GIÁO ÁN ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN NĂM 2015 - 2016

GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
A- ĐẠI SỐ
ƠN TẬP LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.
Ví dụ 1 : Tìm x biết x2 = 8.
Giải : x = ± 8 = ±2 2
Ví dụ 2 : Tìm x biết x − 1 = 2
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇔
⇔ x=5
x − 1 = 4
x = 5
VÝ dơ 3 : So s¸nh

Giải : Ta có 
15

vµ 4

2 3 vµ 3 2
Giai : Ta co
4 = 16 > 15 ;2 3 = 12 ;3 2 = 18
12 < 18 ⇒ 2 3 < 3 2
Ví dụ 4 : Tính 5,4 + 7 0,25

Giải : 5,4 + 7 0,25 = 5,4 + 7.0,5 = 5,4 + 3,5 = 8,9
Bài tập tự giải :
1) Tìm x biết a) x 2 + 1 = 2 b) x 2 − 5 = 2
2) Tính a) 0,25.

1
4

b)

−1
100 . + 16 + 9 + 4
2

3) So sánh 2 5 vµ 3 3
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết:
a)y = x2 -2x +3
b)y = 9 x 2 + 12 x + 11
Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức
Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức 2 x − 4 có nghĩa ?
Giải : Ta có 2 x − 4 có nghĩa khi 2 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
b) Tìm x để x 2 + 5 có nghĩa?
Giải : Ta thấy x 2 ≥ 0∀x nên x 2 + 5 có nghĩa với mọi x.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2 x − 3 = x + 1
Giải :

3

2 x − 3 ≥ 0
x ≥
⇔
2⇔x=4
Pt ⇔ 
2 x − 3 = x + 1
x = 4



Ví dụ 3 : Tính

(1 − 3 ) 5 − 2 6
(1 − 3 ) = 1 − 3 = 3 − 1
5 − 2 6 = ( 3 − 2) = 3 −
2

2

Giải : Ta có :

2

2 = 3− 2

Bài tập tự giải :
1

A2 = A


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
1) Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :
a) − 2 x

b) 5 − 30 x

c) 2 x 2

d)

2
x−5

2) Rút gọn biểu thức :
a ) 15 − 6 6 + 33 − 12 6
b) x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 2 x + 1

3) Giải phương trình: x2+2x = 3- 2 2
4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 3x − 2 − 4 − x
Dạng 3 :Quy tắc khai phương.
Ví dụ 1 : Tính .
25. 441
Ta cã : 25. 441 = 5.21 = 105
Ví dụ 2 : Tính a) 3. 12 b) 4a . 16a

Giải : a) 3. 12 = 3.12 = 36 = 6
b) 4a . 16a = 4a.16a = 64a 2 = 8a
4a 2 b 2
Ví dụ 3 : Tính a)
b)
49
81
9 3
=
=
=
Giải : a)

225
225 15 5
4a b 2
4a b 2 2 ab
=
=
b)
49
7
49
81
225
81

36 9
:
=
25 16

c)

c)

36 9
:
25 16

36
9
6 3 24

:
= : =
25 16 5 4 15

Ví dụ 4 : Tính
a) (3 2 − 2 3 )(3 2 + 2 3 )
b) ( 128 − 2 162 + 2 6 − 24 ) : 2
Giải :
2
2
a) (3 2 − 2 3 )(3 2 + 2 3 ) = (3 2 ) − ( 2 3 ) = 18 − 12 = 6
b) ( 128 − 2 162 + 2 6 − 24 ) : 2 = 64 − 2 81 + 2 3 − 12 = 8 − 2.9 + 2 3 − 2 3 = −10
Bài tập :
1) Rút gọn biểu thức
a) 320.45a 2

b)

1
2
a 4 ( a − b)
a−b

(a < b < 0)

2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức :

(

A = 4 1 + 6x + 9x 2

3) Tính :

a)

(

)

khi x = - 2

) (
2

3− 2 .

