / 2 6.2 1/ 2 12 / 2 1( 2 2 );
4 / 3 8.3 9.9 0
x x x x x x
x x x x
t t t
− −
+ + +
+ − ≤ − − + = = −
− − >
( chia 2 vế cho
2
3
x
);
2 2
2 1 2 3 2 1
5/ 4 5.2 6 0;6/ 4 7.4 2 0
x x x x cosx cosx+ − − + − + +
− − = − − =

;
2 2
2 2 1 4 1
7 / 27 6.64 6.36 11.48 ; 8 / 2 2 2 ;
9 / ( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10
x x x x x x x x
x x
+ − −
− = − + =
+ + − =
2 1
2 2
7 2.3 2 2 4 1 1
10 / 6.(0,7) 7;11/ 1 1 ;12 / 3. 12
100 3 2 1 3 3
x
x x x
x x
x
x x x
t
t
+
+
− −
     
= + ≤ ≤ + =
 ÷  ÷  ÷
− −
     

2 2 2 2
2 1 2 2
2 3 6 3 5 2
13 / 9 9 10; 14 / 2 9.2 2 0;
15 / 2 15.2 2 ; 16 / 9 3 3 9
sin x cos x x x x x
x x x x x x x
+ + +
+ − − + − +
+ = − + =
+ < − > −
2 1
/2 3 1
17 / 25 10 2 ; 18 / 4 2.6 3.9 ;
19 / 4.3 9.2 5.6 ; 20 /125 50 2
x x x x x x
x x x x x x
+
+
+ = − =
− = + =

3/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
/2 1 1 1/
4 2 4
1/ 2 1 3 ; 2 / 2 3 6 1; 3 / (2,5) (0,4) 2,9;
4 / 3 2 13; 5 / 2 6
x x x x x x x
x x x
x

+ +
+ +
= + + > − + =
+ > = −
2
2
1 2 3 2
6 10 2
6 / 2 2 ( 1) ; 7 / 2 8 14;
8 / 3 6 6; 9 / 3 5 6 2
x x x x
x x x x
x x x
x x x
− − −
− +
− = − = − + −
= − + − + = +
2 3 2 1 1
2 1
10 / 3 (3 10).3 3 0; 11/ 3.25 (3 7).5 2 0;
12 / (3 2 ) 2 2 0
x x x x
x x
x x x x
x x
− − − −
+
+ − + − = + − + − =
− − + − =

2
2 1 2 2 1 1 2
13/ 3 3 2 2 6 2 6;
3 3 2
14 / 2 3 5 2 3 5 ; 15 / 0
4 2
x x x x x
x
x x x x x x
x
x
x
− − −
−
− + + +
− + − − = − +
+ −
+ + = + + ≥
−
.
4/ Một số dạng khác:
2 2 2 2 2
3 2 6 5 2 3 7 3 2 6 5
1
2
1
1/ 4 4 4 1 (4 1)(4 1) 0;
2 / ( 2 1) 1
x x x x x x x x x x
x

x
x x
− + + + + + − + + +
−
+
+ = + ⇔ − − =
− + ≥
Tổng ôn tập LTĐH2011 -21- GV Nguyễn Văn
Nhương
2 1 1 1 2 1 1 1
3 / 5.3 7.3 1 6.3 9 0 5.3 7.3 3 1 0;
x x x x x x x− − + − − +
− + − + = ⇔ − + − =
2
1 2 2 2
5/ 4 .3 4.3 1 0 4.3 4.3 1 (2.3 1) 0(*)
x x x x x x
+
− + ≤ ⇒ − + = − ≤ ⇒
B
PT vô nghiệm vì x = 0 KTM (*).
2 2 2
3 2 3 4
1 ( 1) 2 1 2 1
2 1 1
6 / 4 2 2 1; 7 / .2 2 .2 2 ;
8 / .3 (3 2 ) 2(2 3 )
x x
x x x x x x
x x x x x

x x
x x
− + − +
+ − + + −
− −
+ = + + = +
+ − = −
2 3 2
2 2 1 2
9 / .3 3 .(12 7 ) 8 19 12;
10 / 4 8 2 4 ( ).2 .2 . 2
x x
x x
x x x x x
x x x x x x
+
+ − = − + − +
+ − > + − + −
2
2 2 2
2 2 1 2 1
11/ 2 5 3 2 2 .3 . 2 5 3 4 .3 ;
12 / ( 1/ 2) ( 1/ 2)
x x
x x x
x x x x x x x
x x
+ + −
− − + > − − +
+ ≤ +

