30 bài tập tích phân ôn thi đại học

30 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Tìm nguyên hàm I =

6x
3
+8x +1
(3x
2
+4)

x
2
+1
dx
Bài 1
Lời giải:
Ta có
6x
3
+8x +1
3x
2
+4
=2x +
1
3x
2
+4
=⇒ I =



2x +
1
3x
2
+4

1

x
2
+1
dx =

2x

x
2
+1
dx +

1
(3x
2
+4)

x
2
+1
dx
Tính I

1
=

2x

x
2
+1
dx
Đặt

x
2
+1 =t, x
2
+1 =t
2
, 2t dt =2x dx =⇒ I
1
=2

tdt
t
=2t =2

x
2
+1
Tính I
2

=

1
(3x
2
+4)

x
2
+1
. dx
Đặt t =

x
2
+1
x
, xt =

x
2
+1, x
2
t
2
=x
2
+1, x
2
=

1
t
2
−1
, 3x
2
+4 =
4t
2
−1
t
2
−1
x dx =−
t dt
(t
2
−1)
2
,
dx
xt
=−
t dt
(t
2
−1)
2
x
2

t
,
dx

x
2
+1
=
dt
1 −t
2
I
2
=

t
2
−1
4t
2
−1
dt
1 −t
2
=

dt
1 −4t
2
=

1
2


1
2t +1
−
1
2t −1

dt =
1
4
ln
2t +1
2t −1
=
1
4
ln
2

x
2
+1 +x
2

x
2
+1 −x

Vậy I =2

x
2
+1 +
1
4
ln
2

x
2
+1 +x
2

x
2
+1 −x
+C
Tìm nguyên hàm I =

cos
2
x
sin x +

3cos x
dx
Bài 2
Lời giải:

Dùng pp hệ số bất định cos
2
x =(a sinx +b cos x)(sin x +

3cos x) +c(sin
2
x +cos
2
x)
cos
2
x =

−1
4
sin x +

3
4
cos x

(sin x +

3cos x) +
1
4
=
−1
4
(sin x −


3cos x)(sin x +

3cos x) +
1
4
I =

−1
4
(sin x −

3cos x)(sin x +

3cos x) +
1
4
sin x +

3cos x
dx
=
−1
4

(sin x −

3cos x) dx +
1
4


1
sin x +

3cos x
dx
=
1
4
(cos x +

3sinx) +
1
4

1
sin x +

3cos x
dx
Ta tính J =
1
4

dx
sin x +

3cos x
=
1

8

dx
cos(x −
π
6
)
=
1
8

cos(x −
π
6
)
1 −sin
2
(x −
π
6
)
dx
Đặt t =sin(x −
π
6
) =⇒ dt =cos(x −
π
6
) dx
=⇒ J =

1
8

dt
1 −t
2
=
1
16


1
t +1
−
1
t −1

dt =
1
16
ln
t +1
t −1
=
1
16
ln
sin(x −
π
6

) +1
sin(x −
π
6
) −1
Vậy I =
1
4
(cos x +

3sinx) +
1
16
ln
sin(x −
π
6
) +1
sin(x −
π
6
) −1
+C
Tìm nguyên hàm I =

x
3
+x
2
4


4x +5
dx
Bài 3
Lời giải:
1
I =

x
3
+x
2
4

4x +5
dx =

x
4
+x
3
4

4x
5
+5x
4
dx
=
1

20


4x
5
+5x
4

−
1
4
d(4x
5
+5x
4
) =
1
15
4

(4x
5
+5x
4
)
3
+C
Tìm nguyên hàm I =



cos2x +

2cos

x +
π
4

e
sin x+cos x+1
dx
Bài 4
Lời giải:
Ta có cos2x +

2cos

x +
π
4

=(cos x −sinx)(sin x +cos x +1)
I =

(cos x −sin x)(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
dx
=

(sin x +cos x +1)e

sin x+cos x+1
d
(
sin x +cos x +1
)
=

(sin x +cos x +1) d

e
sin x+cos x+1

=(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
−

e
sin x+cos x+1
d
(
sin x +cos x +1
)
=(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
−e
sin x+cos x+1
+C
=(sin x +cos x)e
sin x+cos x+1
+C

