tóm tắt giải tích 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (498.79 KB, 6 trang )
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
1 www.chamhoctap.net
@.
1. : ax
2
+bx+c=0 với x
1,
x
2
là nghiệm thì
ax
2
+bx+c = a(x-x
1
)(x-x
2
); =b
2
-4ac (’=b’
2
-
ac với b’=b/2)
thì
a
b
x
a
b
x
2
''
2
2,12,1
nếu a+b+c=0 thì x
1
=1; x
2
=c/a; nếu a-b+c=0
thì x
1
=1; x
2
= -c/a;
S=x
1
+x
2
= - b/a; P=x
1
.x
2
= c/a (đl Vieet)
2. f(x)= ax
2
+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a
+
0)(
21
afxx
+
0
0
0)(
a
xf
+
0
0
0)(
a
xf
+
0
2
0)(
0
21
S
afxx
+
0
2
0)(
0
21
S
afxx
3. ax
3
+bx
2
+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x
1
=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x
1
= -1; dùng Hoocner
ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-1)(ax
2
+ x + ) = 0
với =a+b; =+c
4.
lôgarit:
);2cos1(
2
1
cos
);
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2
xx
xxxx
)2cos1(
2
1
sin
2
xx
; 1+tg
2
x=
x
2
cos
1
x
x
2
2
sin
1
cotg1
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b
b
c
q
I. :
1. :
1. (u v)’ = u’ v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
3.
2
'
v
u'vv'u
v
u
4. (ku)’ = ku’ (k:const)
2.
(x
n
)’ = nx
n-1
(u
n
)’ = nu
n-1
u’
2
'
x
1
x
1
2
'
u
'u
u
1
x2
1
x
'
u2
'u
u
'
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ =
xcos
1
2
(tgu)’ =
ucos
'u
2
(cotgx)’ =
xsin
1
2
(cotgu)’ =
usin
'u
2
(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ = u’e
u
(a
x
)’ = a
x
.lna (a
u
)’ = u’a
u
.lna
(lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
'u
(log
a
x)’ =
alnx
1
(log
a
u)’ =
alnu
'u
II.
1.
3
+bx
2
+cx+d:
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax
2
+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
*
- để hs tăng trên D
0
0
0'
'y
a
y
- để hs giảm trên D
0
0
0'
'y
a
y
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n
0
pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có
nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và
tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x
i
là cực trị
thì giá trị cực trị là: y
i
=mx
i
+n
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
2 www.chamhoctap.net
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành
csc y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn
thuộc ox.
2.
4
+bx
2
+c:
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
*
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0
có 3 n
0
pb (hoặc 1 n
0
)
- để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 n
0
pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0;
S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc
>0; P>0; S>0; x
2
= 9x
1
và sử dụng đlý
Vieet.
3. Hà
dcx
bax
y
Miền xác định D=R\
c
d
Tính
2
'
dcx
bcad
y
(>0, <0)
TCĐ
c
d
x
vì
0lim
y
c
d
x
TCN
c
a
y
vì
c
a
y
x
lim
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
4.
edx
x
edx
cbxax
y
2
chia bằng
Hoocner
Miền xác định D=R\
d
e
Tính y’=
2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
TCĐ
d
e
x
vì
0lim
y
d
e
x
TCX
xy
vì
0lim
edx
x
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2
nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu x
i
là cực trị thì giá trị cực trị là
d
bax
y
i
i
2
và đó cũng là đt qua 2 điểm
cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ax
2
+bx+c=0
có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1/ (pttt)
@ pttt tại M(x
0,
y
0
) y=f(x)
tính: y’=
y’(x
0
)=
pttt: y = f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
@ pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x
0
thay vào
y=f(x) tìm được y
0
từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x
0
)+y
0
pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ : pttt qua M(x
0,
y
0
) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x
0
)+y
0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
(2)
(1)
kxf
yxxkxf
)('
)()(
00
thay (2) vào (1)
giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k
thế vào pttt d ở trên.
2/ Cho y=f(x) và
y= g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x)
giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao
điểm.
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận
nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng
f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox.
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ
thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
3/ cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
3 www.chamhoctap.net
a/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong (,+)
a>0;
a
b
2
; g()0.
b/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong (,+)
a<0;
a
b
2
; g()0.
c/ g(x) = ax
2
+bx+c 0 trong (,)
ag()0; ag()0
{áp dụng cho dạng có m
2
}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x
0
} thì
tăng trên (,+) y’0; x
0
giảm trên (,+) y’0; x
0
* y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và
đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)
* y=f(x) có cực đại tại x
0
0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) có cực tiểu tại x
0
0''
0'
0
0
xy
xy
Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
Tính y
/
Để hàm số có cực trị thì y
/
= 0 có hai n
0
pb
0
0a
2: Hàm số
//
2
bxa
cbxax
y
P.Pháp: Tập xác định
/
/
\
a
b
RD
Tính
2
//
/
)(
bxa
xg
y
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y
/
= 0
có hai nghiệm pb thuộc D
0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b)
Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
KL:
;
max
CD
ab
yy
,
;
min
CT
ab
yy
b. Trên [a;b]
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
0
;x a b
Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
;
max
ab
yM
Chọn số nhỏ nhất m , KL:
;
min
ab
ym
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
; (
n
a
1
=a
m
;
a
0
=1; a
1
=
a
1
); (a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
;
n
m
n
m
aa
.