2 −2

)

2

b)(1+ 2 + 3 )(1 + 2 − 3 )

c) ( 28 − 2 14 + 7 ) + 7 8
d) ( 8 − 3 2 + 10 )( 2 − 3 0,4 )
e) (15 50 + 5 200 − 3 450 ) : 10
4)Tính
a) A = (2 − 3 ) 7 + 4 3
b) B = ( 10 − 6 ) 4 + 15

5)Tìm x biết:
a) 4 x = 5
b) 9( x − 1) = 21
c) 4(1 − x) 2 − 6 = 0
2


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
6)Tìm x biết:
a) (7 − x )(8 − x ) = x + 11
b) x + 3 + 1 − x = 2
7) Phân tích thành tích:
a) 8 + 2 15
b) 1 + 3 + 5 + 15
c) 10 + 14 + 15 + 21 d) 3 + 18 + 3 + 8
e) x + 6 x + 8
f) ab + b ab + a + b
Dạng 4 : Các phép tốn về căn bậc hai :
Ví dụ 1 : 75 = 5 2.3 = 5 3
− 2 3 = − 2 2.3 = − 12
1
5
1
=
=
5
2
5
5
5

4
4 6
4 6 2 6
=
=
=
2
3.6
9
3 6 3( 6)

Ví dụ 2 :

8

Ví dụ 3 :

7+ 3

8( 7 − 3 )
= 2( 7 − 3 )
7−3

=

Bài tập :
1) So sánh 20 vµ 3 5
2) Khử mẫu : a)

6

3

b)

5+ 3
5− 3

c)

1
2 2 −3 5

3) Tính :
1
2
a ) 72 − 5 + 4,5 2 + 2 27
3
3
1
b) 4 − 32 + 27 − 162
2

4) Tính
2 3− 6
216  1

a )
;
 8 − 2 − 3 . 6



 14 − 7
15 − 5 
1

b) 
 1− 2 + 1− 3  : 7 − 5 ;



c)

5 + 2 6 + 8 − 2 15
7 + 2 10

4) Rút gọn biểu thức:
a b +b a
1
a)
:
víi a > 0, b > 0, a ≠ b. ;
ab
a− b
 a + a  a − a 
1 −
 víi a > 0, a ≠ 1
b) 1 +


a + 1 

a −1 



3


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

ƠN TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5
b)

1 1
+
20 + 5
5 2
1
+ 4,5 + 12,5
2

i)
j)

25 16 196
. .
81 49 9
1 14 34
3 .2 .2

16 25 81
640. 34,3

c) 20 − 45 + 3 18 + 72

k)

d) 0,1. 200 + 2. 0, 08 + 0, 4. 50

l) 21, 6. 810. 112 − 52

1
33
1
48 − 2 75 −
+5 1
2
3
11
2
f) 150 + 1, 6. 60 + 4,5. 2 − 6
3

567

m) ( 8 − 3. 2 + 10). 2 − 5

e)

n) 0, 2 (−10) 2 .3 + 2 ( 3 − 5) 2

1

 1
1 3
4
− . 2 + . 200 ÷:
÷ 8
2 2
5


g) ( 28 − 2 3 + 7). 7 + 84

o)  .


h) ( 6 + 5) 2 − 120

p) 2 ( 2 − 3) 2 + 2.(−3) 2 − 5 (−1) 4

2

Bµi 2: TÝnh
1) 9 − 4 5 − 5
2) 23 + 8 7 − 7
3)
4−2 3 − 3
4)
5)
6)

7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

16)
17)
18)

11 + 6 2 − 3 + 2
6,82 − 3, 2 2

19)

21,82 − 18, 22
117,52 − 26,52 − 1440

20)

146,52 − 109,52 + 27.256
2 2

(

) (

3 − 2 + 1+ 2 2

)

2

21)

−2 6

2 + 3 + 6 + 8 + 16

22)

2+ 3+ 4
75 + 48 − 300
98 − 72 + 0,5 8

( 2 3 + 5 ) 3 − 60
( 5 2 + 2 5 ) 5 − 250
( 28 − 12 − 7 ) 7 + 2

23)

(

99 − 18 − 11
2

)

11 + 3 22

2

−

3 −1
5+ 5

3 +1
5− 5

−
5− 5 5+ 5
3
3
−
3 +1 −1
3 +1 +1

( 2 − 2 ) ( −5 2 ) − ( 3
2
7 −5
7+ 5
7− 5

2 −5

+

7 +5
7− 5
7+ 5

2+ 3 − 2− 3
4

−

4

( 2 − 5)

25)

15 − 6 6 + 33 − 12 6

26)
4

2

2

−

24)

21

)

( 15

2

( 2 + 5)

