bài toán hai vật trường xuyên tâm

BÀI TOÁN HAI VẬT- 1
TRƯỜNG XUYÊN TÂM
Giới thiệu:
Trong phần này ta xét chuyển
động của hai vật dưới lực tương
tác của chính hai vật đó. Bài
toán này có tầm quan trọng lớn
lao về mặt lý thuyết. Trong phần
này chúng ta sẽ nghiên cứu các
quy luật chuyển động của hai
vật, tìm phương trình chuyển
động của hai vật, Nghiên cứu
tác dụng của trường xuyên tâm
mà cụ thể là lực hấp dẫn.
Mục tiêu:
 Giải bài toán hai vật bằng
cách sử dụng hệ quy chiếu
khối tâm và chuyển động
tương đối của hai vật.
 Sử dụng các định luật bảo
toàn trong việc giải các bài
toán hai vật và bài toán
trường xuyên tâm.
 Xác định quỹ đạo chuyển động
của hạt trong trường xuyên
tâm cụ thể là trường hấp dẫn.

2


z

2
F

M
2

o
y
x
M
1

1
F

1
r

2
r

I. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT.
Xét hai vật M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2

chuyển động dưới tác dụng của cặp lực
trực đối
1
F
,
2
F
. Phương trình định luật II Newton viết cho hai vật là:
1 1 1
2 2 2
''
''
m r F
m r F


(1)
Cộng hai phương trình trên vế theo vế và lưu ý
21
0FF
. Ta có:
1 1 2 2 1 2
'' '' 0m r m r F F   
(2)
Gọi G là khối tâm của hai vật M
1
và M
2
, đặt
G

r
là
vecto hướng từ O đến G. Ta có:
1 2 1 2
()
G
m m r mr m r  
(3)
Lấy đạo hàm (3) theo t đến cấp hai và kết hợp với phương trình (2) ta suy ra:
'' 0
G
r 
(4)
Như vậy chuyển động của khối tâm hai vật là một chuyển động thẳng đều. Vị trí của tâm G tại
thời điểm t được xác định theo công thức:
( ) (0)
G G G
r t r v t
(5)
Từ hệ phương trình (1) ta có:
2 1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 1 1
'' ''r r F F F
m m m m

    



Mà:
2 1 2 1
'' '' ''r r r r r r    
nên:
2
21
11
''rF
mm





Đặt
12
1 1 1
mm


ta thu được
2
''rF


(6)
Giải phương trình (6) ta được
()rt
mô tả chuyển động tương đối của M
2

đối với M
1
, kết hợp với
phương trình (5) ta thu được phương trình mô tả chuyển động của từng vật.
Hình 1. Tương tác giữa hai vật
3


Ta có:
1 1 2 2
0m GM m GM
suy ra:
21
12
1 2 1 2
,
mm
GM r GM r
m m m m
  


Do đó vị trí của hai hạt tại thời điểm t là:
2
11
12
1
22
12
()

()
G
G
m
r OG GM r t r
mm
m
r OG GM r t r
mm
   

   

(7)
II. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT
1. Bảo toàn động lượng
Hệ hai hạt được giả thiết là cô lập trong hệ quy chiếu nghiên cứu, tức không có ngoại lực tác
dụng, do đó động lượng được bảo toàn. Biểu thức (3) và (4) chứng tỏ điều đó.
2. Bảo toàn momen động lượng
Ta thấy rằng momen lực của
12
,FF
đối với khối tâm G bằng
0
. Do đó momen động lượng của
hai hạt đối với tâm G bảo toàn.
1 1 1 2 2 2
,,
G G G
L m GM v m GM v

   

   

12
,
GG
vv
là vận tốc tương đối của M
1
và M
2
đối với khối tâm. Tính
12
,GM GM
theo
r
ta có:
1 2 1 2
12
1 2 1 2
G G G
m m m m
L r v v
m m m m

   




