Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG BÌNH KHI GIẢI CÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ
Chức vụ : Giáo viên
SKKN môn : Toán

THANH HOÁ NĂM 2013
MỤC LỤC
Mục Lục Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 3
B.GIẢI QUYẾT VẤNĐỀ 3
I. Cơ sở lí luận 3
II. Thực trạng vấn đề 3
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3
1. Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản 3
1.1. Phương trình sinx=a 4
1.2. Phương trình cosx=a 4
1.3. Phương trình tanx=a 4
1.4. Phương trình cotx=a 5
2. Một số sai lầm học sinh thường mắc phải 5
2.1. Sai lầm 1 5
Các ví dụ minh họa
2.2. Sai lầm 2 7
Các ví dụ minh họa
2.3. Sai lầm 3 9
Các ví dụ minh họa
IV. Hiệu quả của SKKN 11
1.Kết quả thực tiễn 11

2.Kết quả thực nghiệm 11
C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12
I.Kết luận 12
II.Kiến nghị 12
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng của môn
Toán THPT, nó chiếm một phần kiến thức trọng tâm của chương trình giải tích 11
đặc biệt đối với học sinh có học lực trung bình thì giải các phương trình lượng giác
cơ bản là kiến thức nền tảng trọng tâm mà học sinh cần phải nắm
Trong các đề thi đại học, cao đẳng năm nào cũng có phần giải phương trình
lượng giác do vậy để học sinh có học lực trung bình có thể làm được những dạng
toán này thì ngay từ ban đầu phải giải tốt phương trình lượng giác cơ bản. Tuy
2
nhiên có một số học sinh chưa hiểu rõ bản chất nên thường hay mắc những sai lầm
khi giải các phương trình lượng giác cơ bản, điều quan trọng là phải làm sao để học
sinh nhận thấy được những sai lầm đó và biết cách khắc phục để đi đến kết quả
đúng .
Một số học sinh có học lực lực trung bình không phân biệt được hoặc đôi khi
còn nhầm lẫn giữa một cung lượng giác của một cung đặc biệt từ cách nhìn nhận
sai lầm đó dẫn đến khi giải một phương trình lượng giác cơ bản lại đi đến kết quả
sai, nhìn thấy được những yếu điểm đó của học sinh tôi mạnh dạn đề xuất sáng
kiến:
“
Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác
cơ bản
”
. Nhằm khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả
cao hơn từ những bài toán lượng giác cơ bản là nền tảng ban đầu học sinh cần nắm
vững
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. Cơ sở lí luận
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ cái sai đến cái gần
đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình
nhận thức của học sinh .
II. Thực trạng vấn đề
Ở trường trung học mà tôi giảng dạy hiện nay là vùng nông thôn, giáp danh với
miền núi, đời sống nhân dân dang còn khó khăn, dân trí chưa cao, chất lượng học
3
tập của học sinh còn thấp phần lớn ở đây học sinh chiếm học lực trung bình đang
còn chiếm tỉ lệ cao. Do vậy việc củng cố lại việc học của học sinh ngay từ những
kiến thức cơ bản nhất là điều rất quan trọng, muốn làm được điều này cần phải cho
học sinh thấy được những sai lầm cơ bản mà các em mắc phải, từ đó khắc phục
được những hạn chế đó để dạt dược kết cao hơn trong học tập.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện
1. Phương pháp giải phương trình lượng giác các phương trình lượng giác cơ bản
1.1. Phương trình sinx=a (1)
a.TH
1
:
1>a
thì PT(1) vô nghiệm
b.TH
2
:
1≤a
- Nếu a là giá trị sin cung đặc biệt
α

Zk
kx

kx
xax
∈



+−=
+=
⇔
=⇔=
παπ
πα
α
2
2
sinsinsin
-Nếu a không là giá trị sin của một cung đặc biệt
α

Zk
kax
kax
ax ∈



+−=
+=
⇔=
ππ

π
2arcsin
2arcsin
sin
* Chú ý : +.
Zk
kxgxf
kxgxf
xgxf ∈



+−=
+=
⇔=
ππ
π
2)()(
2)()(
)(sin)(sin
+



−=
+=
⇔=
β
β
β

0
00
0
180
360
sinsin
x
kx
x
1.2. Phương trình cosx=a (2)
a. TH
1
:
1>a
PT(2) vô nghiệm
b. TH
2
:
1≤a
- Nếu a là giá trị cosin của một cung đặc biệt
α
(a=0,1,
)
2
2
,
2
3
,
2

