PHUONG PHAP GIAI PT LUONG GIAC

Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
A:LÍ THUYẾT
.
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
Sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
Cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π

cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2).
trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(.
22
ϕ
−+ xba = c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ

asinx +bcosx = c
⇔

)sin(.
22
ϕ
++ xba

= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Cách 2 :
Xét phương trình với x =
π
+ k
π
, k
∈
Z
Với x
≠

π
+ k
π
đặt t = tg
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0 hay (c + b )t

2
– 2at + c – b = 0.
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm
⇔
a
2
+ b
2
- c
2

≥
0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos −=− xx

3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44

=++
π
xx

5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx −=−
, 6.
)cos3(sin4cot3 xxgxtgx +=−

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , b. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
c. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
e.sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x f.
x
x
2

cos
3
4
cos =


Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 2
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
•
Xét phương trình khi x =
2
π
+ k
π
.
•
Với x
≠

2
π
+ k

π
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tgx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao :
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x =
2
π
+ k
π
,k
∈
Z.
Bài tập :
1. 2sin

2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22 ≤≤− t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22 ≤≤− t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t−

Bài tập : giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng :
Các bước giải một phương trình lượng giác:
B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghóa
B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã
biết cách giải .
B3: Giải phương trình và chọn phù hợp.
B4: kết luận
a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải
b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số .
c / Phương pháp3:
Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ.
Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 3

B. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI:
I . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
x
cos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos =
ĐS : x = k3
π

, x=
±

4
π
+k3
π
, x =
±

4
5
π
+k3
π

3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = -
4
π
+ k
π

5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
ĐS : x = k2
π
, x =
±

3
π
+k2
π

6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =

2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg
2
x

10/ sin2x+ 2tgx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tg
3
( x -
4
π

) = tgx - 1 ĐS : x = k
π
v x =
4
π
+ k
π

13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x =
4
π
+ k
π

15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3

x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+k
π

6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x =
±

3
π
+ k
π
v x=
4
π
+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 4
8/ 6sinx – 2cos

3
x = 5sin 2x cosx

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin

1
cos
1
=+++ xx
x
x

7/ tgx + tg
2
x + tg
3
x + cotgx+cotg
2
x +cotg
3
x = 6 8/
x
2
sin
2
+ 2tg
2
x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin

3
x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx –
2
3/ sin
2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin

4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin

3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos
1
sincos
=
−
+

11/ sin
2
)
4
2
(
π
−
x
tg
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx =
x

sin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg
2
x + tg2x ) .
15/
32cos)
2
sin
2
1
3sin3cos
(sin5 +=
+
+
+ x
x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2

6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1
−
=+

19/ tgx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tgx.tg
2
x
) 20/ cotgx – 1 =
xx
tgx
x
2sin
2
1
sin
1
2cos
2

−+
+

21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg
2
x – 1) = 2
23/ cotgx – tgx +4sin2x =
x
2
sin
2
24/
)sin1(2
cos
sin
)1(coscos
2
x
x
x
xx
+=
+
−

25/ cotgx = tgx +
x
x
2
sin

4cos2
26/
x
x
xx
cos
3
1
sin
2
2
cos
2
sin
33
=
+
−

27/ tg2x – tgx =
3
1
cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx)
3
-
2
(sin2x +1) +sinx +cosx –
2
= 0
29/

0
cos
2cos39sin62sin4
22
=
−−+
x
xxx
30/ sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 2
Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 5
31/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/
xtg
x
x
xx
2
8
13
sin
cos
cossin
22

66
=
−
+

33/ tg2x + cotgx = 8cos
2
x 34/ sinx+sin2x+sin3x -
3
( cosx +cos2x+cos3x )
=0
35/ sin
4
x + cos
4
x – cos2x +
4
1
sin
2
2x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x)
2
= 5 + sin3x
39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos
3
x HD :đặt t = tgx. 40/ sin
2
2x – cos
2

8x = sin(10x +
2
17
π
)
41/ 2cos
3
x + cos2x +sinx = 0 42/ cos
3
3x.cos2x – cos
2
x = 0
43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos
4
x + sin
4
x + cos(x -
4
π
)sin(3x -
4
π
)-
2
3
= 0
45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg
2
x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x
47/ cotgx – tgx + 4sin2x =

x
2
sin
2
48/ sin
2
(
4
2
π
−
x
)tg
2
x – cos
2
2
x

49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x . 50/ cos3x + sin7x = 2sin
2
(
4
π
+
2
5
x
) – 2cos
2

2
9
x

51/ sin
3
x +sinxcosx = 1- cos
3
x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1)
53/ 4cosx – 2cos
2
x – cos2x – cos4x = 0 , 54/
1
2
cos
1
2sin
=
+
+
x
x

55/ 2(cos
4
x – sin
4
x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos
4
x + sin

4
x) = cos(
x
2
2
−
π
)
57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos
4
x + sin
4
x) +
3
sin4x = 2
59 / sin2x + cos2x = 1 -
3
sin2x +2
3
cos
2
x 60/ cos
4
x + sin
4
x –cos2x +
4
1
sin
2

2x = 0 ,
61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x ,
63/ sin2x +
22
cosx +2sin(x+
4
π
)+3 = 0 64/
0
sin22
cossin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx

65/ cotgx + sinx(1+tgxtg
2
x
) = 4 66/
1
1
cos
sin
2
12sinsin23sin2
2
−=

+
+−+
x
x
xxx

V.
CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ

1/Cho ph
ương trình

02sin
4
1
2coscossin
244
=++−+ mxxxx
. Tìm m đ
để phương trình có nghiệm.
2/
Đònh m để phương trình :
m
x
x
gxtgxxx =++++++
)
cos
1
sin

1
cot(
2
1
1cossin
có nghiệm






∈
2
;0
π
x

3/
Cho ph
ương trình
:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2

2
=−++ x
x
mx
x
.Tìm m để phương trình có nghiệm
thuộc
).
2
;0(
π

4/
. Tìm tất cả các giá trò của m sao cho ta có:
Rxmxxxx ∈∀≥++ ,cos.sincossin
66

Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &

trang 6
5/ Cho phương trình :
01)cot(3
sin
3
2
2
=−+++ gxtgxmxtg
x
. Tìm tất cả các giá trò của m để phương
trình có nghiệm