Chuyên đề Giá trị lớn nhát - giá trị nhỏ nhất của biểu thức luyện thi đại học

Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
GTLN – GTNN
1.Dạng 1:Đưa về dạng bình phương
Phương pháp:
2
A c c+ ≥
( c là hằng số) , dấu
" "=
xảy ra khi A = 0.
Bài 1.1:Tìm GTLN của
( )
f x x(1 x)= −
Giải:
( )
2
1 1 1
f x x x ( x )
2 4 4
= − = − − + ≤
.
Dấu
" "=
xảy ra
1 1
x x
2 4
⇔ = ⇔ =
.Vậy:GTLN của f(x) là
1 1
khi x
4 4

=
.
Bài 1.2:Tìm giá trị của x để biểu thức
2
1
x 2 2x 5− +
có giá trị lớn nhất.
Bài 1.3:Tìm GTNN của biểu thức
P x 2 xy 3y 2 x 2004,5 ( x, y 0)= − + − + ∀ ≥
Bài 1.4:Tìm GTLN của biểu thức
2 2
P 2 5x y 4xy 2x= − − − +
Bài 1.5:Tìm GTNN của biểu thức
( )
2 2
f x, y x 2xy 6y 12x 45= − + − +
Bài 1.6:Cho x,y thoả mãn đẳng thức
2 2
2
1
8x y 4
4x
+ + =
.Xác định x,y để xy đạt GTNN.
Bài 1.7:Tìm GTNN của biểu thức
( ) ( )
2 2
A x 2y 1 2x ay 5= − + + + +
( a là hằng số)
2.Dạng 2:Sử dụng Bất đẳng thức quen thuộc

Bài 2.1:Cho
x 0,y 0> >
thoả mản điều kiện
1 1 1
x y 2
+ =
.Tìm GTNN của biểu thức
A x y= +
Bài 2.2:Tìm GTLN cua biểu thức
A 3x 5 7 3x= − + −
x 9
B
5x
−
=
Bài 2.3:Cho
x 0>
,tìm GTNN của biểu thức
4
3
3x 16
A
x
+
=
Bài 2.4:Cho
0 x 2< <
,tìm GTNN của biểu thức
9x 2
A

2 x x
= +
−
Bài 2.5:Cho ba số dương x,y,z thoả mản điều kiện x + y + z = 2.
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
x y z
P
y z z x x y
= + +
+ + +
Bài 2.6:Cho x + y = 15.Tìm GTNN – GTLN của biểu thức
A x 4 y 3= − + −
Bài 2.7:Cho
x, y,z 0≥
thoả mãn điều kiện x + y + z = a.
a.Tìm GTLN của biểu thức
A xy yz zx= + +
b. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
B x y z= + +
Bài 2.8:Tìm GTLN của
P 3 x 1 4 5 x= − + −
.
Luyện Thi THPT Quốc Gia 2015 Trang:1
Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
Dạng 3:Sử dụng đạo hàm để tìm GTNN – GTLN
Bài 3.1:Tìm GTNN – GTLN của các hàm số sau:
a.
2

y x 4 x= −
b.
2
y x 1 3x 6x 9= + + − + +
c.
y 5cos x cos5x, x ;
4 4
π π
 
= − ∀ ∈ −
 
 
d.
8 4
y sin x cos x= +
e.
( ) ( )
1
y 2 1 sin 2x cos4x cos4x cos8x
2
= + − −
Bài 3.2:Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình
x y a
2 2 2
x y 6 a
+ =
+ = −




.
Tìm GTNN của biểu thức
( )
F xy 2 x y= + +
.
Bài 3.3:Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình
2 2
2
12
12x 6mx m 4 0
m
− + − + =
.
Tìm m để biểu thức
2 2
1 2
F x x= +
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài 3.4:Tìm m để GTNN của hàm số
( ) ( )
2 2
y f x x 2a 1 x a a 1= = + + + − −
trên
[ ]
1;2−
bằng 1.

