Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độc bền của hạt nhân Deuteron
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (690.02 KB, 63 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠ
M
ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT
NGHIÊN CỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA
HẠT NHÂN DEUTERON
Luận văn Tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
GV hướng dẫn: Sinh viên:
Nguy
ễn Xuân Tư Trần Lê Duy
L
ớp: SP Lý K31
MSSV: 1050115
Cần Thơ, 2009
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
1
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Bài luận văn được chia 3 phần:
I. PHẦN MỞ ĐẦU
Khi nghiên cứu các hạt nhân nguyên tử, người ta thấy rằng trong tự nhiên tồn tại
hai lo
ại hạt nhân là: hạt nhân bền và hạt nhân không bền. Vậy hạt nhân bền và không
b
ền ở mức độ nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này ra sao? Hạt nhân
Deuteron là m
ột hạt nhân không bền có cấu tạo đơn giản nhất trong số các hạt nhân
được biết. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron, ta sẽ vận dụng bài toán
hai h
ạt trong cơ học lượng tử và nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm. Đây là
một hướng để ta có thể tìm hiểu rõ hơn về bản chất lực hạt nhân cũng như khả năng áp
dụng phương trình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Do đó, em đã chọn đề tài:
"Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm
lu
ận văn tốt nghiệp cho mình.
II. PHẦN NỘI DUNG
Gồm 44 trang được chia làm 3 chương:
Chương 1. Các toán tử biểu diễn biến số động lực
Nội dung của chương này được trình bày trong 27 trang từ trang 6 đến trang 33.
Đưa ra dạng các toán tử biểu diễn biến số động lực như toán tử tọa độ, xung lượng,
momen động lượng, năng lượng....
Toán t
ử năng lượng:
zyxU
m
H ,,
2
2
2
Toán tử xung lượng:
z
iP
y
iP
x
iP
z
y
x
Toán tử momen động lượng:
x
y
y
xiPyPxL
z
x
x
ziPxPzL
y
z
z
yiPzPyL
xyz
zxy
yzx
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
2
Dạng của các toán tử
z
LLH ,,
2
trong tọa độ cầu:
2
2
222
2
2
2
222
sin
11
sin
sin
111
2
,
rrr
r
rrm
H
L
iL
z
Giải phương trình trị riêng của các toán tử trong tọa độ cầu để tìm được
hàm riêng chung c
ủa chúng. Áp dụng phương trình Legendre và đa thức Legendre để
tìm hàm cầu. Hàm cầu tìm được có dạng tổng quát như sau:
im
l
lm
lm
m
l
mm
m
l
e
d
d
lml
mll
Y
1cos
cos
cos1
!2
1
!4
!12
1,
2
2
2
2
Với
.,...,2,1,0...;3,2,1,0 lml
Một số hàm cầu cụ thể:
i
eY
Y
Y
.sin
8
3
cos
4
3
4
1
1
1
0
1
0
0
Chương 2. Bài toán hai hạt với hạt nhân Deuteron
Chương này được trình bày trong 14 trang từ trang 33 đến từ 47. Nội dung chính
là trình bày m
ột vài đặc trưng của hạt nhân Deuteron và đưa chuyển dộng của hạt
nhân Deuteron v
ề bài toán hai hạt.
Cho r
ằng hạt nhân Deuteron là hệ kín và viết được phương trình mô tả chuyển
động của hạt nhân Deuteron là:
0
2
22
2
UE
dr
d
Với
2
m
mm
mm
mm
mm
np
np
0
22
2
UE
m
dr
d
Trong đó
rR
là hàm sóng xác định trạng thái chuyển động của hệ hạt nhân
Deuteron.
z
LLH ,,
2
)1,1(
)0,1(
)0,0(
ml
ml
ml
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
3
Chương 3. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron
Chương này được trình bày trong 5 trang từ trang 47 đế trang 52. Trong phần này
ta đưa ra giả thuyết hố thế năng đối xứng cầu để mô tả tính không bền của hạt nhân
Deuteron và coi r
ằng chuyển động của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt chuyển
động trong hố thế có độ sâu U
0
, bề rộng bằng a.
Hố thế năng đối xứng cầu
Ta tính được độ sâu của giếng thế U
0
=33,8 (MeV).
Hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản có năng lượng đúng bằng năng lượng liên
k
ết .