2

)

200 − 3 450 + 2 50 : 10


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
5 + 2 6 + 8 − 2 15

27)

7 + 2 10

28)

6
7 +2

33)

2

+

8+2 2
3− 2

51)

8+3 7

(

2− 3

30)

32)

50)

4−2 3 − 7−4 3

29)

31)

49)

6+ 2
−

2

+

1− 2

A = 8 + 2 15 − 8 − 2 15

E=

37)

( 5 + 2 6 ) ( 49 − 20 6 )
F=

(

42)
43)

46)
47)
48)







10 +

)

( 2 − 5)
2) ( 6 − 2 5) 3 +
2

50
6.
3
6. 10. 15
3
2
−
÷ 6
2
3÷


) (
( 2 + 1) ( 2 − 1)
−

5−2 6

)

+

2+ 3 + 2− 3
5+ 5

2 5
+
5 2

M = 10a 2 − 4 10.a + 4 víi a =



69) 



70)

5− 5

7 + 2 10 − 7 − 2 10

68)
3

+

(§· thi)

− 10
5− 5 5+ 5
 2
3
15 
1
+
+

÷.
2 −1 3 − 3  3 + 5
 3 −1

67)

5

)

2

3− 2 2 − 6+ 4 2

64)

2 2 −3 3 2 2 +3 3
3 

8 ÷.2 6
 12 − 2 3 + 5 2 −

4 


)

5+2 6

63)

2

2

5−2 6

62)
5

)

2 +1

(

5
1
−
4
5 +1

66)

(

3

5+2 6

65)

−2 3 3 − 3 + 3 3 + 1

(

− 2+ 3

61)

2

+

2 +1

(

3+ 5 + 3− 5

60)

( )

5 −3

2+ 2

1

4 + 2 3 − 12 + 6 3

59)

H = 3 − 1 6 + 2 2. 3 − 2 + 12 + 18 − 128

(

2

  1 2
2 
0,1 ( −3) . 6  − ÷ −
3−2 
  3



3 2 + 6
54  2
−


÷.
 12 + 2
3 ÷ 6


 3+ 2 3 2+ 2  

1

 3 + 2 + 2 + 1 ÷ :  1: 2 + 3 ÷
÷


 

58)

5− 2 6

G = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3

41)

45)

5 − 3 − 29 − 12 5

+
2

57)

9 3 − 11 2

40)

44)

3

56)

6+ 2

36)

39)

3+ 2 3

55)

2 3 + 5 − 13 + 48

300 − 15 675 + 5

)

) +6 6
75 ) : 15



1
1
−
+ 1÷.

5+ 2
 5− 2


54)

C = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

38)

) (

( 20

B = 4+ 7 − 4− 7

D=

(

2 2 2 − 3 3 + 1− 2 2

53)

2

34)

35)

(

52)

)

2+3 2

2
1
2
1
3−
18 +
2−
12
3
4
5
4
 15
4

12 
+
−

÷. 6 + 1
 6 + 1 16 − 2 3 − 16 

3+ 2 3 2+ 2  

1
+

÷−  1:
÷
 3+2
2 +1 ÷ 
2+ 3



1
1
−
+ 1÷ : 3 − 2
7 − 24 + 1 7 + 24 − 1 ÷


(

4+ 7 − 4− 7 − 2

)


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
Bài 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a)
tại a = -9
−9a − 9 + 12a + 4a 2
1+

b)

3m
m 2 − 4m + 4
m−2

c)
d)

4 x − 9x2 + 6x + 1

e)

tại m = 1,5
tại a = 2
tại x = − 3

5x −

1 − 10a + 25a 2 − 4 a

9x2 − 6x + 1
với x = -3
1 − 3x
4x2 + 4x + 1 2
tại x = 8
. ( x − 8 x + 16 )
x 2 − 16

f)

ÔN TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau


a +2

a) 


 a + 2 a +1

−

a − 2  a +1
2
=
÷.
÷

a −1 
a −1
a
2

 1
1 
:
−
÷ −
ab  a
b

2

b)

a b +b a

c)

ab

:

a+b

(

1

a− b

)

= −1

2

= a−b

a− b

 a + a  a − a 
1 +
÷1 −
÷= 1− a

÷
a + 1 ÷
a −1 


x x−y y

2
+ xy ÷: x + y = 1


÷

x− y



d)