1
4

Zkkx
xax
∈+=⇔
=⇔=
+
−
,2
coscoscos
πα
α
-Nếu a không phải là giá trị cosin của một cung đặc biệt
α

Zk
kax
kax
ax ∈



+−=
+=
⇔=
π
π
2arccos
2arccos

cos
*Chú ý
+>
Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔=
+
−
,2)()()(cos)(cos
π

+>
Zkkxx ∈+=⇔=
+
−
,360coscos
000
ββ
+>
)cos()cos(
απα
−=−
1.3. Phương trình tanx=a (3)
Điều kiện xác định của phương trình là:
Zkkx ∈+≠ ,
2
π
π
Phương pháp
-Nếu a là giá trị tan của một cung đặc biệt
α
(a=

)
3
1
,3,0,1
tanx =a
α
tantan =⇔ x
Zkkx ∈+=⇔ ,
πα
-Nếu a không phải là giá trị tang của một cung đặc biệt
α

Zkkaxax ∈+=⇔= ,arctantan
π
* Chú ý :
- Nếu
Zkkxx ∈+=⇔= ,tantan
παα
Tổng quát :
Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔= ,)()()(tan)(tan
π
- Nếu
000
180tantan kxx +=⇔=
ββ
-
αα
tan)tan( −=−
1.4. Phương trình cotx=a (4)
Điều kiện xác định của phương trình là x

Zkk ∈≠ ,
π
Phương pháp
-Nếu a là giá trị cotang của một cung đặc biệt
)
3
1
,3,1,0( =a
α
5

Zkkx
xax
∈+=⇔
=⇔=
,
cotcotcot
πα
α
-Nếu a không là giá trị cotang của một cung đặc biệt

Zkkaarcxax ∈+=⇔= ,cotcot
π
* Chú ý :
-
Zkkxx ∈+=⇔= ,cotcot
παα
Tổng quát :
Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔= ,)()()(cot)(cot
π

-
Zkkxx ∈+=⇔= ,180cotcot
000
ββ
-
αα
cot)cot( −=−
2. Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải
2.1. Sai lầm 1: học sinh đôi khi còn nhầm lẫn giữa giá trị lượng giác của một cung
đặc biệt và một cung đặc biệt
Ví dụ 1: Giải phương trình sau
sinx=
2
1
* Sai lầm thường gặp

Zk
kx
kx
xx
∈





+=
+=
⇔
=⇔=

π
π
π
π
π
2
6
5
2
6
6
sin
2
1
sin
* Hướng khắc phục
Học sinh cần phân biệt rõ một cung đặc biệt và giá trị sin của một cung đặc biệt
62
1
π
≠

* Lời giải đúng
6


Zk
kx
kx
xx

∈





+=
+=
⇔
=⇔=
π
π
π
π
π
2
6
5
2
6
6
sinsin
2
1
sin
Vậy nghiệm của phương trình là :
Zkkxvàkx ∈+=+=
π
π
π

π
2
6
5
2
6

Ví dụ 2: Giải phương trình sau
cosx =
2
2
* Sai lầm thường gặp

4
cos
2
2
cos
π
=⇔= xx

Zk
kx
kx
∈






+
−
=
+=
⇔
π
π
π
π
2
4
2
4
* Hướng khắc phục
Học sinh cần phân biệt rõ một cung lượng giác đặc biệt và giá trị cosin của một
cung lượng giác đặc biệt đó
42
2
π
≠
* Lời giải đúng

4
coscos
2
2
cos
π
=⇔= xx
7

Zk
kx
kx
∈





+
−
=
+=
⇔
π
π
π
π
2
4
2
4
Vậy nghiệm của phương trình là :
Zkkxvàkx ∈+
−
=+= ,2
4
2
4

π
π
π
π

Ví dụ 3: Giải phương trình

3)
3
2tan( =+
π
x
* Sai lầm thường gặp

Zkkx
kx
xx
∈=⇔
+=+⇔
=+⇔=+
,
2
33
2
3
)
3
2tan(3)
3
2tan(

π
π
ππ
πππ
* Hướng khắc phục
Học sinh cần phân biệt rõ cung lượng giác đặc biệt và giá trị tang của cung đặc
biệt đó
3
3
π
≠
* Lời giải đúng