Do đó
0
UE
hay
0
UE
thì hạt nhân Deuteron nằm ở miệng giếng
l
ực liên kết yếu rất dễ bị phá vỡ và chỉ cần cung cấp cho hạt một năng lượng E=2,2
(MeV) thì hạt sẽ nhảy ra ngoài giếng. Điều này có nghĩa là hạt nhân Deuteron có cấu
t
ạo không bền vững. Cuối cùng ta sẽ nghiệm lại tính không bền của hạt nhân Deuteron
b
ằng hiệu ứng đường ngầm.
III. PHẦN KẾT LUẬN
Bằng việc áp dụng bài toán hai hạt trong hệ kín cụ thể là sử dụng phương trình
Schrodinger, cùng v
ới lý thuyết chuyển động của hạt trong giếng thế, ta đã giải thích
thành công nh
ận định của thực nghiệm: "Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền
v
ững".
Sau đây, em xin giới thiệu luận văn: "ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT
NGHIÊN C
ỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON" cùng quý thầy
cô và các b
ạn.
O
-U
0
-E
U(r)
r
a
)(2,2 MeVWE
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
4
PHẦN I
MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta nhận thấy có những hiện tượng vật lý không
th
ể giải thích được bằng các lý thuyết của vật lý học cổ điển như tính bền của nguyên
t
ử, bức xạ của vật đen...từ đó đã dẫn đến khái niệm mới -bước đầu phát triển môn Cơ
học lượng tử. Đối tượng nghiên cứu của cơ học lượng tử là sự vận động của các hạt vi
mô: h
ạt nhân, nguyên tử và các hạt sơ cấp. Cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở
đầu tiên giúp cho con ngườ
i tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô.
Trong l
ĩnh vực nguyên tử và hạt nhân, dựa trên cơ học lượng tử người ta đã giải
thích khá thành công v
ề cấu trúc nguyên tử nhưng lại chưa biết đầy đủ về các lực và
c
ấu trúc bên trong hạt nhân. Lý thuyết hạt nhân hiện nay vẫn ứng dụng phương trình
Schrodinger để giải thích cấu trúc cũng như những biến đổi bên trong hạt nhân. Con
người đã gặp không ít khó khăn khi đối đầu với bài toán nhiều hạt gồm các hạt proton
và neutron. Do đó, các nhà vật lý lý thuyết đã chọn Deuteron là hạt nhân nhiều hạt
đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết làm đối tượng để tìm hiểu về vật lý hạt
nhân. Đây là bài toán hai hạt mà ta có thể giải đến cùng. Sự phân tích kĩ lưỡng hệ
thống này cho phép ta tìm hiểu về lực hạt nhân, điều mà ta không dễ dàng tìm thấy từ
việc nghiên cứu các hạt phức tạp.
M
ặt khác, khi nghiên cứu hạt nhân nguyên tử ta thấy trong tự nhiên tồn tại hai loại
h
ạt nhân là bền và không bền, có những hạt nhân rất dễ bị phá vỡ và có những hạt có
th
ể tự phá vỡ mình để trở thành hạt nhân khác. Vậy hạt nhân Deuteron có bền hay
không và m
ức độ bền vững của nó như thế nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề
này ra sao? Đây là một hướng để
ta tìm hiểu rõ hơn về bản chất của lực hạt nhân cũng
như khả năng áp dụng phương tr
ình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Với suy
ngh
ĩ đó, em đã chọn đề tài:" Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền
c
ủa hạt nhân Deuteron" làm luận văn tốt nghiệp cho mình.
1.2. Các mục tiêu của đề tài
Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững rất dễ bị phá vỡ so với các hạt
nhân khác. Để giải thích tính không bền vững của hạt nhân Deuteron ta cần giải quyết
t
ốt các vấn đề sau:
∙ Tìm dạng của các toán tử
H
,
2
L
,
Z
L
và hàm riêng của chúng trong tọa
độ cầu.
∙ Ứng dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron.
∙ Sử dụng dạng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt
nhân Deuteron.
∙ Nghiệm lại sự không bền vững của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng
đường ngầm.