2. Công thức logarit:
log
a
b = ca
c
=b ( 0< a1; b>0)
Với 0< a1, 0<b1; x, x
1
, x
2
>0;
R
ta có: log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
;
log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
log
a
x
2
;
xa
x
a
log
; log
a
x
=
log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
; (log
a
a
x
=x);
log
a
x=
a
x
b
b
log
log
; (log
a
b=
a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
3. Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a
)
b
0 : pt vô nghiệm
b>0 :
log
x
a
a b x b
* Đưa về cùng cơ số:
A
f(x)
= B
g(x)
f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
xb
( a> 0 ,
0a
)
Điều kiện : x > 0
log
b
a
x b x a
log
a
f(x) = log
a
g(x) f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng a
x
> b ( a> 0 ,
0a
)
b
0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 :
log
x
a
a b x b
, khi a>1
log
x
a
a b x b
, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
xb
( a> 0 ,
0a
, x>0 )
log
b
a
x b x a
, khi a >1
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
4 www.chamhoctap.net
log
b
a
x b x a
, khi 0 < x < 1
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
F(x) đgl nguyên hàm của hàm
số y=f(x) trên khoảng (a;b)
F
xfx
/
,
bax ;
1.
cxdx.1
2.
1
1
.
1
c
x
dxx
3.
cxdx
x
ln.
1
4.
cSinxdxCosx.
5.
cCosxdxSinx.
6.
ctgxdx
xCos
.
1
2
7.
cCotg xdx
xSin
2
1
.
8.
cedxe
xx
.
9.
c
a
a
dxa
x
x
ln
.
1.
c
bax
a
dxbax
1
1
.
1
2.
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1
3.
cbaxSin
a
dxbaxCos .
1
.
4.
cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.
5.
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2
6.
cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2
7.
ce
a
dxe
baxbax
.
1
.
8.
c
a
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
.
1
.
Tích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của
một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối
hoặc chia đa thức.
b
a
xdxxfA
/
P.Pháp:
Đặt : t =
x
xdxdt .
/
Đổi cận:
atax
btbx
Do đó:
b
a
b
a
tFdttfA .
Các dạng đặc biệt cơ bản:
1.
a
xa
dx
I
0
22
P.Pháp:
Đặt:
tgtax .
22
t
dtttgadt
tCos
a
dx .1.
2
2
Đổi cận:
2.Tính
dxxaJ
a
.
0
22
P.Pháp:
Đặt
22
int. tSax
dtCostadx
Đổi cận
1: Có dạng:
A=
dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(
Trong đó P(x)là hàm đa thức
Phương pháp:
Đặt u = P(x)
du = P(x).dx
dv =
Cosx
Sinx
e
x
.dx
v =
Áp dụng công thức tích phân từng
phần
A =
b
a
b
a
duvvu
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
5 www.chamhoctap.net
: B =
b
a
dxbaxLnxP ).().(
Đặt u = Ln(ax+b)
dx
bax
a
du .
dv = P(x).dx
v =
B =
b
a
b
a
duvvu
dxxSinA
n
.
Hay
dxxCosB
n
.
1. Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
21
2
aCos
aSin
;
2
21
2
aCos
aCos
2. Nếu n lẻ:
dxSinxxSinA
n
1
Đặt
Cosxt
(Đổi
x
n 1
sin
thành Cosx )
dxxtgA
m
.
Hay
dxxCotgB
m
.
PP:Đặt
2
tg
làm thừa số
Thay
1
1
2
2
xCos
tg
IV.
1.
P.Pháp: DTHP cần tìm là:
dxxfS
b
a
.)(
(a < b)
Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn
ba;
thì:
b
a
dxxfS ).(
Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
ba;
. Giả sử x =
, x =
thì
dxxfdxxfdxxfS
b
a
.)(.)(.)(
a
dxxfS ).(
+
dxxf ).(
+
b
dxxf ).(
P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm
của phương trình: f(x) = 0
bx
ax
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)(
(c
1
): y = f(x) và(c
2
): y = g(x) và hai
x = a; x = b:
P.Pháp
DTHP cần tìm là:
dxxgxfS
b
a
.)()(
HĐGĐ của hai đường (c
1
) và (c
2
)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)
= 0
Lập luận giống phần số 1
V.
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x =
b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
ba;
. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra
vật thể có thể tích:
dxxfV
b
a
.)(.
2
2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y =
b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
ba;
. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật
thể có thể tích:
dyygV
b
a
.)(.
2
.
IV. S PH:
Số i : i
2
= -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR
Modun của số phức :
22
z a b
Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi
Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội
6 www.chamhoctap.net
'.'.;''; zzzzzzzzzz
;
zz
zz
0z
với mọi
z
,
00zz
.
zz
;
zz z z
;
z
z
zz
;
z z z z
z là số thực
zz
; z là số ảo
zz
a+ bi = c + di
ac
bd
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
22
a bi c di
a bi
c di
cd
Ta có:
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i
.
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
.
2
12ii
;
2
12ii
.
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là :
ia
:
ax
2
+ bx + c = 0 ( a khác 0 ;
,,a b c R
)
Đặt
2
4b ac
o Nếu
= 0 thì phương trình
có một nghiệm kép(thực) : x
=
2
b
a
o Nếu
> 0 thì phương trình
có hai nghiệm thực :
1,2
2
b
x
a
o Nếu
< 0 thì phương trình
có hai nghiệm phức :
1,2
2
bi
x
a
Nếu phương trình bậc hai
2
0az bz c
(
, , , 0a b c a
) có
hai nghiệm
12
,zz
thì :
12
b
zz
a
và
12
c
zz
a
.
Nếu hai số
12
,zz
có tổng
12
z z S
và
12
z z P
thì
12
,zz
là
nghiệm của phương trình :
2
0z Sz P
.
