chuyên đề bồi dưỡng HSG Casio

Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 1
I. DY S
A. Cỏc bi toỏn tớnh tng dóy s cú quy lut.

1. Tớnh tng
a)
A 1 2 3 n
= + + + +

KQ:
(
)
n 1 .n
A
2
+
=


b)
(
)
B 1.2 2.3 3.4 n 1 .n
= + + + +

HD:
Kh liờn tip:
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3B 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 n 1 .n. n 1 n 2
1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 n 1 .n. n 1 n 2 . n
1 .n
n 1 .n. n 1

= + + + + +

= + + + + +
= +

Vy
(
)
(
)
n 1 .n. n 1
B
3
+
=

c)
(
)
(
)
C 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n 2 n 1 n
= + + + +

KQ:

(
)
(
)
(
)
n 2 n 1 .n. n 1
C
4
+
=


d)
2 2 2 2
D 1 2 3 n
= + + + +

HD: Da vo dóy ó bit:
(
)
(
)
2 2 2 2
D A 1 2 3 n 1 2 3 n B
= + + + + + + + + =

Vy
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n 1 .n. n 1 n 1 n 2 n 1 .n. n 1 3 n 1 .n
D A B
3 2 6
+ + + + +
= + = + =

(
)

(
)
n 1 .n. 2n 1
6
+ +
=


e)
(
)
(
)
E 1.n 2. n 1 3. n 2 n.1
= + + + +

HD:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
E D 1.n 2. n 1 3. n 2 n.1 1 2 3 n
1. n 1 2. n 1 3. n 1 n n 1

+ = + + + + + + + + +

= + + + + + + + +

Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 2
( )( )
(
)
(
)
n 1 n n 1
n 1 1 2 3 n
2
+
= + + + + + =
Vy
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n 1 .n. n 1 n 1 .n. 2n 1 n 1 .n. n 4
E

2 6 6
+ +
= =
f)
3 3 3 3
F 1 2 3 n
= + + + +


g)
2 3 n
G 1 2 2 2 2
= + + + + +

HD:
Lp phng trỡnh
2 3 n n 1 n 1
2G 2 2 2 2 2 G 2 1
+ +
= + + + + + = +

Vy
n 1
G 2 1
+
=


2.
(

)
(
)
1 2 3
Cho S 1 2;S 1 2 4 5;S 1 2 3 7 8 9
= + = + + + = + + + + +

(
)
4
S 1 2 3 4 11 12 13 14
= + + + + + + +
. Tớnh
n
S


3. Tớnh
S 1 3 5 2009
= + + + +

HD:
Dựng mỏy tớnh kim tra
1 3 2;
1 3 5 3;
1 3 5 7 4
.
.
.
+ =

+ + =
+ + + =

D oỏn
( ) ( )
2
1 3 5 2n 1 n 1 3 5 2n 1 n
+ + + + = + + + + =

CM bng quy np
:
n 1
=
ỳng
Gi s ỳng vi
n k
=
hay
(
)
2
1 3 5 2k 1 k
+ + + + =

Xột
(
)
(
)
(

)
2
2
1 3 5 2k 1 2k 1 k 2k 1 k 1
+ + + + + + = + + = +

Vy bi toỏn ỳng vi
n k 1
= +
. PCM

4. Tớnh
3 3 3 3
S 1 2 3 2009
= + + + +
.

5. Thc hin phộp tớnh
Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 3
a)
( )
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n 1 .n
+ + + +


b)

( )( )
1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n 2 n 1 n
+ + + +



6. Tớnh
a)
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 n 1 n
+ + + +
+ + + +

b)
( )
1 1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 n n 1 n 1 n
+ + + +
+ + + +

c)
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 n

n 1
+ + + + + + + + + + + +



7. Tớnh
11 12
S 1 2 3 3.3 4.3 3 24.3 3 25.3
= + + +


8.
n
Với n là số tự nhiên, kí hiệu a là số tự
nhiên gần nhất của n. Tính

2009 1 2 3 2009
S a a a a
= + + + +

HD:
Dựng mỏy tớnh th
1 2 3 4 5 6 7 12 13 20 21
a 1;a 1;a 2;a 2;a 2;a 2;a 3; a 3;a 4 a 4;a 5
.
= = = = = = = = = = =

Thy trong dóy tng S
n
cú 2 s 1; 4 s 2; 6 s 2; 8 s 4. D oỏn cú 2n s n.

CM: Ta chng minh bt phng trỡnh
1 1
n x n
2 2
< < +
cú ỳng 2n nghim
nguyờn x. Tht vy BPT tng ng vi
2 2
1 1
n n x n n
4 4
+ < < + +
cú tp
nghim l
{
}
2 2 2 2
n n 1;n n 2;n n 3; n n 2n
+ + + +
cú ỳng 2n nghim.
Vy
2009
S 2.1 4.2 6.3 2n.n p.(n 1)
= + + + + + +
trong ú
( )
(
)
( )
n n 1 p 2009

2 4 6 2n p 2009
n 44
p 2 n 1
p 29
p 2 n 1

+ + =
+ + + + + =

=




+
=
+






Vy
2009
S 2.1 4.2 6.3 88.44 29.45
= + + + +

(
)

2 2 2 2
2 1 2 3 44 29.45 60045
= + + + + =

9. Vi mi s thc x, kớ hiu
[
]
x
l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ x.
Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 4
Gii phng trỡnh
33
3 3 3
1 2 3 x 1 855


+ + + + =




10. Vi mi s thc x, kớ hiu
[
]
x
l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ x.
Tớnh
S 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2007.2008.2009.