H
ạt nhân Deuteron là một hệ gồm hai hạt proton và neutron liên kết với nhau
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
5
thông qua lực hạt nhân. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron ta phải áp
d
ụng bài toán của hệ kín gồm hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải phương trình
Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản trong hệ tọa độ cầu. Hơn
nữa, ta đã biết trong cơ học lượng tử sử dụng các biến số động lực trong cơ học cổ
điển để
mô tả trạng thái chuyển động của hệ nhưng khác ở chỗ chúng được mô tả
bằng các toán tử. Do đó, ta phải tìm được dạng của các toán tử biểu diễn các biến số
độ
ng lực từ đó tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu. Nếu ở
trạng thái cơ bản ta chứng minh được hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc
vào bán kính
r trong hệ tọa độ cầu thì bài toán sẽ đơn giản rất nhiều. Điều này chỉ có
được khi ta chứng minh rằng hàm cầu (hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ
thuộc vào các góc trong hệ tọa độ cầu) của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản là
m
ột hằng số. Sau khi thiết lập được phương trình Schrodinger cho hạt nhân Deuteron
ở trạng thái cơ bản ta sẽ sử dụng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của
h
ạt nhân Deuteron. Cuối cùng là nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm.
1.3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được thực hiện từ việc kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu:
∙ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
∙ Phương pháp toán học.
∙ Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết từ việc đọc sách và tài liệu
tham kh
ảo.
1.4. Các bước thực hiện đề tài
∙ Nhận đề tài vào tháng 9 năm 2008.
∙ Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu lý thuyết.
∙ Viết bài báo cáo luận văn.
∙ Bảo vệ đề tài luận văn.
1.5. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài
Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium
H
2
1
, là một hệ hai hạt
g
ồm proton và neutron liên kết với nhau bằng lực hạt nhân. Đây là hạt nhân đơn giản
nh
ất trong số các hạt nhân nhiều hạt mà ta đã biết.
Bài toán hai h
ạt là bài toán xác định phương trình mô tả chuyển động của một hệ
gồm hai hạt chỉ tương tác với nhau thông qua một thế xuyên tâm.
H
ố thế đối xứng cầu: hạt chuyển động trong trường lực với thế năng U được xác
định bằng biểu thức:
0
)(
0
U
rU
ar
ar
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
6
PH
ẦN II
NỘI DUNG
Chương I. CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC
1.1. Toán t
ử tọa độ và toán tử xung lượng
1.1.1. Toán tử tọa độ
Xét hạt chuyển động trên trục Ox, trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng
( )x
, giả sử hàm sóng đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế nào để hệ thức
c
ủa giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là:
M
ặt khác, nếu
x
là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của
t
ọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta cũng có:
So sánh hai biểu thức trên ta được:
Ngh
ĩa là, toán tử chỉ là phép nhân với tọa độ x . .
Tương tự:
T
ừ đó ta suy ra được:
Như vậy, trong biểu diễn tọa độ thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà
thôi. Điều đó cũng có nghĩa là mọi hàm sóng điều là hàm riêng của toán tử tọa độ.
1.1.2. Toán tử xung lượng
Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng
P
thì tương ứng với một
sóng ph
ẳng có dạng:
Trong đó, hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng
rPEt
i
etr
0
),(
là hàm riêng của toán tử
x
P
. Do đó, ta có phương trình trị
riêng:
*
( ) ( )
x
x x x x dx
*
( ) ( ) ( )
x x
x x x dx x x x dx
)(
0
),(
rPEt
i
etr
zz
yy
x
xx
x
P
x
xxxx
^
rr
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
7
Ta sẽ chứng minh
x
P
có dạng là:
x
P i
x
Đưa biểu thức của
x
P
vào phương trình trị riêng ta được:
Bi
ến đổi vế trái ta được:
Ta th
ấy hai vế của phương trình bằng nhau.
V
ậy:
x
iP
x
Tương tự:
T
ừ đó suy ra:
P i i j k i
x y z
ii
1.2. Toán tử năng lượng và toán tử momen động lượng
1.2.1. Toán tử năng lượng
Trong cơ học cổ điển:
T: động năng của hạt.
U: th
ế năng.
Theo nguyên lý tương ứng, toán tử năng lượng có dạng:
* Xét toán t
ử động năng .