Tìm nguyên hàm I =

3

3x −x
3
dx
Bài 5
Lời giải:
Đặt t =
3

3x −x
3
x
=⇒ x
2
=
3
t
3
+1
=⇒ 2x dx =
−9t
2
dt
(t
3
+1)
2

I =
1
2

3

3x −x
3
x
2x dx =
−9
2

t
3
dt
(t
3
+1)
2
=
3
2

t d

1
t
3
+1


=
3t
2(t
3
+1)
−
3
2

dt
t
3
+1
Tính J =

dt
t
3
+1
=

d(t +1)
(t +1)[(t +1)
2
−3(t +1) +3]
=
1
2
(

ln3(1−t)−2ln 3t +ln(1 +t)
)
Vậy I =
1
2
x
3

3x −x
3
−
3
4

ln3

1 −
3

3x −x
3
x

−2ln3
3

3x −x
3
x
+ln


1 +
3

3x −x
3
x

+C
Tìm nguyên hàm I =

1
x
4
+4x
3
+6x
2
+7x +4
dx
Bài 6
Lời giải:
Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x =−1 làm nghiệm
I =

dx
(x +1)[ (x +1)
3
+3]
=

1
3

(x +1)
3
+3 −(x +1)
3
(x +1)[ (x +1)
3
+3]
dx =
1
3


dx
x +1
−

(x +1)
2
(x +1)
3
+3
dx

=
1
3


ln|x +1|−
1
3

d((x +1)
3
)
(x +1)
3
+3

=
1
3
ln|x +1|−
1
9
ln|(x +1)
3
+3|+C
Tính tích phân I =

1
0
x ln

x +

1 +x
2


x +

1 +x
2
dx
Bài 7
Lời giải:
Đặt u =ln(x +

x
2
+1), dv =
x dx
x +

x
2
+1
=x(

x
2
+1 −x) d x
Suy ra du =
1 +
x

x
2

+1
x +

x
2
+1
dx =
dx

x
2
+1
, v =
1
2

(1 +x
2
)
1
2
d(1 +x
2
) −

x
2
dx =
1
3

[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
I =
1
3
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]ln(x +

1 +x
2
)



1
0
−
1

3

1
0
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
d x

1 +x
2
2
Mà J =

[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
d x

1 +x

2
=

d x
1 +x
2
−

x
3
d x

1 +x
2
=arctan x −
1
3
(x
2
−2)

x
2
+1
Nên I =
1
3
[(1 +x
2
)

3
2
−x
3
]ln(x +

1 +x
2
)



1
0
−
1
3
arctanx



1
0
+
1
9
(x
2
−2)


x
2
+1



1
0
Vậy I =
1
3
(

8 −1)ln(1+

2) −
π
12
+
1
9
(2 +

2)
Tính tích phân I =

1
2
0
x ln

1 +x
1 −x
dx
Bài 8
Lời giải:
Với u =ln
1 +x
1 −x
, dv =x dx nên du =
2
1 −x
2
dx, v =
1
2
x
2
I =
1
2
x
2
ln
1 +x
1 −x



1
2

0
−

1
2
0
x
2
1 −x
2
dx =
1
8
ln3+

1
2
0
1 −x
2
−1
1 −x
2
dx
=
1
8
ln3+
1
2

−
1
2

1
2
0

1
1 +x
+
1
1 −x

dx =
1
8
ln3+
1
2
−
1
2
ln
1 +x
1 −x



1

2
0
=
1
2
−
3
8
ln3
Tính tích phân I =

π
0
e
−x
cos2x dx
Bài 9
Lời giải:
I =

π
0
e
−x
cos2x dx =−

π
0
cos2x d(e
−x

) =−e
−x
cos2x



π
0
−2

π
0
e
−x
sin2x dx
=e
−π
+1 +2

π
0
sin2x d(e
−x
) = e
−π
+1 +2e
−x
sin2x




π
0
−4

π
0
e
−x
cos2x dx =
1
5
(e
−π
+1)
Tính tích phân I =


3
0
x
5
+2x
3

x
2
+1
dx
Bài 10

Lời giải:
I =


3
0
x(x
4
+2x
2
)

x
2
+1
dx =


3
0
(x
4
+2x
2
) d(

x
2
+1)
I =(x

4
+2x
2
)

x
2
+1




3
0
−


3
0

x
2
+1 d(x
4
+2x
2
)
Tính J =



x
2
+1 d(x
4
+2x
2
) =

4x(x
2
+1)