 
21
=
GG
r v v r v

   
(8)
Momen động lượng là một vecto bất biến luôn vuông góc với
hai vecto vị trí khối tâm và vận tốc tương đối của hai hạt. Do
đó chuyển động của hai hạt luôn nằm trong mặt phẳng chứa
tâm G và vuông góc với vecto không đổi
G
L
.
Chuyển động tương đối của M
2
so với M
1
cho phép ta đơn
giản hóa như là chuyển động của một vật M với khối lượng μ
so với tâm G. Với :
GM r
,
21MG G G
v v v v  
.
z
z

L

y
x
2
F

M
θ
r
Hình 2. Hệ trục tọa độ mô tả sự
chuyển động của hạt ảo M
4


Chọn hệ quy chiếu tâm tỉ cự (G;
x
e
,
y
e
,
z
e
) như hình vẽ:
Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ cực là:
'' '
r
v r e r e





Do đó biểu thức của momen động lượng sẽ là:
 
2
'' ' '
z r z
L re r e r e r e

   
   
(9)
Sự bảo toàn vecto momen động lượng kéo theo định luật về diện tích hay còn gọi là định luật II
Kepler. Gọi dS là diện tích mà
r
quét trong thời gian dt. Ta có:
2
1
'
2 2 2
z
L
dS C
r
dt


  
(10)

C gọi là hằng số diện tích được xác định từ điều kiện ban đầu.
Lưu ý: chúng ta có thể thiết lập các công thức trên bằng cách xét trực tiếp chuyển động tương đối
của M
2
đối với M
1
(bạn đọc tự thiết lập).
3. Bảo toàn cơ năng
a. Động năng của cơ hệ đối với tâm G.
Ta đã thay thế chuyển động tương đối của hai hạt M
1
và M
2
bằng chuyển động của hạt M quanh
tâm G như vậy động năng của hệ đối với tâm G là:
2
1
2
K
Ev


(11)
Thật vậy, động năng của hai hạt đối với tâm G là:
22
1 1 2 2
11
22
K G G
E mv m v

, mà:
21
12
1 2 1 2
v ,
GG
mm
v v v
m m m m
  

. Từ đó suy ra:
   
22
2
11
''
22
K
E v r r
  

  

(12)
b. Thế năng tương tác giữa hai vật:
Các lực tương tác giữa hai vật sẽ phát sinh một thế năng
()
T
Er

sao cho:
1 21 2 12
( ) ( )
và
TT
dE r dE r
F e F e
dr dr
   

5


Như vậy năng lượng trong chuyển động là:
   
22
1
' ' ( )
2
T
E r r E r


  


Mà:
2
'Cr



nên biểu thức năng lượng viết lại là:
 
2
2
2
11
' ( )
22
T
C
E r E r
r


  
(13)
Năng lượng này được bảo toàn trong chuyển động.
c. Thế năng hiệu dụng
Thế năng hiệu dụng là hàm số của r được xác định bởi:
2
2
1
()
2
hd T
C
E E r
r



(14)
Còn cơ năng được viết gọn lại là:
 
2
1
'
2
hd
E r E


(15)
III. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC XUYÊN TÂM
Trong phần trên ta đã tìm được một số phương trình quan trọng trong chuyển động của hạt ảo M
dưới tác dụng của lực xuyên tâm. Tiếp theo ta sẽ tìm phương trình tổng quát của hạt chuyển
động dưới tác dụng của lực xuyên tâm.
1. Giới hạn chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực xuyên tâm.
Từ phương trình (15) ta suy ra:
2
2
hd
dr
EE
dt






(16)
Từ các điều kiện ban đầu đã cho ngăng lượng E được xác định. Khi đó chuyển động của hạt
được xác định bởi vecto vị trí
r
sao cho:
hd
EE
(17)
6


Các giá trị r cho
hd
EE
xác định các giới hạn chuyển động xuyên tâm của hạt. Rõ ràng khi
hd
EE
thì theo (16) ta có
dr
dt
=0, hàm số r(t) từ đồng biến sẽ thành nghịch biến hoặc ngược lại,
khi đó hạt sẽ quay ngược trở lại. Tuy nhiên ta không thể kết luận hạt sẽ đứng yên tại giới hạn đó
bởi vì thành phần vận tốc tiếp tuyến không bằng không tại giới hạn đó:
'0
C
vr
r


  

.