Theo cơ họ
c cổ điển:
rPEt
i
xxx
ePtrPtrP
0
),(),(
z
iP
y
iP
z
y
rPEt
i
x
rPEt
i
x
ePeP
i
i
00
( , , )H T U x y z
zyxUTH ,,
m
PPP
m
P
T
zyx
22
222
2
rPEt
i
x
rPEt
i
ePe
x
i
00
rPEt
i
x
rPEt
i
x
ePeP
00
T
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
8
Suy ra:
* Xét toán t
ử thế năng
( , , )U x y z
chỉ phụ thuộc vào các tọa độ
zyx ,,
của hạt nên
toán t
ử thế năng của nó đơn giản là hàm
( , , )U x y z
. Tức là:
Th
ế dạng của toán tử động năng và thế năng ta tìm được dạng của toán tử năng
lượ
ng là:
Trong đó,
2
là toán tử Laplace có dạng:
1.2.2. Toán tử momen động lượng
Cơ học cổ điển có hệ thức momen động lượng là:
Theo nguyên lý t
ương ứng, ta có:
Mà
T
ừ đó ta tìm được dạng các toán tử hình chiếu momen động lượng có dạng:
( , , ) ( , , )U x y z U x y z
xyz
zxy
yzx
PyPxL
PxPzL
PzPyL
2
2
2
2
2
2
2
zyx
zyxU
m
H ,,
2
2
2
xyz
zxy
yzx
yPxPL
xPzPL
zPyPL
z
iPzz
y
iPyy
x
iPxx
z
y
x
;
;
;
2
2
222
2
222
mm
PPP
m
P
T
zyx
zyx
PPP
zyx
kji
PrL
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
9
Ta cũng có:
Nguyên lý tương ứng cho ta:
Như vậy, ta đã tìm được dạng của các toán tử biểu diễn biến số động lực đặc trưng
cho trạng thái chuyển động của hệ trong cơ học lương tử. Để tìm được hàm riêng của
toán t
ử năng lượng trong tọa độ cầu ta cần giải phương trình trị riêng của các toán
t
ử . Muốn vậy, ta phải tìm dạng của các toán tử trong tọa độ cầu.
N
ếu ta chứng minh được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản là một hằng số thì bài
toán s
ẽ đơn giản hơn, vì khi đó hàm sóng của hệ chỉ phụ thuộc vào một biến số duy
nh
ất là khoảng cách r tới góc tọa độ.
1.3. Tọa độ cầu và dạng của các toán tử trong tọa độ cầu
1.3.1. Tọa độ cầu
Trong tọa độ cầu vị trí của một điểm được xác định bởi 3 thông số . Chúng
liên h
ệ với các tọa độ Descartes như sau:
Kho
ảng biến thiên:
z
x
x
ziPxPzL
y
z
z
yiPzPyL
z
x
y
yzx
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
x
0
20
0
r
x
y
y
xiPyPxL
xyz
2222
zyx
LLLL
2
2
2
22222
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
yLLLL
zyx
z
y
M
r
z
LLH ,,
2
z
LLH ,,
2
,,r
z
LLH ,,
2
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
10
Trần lê Duy
Chuy
ển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu.
Hay
1.3.2. Dạng của các toán tử
z
LLH
,,
2
trong tọa độ cầu
Như phần trên ta đã biết các toán tử momen động lượng trên các trục tọa độ được
vi
ết dưới dạng sau:
Và toán t
ử bình phương momen động lượng được xác định thông qua các toán tử
thành phần:
Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn.
Vậy ta hãy tìm dạng các toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu, ta có thể áp
d
ụng chúng trong việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử.
a).Chuyển các đạo hàm trong tọa độ Descartes sang tọa độ cầu
Vì trong các biểu thức của toán tử momen động lượng có chứa các đạo hàm theo
r
z
x
y
tg
zyxr
cos
222
zyx
z
x
y
arctg
zyxr
222
222
arccos
x
y
y
xiPyPxL
z
x
x
ziPxPzL
y
z
z
yiPzPyL
xyz
zxy
yzx
3.1
2.1
1.1
2
2
2
22222
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
yLLLL
zyx
4.1
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
11
2 2 2
( cos )( sin cos )
( sin cos ) ( sin sin )
r r
x
r r r
tọa độ nên ta phải chuyển các phép tính đó sang tọa độ cầu.
Xét m
ột hàm Khi đó ta có:
Để
thực hiện các công thức chuyển này thì ta phải tính các đạo hàm riêng
Th
ế (1.6),(1.7),(1.8) vào (1.5) ta được:
Tương tự, từ (1.5) ta cũng có các biểu thức chuyển các đạo hàm sang tọa
độ cầu.