x
2
+1 dx =4

x(x
2
+1)
2

x
2
+1
dx
=4

(

x

2
+1)
4
d(

x
2
+1) =
4
5
(x
2
+1)
2

x
2
+1
Nên I =(x
4
+2x
2
)

x
2
+1





3
0
−
4
5
(x
2
+1)
2

x
2
+1




3
0
Tính tích phân I =

e
1
1 +x
2
ln x
x +x
2
ln x

dx
Bài 11
Lời giải:
I =

e
1
1 +x
2
ln x
x +x
2
ln x
dx =

e
1
1
x
2
+ln x
1
x
+ln x
dx =

e
1
1
x

+ln x
1
x
+ln x
dx +

e
1
1
x
2
−
1
x
1
x
+ln x
dx
=

e
1
dx −

e
1
d

1
x

+ln x

1
x
+ln x
= x



e
1
−ln

1
x
+ln x




e
1
= e −1 −ln

1
e
+1

3
Tìm nguyên hàm I =


2(1 +ln x) +x ln x(1 +ln x)
1 +x ln x
dx
Bài 12
Lời giải:
Đặt u =1 +x ln x =⇒ du =
(
1 +ln x
)
dx
I =

(2 +x ln x)(1 +ln x)
1 +x ln x
dx =

u +1
u
du =u +ln|u|+C =1 +x ln x +ln|1 +x ln x|+C
Tính tích phân I =

π
4
0
x
2
(x
2
sin2x +1) −(x −1) sin2x

cos x(x
2
sin x +cos x)
dx
Bài 13
Lời giải:
I =

x
4
sin2x +x
2
−(x −1) sin2x
x
2
sin x cosx +cos
2
x
dx =

π
4
0
2x
4
sin2x +2x
2
−2x sin x +2sin2x
x
2

sin2x +cos2x +1
dx
=

π
4
0
2x
2
(x
2
sin2x +cos2x +1) −(x
2
sin2x +cos2x +1)

x
2
sin2x +cos2x +1
dx
=

π
4
0
2x
2
dx −

π
4

0
d(x
2
sin2x +cos2x +1)
x
2
sin2x +cos2x +1
=
2
3
x
3



π
4
0
−ln|x
2
sin2x +cos2x +1|



π
4
0
=
π
3

96
+ln2−ln

π
2
16
+1

Tìm nguyên hàm I =

(x
2
+1) +(x
3
+x ln x +2)lnx
1 +x ln x
dx
Bài 14
Lời giải:
I =

(x
2
+ln x) +x ln x(x
2
+ln x) +(1 +ln x)
1 +x ln x
dx =

(x

2
+ln x)(1 +x ln x) +(1 +ln x)
1 +x ln x
dx
=

(x
2
+ln x) dx +

d(1 +x ln x)
1 +x ln x
=
1
3
.x
3
+x ln x −x +ln |1 +x ln x|+C
Tìm nguyên hàm I =

x
2
(x
2
sin
2
x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1
x
2
sin x +cos x

dx
Bài 15
Lời giải:
Vì x
2
(x
2
sin
2
x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1 =(x
2
sin x +cos x)
2
+(x
2
sin x +cos x)

I =

(x
2
sin x +cos x) dx +

d(x
2
sin x +cos x)
x
2
sin x +cos x
=


x
2
sin x dx +sin x +ln |x
2
sin x +cos x|
Tính J =

x
2
sin x dx =−

x
2
d(cos x) =−x
2
cos x +2

x cosx dx = −x
2
cos x +2

x d(sin x)
J =−x
2
cos x +2x sin x −2

sin x dx =−x
2
cos x +2x sin x +2cos x

Vậy I =−x
2
cos x +2x sin x +2cos x +sin x +ln |x
2
sin x +cos x|+C
Tìm nguyên hàm I =


x(x +2)(3sinx −4sin
3
x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x
2
cos3x −1

e
x
dx
Bài 16
Lời giải:

x(x +2)(3sinx −4sin
3
x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x
2
cos3x −1

e
x
=


x
2
sin3x +(x
2
sin3x)

+cos2x +(cos2x)


e
x
=⇒ I =(x
2
sin3x +cos2x)e
x
Tìm nguyên hàm I =

2x
4
ln
2
x +x ln x(x
3
+1) +x −
1
x
2
1 +x
3
ln x

dx
Bài 17
Lời giải:
4
2x
6
ln
2
x +x
6
ln x +x
3
ln x +x
3
−1
x
2
+x
5
ln x
=
2[(x
3
ln x)
2
−1] +x
3
(x
3
ln x +1) +(x