2. Phương trình tổng quát của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm
Biểu thức (16) cho ta:
 
2
hd
dr
EE
dt

  
(18)
Dấu “+” hay “-“ tùy thuộc vào hạt chuyển động lại gần hay ra xa tâm lực. Từ (18) ta có thể tìm
được thời gian hạt chuyển động giữa hai điểm bất kỳ và tìm được phương trình quỹ đạo của hạt.
Thật vậy, tách biến phương trình (18) lấy tích phân hay vế ta được:
 
0
0
2
r
r
hd
dr
tt
EE

  



(19)
E
hd

E
1

E
2

r
min
(1)
r
min
(2)
r
O
Hình 3. Các trạng thái khuếch tán
Các hạt từ vô cùng chuyển động đến
r
min
(1) hay r
min
(2) tùy vào năng lượng của
chúng rồi quay trở lại vô cùng.
E
hd

r

E
1

E
2

O
r
min
r
min
r
max
r
max
Hình 4. Các trạng thái liên kết
Các hạt chuyển động giữa các điểm giới
hạn r
min và
r
max
.
7


Để tìm được phương trình quỹ đạo ta khử biến t nhờ hằng số diện tích:
 
2
2
hd

dr dr d C dr
EE
dt d dt r d

  
    

Suy ra:
0
2
0
2
2
2
2
z
r
r
z
L
dr
r
L
k
E
rr



  






(20)
Dấu “+” hay “-“ trong (20) phụ thuộc vào chiều quay ban đầu của hạt. Bởi vì chiều quay của hạt
2
dC
dt r


có dấu không đổi nên tích phân trên chỉ lấy theo một dấu duy nhất là “+” hoặc “-“.

8


IV. BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng chuyển động tương đối của hai hạt không phụ thuộc vào tác dụng của
trường trọng lực.
Bài 2: Hai hạt M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
, có điện tích q
1

và q
2
trái dấu nhau,
được thả ra dồng thời không vận tốc đầu, ở khoảng cách r
0
giữa hai hạt. Xét trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm được coi là hệ quy chiếu quán tính.
a) Tìm thời điểm t
0
hai hạt gặp nhau? Từ đó chứng tỏ rằng bình phương của thời gian đi hết
quãng đường tỷ lệ với lập phương quãng đường đi.
b) Tìm khoảng cách r
1
mà ta phải thả các hạt không vận tốc đầu để thời gian gặp nhau của
hai hạt là t
1
=8t
0
?
Bài 3: Dao động của một hệ
Hai vật M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
được nối với nhau bằng một lò xo có độ
cứng k và chiều dài tự nhiên l. Các vật trượt không ma sát trên một trục nằm ngang. Tại thời

điểm t=0 vật m
1
được truyền cho một vận tốc v
0
. Hãy xác định:
a) Chuyển động của khối tâm của hệ.
b) Quy luật biến thiên chiều dài l(t) của lò xo.
Bài 4: Xét hệ cô lập gồm hai hạt khối lượng m
1
và m
2
tương tác với nhau theo quy luật của lực
hút r
-2
, hai vật dịch chuyển sao cho khoảng cách giữa hai hạt không đổi và bằng r
0
. Gọi v
0
là vận
tốc ban đầu của khối tâm. Chọn hệ quy chiếu phòng thí nghiệm sao cho
0Gx
v v e
.
a) Chứng minh rằng vận tốc tương đối của hai hạt luôn vuông góc với vecto vị trí của hai
hạt.
b) Xét trong hệ quy chiếu khối tâm, tìm phương trình chuyển động của hạt 2 so với hạt 1
bằng cách dùng hạt ảo M.
c) Từ đó suy ra chuyển động của từng hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.
Bài 5: Trong hệ quy chiếu quán tính phòng thí nghiệm, xét hai hạt M
1