Bài 3.5:Tìm a để tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình
( )
2 2
x a 1 x a 0− + + =
là nhỏ nhất.
Bài 3.6:Cho hai số thực x,y thoả mản x + y = 2.Tìm GTNN của biểu thức
4 4
A x y= +
.
Bài 3.7:Cho hai số dương x, y thoả mãn
x 2y 3+ =
.Tìm GTLN của biểu thức
A 1 2x 2 2y 1= + + −
Bài 3.8:Cho hai số x,y thoả
2 2
x xy y 1+ + =
.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2 2
A x xy y= − +
Bài 3.9:Cho hai số x,y thoả
2 2
x y 1+ =
.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2
2
2xy y
A
2xy 2x 1
+
=

+ +
.
Bài 3.10:Cho
2 2
x y xy 1.+ − =
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
4 4 2 2
f x, y x y x y= + −
.
Bài 3.11: Cho hai số
x,y∈¡
và
2 2
x xy y xy(x y)− + = +
.Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
Bài 3.12:Cho hai số x,y dương thoả
3 3
x y 2.+ ≤
Tìm GTLN của hàm số
( )
2 2
F x,y x y= +
.
Bài 3.13:Cho 3 số

[ ]
3
x,y,z 0,1 và x y z
2
∈ + + =
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
( )
2 2 2
A cos x y z= + +
Bài 3.14:Cho x, y đều dương và thoả mãn
x y 1+ =
.
Tìm GTNN của hàm số
( )
2 2
2 2
1 1
f x, y x y
x y
= + + +
Bài 3.15:Cho
2 2 2
a b c 4 và x 0;
2
π
 
+ + = ∈
 ÷
 

.
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
f x a b 2sin x csin 2x= + +
Luyện Thi THPT Quốc Gia 2015 Trang:2
Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
Bài 3.15:Cho
2 2 2
a b c 4 và x 0;
2
π
 
+ + = ∈
 ÷
 
.
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
f x a b 2sin x csin 2x= + +
Bài 3.16: Cho hai số x,y dương thoả mãn
2 2
x y 1+ =
.Tìm GTLN của hàm số
( )
3 3
1 1
f x
x y
= +
Bài 3.17:Cho hai số dương x,y và thoả mãn

x y 1.+ =
Tìm GTNN của hàm số
( )
x y
f x, y
1 x 1 y
= +
− −
.
Bài 3.18:Cho x,y,z là ba số dương và
x y z 1.+ + ≤

2 2 2
2 2 2
1 1 1
CMR : x y z 82
x y z
+ + + + + ≥
(Đề thi ĐH Khối A năm 2003)
Bài 3.19:Xác định m để phương trình
(
)
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − −
có
nghiệm (Đề thi ĐH Khối B năm 2004)
Bài 3.20: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn
1 1 1
4
x y z

+ + =
.
1 1 1
CMR : 1
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
(Đề thi ĐH Khối A năm 2005).
Bài 3.21:Cho các số dương x,y,z thoả mãn
xyz 1.=

3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
CMR : 3 3
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
.Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Bài 3.22:Cho hai số thực
x 0,y 0≠ ≠
thay đổi thoả mãn
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
.
Tìm GTLN của biểu thức
3 3

1 1
A
x y
= +
(Đề thi ĐH Khối A năm 2006).
Bài 3.23:Cho x,y là hai số thực thay đổi .
Tìm GTNN của biểu thức
( ) ( )
2 2
2 2
A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + −
Bài 3.24:Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.
Tìm GTNN của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y x y z x z x y
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
+ + +
= + +
+ + +
(Đề thi ĐH KA năm 2007).
Bài 3.25:Cho hai số thực thay đổi x,y và thoả mãn
2 2
x y 1+ =
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
( )
2
2

2 x 6xy
P
1 2xy 2y
+
=
+ +
(Đề thi ĐH KB năm 2008).
Bài 2.26:Cho hai số thực không âm thay đổi.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x y 1 xy
P
1 x 1 y
− −
=
+ +
(Đề thi ĐH KD năm 2008).
Luyện Thi THPT Quốc Gia 2015 Trang:3