( , , )f f r
5.1
zy
,
.,,
xxx
r
xxx
r
rx
x
f
x
f
x
r
r
f
x
f
cossin
cossin
*
222
222
r
r
zyx
x
x
zyx
x
r
cossin
x
r
22222
222
arccos
*
zyxyx
zx
x
zyx
z
x
rrx
coscos
sin
cossincos
rx
coscos
2 2 2 2
sin sin
*
( sin cos ) ( sin sin )
y
arctg
y r
x
x x x y r r
sin
sin
rx
8.1
7.1
6.1
sin
sin1
coscos
1
cossin
rrrx
9.1
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
12
Thay (1.12), (1.13), (1.14) vào (1.10) ta được:
11.1
10.1
zzz
r
rz
yyy
r
ry
2 2 2
2 2 2
( )
sin sin
* sin sin
x y z
r y r
y y r
x y z
sinsin
y
r
12.1
2 2 2
2 2 2 2 2
arccos
*
( )
z
x y z
zy
y y
x y x y z
2
2
( cos )( sin sin )
( sin cos ) sin sin
r r
y
r r r
ry
sincos
13.1
2222
sin
cossin
*
r
r
yx
x
y
x
y
arctg
y
sin
cos
ry
14.1
sin
cos1
sincos
1
sinsin
rrry
15.1
222
222
*
zyx
z
z
zyx
z
r
cos
z
r
16.1
sin
1
arccos
*
222
rz
zyx
z
z
sin
1
z
17.1
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
13
Trần lê Duy
Thế (1.16), (1.17), (1.18) vào (1.11) ta được:
Thay (1.9), (1.15), (1.19) vào (1.1), (1.2), (1.3) ta l
ần lượt tìm được các biểu thức
c
ủa toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu.
b). Dạng của trong tọa độ cầu
y
z
z
yiL
x
sin
1
cossinsin
rr
riL
x
sin
cos1
sincos
1
sinsincos
rrr
ri
coscotsincossinsin
22
gi
coscotsin giL
x
(1.20)
c) Dạng của trong tọa độ cầu
z
x
x
ziL
y
y
L
sin
sin1
coscos
1
cossincos
rrr
ri
sin
sin
cos
coscoscossincos
2
r
ri
2
sincoscossincos
r
r
0*
z
x
y
arctg
z
0
z
18.1
sin
1
cos
rrz
19.1
x
L
))sin
1
(cossincos(
rr
r
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
14
d) Dạng của trong tọa độ cầu
x
y
y
xiL
z
a)
e). Dạng của toán tử trong tọa độ cầu
Thay (1.20), (1.21), (1.22) vào (1.4) :
2222
zyx
LLLL
222
22
cotsincoscoscotsin
ggL
2
2
2
22
sin
1
sin
sin
1
L
Hay :
Trong đó:
là toán tử Laplace cầu.
f). Dạng của tóan tử Hamilton trong tọa độ cầu
Toán tử năng lượng có dạng :
V
ới
z
L
sin
cos1
sincos
1
sinsinsincos
rrr
ri
sin
sin1
coscos
1
cossinsinsin
rrr
r
,
222
L
H
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
,
2
L
24.1
23.1
sincotcos giL
y
21.1
iiL
z
22
sincos
22.1
zyxUTH ,,
2
2
222
2
222
mm
PPP
m
P
T
zyx
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
15
Và
Trong tọa độ cầu toán tử có dạng:
V
ới
Do đó :
Đặ
t là toán tử động năng ứng với chuyển động dọc
theo bán kính vectơ .
Mà ta đ
ã biết :
Do đó, toán tử động năng được viết lại:
Tóm l
ại:
Trong t
ọa độ cầu toán tử năng lượng được viết dưới dạng:
,,
sin
11
sin
sin
111
2
2
2
222
2
2
2
rU
rrr
r
rrm
H
1.4. Sự giao hoán giữa các toán tử
Hai toán tử chỉ giao hoán được với nhau khi và chỉ khi giao hoán tử của chúng
b
ằng 0.