Zkkx
kx
xx
∈=⇔
+=+⇔
=+⇔=+
,
2
33
2
3
tan)
3
2tan(3)
3
2tan(
π

π
ππ
πππ

Vậy nghiệm của phương trình là :
Zkkx ∈= ,
2
π
Ví dụ 4: Giải phương trình

1)
3
2cot( =+
π
x
8
* Sai lầm thường gặp

4
)
3
2cot(1)
3
2cot(
πππ
=+⇔=+ xx

Zkkx
kx
∈+−=⇔

+=+⇔
,
224
43
2
ππ
π
ππ
* Lời giải đúng

4
cot)
3
2cot(1)
3
2cot(
πππ
=+⇔=+ xx

Zkkx
kx
∈+−=⇔
+=+⇔
,
224
43
2
ππ
π
ππ

Vậy nghiệm của phương trình là : x=-
24
π
+
Zkk ∈,
2
π
2.2. Sai lầm 2:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

3
1
)13sin( =+x
* Sai lầm thường gặp

Zk
kx
kx
Zk
kx
kx
x
∈





+−+
−

=
++
−
=
⇔
∈





+−=+
+=+
⇔=+
3
2
9
1
arcsin
33
1
3
2
9
1
arcsin
3
1
2
3

1
arcsin13
2
3
1
arcsin13
3
1
)13sin(
ππ
π
ππ
π
* Hướng khắc phục
Học sinh cần nắm rõ
3
1
arcsin
là một hằng số cụ thể ,tránh sai lầm

3
1
.arcsin
3
1
arcsin =
9
* Lời giải đúng

Zk

kx
kx
Zk
kx
kx
x
∈





+−+
−
=
++
−
=
⇔
∈





+−=+
+=+
⇔=+
3
2

3
1
arcsin
3
1
33
1
3
2
3
1
arcsin
3
1
3
1
2
3
1
arcsin13
2
3
1
arcsin13
3
1
)13sin(
ππ
π
ππ

π

Vậy nghiệm của phương trình là

Zkkxvàkx ∈+++
−
=++
−
= ,
3
2
3
1
arcsin
3
1
33
1
3
2
3
1
arcsin
3
1
3
1
πππ
Ví dụ 2: Giải phương trình sau

5
1
)
4
2cos( =+
π
x
* Sai lầm thường gặp

Zk
kx
kx
kx
kx
x
∈





+−
−
=
++
−
=
⇔






+−=+
+=+
⇔=+
,
10
1
arccos
8
10
1
arccos
8
2
5
1
arccos
4
2
2
5
1
arccos
4
2
5
1
)

4
2cos(
π
π
π
π
π
π
π
π
π
* Lời giải đúng :

Zk
kx
kx
kx
kx
x
∈





+−
−
=
++
−

=
⇔





+−=+
+=+
⇔=+
,
5
1
arccos
2
1
8
5
1
arccos
2
1
8
2
5
1
arccos
4
2
2

5
1
arccos
4
2
5
1
)
4
2cos(
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình :

Zkkxvàkx ∈+−
−
=++
−
= ,
5
1
arccos
2

1
85
1
arccos
2
1
8
π
π
π
π
10
Ví dụ 3: giải phương trình sau

2
1
)15tan( =+x
* Sai lầm thường gặp

510
1
arctan
5
1
,
2
1
arctan15
2
1

)15tan(
π
π
kx
Zkkxx
++
−
=⇔
∈+=+⇔=+
* Lời giải đúng

52
1
arctan
5
1
5
1
,
2
1
arctan15
2
1
)15tan(
π
π
kx
Zkkxx
++

−
=⇔
∈+=+⇔=+
Vậy nghiệm của phương trình là :
Zkkx ∈++
−
= ,
52
1
arctan
5
1
5
1
π
Ví dụ 4: Giải phương trình

3
1
)
4
3cot( =+
π
x
* Sai lầm thường gặp

Zkkarcx
Zkkarcxx
∈++
−

=⇔
∈+=+⇔=+
,
39
1
cot
12
,
3
1
cot
4
3
3
1
)
4
3cot(
ππ
π
ππ
* Lời giải đúng

Zkkarcx
Zkkarcxx
∈++
−
=⇔
∈+=+⇔=+
,

33
1
cot
3
1
12
,
3
1
cot
4
3
3
1
)
4
3cot(
ππ
π
ππ

Vậy nghiệm của phương trình là :
Zkkarcx ∈++
−
= ,
33
1
cot
3
1

12
ππ

11
2.3. Sai lầm 3: học sinh nhiều khi trong một công thức nghiệm lại có tới 2 đơn vị
đo độ và rađian
Ví dụ 1: Giải phương trình sau