3
ln x +1)
x
2
(1 +x
3
ln x)
=
(x
3
ln x +1)(2x
3
ln x +x
3
−1)
x
2
(1 +x
3
ln x)
=2x ln x +x −
1
x
2
Nên I =


2x ln x +x −
1
x

2

dx =
1
2
x
2
+
1
x
+

2x ln x dx =
1
2
x
2
+
1
x
+

ln x d(x
2
)
I =
1
2
x
2

+
1
x
+x
2
ln x −

x dx =
1
x
+x
2
ln x +C
Tìm nguyên hàm I =

x
2
sin(ln x) dx
Bài 18
Lời giải:
Đặt x =e
t
, lnx = t , dx =e
t
dt
=⇒ I =

e
3t
sin t dt =−e

3t
cos t +

3e
3t
cos t dt =−e
3t
cos t +3e
3t
sin t −

9e
3t
sin t dt
=⇒ 10I =3e
3t
sin t −e
3t
cos t =⇒ I =
1
10

3.e
3ln x
sin(ln x) −e
3ln x
cos(ln x)

+C
Tìm nguyên hàm I =


e
x
(x −1) +2x
3
+x
3
(e
x
+x(x
2
+1))
e
x
.x +x
2
(x
2
+1)
dx
Bài 19
Lời giải:
e
x
(x −1) +2x
3
+x
3
(e
x

+x(x
2
+1))
e
x
.x +x
2
(x
2
+1)
=
x
3
−1
x
+
3x
2
+e
x
+1
x
3
+x +e
x
=x
2
−
1
x

+
(x
3
+x +e
x
)

x
3
+x +e
x
Do đó
I =
x
3
3
−ln|x|+ln |x
3
+x +e
x
|+C
Tính tích phân I =

π
3
π
6
ln(tan x) dx
Bài 20
Lời giải:

I =

π
3
π
6
ln(tan x) dx=
đổi biến (x=
π
2
−x)

π
3
π
6
ln(cot x) dx =⇒ 2I =

π
3
π
6
ln(tan x.cotx) dx =0 =⇒ I =0
Tìm nguyên hàm I =

dx
sin
3
x +cos
3

x
Bài 21
Lời giải:
Ta có
1
sin
3
x +cos
3
x
=
(sin x +cos x)
(sin x +cos x)
2
(1 −sin x cosx)
=
(sin x +cos x)
(1 +sin2x)(1 −sin x cosx)
Đặt t =sinx −cosx, sin x cos x =
1 −t
2
2
,dt =(cosx +sinx) dx
I =

dt
(2 −t
2
)


1 −
1 −t
2
2

=2

dt
(2 −t
2
)(1 +t
2
)
=
2
3


1
2 −t
2
+
1
1 +t
2

dt
I =
2
3


dt
2 −t
2
+
2
3

dt
1 +t
2
Tính tích phân I =

0
−π
4
sin4x
(1 +sin x)(1 +cos x)
dx
Bài 22
Lời giải:
2(1 +sin x)(1 +cos x) =(sinx +cosx +1)
2
=
4sin2x(cos x +sin x)(cos x −sin x)
(sin x +cos x +1)
2
Đặt t =cosx +sinx, sin2x = t
2
−1, dt =(cos x −sinx) dx, x =

−π
4
, t =0, x =0, t =1
5
I =

1
0
4(t
2
−1)t
(t +1)
2
dt =4

1
0
t
2
−t
t +1
dt =4

1
0

t −2 +
2
t +1


dt
I =

2t
2
−8t +8 ln(t +1)