2 2
2
2 10 10
2 11 20
13/ ( 4 ) (4 ) ( 10; 1;4);
14 / ( 2) ( 2) ( 1;2;3;4;5)
x x
x x x
x x x x
x x x
− −
+ −
− = − = ± −
− = − =
2
3
1 2 2 2
3 2
2 2
1 5
15 /1/ (3 1) 1/ (1 3 ); 16 / ( 1) 1 ;
17 / ( 1) ( 1)
+ +
+ −
+ +
− ≥ − − > −
− + > − +
x x x x
x x
x x

x x
x x x x
II. Phương trình, bất phương trình lôgarít:
1/ Đưa về 1 cơ số:
5 25 0,2
2 3 4 20
1/ 3; 2 / 0,5 (5 4) 1 2 0,18;
3/
log x log x log log x log x log
log x log x log x log x
+ = − + + = +
+ + =
2
5 1/5 5 1/25
4 / ( 6) 0,5 (2 3) 2 25;
5 / ( 1) 5 ( 2) 2 ( 2)
log x log x log
log x log log x log x
+ − − = −
+ + = + − −
3
2 3 3 2
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3 1 3
6 / ( ). 1; ;
2 8
3
3

7 / ( 2) 3 (4 ) ( 6)
2
x
log x log log log x x
x
log x log x log x
 
− = + =
 ÷
 ÷
 
+ − = − + +
2
2 0,5 0,25 2
0,5 2
8 / ( 3) 5 2 ( 1) ( 1)( 2)
9 / (1 / 2) 2 / 4 0( 1)
log x log log x log x
log x log x
+ + = − − +
− + − = −
Tổng ôn tập LTĐH2011 -22- GV Nguyễn Văn
Nhương
[ ]
5 5 5 5 25 0,2
2
12 / ( 6) ( 2); 13/ 3;
14 / ( 2 3) ( 3) / ( 1) 0
log x log x log x log x log x log
log x x log x x

= + − + + =
+ − + + − =
2 2 2
2 3 6
15 / 0,5. (5 4) 1 2 0,18;
16 / ( 1). ( 1) ( 1)
log x log x log
log x x log x x log x x
− + + = +
− − + − = − −
2
1/5 5
2 2
17 / ( 6 8) 2 ( 4) 0;
18 / ( 3) 1 ( 1)
− + + − <
+ ≥ + −
log x x log x
log x log x
2/3
8 1/8 0,5 3
3
3 2
19 / 2 ( 2) ( 3) 2 / 3;20 / 1
( (1 3) 1 0 3 )
log
log x log x log x log x
log x log x
− + − > + >
⇔ − > ⇒ < <

2 3 5 2 3 5 5
2
2 (2 )
20 / . . ; 21/ 3 4. 5 1;
22 / ( 2). 2 2 0
x
x
log x log x log x log x log x log x log x log
log x log
−
+ + = + >
+ − ≥
( 3) 0,25 2
2 3 3 2
23 / 6 2 (4 ) / ( 3) 1( 3);
. 2 . 3 0(0 6 / 6; 1)
x
log log x log x x
log x log x log x log x x x
+
 
+ − + = =
 
+ ≥ < < ≥
2/ Đặt ẩn phụ:
0,04 0,2
16 2
1/ (4 lg ) 2 / (2 lg ) 1; 2 / 1 3 1;
3 / 3 16 4 2
x

x x log x log x
log log x log x
− + + = + + + =
− =
2
3
2
1
2 2
1/ 2
4 / 16 64 3; 5 / l g(l g ) l g(lg 2) 0;
6 / (4 4). (4 1) 1/ 8
x
x
x x
log log o o x o ox
log log log
+
+ = + − =
+ + =
2 2
(3 2 ) (3 )
4 2 2 4
7 / (2 9 9) (4 12 9) 4 0;
8 / ( ) ( ) 2( 4 1)
x x
t
log x x log x x
log log x log log x x t
− −

− + + − + − =
+ = = ⇒ =
2 4 4 3 2
2 2 2
2
25
9 / (2 / ). 1( ( 1)( 2 2 1) 0);
10 / (125 ). 1(5&1/ 625)
x
x
log x log x log x t t t t t
log x log x
+ = ⇔ − + + + + =
=
Tổng ôn tập LTĐH2011 -23- GV Nguyễn Văn
Nhương
3 3
2 3
2 2 5
11/ 3 3 1/ 2;
12 / (4 1) (2 6) ; 13/ (5 ). 2
+
+ = + +
+ = − + = −
x
x
x x
x
log log x log log x
log log x log x log x

2 2 2
2
2
8 2 1 1
14 / 4 2 1 2
(2 1) 2 1
2
2 1
4 4 1: 3 / 2
2 1
x x
log log log
x x
x
t t t log x
x
 
+
 
+ − = +
 ÷
 ÷
+ −
 
 
−
 
⇔ + = − − = ⇒ =
 ÷
+

 
2 2
1
18 / 10 6 0; 19 / l g(6.5 25.20 ) l g 25;
20 / 2(l g 2 1) l g(5 1) l g(5 5)
x x
x x
log x log x o x o
o o o
−
+ + = + = +
− + + = +
1/3 2 2
/16 2
21/ 5/ 2 3; 22 / 2. 2. 4 1;
23 / 2. 2 1/ ( 6)
x x x
x x
log x log log log log x
log log log x
+ ≥ >
> −
2
3 3 3
2 4
1/2 2 16
24 / 4 9 2 3;
25 / 4 2(4 )
log x log x log x
log x log x log x