và M
2
có khối lượng m
1

và m
2
mang điênh tích cùng dấu q
1
và q
2
. Ở thời điểm ban đầu, hai hạt được buông ra ở khoảng
cách r giữa chúng. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Tính các vận tốc giới hạn của chúng
12
và vv

bằng hai cách:
a) Sử dụng bảo toàn năng lượng trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.
b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt ảo M trong hệ quy chiếu khối tâm. Nhận xét kết
quả của hai cách giải.
Bài 6: Một sợi dây không khối lượng dài l không dãn được luồn qua một lỗ nhỏ trên mặt bàn
nằm ngang, một phần được thả xuống và một phần nằm trên mặt bàn. Hai đầu của dây được nối
9


với hai vật khối lượng m
1
và m
2
. Vật m

1
nối với đầu thả tự do. Lúc t=0 người ta thả tự do m
1

không vận tốc đầu, đồng thời truyền cho m
2
một vận tốc v
0
vuông góc với r
0
(r
0
là vị trí ban đầu
của m
2
).
a) Với giá trị v
c
nào của v
0
thì m
1
đứng yên? Khi đó m
2
chuyển động như thế nào?
b) Tính thế năng hiệu dụng của hệ?
c) Biện luận chuyển động của m
2
theo giá trị của vận tốc ban đầu v
0

.
Bài 7: Hai hạt M
1
và M
2
có khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
mang điện tích cùng dấu q
1
và q
2
.
Điện tích q
1
chuyển động từ rất xa đến gần điện tích q
2
đứng yên. Tìm khoảng cách gần nhất
giữa hai điện tích trong quá trình chuyển động.
TRƯỜNG HẤP DẪN 2
Giới thiệu Mục tiêu
Kepler (1571-1630), trong
khoảng năm 1604 đến 1618 đã
phát biểu ba định luật thực
nghiệm về chuyển động của các
hành tinh. Ba định luật này được
rút ra từ kết quả quan sát của
nhà thiên văn người Đan Mạch
Tycho-Brahe (1546-1601) khi

ông thực hiện quan sát Sao Hỏa.
Chính từ các định luật thực
nghiệm này mà Newton đã xây
dựng nên môn cơ học của chính
mình và lý thuyết của ông về sự
hấp dẫn vào năm 1687. Lực hấp
dẫn truyền tác dụng đi tức thời
mà không cần một điểm tựa đã
gây nhiều tranh cãi. Tuy nhiên
chính sự phù hợp lý thuyết của
ông với các định luật thực
nghiệm càng làm cho các nhà
khoa học đương thời phải chấp
nhận.

 Định nghĩa bài toán
Kepler.

 Sử dụng các định luật bảo
toàn trong việc thiết lập
phương trình quỹ đạo của
hạt dưới tác dụng của
trường hấp dẫn.

 Khảo sát các loại chuyển
động Kepler.

11

I. LỰC HẤP DẪN-THẾ NĂNG HẤP DẪN
Xét hai chất điểm M
1
và M
2
khối lượng lần lượt là m
1

và m
2
. Lực hấp dẫn do m
1
tác dụng lên m
2
cách m
1
một
khoảng r là:
12
22
hd r r
mm
k
F G e e
rr
   