(

e)

)

a −b
a 2b4
= a
với a > b
b2
a 2 − 2ab + b 2
2
a a +b b
− ab = a − b
với a > b > 0
a+ b
a
b
2b
−
−
=1
a− b

a + b a−b

f)

(

g)
h)

2 3− 6

i) 


−

)

216  1
= −1,5
÷.
3 ÷ 6


 8−2
 14 − 7
15 − 5 
1
+
÷:

j) 
 1− 2
÷ 7 − 5 = −2
1− 3 


6


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
k)
l)
m)
n)
o)
p)

3
6+2
2
 6
x
 x+

a+b−2

2
3
6
−4

=
3
2
6

2x
1
+ 6 x ÷: 6 x = 2 với x > 0
÷
3
3

ab
1
:
= a−b
với a > 0, b > 0, và a ≠ b
a− b
a+ b
3 2 + 6
54  2

 12 + 2 − 3 ÷. 6 = −1
÷



a− a  
a+ a 
2 +

÷.  2 −
÷ = 4 − a với a > 0 và a ≠ 1

÷
a −1  
a +1 ÷


3+ 2 3 2+ 2  

1

 3 + 2 + 2 + 1 ÷: 1: 2 + 3 ÷ = 1
÷ 




q)

 x+ y
x− y
xy
−
=4

÷:
 x− y
x + y ÷ x− y




r)

x + 2 2x − 4 =

(

x−2 − 2

)

2

với x ≥ 2

x
2
1
+
):
x −1 x − x
x −1
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1.
x
2
1

x
2
1
+
):
=(
+
):
Rút gọn A = (
x −1 x − x
x −1
x −1
x −1
x( x − 1)
A=(

Bài 2 Cho biểu thức

( x )2 + 2
x − 1 (x + 2)( x − 1) x + 2
A=
.
=
=
x ( x − 1) 1
x ( x − 1)
x
b. Khi x= 3-2 2 = ( 2 − 1) 2

⇒A=

3− 2 2 + 2
( 2 − 1)

2

=

(

)(

5−2 2
5−2 2
=
1
2 −1

) =1+ 3

2 +1

1 
3
 1
A=
−
:
÷
x +3 x −3

 x −3
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
Bài 3: Cho biểu thức

7

2


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
b) Với giá trị nào của x thì A >

Bài giải:
a) ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ 9

(
)(

x + 3−
1 
3
 1
A=
−
:
=
÷

x + 3 x −3
 x −3
x −3

(

2
x +3
1
b) A > 3 ⇔

).
x + 3)
x −3

x −3
=
3

(

6

x −3

)(

x +3

)

.

x −3
3

A=

2
1
3− x
− >0⇔
>0
x +3 3
3 x +3

2
1
> ⇔
x +3 3

(

)

⇔ 3 − x > 0 ( vì 3( ( x + 3) > 0) ⇔ x < 9 ⇔ x < 9
Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 9 thì A > 1/3.
2
c) A =
đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất.

x +3
x +3≥3⇒

Mà

(

x +3

)

min

2
= 3 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 lúc đó AMax= ⇔ x = 0.
3

1 
1
 3
+
Bài 4: Cho biểu thức P = 
÷:
x +1 x +1
 x −1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
5
b) Tìm các giá trị của x để P =
4
x + 12 1

.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
x −1 P
Bài giải:
a) ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ 1

x +2
x +1
3
1 
3+ x −1
x +1
x +2

=
+
.
=
P=
=
1
 x −1 x +1
x + 1 ( x − 1) x + 1
x −1
x +1 x −1


5
x +2 5
= ⇔ 4 x + 2 = 5 x − 1 ⇔ 4 x + 8 = 5 x − 5.

b) P = ⇔
4
x −1 4

(

)(

)

(

(

(
(

)

) (

)

8

)(
)(

)
)

GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
⇔ x = 13 ⇔ x = 168 (TMĐK)
x + 12 1 x + 12 x − 1 x + 12 x − 4 + 16
c) M =
. =
.
=
=
=
x −1 P
x −1 x + 2
x +2
x +2
16
16
x −2+
= x +2+
− 4 ta có
x +2
x +2
16
x +2+
≥ 2 16 = 2.4 = 8
x +2
16
M ≥ 8 − 4 = 4 ⇔ M min = 4 ⇔ x + 2 =
x +2

(
⇔(
⇔

)
x + 6) (

(

2

x + 2 = 16 ⇔

)

x +2+4

)(

)

x +2−4 =0

x − 2 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 4(TMDK)

Vậy Mmin= 4 ⇔ x = 4 .