2
3
)152sin(
0
=+x
* Sai lầm thường gặp

Zk
kx
kx
Zk
kx
kx
x
∈






++

−
=
++−=
⇔
∈





+=+
+=+
⇔=+
π
π
π
π
π
π
π
π
32
15
62
15
,
2
3
2
152

2
3
152
2
3
)152sin(
0
0
0
0
0
* Lời giải đúng


Zk
kx
kx
Zk
kx
kx
x
∈






+=
+=

⇔
∈



+=+
+=+
⇔=+
0
0
0
0
000
000
0
180
2
115
180
2
45
,
360120152
36060152
2
3
)152sin(
Vậy nghiệm của phương trình là
Zkkxvàkx ∈+=+= ,180
2

115
180
2
45
0
0
0
0
Ví dụ 2: Giải phương trình sau

00
15cos)45cos( =+x
*Sai lầm thường gặp

Zk
kx
kx
Zk
kx
kx
x
∈



+−=
+−=
⇔
∈




+−=+
+=+
⇔=+
π
π
π
π
260
230
,
21545
21545
15cos)45cos(
0
0
00
00
00
12
* Lời giải đúng :

Zk
kx
kx
Zk
kx
kx
x

∈



+−=
+−=
⇔
∈



+−=+
+=+
⇔=+
00
00
000
000
00
36060
36030
,
3601545
3601545
15cos)45cos(
Vậy nghiệm của phương trình là
Zkkxvàkx ∈+−=+−= ,3606036030
0000
Ví dụ 3: Giải phương trình

3
1
)205tan(
0
=+x
* Sai lầm thường gặp

π
π
π
π
π
kx
kx
xx
++
−
=⇔
+=+⇔
=+⇔=+
305
20
6
205
6
tan)205tan(
3
1
)205tan(
0

0
00
* Lời giải đúng :

00
000
000
1802
18030205
30tan)205tan(
3
1
)205tan(
kx
kx
xx
+=⇔
+=+⇔
=+⇔=+
Vậy phương trình có nghiệm là
00
1802 kx +=
,k
Z∈
* Hướng khắc phục : học sinh cần nắm rõ trong một công thức nghiệm bao giờ
cũng chỉ có một đơn vị đo radian hoặc độ , nếu trong đề bài có đơn vị đo độ thì bắt
buộc công thức nghiệm phải dùng đơn vị đo là độ
IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
1. kết quả từ thực tiễn
Ban đầu học sinh có học lực trung bình gặp nhiều lỗi sai trong giải phương

trình lượng giác cơ bản . Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ phương
pháp giải của từng phương trình lượng giác cơ bản và trên cơ sở nhấn mạnh đưa ra
13
những sai lầm mà các em thường hay mắc phải để từ đó học sinh có thể đưa ra lời
giải đúng .
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán trong sách giáo khoa giải tích 11 thì hầu hết các em cẩn thận hơn trong cách
trình bày và tránh được những sai lầm cần lưu ý và từ đó các em có lời giải đúng
2. kết quả thực nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong năm học 2011-2012,bài kiểm tra trên
2 lớp có học lực trung bình đó là lớp 11C
6
(47 hs) và lớp 11C
7
(47hs) trong đó lớp
11C
6
được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm còn lớp 11C
7
không được áp dụng ,kết
quả cho ta như sau

Xếp loại
Đối tượng
Giỏi khá Trung bình Yếu
11C
6
50% 40% 10% 0%
11C
7

0% 2% 60% 38%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực và hứng thú khi giải các
phương trình lượng giác cơ bản, là cơ sở nền tảng để các em đi vào giải các dạng
của phương trình lượng. Từ đây các em hiểu rõ về bản chất chứ không máy móc
như trước nữa, đó là việc thể hiện, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của
học sinh .
C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
14
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải các phương trình
lượng giác cơ bản có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến
này giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu điểm và những hiểu biết chưa
thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập,
năng lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau dồi thêm kiến thức về giải
phương trình lượng giác cơ bản từ đó chủ động kiến thức trong quá trình học tập và
các kỳ thi
II. Kiến nghị
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách
tham khảo nào viết về những sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường
cần quan tâm hơn nữa về loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm
thường mắc khi giải toán để các em có những sai lầm đó trong khi làm bài tập .
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm
2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác
Kí tên
Trịnh Thị Lệ

15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập giải tích 11 ( Trần văn Hạo-Vũ Tuấn-Đào Ngọc Nam)
2. Chuyên đề luyện thi vào đại học phần lượng giác (Trần văn Hạo chủ biên –
Nguyễn Cam )
3. Cẩm nang ôn luyện thi đại học,cao đẳng môn toán .tập 3 : lượng giác (Huy
Toan –Đào Thùy Linh )
4. Phương pháp giải toán lượng giác 11(Lê Quang Anh-Lê Qúy Mậu)
16