(21)
Thế năng tương tác giữa chúng là:
()
k

Er
r

(22)
Lực hấp dẫn đóng vai trò không đáng kể ở thế giới quy mô,
nhưng lại đóng vai trò chủ yếu ở thế giới vĩ mô khi mà vật chất
trung hòa về điện. Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên
cứu về trường hấp dẫn của những hệ vĩ mô như các hành tinh,
mặt trời, trái đất, các sao chổi
II. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN
1. Bài toán Kepler
Một chuyển động gọi là chuyển động Kepler khi nó được thực
hiện dưới tác dụng lực xuyên tâm biến thiên theo
2
r

với tâm
lực cố định.
Ý nghĩa của bài toán Kepler: bài toán Kepler có một ý
nghĩa rất lớn về mặt lý thuyết, bởi lẻ nó liên quan đến một
loạt các bài toán vật lý từ vi mô đến vĩ mô, nếu không nói
là toàn cầu: tương tác hạt tới-hạt bia, tương tác hành tinh-
vệ tinh, chuyển động của các sao đôi
2. Chuyển động trong trường hấp dẫn
Vấn đề: Một hạt khối lượng μ chuyển động dưới tác dụng
của lực hấp dẫn có tâm lực cố định. Vị trí ban đầu của hạt
được xác định trong tọa độ cực là (r
0
,θ
0

), vận tốc ban đầu
là v
0

(hình vẽ). Tìm phương trình quỹ đạo của hạt.
Ta sẽ giải quyết vấn đề này theo hai cách:
 Cách 1: Dùng các định luật bảo toàn và công thức (20).
 Cách 2: Dùng bất biến của vecto Runge-Lenz.
a) Cách 1:










M
2
M
1
F
r
O
E(r)
r
O
Hình 5. Đồ thị lực và thế năng

tương tác theo r
z
z
L

y
x
θ
0















α

Hình 6.
12

Ta bắt đầu bằng định luật bảo toàn momen động lượng
( ) (0)
zz
L t L
. Phương trình (9) cho ta:
2
0 0 0
' sin
z o z
r e r v r v e
    
  

Từ đây ta suy ra định luật II Kepler:
2
00
11
' sin
2 2 2 2
z
L
dS C
r r v
dt


   
(23)
Như vậy hạt chuyển động với một vận tốc diện tích không đổi
00

1
sin
22
dS C
rv
dt


.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng từ phương trình (13) ta có:
22
0
0
22
kk
E v v
rr

   
(24)
Trong tọa độ cực biểu thức của vận tốc là:
2 2 2
' ( ')v r r


. Do đó biểu thức năng lượng sẽ là:
2
2
2
'

22
z
L
k
Er
rr


  
(25)
Như vậy thế năng hiệu dụng sẽ là:
2
2
2
z
hd
L
k
E
rr


. Ta thấy
E
hd
sẽ triệt tiêu tại giá trị
2
1
2
z

L
r
k


. Từ đó ta có biểu thức
1
2
1
hd
r
Ek
rr




. Giá trị cực tiểu của E
hd
là
1
4
k
r

tại r=2r
1
.
Trước khi tiếp tục ta hãy dự đoán giới hạn chuyển động của
hạt.

 Xét trường hợp:
0E 

Hạt chuyển động đến gần tâm lực giá trị r
min
rồi chuyển động ra xa vô cùng. Hạt ở trạng thái
khuếch tán.
 Xét trường hợp:
1
0
4
k
E
r
  

Hình 7. Thế năng hiệu dụng theo r
13


Hạt chuyển động giới hạn trong khoảng r
min
gọi là khoảng cách cận tâm và r
max
gọi là khoảng
cách viễn tâm.



Ta tiếp tục với vấn đề trên, áp dụng công thức (20) ta có:

0
2
0
2
2
()
2
2
z
r
r
z
L
dr
r
L
k
E
rr



  





(26)
Đặt:

22
22
12
, ,
zz
Ek
u A B B
r L L

   

Khi đó phương trình (26) có thể viết gọn lại là:
 
0
22
()
()
d u B
A u B


   


(27)
Tính tích phân trên ta được:
 
0
cos
uB

acr
A



  