1
0
=2(4ln2 −3)
Tính tích phân I =


3
1

3
dx
1 +x
2
+x
98
+x
100
Bài 23
Lời giải:
I =



3
1

3
dx
(1 +x
2
)(1 +x
98
)
=
x=
1
x


3
1

3
dx
x
2

1 +
1
x
2


1 +
1
x
98

=


3
1

3
x
98
dx
(x
2
+1)(x
98
+1)
=⇒ I =
1
2


3
1

3

dx
1 +x
2
Tìm nguyên hàm I =

x
2
−3x +
5
4
7

(2x +1)
4
dx
Bài 24
Lời giải:
I =
1
4

4x
2
−12x +5
(2x +1)
4
7
dx
I =
1

8


(2x +1)
2
−8(2x +1) +12

(2x +1)
−4
7
d(2x +1)
I =
1
8


(2x +1)
10
7
−8(2x +1)
3
7
+12(2x +1)
−4
7

d(2x +1)
I =
7
136

(2x +1)
17
7
−
7
10
(2x +1)
10
7
+
9
14
(2x +1)
3
7
+C
Tìm nguyên hàm I =

2x
3
+5x
2
−11x +4
(x +1)
30
dx
Bài 25
Lời giải:
I =


2(x +1)
3
−(x +1)
2
−15(x +1) +18
(x +1)
30
dx
=


2(x +1)
−27
−(x +1)
−28
−15(x +1)
−29
+18(x +1)
−30

dx
=−
1
13(x +1)
26
+
1
27(x +1)
27
+

15
28(x +1)
28
−
18
29(x +1)
29
+C
Tìm nguyên hàm I =

x
3
−3x
2
+4x −9
(x −2)
15
dx
Bài 26
Lời giải:
I =

(x −2)
3
+3(x −2)
2
+4(x −2) +3
(x −2)
15
dx

=


(x −2)
−12
+3(x −2)
−13
+4(x −2)
−14
+3(x −2)
−15

dx
=−
1
11(x −2)
11
−
1
4(x −2)
12
−
4
13(x −2)
13
−
3
14(x +1)
14
+C

Tìm nguyên hàm I =

(x −1)
2
(5x +2)
15
dx
Bài 27
Lời giải:
Ta có
6
25(x −1)
2
=25x
2
−50x +25 =25x
2
+20x +4 −70x −28 +49 =(5x +2)
2
−14(5x +2) +49
Nên
I =
1
25

(5x +2)
17
−14(5x +2)
16
+49(5x +2)

15
dx
I =
1
25

(5x +2)
18
90
−
14(5x +2)
17
85
+
49(5x +2)
16
80

+C
Tính tích phân I =

8
4

x
2
−16
x
dx
Bài 28

Lời giải:
Đặt x =
4
sin t
, dx =
−4co s t
sin
2
t
dt ,


4
sin t

2
−16 =4cot t x =4, t =
π
2
; x =8, t =
π
6
Ta được
I =

π
6
π
2
4cot t

4
sin t
−4co s t
sin
2
t
dt =4

π
2
π
6
cot
2
t dt =4

π
2
π
6
(1 +cot
2
t −1) dt
=4(−cott −t )



π
2
π

6
=4

3 +
4π
3
Tính tích phân I =

1
1

3

(1 +x
2
)
5
x
8
dx
Bài 29
Lời giải:
Đặt x =tan t, dx =
dt
cos
2
t
,

(1 +x

2
)
5
=

1
cos
10
t
, x =
1

3
, t =
π
6
, x =1, t =
π
4
Ta được
I =

π
4
π
6

1
cos
10

t
tan
8
t
dt
cos
2
t
=

π
4
π
6
d(sin t)
si n
8
t
dt =
1
7
sin
7
t



π
4
π

6
=
128 −8

2
7
Tính tích phân I =

2
1
x −

x
2
−2x +2
x +

x
2
−2x +2
dx
x
2
−2x +2
Bài 30
Lời giải:
Đặt x =u +1, dx = du, x = 1, u = 0, x =2,u =1
Ta được
I =


1
0
u +1 −

u
2
+1
x +1

x
2
+1
du
u
2
+1
=

1
0
du
u
2
+1
−

1
0
2 du


u
2
+1(u +

u
2
+1 +1)
=

1
0
du
u
2
+1
−

1+

2
1
2 dt
t(t +1)
( với t =u +

u
2
+1, dt =

u

2
+1 +u

u
2
+1
du)
=arctan u



1
0
−2ln
t
t +1



1+

2
1
=
π
4
−ln2
7
1) Tính tích phân:
1

0
(1 )
x
I x e dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
1
0
(1 )
x
I x e dx
 


 Đặt
1
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 
  
 
 

 
 
 

 
 
 
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
1 1
1
1 0 1 0
0
0
0
(1 ) (1 1) (1 0) 2 1 ( )
x x x
I x e e dx e e e e e e e
            


 Vậy,
1
0
(1 )
x
I x e dx e
  


2) Tính tích phân:
0
(1 cos )
I x xdx


 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
0 0 0
(1 cos ) cos
I x xdx xdx x xdx
  
   
  