− + ≥ −
+ < −
1
2 1/2
2 2 2
2 1/2 4
26 / (2 1). (2 2) 2;
27 / 3 5( 3)
x x
log log
log x log x log x
+
− − > −
+ − > −
2
2 2 2 2 2
3
5
2 6 4 6
28 / (2 ) (2 );29 / 2 2 (1/ 5);
30 / 4 2.3 ( 6 )
x x x
log x log log x log log x
log x log x log x log
x x
≤ − ≥
− = =
3/ Phương pháp mũ hóa, lôgarít hóa:
5
11

1/4 4
2 3
5
52 3( 1)
(lg 5)/3 5 lg 6
lg lg 3 1 1
2 ; 2 / 10 ; 3 / .5 11 ;
4 / 2 / ( 1 1) ( 1 1)
x
log
loglog x log x
x x
x x
x x x
x x x
−
− −
+ +
+ + − −
= = =
 
= + − − + +
 
2
2
1/3 4 9
2
2
(3 )
5 / log ( 5) 0; 6 / (3 9) 1;

7 / ( 5 6) 1; 8 / (3 ) 1
x
x
x
x x
log x log log
log x x log x
−
   
− > − <
   
− + < − >
1/2 3 2 1/3 1/2 3
6 2
3
1 2 2
14 / 0; 15 / ;
1 2 2
1 3 2
16 / 0;17 / 1
2 2
x x
x x x
log log log log log log
x x x
x x
log log log
x x
+
+ + −

≥ ≤
− − +
− +
> >
+ +
Tổng ôn tập LTĐH2011 -24- GV Nguyễn Văn
Nhương
[ ]
2 3 4 2 2 3 3
2 3
3/2 3
18 / ( ) 0; 19 /
( 2 3 ( 2))
t t
log log log x log log x log log x
t x t log log
= =
= ⇒ = = ⇒ =
2 3 3 2 3 3
2 3 3 3 2 3 3
20 /
( / ) 2
log log x log log x log log x
log log x log log x log x log log x
+ = ⇔
= = ⇒ =
2
3 3
2
3

log log
2 3 2 3 3 2
3 2
21/ 3 2
(2 3) 1
x x
t
log log log log log log x log log x
log log t x
≥ ⇔ − ≥ −
⇔ ≥ ⇒ < ≤
2log 3
2
3
3
2
3
log
 
 ÷
 
2
2 3 4 4 3 2 3 2 3 4
2
3 3
22 / ( 4) ( )
(2 )( 1)
log log log x log log log x x log log x log log x
log t log t t
= > ⇔ =

⇔ = >
3 3 3 3
1 4 2 48 1 48log log log t log x
∆ = + = ⇒ = + ⇒ =
1 48
3
3
4
log
+
;
2
23/ ( 9 1) 1
x
log x x
− − − ≥
2 2
4
0,5 1,5
2 0,25
2
24 / 2. 2 ; 25 / ( 3) 1
( 4) ( / 3) 0
x
log x log x
x log x log x
x log log x x
−
 
≥ + + ≥

 
 
⇔ − + ≥
 
4/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
2
3 5
1/ l g( 6) 4 l g( 2) l g( 3) 4 4;
2 / ( 1) (2 1) 2 2
x o x x o x x o x x
log x log x x
+ − − = + + ⇔ + − = ⇒ =
+ + + = ⇒ =
2
3 3 3
3 / ( 2) ( 1) 4( 1) ( 1) 16 0( ( 1) 4;
4 / ( 2) 80 / 81;2)
x log x x log x log x
x x
+ + + + + − = + = −
+ ⇒ = −
2 2 2
2 3
9 3
2
2
4 / (1 ) ( 1 3 2 2);
5 / .3 ( 9 12 3 )
t
t

log log x log
t t t
log x log x t t
x x x log x t
+ = = ⇒ + = ⇒ =
= − = ⇒ = −
5
6
3
3 2
( 3)
5 2
6 / 3 (1 ) 2 ( 2 1 8 4 9 2);
7 / 2 ( 3)
t t t t
log x
log x x log x x t
x log x log x
+
+ + = = ⇒ + + = ⇒ =
= ⇔ + =
( )
6 6 6
2 6
2 3 5 2;8 / 3 3 2
6 3 2 1 1/ 6
log x log x log x
t t
t t t
t x log x log x x

t x
= ⇒ + = ⇒ = + = ⇔ + = ⇔
+ = ⇒ = − ⇒ =
2
2 2 1 3 2 2
3
9 / 3 1;10 / 2 2 8 / (4 4 4)( , 1/ 2)
log x x x
x log x x VP VT x
+ −
= − + = − + ≤ =
Tổng ôn tập LTĐH2011 -25- GV Nguyễn Văn
Nhương