(28)
Hình 8. Trạng thái khuếch tán
Hình 9. Trạng thái liên kết
E
hd
r

r

E
hd
r
min
r
1
2r
1





E

2r
1
r
1
r
min
r
max





E

14


Đổi về biến r và lưu ý rằng hàm cos là hàm chẵn nên:
 
0
1 cos
p
r
e




(29)
Trong đó:
2
1
z
L
p
Bk


,
2
2
2
1
z
EL
A
e
Bk

  
(30)
b) Cách 2: Dùng bất biến vecto Runge-Lenz.
Phương trình định luật II Newton viết cho hạt là:
2
r
dv k
e
dt r




Nhân tích hữu hướng hai vế cho
2
'
zz
L r e


ta được:
2
22
r
z r z r z
de
dv k k d d
L e L r e e k e k
dt r r dt dt dt


   
        

Chia hai vế cho kμ, chuyển vế và lưu ý rằng
z
L
là vecto không đổi ta có:
1
0

zr
d
v L e
dt k

  


(31)
Như vậy vecto
1
zr
A v L e
k

  


là một vecto không đổi theo thời gian được xác định từ các
điều kiện ban đầu. Gọi là vecto Runge-Lenz.
Để tiện dùng 

sau này ta hãy phân tích những thành phần của nó:
( ' ' ) ' 1 '
z z z
r z r r
L L L
A r e r e e e r e r e
k k k




      


(32)
Trong hệ tọa độ nghiên cứu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho 

thẳng hàng và cùng chiều với trục
Ox. Như vậy góc giữa 

và  là θ.
Nhân vô hướng
.Ar
. Ta thu được:
2
. . cos ' .
z z z
L L L
Ar Ar r r r
kk


    

15


Từ đó ta được:
2

1 cos 1 cos
z
L
p
k
r
AA




(33)
So sánh với công thức (29) ta thấy các kết quả hoàn toàn trùng khớp nhau, thật vậy:
 
22
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
' 1 ' ' ' 2 ' 1
2
1 2 2
2
2
1
z z z z

z z z z z
z
L L L L
A r r r r r
k k k k
L L L L EL
k
A v v
k k r k r k
EL
Ae
k
  

  

   
      
   
   

      


   

Như vậy chúng ta đã tìm được phương trình chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn. Quỹ đạo
của hạt là một đường cônic có thông số
2
1

z
L
p
Bk


và tâm sai
2
2
2
1
z
EL
e
k


.
III. CÁC QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG
1. Chuyển động hypecbol
Khi e>1 tức năng lượng E>0 thì quỹ đạo của hạt là một
nhánh hypecbol bao lấy tâm lực G (hình 10). Phương
trình của nó là:
1 cos
p
r
e




Góc nghiêng của hai tiệm cận được xác định:
1
os
a
c
ec



Khoảng cách tiếp cận ngắn nhất:
min
( 1)
1
p
r c a a e
e
    


2. Chuyển động elip
Khi e<1 tức năng lượng E<0 thì quỹ đạo của hạt là một
elip (hình 11).
P
G
α
b



b
a
a
O
H
K
c
Hình 10. Chuyển động hypecbol
y
x
O
G
a
b
c
p
P
Q
Hình 11. chuyển động elip
16


Phương trình quỹ đạo là:
1 cos
p
r
e




(e<1) đây chính là nội dung định luật I Kepler.
 Điểm cận tâm P:
min
(1 )
1
p
r a c a e
e
    


 Điểm viễn tâm Q:
ax
(1 )
1
m
p
r a c a e
e
    


Ta có:
2
C
dS dt
lấy tích phân trong toàn chu kỳ ta được:
2
C
ab T



, suy ra
2
bT
Ca


.
Mà thông số
2
22
z
L
bC
p
a k k


  
nên:
2
2
ba
Ck


. Khử
b
C

từ hai biểu thức trên ta suy ra định
luật III Kepler.
22
3
4
onst
T
c
ak


(34)
 Khi e=0 tức năng lượng
22
2
11
24
z
k k k
E
L rk r

     
. Khi đó hạt sẽ chuyển động tròn với bán
kính 2r
1
.
 Khi e=1 thì quỹ đạo là một nhánh parabol.

