lời giải bài toán dao động tự điều hòa trong cơ học lượng tử và so sánh với cơ học cổ điển

LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ
VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ
ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN
Đặng Quang Đông
TÓM TẮT
Bài toán dao động tử điều hoà là bài toán cơ bản trong cơ học cổ điển, cũng như
trong cơ học lượng tử. Nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lí hạt nhân nguyên tử
có thể đưa về dạng dao động tử điều hoà. Điều này lí giải tại sao mô hình dao
động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí. Trong bài báo này, tôi trình
bày về lời giải bài toán dao động tử điều hoà một chiều (có mở rộng về dao
động tử điều hoà ba chiều) và sự khác nhau giữa dao động tử điều hoà trong cơ
học cổ điển và cơ học lượng lử.
Abstract
The harmonic oscillator problem is a basic problem in classical physics and
quantum mechanics. Many nuclear physics’ problems can be solved like the
harmonic oscillator in quantum mechanics. It is a reason why the Harmonic
oscillator has an important role in physics. In this paper, I represent the solution
of the harmonic oscillator problem in one-dimension space, expanse in three-
dimension space and the difference from the harmonic oscillator in classical
physics.
1 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển
Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hoà là một hệ cơ học thực hiện dao
động được mô tả bởi những hàm số điều hoà theo thời gian, mà cụ thể ở đây là
hàm sin và cos. Ví dụ như con lắc đơn, con lắc lò xo nằm ngang, dao động điện
từ trong mạch lò xo…
Xét hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x dưới tác dụng của lực F=-kx với
k là hằng số dương, thường gọi là hệ số đàn hồi, x là độ dịch chuyển khỏi vị trí
cân bằng đặt tại gốc toạ độ x=0. Hệ như vậy gọi là dao động tử điều hoà .
Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là
=>
Đặt , trong đó là tần số dao động.

Nghiệm của phương trình, có dạng:
sin osx A t Bc t
ω ω
= +
cos( )x a t
ω ϕ
= +
Ta có F=-gradV(x)= nên thế năng của dao động tử điều hoà
V(x)=== (1)
Động năng của hạt được tính theo công thức:
Năng lượng toàn phần của hạt: E = T + V =
Ứng với một giá trị
ω
, năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận
với a.
Nhiều vấn đề trong vật lí hạt nhân nguyên tử có thể đưa về những dao động tử
điều hoà tuyến tính - những dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng (ví dụ như
dao động của hạt nhân nguyên tử, dao động nhiệt trong tinh thể, dao động của
các nút mạng tinh thể xung quanh vị trí cân bằng…). Điều này lí giải tại sao mô
hình dao động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí.
Nhưng trong thực tế, dao động của những hệ thực không phải bao giờ cũng điều
hoà và thế năng của hệ không có dạng parabol như (1). Tuy nhiên, nếu hệ thực
đó dao động với biên độ nhỏ thì ta có thể sử dụng khai triển Taylor cho hàm thế
năng của nó
=
Do x
0
là điểm cực tiểu nên V’(x
0
)=0, đặt k=V’’(x

0
) ≥ 0 và bỏ qua những số hạng
khai triển từ bậc 3 trở lên thì ta sẽ thu được thế năng có dạng V(x)=.
2 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử
2.1 Dao động tử điều hoà một chiều
Bài toán dao động tử điều hoà một chiều là bài toán hạt có khối lượng m chuyển
động trong hố thế một chiều V(x)=
Hamiltonian của bài toán có dạng
Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng
E
Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến
(9)
với
thoả phương trình Schrodinger dừng:
E
n
(2)
Trong đó, E
n
là năng lượng ở trạng thái dừng . Trong phương trình này có
nhiều hằng số nên rất khó để giải. Tôi đã đưa phương trình (2) về dạng không
thứ nguyên bằng cách chuyển sang biến số mới x=u, (3) ta được phương trình
(xem phụ lục 1):
(4)
Hàm sóng phải thoả điều kiện chuẩn hoá và điều kiện hữa hạn . Giải bài toán
trên, tôi được nghiệm (xem phụ lục 2):
(5)
Để giải phương trình (4), tôi biểu diễn hàm sóng của bài toán thông qua hàm
sóng dưới đây (6)
Và thế (6) vào phương trình (4) ta được: (7)