 Với
2 2 2 2
1
0
0
0
2 2 2 2
x
I xdx


 
    


 Với
2
0
cos

I x xdx




 Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
 
 
 
 

 
 
 
 
 
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
0 0
2
0
0
sin sin 0 ( cos ) cos cos cos 0 2
I x x xdx x x

  

         



 Vậy,
2
1 2
2
2
I I I

   

4) Tính tích phân:
2
(1 ln )
e
e
I x xdx
 


5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
3 2
4 3 1
y x x x
   
và
2 1
y x
  

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
4)
2
(1 ln )
e
e
I x xdx
 


 Đặt
2
1
1 ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v







 





 
 

 






. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:

1

2 2
2
2 4 2 2
4 4 2 4 2
2
(1 ln ) (1 2) (1 1)
2 2 2 2 4
3 5 3
2 4 4 4 4
e e
e
e
e e

x x x e e x
I dx
e e e e e
e
  
    
     


 Vậy,
4 2
5 3
4 4
e e
I  
Câu 5: Cho
3 2 3 2
1
4 3 1 2 1 4 5 2
2
x
x x x x x x x
x



          






 Diện tích cần tìm là:
2
3 2
1
4 5 2
S x x x dx
   


hay
2
4 3 2
2
3 2
1
1
4 5 1 1
( 4 5 2) 2
4 3 2 12 12
x x x
S x x x dx x
 




          




 

(đvdt)
6) Tính tích phân:
3
0
sin cos
cos
x x
I dx
x





7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
ln
y x

, trục hoành và x = e
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
6)
3 3 3 3
0 0 0 0
sin cos sin cos sin
1.
cos cos cos cos

x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
   
 




    



 
   

 Với
3
1
0
sin .
cos
x dx
I
x



, ta đặt
cos sin . sin .

t x dt x dx x dx dt
      

Đổi cận: x 0
3


t 1
1
2

Thay vào:
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
ln ln1 ln ln 2
2
dt dt
I t
t t
 





     



 
 

 Với
3
3
0
2
0
1.
3
I dx x



  


 Vậy,
1 2
ln 2
3
I I I


   

Câu 7: Cho
ln 0 1
y x x
   

 Diện tích cần tìm là:
1 1
ln ln
e e
S x dx xdx
 
 

 Đặt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x












 
 

 





. Thay vào công thức tính S ta được:
1 1
1
ln ln 1ln1 0 1 1
e
e e
S x x dx e e x e e
         

(đvdt)
 Vậy, diện tích cần tìm là: S = 1 (đvdt)
8) Tính tích phân:
2
3
sin
1 2 cos
x

I dx
x






9): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

2
2
1
y x x
  
và
4
1
y x x
  

10): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
2
y x

,
4
x y
 
và trục hoành

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
8)
2
3
sin
1 2 cos
x
I dx
x






 Đặt 1 2 cos 2 sin . sin .
2
dt
t x dt x dx x dx

      
 Đổi cận: x
3


2


t 2 1
 Thay vào:

2
1 2
2 1
1
1 1 1
ln ln 2 ln 2
2 2 2 2
dx dt
I t
t t
 




     



 
 

 Vậy,
ln 2
I


Câu 9:
2
1

y x x
  
và
4
1
y x x
  

 Cho
2 4 2 4
1 1 0 0, 1
x x x x x x x x
           

 Vậy, diện tích cần tìm là :
1
2 4
1
S x x dx

 



Câu 10:
 Ta có,
2
2 ( 0)
2
y

y x x y    và
4 4
x y x y
    

Trục hoành là đường thẳng có phương trình y = 0:
 Cho
(nhan)
(loai)
2 2
4
4 4 0
2
2 2
y
y y
y y
y

 

      





 Diện tích cần tìm là:
2
2

0
4
2
y
S y dx
  


2
2 3 2
2
0
0
14 14
( 4) 4
2 6 2 3 3
y y y
S y dx y
 




        



 

(đvdt)

11) Tính tích phân:
2
1
0
( 1)
x
x
e
I dx
e




BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2 2 2
1 1 1
0 0 0
( 1) 2 1 2 1
( )
x x x x x
x x x x x
e e e e e
I dx dx dx
e e e e e
  
    
  

1
1
1 1 0 0
0
0
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2.1 ) ( 2.0 ) 2
x x x x
e e dx e x e e e e e e
e
   
              


 Vậy,
2
1
0
( 1) 1
2
x
x
e
I dx e
e
e

   


12) Tính tích phân:
2
1
ln
e
x x
I dx
x




BÀI GIẢI CHI TIẾT.
.