2010

= + + + +



11. Mt tp hp cỏc s t nhiờn liờn tip bt u t s 1 c vit trờn bng. Nu
ngi ta xúa i mt s thỡ trung bỡnh cng ca nhng s cũn li l
7
35
17
. Tỡm s ó
b xúa.
HD:
Bi toỏn tr thnh tỡm x bit
1 2 3 n x 7
35
n 1 17
+ + + +
=

trong ú
1 x n

,
x,n N

. Ta cú
(
)

( )
( )
( ) ( )
n n 1
x
n n 1 2x
7 602
2
35 17 n n 1 2x 1204 n 1
n 1 17 2 n 1 17
+

+

= = + =



li cú
1 x n

vy
(
)
(
)
(
)
17 n n 1 2 1204 n 1 17 n n 1 2n

+ +


(
)
(
)
(
)
2
17 n n 2 1204 n 1 17n n 1
+
(
)
(
)
(
)
(
)
17 n 1 n 2 1204 n 1 17n n 1
+

n 2 71 n 69
n 70 n 70
+ =

=


Vi
n 69 x 7
= =

Vi
n 70 x N
=
loi.
Vy
x 7
=


B. Cỏc bi toỏn ly tin

1. Cho dóy s:
n
n 1
n
4 x
x
1 x
+
+
=
+

a) Lp mt quy trỡnh bm phớm tớnh
n 1
x
+
vi
1
x 1
=
v tớnh
100
x

b) Lp mt quy trỡnh bm phớm tớnh
n 1
x
+
vi
1
x 2
=
v tớnh
100
x


2. Cho dóy s
2
n
n 1
2

n
4x 5
x
x 1
+
+
=
+
, n l s t nhiờn,
n 1


a) Cho
1
x 0,25
=
. Vit quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh cỏc giỏ tr
n
x
.
Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 5
b) Tớnh
100
x
.

3. a) Dõn s nc ta nm 2001 l 76,3 triu ngi, t l tng dõn s trung bỡnh mi
nm l 1,2%. Hi dõn s nc ta n nm 2010 l bao nhiờu (lm trũn n trm

nghỡn ngi)
b) Dõn s nc ta nm 2001 l 76,3 triu ngi. n nm 2020, mun cho dõn
s nc ta cú khong 100 triu ngi thỡ t l tng dõn s trung bỡnh mi nm l bao
nhiờu?

4. Mt ngi gi tit kiờm vo ngõn hng s tin l 65 000 000 ng (tin Vit
Nam) theo mc khụng kỡ hn vi lói sut l 0,4% mt thỏng. Nu mi thỏng ngi
ú rỳt ra mt s tin nh nhau vo ngy ngõn hng tớnh lói thỡ hng thỏng ngi ú
cn rỳt ra bao nhiờu tin (lm trũn n trm ng) sau ỳng 60 thỏng s tin
trong s tit kim va ht.
HD: Gi s s tin hng thỏng ngi ú cn rỳt ra l x ng.
Sau 1 thỏng s tin cũn li trong ngõn hng ca ngi ú l
1 0
a a .1,004 x
=
(ng)
(
)
0
a 65.000.000 đ
=

sau hai thỏng s tin cũn li trong ngõn hng ca ngi ú l
(
)
(
)
2
2 1 0 0
a a .1,004 x a .1,004 x .1,004 x a .1,004 x 1,004 1

= = = +

(
)
3 2
3 2 0
a a .1,004 x a .1,004 x 1,004 1,004 1
= = + +

.
.
.
D oỏn
( )
n
n n 1 n 2 n
n 0 0
1,004 1
a a .1,004 x 1,004 1,004 1,004 1 a .1,004 x
0.004


= + + + + =

Cm bng quy np nhn nh trờn
Thay s c phng trỡnh:
60
60
0
1,004 1

a .1,004 x 0
0,004

=

Gii phng trỡnh ta c
x 1220000


5. Mt ngi mua mt cn h chung c tr giỏ 850 000 000 ng theo phng thc
tr gúp. Bit rng ngi ú phi chu lói sut ca s tin cha tr l 0,91% mt
thỏng v mi thỏng ngi ú u tr 15 000 000 ng. Hi sau bao nhiờu thỏng thỡ
ngi ú tr ht s tin.

Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 6
6. ễng An mun rng sau 2 nm phi cú 20 000 000 mua xe. Hi phi gi vo
ngõn hng mt khong tin nh nhau hng thỏng l bao nhiờu, bit rng lói sut tit
kim l 0,075%/thỏng.