*Ta s
ẽ chứng minh giữa các toán tử momen động lượng có các hệ thức sau:
2
2 2
2 2
,
1
r
r r r r
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
,
z
LLH ,,
2
r
r
rrm
T
r
2
2
2
1
2
2
( , , ) ( , , )U x y z U x y z
2
2
2
2
2
,1
2
rr
r
rrm
T
,
222
L
2
2
2mr
L
TT
r
rU
mr
L
TH
r
2
2
2
2
2
2
2 2
,
1
( , , )
2
H r U r
m r r r r
r
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
16
Trần lê Duy
y
xz
x
zy
zyx
LiLL
LiLL
LiLL
,
,
,
Thật vậy, ta có:
xyyxyx
LLLLLL ,
Suy ra:
Hoán v
ị vòng quanh các tọa độ x,y,z ta được kết quả tương tự:
**Sự giao hoán giữa các toán tử
*S
ự giao hoán giữa
xyyx
LLLL
z
x
x
z
y
z
z
y
2
y
z
z
y
z
x
x
z
2
yz
xz
y
x
z
xy
yx
z
zx
zy
2
2
22
2
2
2
x
y
y
x
2
x
y
y
x
2
27.1
26.1
z
LL
,
2
z
LLH
,,
2
zy
xz
xy
z
z
xy
xz
yz
x
y
22
2
2
2
2
yxz
xzy
LiLL
LiLL
,
,
zyx
LiLL ,
25.1
zyx
LiLL ,
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
17
Lần lượt nhân vào bên phải và bên trái của (1.26) với ta được:
Tran le duy
L
ấy (a)-(b) ta được:
Tương tự, nhân vào bên phải và bên trái của (1.27) với ta được:
L
ấy (c)- (d) ta được:
Mặt khác, ta lại có:
L
ấy (1.28)+(1.29)+(1.30) ta được:
0
0
22
222222
zz
zzyxzyxz
LLLL
LLLLLLLL
Hay
yxyzy
y
z
yx
y
zyzy
yxyyzyzy
yxyzy
LLiLLLLL
LLiLLLLL
LLiLLLLLL
LLiLLL
2
2
,*
a
b
d
c
x
L
xyyxzyyz
LLLLiLLLL
22
28.1
y
L
xyxzxxz
xyxzxzx
xyxzxxz
xyxzxxz
LLiLLLLL
LLiLLLLL
LLiLLLLL
LLiLLLLL
2
2
2
2
*
*
xyyzyzy
xyyzyzy
xyzy
y
LLiLLLLL
LLiLLLLL
LiLLLL
2
2
,*
yxxyzxxz
LLLLiLLLL
22
29.1
0
22
zzzz
LLLL
30.1
0,
2
LL
z
31.1
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
18
Vậy giao hoán được với nhau nên chúng có chung hàm riêng.
*
Xét giao hoán tử
Ta đã biết hàm Hamilton của một hạt có khối lượng m, chuyển động trong trường
l
ực thế có dạng:
M
ặt khác, trong tọa độ cầu thì:
iL
L
z
,
222
2
2
2
2
,
2
, LrU
mr
L
TLH
r
* Xét giao hoán tử
Từ (1.31), (1.32) và (1.33) ta thấy rằng ba toán tử giao hoán được
v
ới nhau. Do đó, chúng có chung hàm riêng.
32.1
33.1
0,
z
LH
z
LLH
,,
2
0000
2
, LH
2
2
( )
2
r
L
H T U r
mr
z
LH ,
zzz
LrUL
mr
L
LT ,,
2
,
2
2
2
, LL
z
22
2
2
2
,,
2
, LrUL
mr
L
LT
r
0000
0,
2
LH
zrz
LrU
mr
L
TLH ),(
2
,
2
2
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
19
1.5. Trị riêng của toán tử . Phần phụ thuộc của hàm sóng
Trong hệ tọa độ cầu thì biểu thức của toán toán tử chỉ chứa các tọa độ
và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này. Do đó, đối với hàm sóng (hàm riêng
c
ủa hai toán tử này) ta cũng chỉ xác định phần phụ thộc của hàm sóng mà
thôi, còn ph
ần phụ thuộc vào r coi như được chứa trong hằng số nhân. Phần phụ thuộc
c
ủa hàm sóng ta gọi là hàm cầu. Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm riêng của
toán t
ử ta phải giải phương trình trị riêng của nó.
G
ọi là hàm riêng của toán tử . Trong tọa độ cầu thì phương trình trị
riêng của là:
Th
ế dạng của toán tử trong tọa độ cầu, , vào (1.34) ta được:
L
ấy tích phân hai vế:
V
ới C là hằng số đối với nhưng có thể là hàm đối với nên .