3
2 2 2
1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln
e e e e
x x x x
I dx dx dx dx
x x
x x x
 




    





 
   


 Xét
1
1
1
1
ln 1
e e
I dx x
x
  


 Xét
2
2
1
ln
e
x
I dx
x




 Đặt
2
1
ln
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x











 

 
 


 
 
 





. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
2
2
1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
ln ( ) 1 1
e e
e
I x dx
x e x e e e
x
            


 Vậy,
1 2
2 2
1 1 2I I I
e e
      

13) Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( ) 2 ln
f x x x

, biết
(1) 1
F
 

14): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
1
1y
x
 
, trục hoành và x = 2. Tính thể tích vật thể
tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
13) Xét
( ) 2 ln
F x x xdx



 Đặt
2
1

ln
2
u x
du dx
x
dv xdx
v x











 
 

 





. Thay vào nguyên hàm F(x) ta được:
2
2 2

( ) 2 ln ln ln
2
x
F x x xdx x x xdx x x C
     
 

 Do
(1) 1
F
 
nên
2
2
1 1 1 1
1 ln1 1 1 1
2 2 2 2
C C C
              

 Vậy,
2
2
1
( ) ln
2 2
x
F x x x
  

Câu 14:Cho
1
1 0 1
x
x
   

 Vậy, thể tích cần tìm:
2 2
2
2
1 1
1 2 1
(1 ) (1 )
V dx dx
x x
x
     
 

2
1
1 1 1 3
2 ln 2 2 ln 2 1 2 ln1 2 ln 2
2 1 2
V x x
x
   
       
   

   
   
           
   
   
   
       
(đvtt)

15) Tính tích phân:
1
0
( )
x
I x x e dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Xét
1
0
( )
x
I x x e dx
 



4

 Đặt
2
( )
2
x
x
du dx
u x
x
dv x e dx
v e









 

 
 
 
 
 






. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
1 1
1
2 2 3
1
0
0 0
0
1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 6
1 1 4
( ) (0 1)
2 6 3
x x x x
x x x
I x x e dx x e e dx e e
e e
         
      
 

16) Tính tích phân:
1
0
(2 1)
x
I x e dx

 


I GIẢI CHI TIẾT.
Xét
1
0
(2 1)
x
I x e dx
 


 Đặt
2 1 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 
  
 
 

 
 
 
 
 
 

. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
1 1
1
0
0
0
(2 1) 2 3 1 2 3 1 (2 2) 1
x x x
I x e e dx e e e e e
           


 Vậy, I = e + 1
17) Tính tích phân:
2
1
0
( )
x
I x x e dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2 2 2 2
1
3
1 1 1 1 1
2
0 0 0 0 0

0
1
( ) .
3 3
x x x x
x
I x x e dx x dx xe dx xe dx e xdx
       
    

 Đặt
2
2 .
2
dt
t x dt x dx xdx    
 Đổi cận: x 0 1
t 0 1
 Vậy,
1
1
0
0
1 1 1 1 1
.
3 2 3 2 3 2 2 2 6
t
t
dt e e e
I e

        


18) Tìm nguyên hàm
( )
F x
của
2
1
( ) 3 4
x
f x x e
x
   biết rằng
(1) 4
F e


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Với
2
1
( ) 3 4
x
f x x e
x
   , họ các nguyên hàm của f(x) là:
2 3
1
( ) 3 4 ln 4

x x
F x x e dx x x e C
x
 



      



 


 Do
(1) 4
F e

nên
3 1
1 ln 1 4 4 1
e C e C
      

 Vậy,
3
( ) ln 4 1
x
F x x x e
   

19) Tính tích phân:
3
ln 2
0
1
x
x
e
I dx
e




20): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
12 36
y x x
  
và
2
6
y x x
 

BÀI GIẢI CHI TIẾT.