17

IV. BÀI TẬP
Bài 1: Sự tương tự giữa trường hấp dẫn và điện trường
a) Điện tích q
1
được giữ cố định trong không gian. Điện tích q
2
, khối lượng m
2
chuyển động
từ xa vô cùng với vận tốc ban đầu v
0
. Thông số va chạm ( khoảng cách từ q
1
đến giá của
v
0
) là b. Tính khoảng cách gần nhất mà q
2
đến gần được q
1
.
b) Ban đầu q
2
cách q
1
khoảng r
0
và chuyển động với vận tốc v

0
trực giao với r
0
. Hãy tìm các
giới hạn chuyển động của q
2
theo v
0
và r
0
.
Bài 2: Vệ tinh chuyển động tròn
a) Một vệ tinh khối lượng m quay tròn xung quanh Trái đất. Tính vận tốc v
c
và chu kỳ T của
nó theo gia tốc trọng trường tại mặt đất g
0
=9.81m/s
2
và bán kính Trái đất là 6370km.
b) Trong trường hợp ở câu trên hãy suy ra định luật III Kepler:
2
3
onst
T
c
r


Với r là bán kính quỹ đạo. Tính hằng số đó.

Tính v
c
và T của một vệ tinh ở độ cao h=500km.
Bài 3: Sự lệch đường của một sao băng
Một sao băng cso khối lượng m, nhỏ không đáng kể so với khối lượng M
T
của Trái đất. Thông số
chạm của nó bằng OH=b. Hãy tính:
a) Bất biến vecto Runge-Lenz của chuyển động.
b) Khoảng cách tiếp cận nhỏ nhất r
min
cũng như giá trị
nhỏ nhất của b để sao băng đi vòng quanh Trái đất mà
không va vào nó.
c) Độ lệch của sao băng trong trường hấp dẫn của Trái
đất trong trường hợp b>b
min
.
Bài 4: Vệ tinh nhân tạo
Vệ tinh nhân tạo đầu tiên có viễn điểm cao h
A
=327km và cận
điểm h
P
=180km.
a) Hãy xác định các đặc trưng hình học a, b, c, p, và e của quỹ đạo của nó, biết bán kính
Trái đất 6370km.
b) Gia tốc trọng trường trên mặt đất bằng g
0
=9.81m/s

2
, từ đó hãy suy ra chu kỳ quay của nó.
Bài 5: Một sai lầm về vệ tinh hóa























O
H
18

Người ta muốn đặt một vệ tinh Trái đất lên một quỹ đạo tròn bán kính r
0
. Khi phóng vệ tinh lên
quỹ đạo tại M
0
, cách tâm Trái đất r
0
, vệ tinh được buông ra với vận tốc 







khác với 






mong
muốn.
a) Trường hợp thứ nhất là vận tốc 








có hướng đúng nhưng có chuẩn độ lớn không như
mong muốn. Tính tâm sai của quỹ đạo thu được theo





và biện luận kết quả.
b) Trường hợp thứ hai là vận tốc có độ lớn như mong muốn nhưng hướng không như mong
muốn. Đặt   
















. Hãy xác định góc nghiêng

 
0
,
x
OM e


của trục tiêu của quỹ
đạo và tâm sai của nó.
Bài 6: Sử dụng bất biến Runge-Lenz cho một chuyển động hyoecbolic đẩy
Một hạt khối lượng μ chỉ chịu tác dụng của lực đẩy
2
r
k
Fe
r

, với k>0, từ phía một điểm cố định
O.
Hãy khảo sát chuyển động của hạt này bằng cách sử dụng bất biến của vecto Runge-Lenz:
1
zr
A v L e
k
  

Trong đó
v
là vận tốc của hạt,
z

L
là mômen động lượng đối với O.