Suy ra:
y
là hàm sóng mô t
ả trạng thái vật lý của hệ nên nó sẽ nhận giá trị cũ
khi thay đổi một lượng là ( điều kiện đơn giá). Suy ra:
,
34.1
z
L
iL
z
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
z
z
r
i L r
r i
L
r
( , , )
, ,
ln ( , , ) ln
z
z
r i
L
r
i
r L C
,r
,rCC
ln ( , , ) ln ( , )
ln ( , , ) ln ( , )
z
z
i
r L C r
i
r C r L
( , , )
ln
( , )
( , , )
( , )
( , , ) ( , )
z
z
z
i
L
i
L
r i
L
C r
r
e
C r
r C r e
35.1
,,r
2
,
z
L
),,(
r
z
L
z
L
),,(),,(
rLrL
zz
,
z
L
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
20
Từ (1.35) suy ra:
1.6. Trị riêng của
Về nguyên tắc để tìm trị riêng và hàm riêng của ta phải giải phương trình trị
riêng của . Tuy nhiên, ta cũng có thể tìm được trị riêng của toán tử bằng cách
như sau:
Trong cơ học lượ
ng tử ta có hệ thức:
Hay
Tr
ần lê Duy
Cho hai v
ế tác dụng lên hàm riêng của và cũng là của ta được:
( , , ) ( , , 2 )r r
( 2 )
( , ) ( , )
z z
i i
L L
C r e C r e
1
2
z
L
i
e
1
2
cos
z
L
m
L
z
2
2
mL
z
,...2,1,0 m
36.1
( , , ) ( , )
im
r C r e
37.1
2
L
2
L
2
L
2
L
LLL
z
,
LLLLL
LLLLL
LLL
zz
zz
z
,
,,r
m
z
L
2
L
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) ( )
z z
m m m
z
m m m
z
m m
L L L L L
m L L L L
L L m L
1.38
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
21
Nghĩa là là hàm riêng ứng với trị riêng của toán tử
Mặt khác, ứng với trị riêng của là hàm riêng . . Do đó ,
ta có :
So sánh (1.38) và (1.39) ta th
ấy và là hàm sóng tương ứng với cùng trị
riêng cùng biểu diễn một trạng thái vật lý nên chỉ khác nhau một hằng số
nhân, nghĩa là:
Vì là tr
ị riêng của nên không thể bằng vô cùng được. Nghĩa là phải
ng
ắt ở giá trị lớn nhất nào đó. Gọi l là giá trị lớn nhất của thì:
vì n
ếu sẽ tồn tại giá trị . Điều này trái với điều đã
nói
ở trên. Vậy: .
Bây gi
ờ ta cho hai vế phương trình toán tử:
Tác d
ụng lên hàm ta sẽ được :
M
ặt khác, cũng là hàm riêng của nên ta có:
2 2 2 2
( 1)
l l
L L L l l
Với là giá trị lớn nhất của và có thể bằng 0 nên với mỗi xác định thì nhận
giá tr
ị từ có giá trị khác nhau.
( )
m
L
1 mL
z
z
L
1m
11
1
mm
z
mL
1.39
1m
m
L
1 mL
z
1m m
L const
m
z
L
m
m
m
0
1
ll
constL
0
1
l
0
1
l
llm 1
0
l
L
2
2
z z
L L L L L
l
ll
lll
l
z
l
zz
ll
llL
llL
LLLLLL
22
2222
2
1
)()(
l
2
L
( 1)L l l
l
m
l
m
mll ,
12 l
)(
m
L
z
L
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
22
1.7. Hàm cầu - phần hàm riêng phụ thuộc của các toán tử
Từ (1.37) ta có thể viết hàm riêng của hai toán tử và ứng với trị riêng
và là:
Ph
ần phụ thuộc của hàm sóng ta gọi là hàm cầu, kí hiệu là .
V
ậy
Vì toán t
ử không phụ thuộc vào r cho nên trong phương trình trị riêng của
ta không c
ần viết phần phụ thuộc r cho đơn giản (coi như chứa trong hằng số). Ta có
các phương trình trị riêng sau:
Đưa và giải phương trình (1.42) ta dễ dàng tìm được :
Trong đó C là một hàm số phụ thuộc vào và ta có thể đặt
Đưa vào phương trình (1.41) và chú ý biểu thức của trong tọa độ cầu
ta được phương trình:
2
2 2
2 2
1 1
(sin ) ( 1)
sin sin
m im m im m im
l l l
P e P e l l P e
(trong phương trình trên ta viết thay cho cho đơn giản).