7. B bn Bỡnh tng cho bn y mt mỏy tớnh tr giỏ 5 000 000 ng bng cỏch cho
bn tin hng thỏng vi phng thc sau: Thỏng u tiờn bn Bỡnh c nhn 100
000 ng, cỏc thỏng t thỏng th hai tr i, mi thỏng nhn c s tin hn thỏng
trc 20 000 ng.
a) Nu chn cỏch gi tit kim s tin c nhn hng thỏng vi lói sut
0,6%/thỏng, thỡ bn Bỡnh phi gi bao nhiờu thỏng mi tin mua mỏy vi tớnh?
b) Nu bn Bỡnh mun chn phng thc mua tr gúp hng thỏng bng s tin
b cho vi lói sut 0,7%/thỏng, thỡ bn phi tr gúp bao nhiờu thỏng mi tr ht n?

8. Tỡm nghim gn ỳng ca phng trỡnh:
a)
3
x 7x 4 0
+ =

b)
5
32x 32x 17 0
+ =

c)
6
x 15x 25 0
=

d)
6
x x 1 0
=

e)
8
3x 2 x 5 0
=
.

C. Dóy truy hi

1. Cho dóy s

{
}
n
U
nh sau:
(
)
(
)
n n
n
U 5 2 6 5 2 6
= + +
vi
n 1;2;3
=

a) Tớnh
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U

b) Chng minh rng
n 2 n n 1
U U 10U
+ +
+ =

c) Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n 2
U

+
vi
n 1


2. Cho dóy s
{
}
n
U
nh sau:
(
)
(
)
n n
n
5 2 6 5 2 6
U
4 6
+
=
vi
n 1;2;3
=

a) Tớnh
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U ;U

b) Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n 2
U
+
vi
n 1


c) Lp cụng thc truy hi tớnh
n 2
U
+
theo
n 1
U
+
v
n
U
.
3. Cho dóy s
{
}
n
U
nh sau:
2 n
n
3 5 3 5
U 2

2 2

+
= +



vi
n 0;1;2
=

a) Tỡm 5 s hng u tiờn ca dóy.
b) Lp cụng thc truy hi tớnh
n 1
U
+
theo
n
U
v
n 1
U


Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 7
c) Lp mt quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n 1
U

+
vi
n 1

.

4. Cho dóy s
0 1
U 2,U 10
= =
v
n 1 n n 1
U 10U U
+
=
,
n 1;2;3
=

a) Lp quy trỡnh tớnh
n 1
U
+

b) Chng minh cụng thc tng quỏt ca
n
U
l
(
)

(
)
n n
n
U 5 2 6 5 2 6
= + +

c) Tớnh
n
U
vi
n 2;3;4; ;12
=


5. Cho dóy s
0 1 n 1 n n 1
U 0; U 1; U 3U U 2
+
= = = +

a) Lp quy trỡnh tớnh
n 1
U
+

b) Tỡm cụng thc tng quỏt ca
n
U

c) Tớnh
n
U
vi
n 1;2;3 ;10
=

6. Cho dóy s
1 2 3 n 3 n 2 n 1 n
u 1;u 2;u 3;u u 2u 3u
+ + +
= = = = + +

a) Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n 3
u
+
vi
n 1;2;3;
=

b) Tớnh cỏc giỏ tr
20 21 22 23 24 25 26 27 28
u ;u ;u ;u ;u ;u ;u ;u ;u


7. Dóy s
{
}
n

U
c cho nh sau:
0 1 n 2 n 1 n
U U 2;U U .U 1
+ +
= = = +
vi
n 0;1;2;3
=

a) Hóy lp mt quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n
U
vi
n 2

.
b) Tớnh cỏc giỏ tr
2 3 4 5 6 7 8
U ;U ;U ;U ;U ;U ;U


8. Cho dóy s
(
)
(
)
n n
n
3 2 3 2

U
2 2
+
=
vi
n 1;2;3
=

a) Tỡm 5 s hng u tiờn ca dóy
b) Chng minh rng
n 2 n 1 n
U 6U 7U
+ +
=

c) Vit quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh
n
U
trờn mỏy tớnh.


9. Cho dóy s
{
}
n
u
c xỏc nh nh sau:
n 1 n
1 2 n 2
n 1 n

2u 3u nếu n lẻ
u 1;u 2;u
3u 2u nếu n chẵn
+
+
+
+

= = =

+


a) Tớnh giỏ tr ca
10 15 21
u ;u ;u

b) Gi
n
S
l tng ca n s hng u tiờn ca dóy s
{
}
n
u
. Tớnh
10 15 20
S ;S ;S
.

Chuyên đề bồi dỡng HSG Giải toán trên máy tính cầm tay

Vũ Đức Kiên, trờng Thực Hành S Phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 8
10. Cho hai dóy s vi cỏc s hng tng quỏt c cho bi cụng thc:
1 1
n 1 n n
n 1 n n
u 1; v 2
u 22v 15u với n 1;2;3;
v 17v 12u
+
+
= =


= =


=


a) Tớnh
5 10 15 18 19 5 10 15 18 19
u ;u ;u ;u ;u ;v ;v ;v ;v ;v

b) Vit quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh
n 1 n 1 n n
u và v theo u và v
+ +
.