Ta tìm nghiệm phương trình trên dưới dạng chuỗi luỹ thừa
(8)
Thay (8) vào (7) ta được:
Để cho đẳng thức trên đúng với mọi u, hệ số của từng số hạng ở vế trái của
phương trình trên phải bằng 0.
=0
=> : đây là công thức truy hồi. Công thức này cho phép tính tất cả các hệ số của
chuỗi (4) nếu ta biết cụ thể a
0
và a
1
. Để nghiệm thu được có ý nghĩa vật lí, ta
phải xét
Nên và
Khi u →± thì phương trình (6) sẽ tiến tới vô hạn và điều này trái với điều kiện
hữa hạn của hàm sóng . Để nghiệm thu được hữa hạn tại vô cực, chuỗi vô hạn
(8) phải rút về một đa thức, nghĩa là ta phải ngắt chuỗi này tại một số hạng nào
đó. Ta ngắt chuỗi tại số hạng thứ n, nghĩa là a
n
≠0 nhưng a
n+2
=0.
Suy ra nên (n=0, 1, 2…)
Suy ra (n=0, 1, 2…)
Vậy ta đã thu được năng lượng bị lượng tử hoá của hệ và các mức năng
lượng cách đều nhau.
Khi n=0 thì và a
2
=0, a
1

=a
3
=a
5
=…=0 => s(u)=a
0
Khi n=1 thì và a
3
=0, a
0
=a
2
=a
4
=…=0 => s(u)=a
1
u
Làm tương tự, ta có bảng sau:
n
0 1 N
0
1 3 N
1
2 5 N
2
(
…
…
…
n 2n+1 N

n
H
n
()
Ở đây H
n
(u) là đa thức Hermite thứ n. Ta có hệ số N
n
:
Vậy từ (3), (5), (9) hàm sóng tổng quát là
Và (n=0, 1, 2…)
2.2 Dao động tử điều hoà ba chiều
Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong trường thế dạng
V(x)=
Hamiltonian của hạt là

Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng
E
Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến
(8) với
Giải bài toán trên, ta được kết quả (làm tương tự như dao động tử điều hoà một
chiều):
Và
3 Những điểm khác biệt giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và
cơ học lượng lử:
- Đồ thị trên cho ta biết xác suất tìm thấy hạt (đường nét đứt là xác suất
trong cơ học cổ điển, đường liền nét là xác suất trong cơ học lượng tử).
Rõ ràng xác suất tìm hạt trong cổ điển và lượng tử là khác nhau. Trong
miền cấm cổ điển (miền ngoài 2 đường thẳng vuông góc), thì xác suất cổ
điển bằng 0, còn xác suất tìm hạt trong cơ học lượng tử khác 0. Khi x→±

thì xác suất trong cơ lượng tử tiến nhanh về 0. Nhưng khi n→ (đồ thị
dưới) thì “khúc đuôi” của đường cong xác suất lượng tử càng ngắn, phân
bố xác suất lượng tử hầu như trùng với phân bố xác suất cổ điển.
- Sự khác biệt tiếp theo giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và
cơ học lượng tử là ở trạng thái cơ bản. Trong cơ học cổ điển thì ở trạng
thái cơ bản, năng lượng bằng 0. Trong cơ học lượng tử thì năng lượng ở
trạng thái cơ bản lại bằng . Năng lượng của hệ trong cơ học cổ điển thì
liên tục, còn trong cơ học lượng tử thì năng lượng này lại gián đoạn và
các mức năng lượng cách đều nhau.
4 Phụ lục tính toán
4.1 Phụ lục 1
Ta định nghĩa hằng số a= có thứ nguyên chiều dài. Ta đặt , suy ra u không có
thứ nguyên. Ta đã biết ħ có thứ nguyên năng lượng nên ta đặt , . Rõ ràng không
có thứ nguyên.
Thế , vào phương trình
E
n
, ta được:

4.2 Phụ lục 2
Nên (*)
Suy ra . Sau đó đạo hàm, ta có:
 (**)
So sánh (*) và (**) ta có
Nên ta có nghiệm phương trình là +
Nghiệm trên phải hữa hạn tại vô cực nên ta bỏ thành phần đầu của
nghiệm trên. Vậy nghiệm là .
Tài liệu tham khảo
1. Dũng, H. (1999). Nhập môn Cơ học lượng tử (Tập 1). NXB GIÁO DỤC.
2. Allan, A. (2013). Quantum Harmonic Oscillator: Brute Force Method

(Lecture 8, MIT OpenCourseWare). Massachusetts Institute of Technology.
3. />