Th
ực hiện phép tính đạo hàm theo đối với số hạng thứ hai và đơn giản phép tính
ta s
ẽ được phương trình:
Tr
ầ
2
L
z
L
22
1 llL
mL
z
( , , ) ( , )
im
lm
r C r e
,
,
m
l
Y
( , , ) ( ) ( , )
m
lm l
r C r Y
1.40
2
L
2
L
2 2
( , ) 1 ( , )
( , ) ( , )
m m
l l
m m
z
l l
L Y l l Y
L Y m Y
1.41
1.42
iL
z
( , )
m im
l
Y Ce
( ) (cos )
m
l
C P
imm
l
m
l
ePY cos,
,
m
l
Y
2
L
m
l
P
(cos )
m
l
P
m
l
m
l
m
l
imm
l
imm
l
m
l
PllP
mP
ePlleP
mP
1
sin
sin
sin
1
1
sin
sin
sin
1
2
2
2
2
,
z
LLH ,,
2
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
23
( )
m
l
P x
cos( )
Đặt .
Ta có:
Phương trình trở thành:
Vì nên nghi
ệm của phương trình hữu hạn tại . Phương trình
(1.43) chính là phương trình Legendre liên kết và nghiệm của phương trình
là đa thức liên kết Legendre với biến số và có dạng:
Do đó hàm cầu có dạng:
Như vậy, muốn tìm hàm cầu ta phải giải phương trình Legendre liên kết
(1.43) để tìm nghiệm với công thức đã tìm được (chú thích ở phần sau) là:
Trong đó gọi là đa thức Legendre bậc l, là nghiệm của
phương trình Legendre có dạng :
V
ới y là một hàm nào đó phụ thuộc vào x, ở đây x= cosθ.
Như vậy, ta đã tìm được công thức tổng quát xác định hàm cầu có dạng như sau:
dxdx
coscos
dx
d
x
sin
sin
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
( )
1
( sin ) sin ( sin ) ( ) ( 1) ( )
sin
sin
( )
(cos 1) ( ) ( 1) ( )
(1 cos )
( ) ( )
( 1) 2 ( ) ( 1) ( )
1
( )
(1 )
m
m m
l
l l
m
m m
l
l l
m m
m m
l l
l l
m
l
dP x
d m
P x l l P x
dx dx
dP x
d m
P x l l P x
dx dx
d P x dP x
m
x x P x l l P x
dx
dx x
d P x
x
d
2
2 2
( )
2 1 ( ) 0
1
m
m
l
l
dP x
m
x l l P x
dx
x x
1.43
x
cos
1
x
( ) (cos )
m m
l l
P x P
( , ) (cos )
m m im
l l
Y constP e
( , )
m
l
Y
1.44
(cos )
m
l
P
2
2
( )
( ) (1 )
m
m
m
l
l
m
d P x
P x x
dx
2
1 ( 1)
( )
2 !
l l
l
l l
d x
P x
l dx
2
2
2
(1 ) 2 ( 1) 0
d y dy
x x l l y
dx dx
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý
GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy
24
Trần lê duy
1.8. Phương trình Legendre và đa thức Legendre
Khi m=0 phương trình (1.43) trở thành phương trình Legendre
V
ới -1< x<1 và là số nguyên dương.
Phương tr
ình (1.45) được gọi là phương trình Legendre.
Đặt:
Khi
đó, phương trình (1.45) được viết lại là:
Hay
Ta s
ẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi lũy thừa
Ta có:
2
2
2
( ) ( )
(1 ) 2 1 ( ) 0
l l
l
d P x dP x
x x l l P x
dx dx
l
1.45
( )
( 1)
l
y P x
l l
2
2
2
(1 ) 2 0
d y dy
x x y
dx dx
2 " '
(1 ) 2 0x y xy y
1.46
0k
k
k
xCy
1.47
1
1'
*
k
k
k
xkCy
2
1
'
11
1'
222
222
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xkCxCxy
xkCxkCxxy
" 2
2
* ( 1)
k
k
k
y k k C x
1.48
2 " 2 2
2
(1 ) (1 ) ( 1)
k
k
k
x y x k k C x
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 3
4 2
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
2 6 ( 1) ( 1)
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k C x x k k C x
k k C x k k C x
C C x k k C x k k C x
im
ml
lml
m
l
m
l
e
d
d
l
const
Y
)cos(
)1(cos
)cos1(
!2
),(
2
2
2