5
ln 2

3 2 2 ln 2 0
ln 2 ln 2
2 ln2 0
0 0
0
1
( )
2 2 2
x x
x x x
x
e e e e
I dx e e dx e e e
e
  
     

  
  
  
  
        
  
  
  
     
 

 Vậy,
1

ln 4
ln
2
1 4 1 1
1 1 2
2 2 2 2 2
e
I e
 
 







        
 



 
   

Câu 20: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
12 36
y x x
  

và
2
6
y x x
 

 Cho
2 2 2
12 36 6 2 18 36 0 3, 6
x x x x x x x x
          

 Diện tích cần tìm là:
6 6
2 2
3 3
2 18 36 (2 18 36)
S x x dx x x dx
     
 

6
3
2
3
2
9 36 9 9
3
x
x x

 




     



 
(đvdt)
21) Tính tích phân:
1
0
1
I x xdx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
1
0
1
I x xdx
 

.
 Đặt
1
t x dt dx dx dt

       
và
1
x t
 

 Đổi cận: x 0 1
t 1 0
 Vậy,
1
3 5
1 3
2 2
1 0 1
2 2
0 1 0
0
2 2 4
1 (1 ) ( ) ( )
3 5 15
t t
I x xdx t t dt t t dt
 








         




 
  

22) Tính tích phân:
0
(2 1)sin
I x xdx

 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
0
(2 1)sin
I x xdx

 


 Đặt
2 1 2.
sin cos
u x dx dx
dv xdx v x
 

 
  
 

 
 
  
 
 
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:

0
0
0
(2 1)cos ( 2cos ) (2 1) 1 2sin (2 1) 1 2.0 2 2
I x x x dx x

 
  
              


23) Tính tích phân:
2
2 2
0
( 1)
I x x dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2
6 4 2
2 2 2
2 2 4 2 5 3
0 0 0
0
14
( 1) ( 2 1) ( 2 )
6 2 2 3
x x x
I x x dx x x x dx x x x dx
 




           



 
  

24) Tính tích phân:
3
3
0
2

1
x
I dx
x




25): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
2 2
( 1) ,
y x x y x x
   
và
1
x
 

BÀI GIẢI CHI TIẾT.


6
24)
3 2
3 3
0 0
2 2
.
1 1
x x x

I dx dx
x x
 
 
 

 Đặt
2
2
1
1
x
t x dt dx
x
   

và
2 2
1
x t
 

 Đổi cận: x 0
3

t 1 2
 Vậy,
2
3
2

2
1
1
8 1 4
( 1) 2 1
3 3 3 3
t
I t dt t
 
   


 
 

  
        
 

 


 
     



Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2 2
( 1) ,

y x x y x x
   
và
1
x
 

 Cho
2 2 3 2
( 1) 3 0 0; 3
x x x x x x x x
         


 Diện tích cần tìm là:
3 0 3
3 2 3 2 3 2
1 1 0
3 ( 3 ) ( 3 )
S x x dx x x dx x x dx
 
     
  

0 3
4 4
3 3
1 0
5 27
8

4 4 4 4
x x
S x x

   
 
 
 
 
         
 
 
 
   
(đvdt)
26) Tính tích phân:
1
(ln 1)
e
I x dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
1
(ln 1)
e
I x dx
 


 Đặt
1
ln 1u x
du dx
x
dv dx
v x





 





 
 

 





. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được
1

1
1 1
(ln 1) (ln 1) 2 1 2 1 1
e e
e e
I x dx x x dx e x e e e
            
 

 Vậy, I = e.
27) Tính tích phân:
2
2
0
( 1)
x
I x e dx
 


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2
2
0
( 1)
x
I x e dx
 


 Đặt
2
2
1
1
2
x
x
du dx
u x
dv e dx
v e




 
 


 

 
 


 






. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được :
2 2
4
2
2 2 4 2 4 4
0
0 0
1 1 3 1 1 3 1 1 1 5 1
( 1)
2 2 2 2 4 2 2 4 4 4
x x x
e
I x e e dx e e e e

          


28) Tính tích phân:
2
2
1
ln
e
x x
I dx
x





BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2
2 2 2
1 1 1
1
ln ln ln
1
e
e e e
x x x x
I dx dx dx dx
x x x
 




    




 
   


7
 Xét

1
1
1
1
e
e
I dx x e
   


 Xét
2
2
1
ln
e
x
I dx
x


. Đặt
2
1
ln
1
1
u x
du dx
x

dv dx
v
x
x







 
 
 

 
 

 
 
 





. Khi đó,
2
2
1

1 1
ln 1 1 1 1 1 2
1 1
e e
e
x
I dx
x e x e e e
x
   
 
 
 
           
 
 
 
   


 Vậy,
1 2
2 2
1 1I I I e e
e e
       