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 

+
−
− 1÷
Bài 5: Cho biểu thức: D = 
÷: 
x +3
x −3 x −9   x −3


a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
1
b) Tìm x để D < 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
a+2 a
 a− a

− 1÷: 
+ 1÷
Bài 6 :Cho biểu thức: P = 
 a +2
  a −1 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a∈ z để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: a ≥ 0;a ≠ 1
 a a +2
  a a −1

a −1



P=
−1
+ 1 = a − 1 : a + 1 =



a +2
a −1
a +1



a −1
2
=1−
b) P =
a +1
a +1
2
để P nhận giá trị nguyên thì
nhận giá trị nguyên dương. ⇒ a + 1 thuộc ước dương
a +1
của 2.

(

)

(

)

(

)(

9

)


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
 a +1 =1
a = 0
⇒
⇔
a=1 (Loại vì khơng thoả mãi điều kiện)
a = 1
 a +1 = 2

Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
1
1
B=
−
Bài 7: Cho biểu thức
2 x + 3 −1 2 x + 3 +1

(

) (

)

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ x ≥ −3; x ≠ −2
B=

2

(

1

−

) 2(

x + 3 −1

1

)

x + 3 +1

b) B nhận giá trị nguyên khi

=

x + 3 +1−

(

)=

x + 3 −1

2 ( x + 3 − 1)

1
nhận giá trị nguyên.
x+2

⇒ x + 2 ∈ Ư(1)
x + 2 = 1
 x = −1
⇒
⇔
thoả mãn điều kiện
 x + 2 = −1  x = −3
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên

x2 − x
2x + x 2 ( x − 1)
Bài 8: Cho biểu thức: P =
−

+
x + x +1
x
x −1
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2 x
c) Tìm x để biểu thức Q =
nhận giá trị nguyên.
P
1 
x +1
 1
P=
+
2
÷:
Bài 9: Cho biểu thức:
 x − x 1− x  1− x

(

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x ≠ 1
10

)

2
1
=
2( x + 2) x + 2


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

(

)

2


1− x
1
1 
1− x
 : x +1 2 = 1+ x .
P=
+
=
 x 1− x 1− x  1− x
x +1
x
x 1− x


1− x

b) P > 0 ⇔
> 0 ⇔ 1 − x > 0 ( vì x > 0) ⇔ x < 1 ⇔ x < 1.
x
Kết hợp với ĐKXĐ: 0 < x < 1 thì P > 0

(

)

Bài 10: Cho biểu thức:

(

)

(

)

1   a +1
a +2
 1
P=
−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 
 a −1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0

 x −2
x + 2  (1− x)
−
Bài 11 : Cho biểu thức: P = 
÷.
2
 x −1 x + 2 x +1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
1
b) Tìm x để P <
2
x
3
6 x −4
Bài 12: Cho biểu thức: P =
+
−
x −1
x −1
x +1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
1
b) Tìm x để P <
2
1− a a
 1 + a a


+ a ÷
− a÷
Bài 13: Cho biểu thức: B = 
 1− a
 1 + a

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4 3
 a
1   1
2 
−
−
Bài 14: Cho biểu thức: K = 
÷: 
÷
 a −1 a − a   a +1 a −1
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
2


x
1 
1
−
Bài 15 : Cho biểu thức: A = 
÷:

 x −1 x − x  x −1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
11


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A. x = m − x có nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 1
 x


x
1 
1
1
: 1
A=
−
=
−
÷:
x x −1  x −1
 x −1 x − x  x −1  x −1



(

=

(

( x)

2

−1

)

x −1

b) A < 0 ⇔

x

.

)

x −1 x −1
=
1
x

x −1
< 0 ⇔ x − 1 < 0 (vì
x

x < 0 ) ⇔ x < 1 kết hợp với ĐKXĐ 0
A<0

x −1
. x = m − x ⇔ x − 1 = m − x (1)
x
⇔ x − 1 = m − x ⇔ x + x − ( m + 1) = 0(*)
2
Đặt x = t >0 ta có phương trình t + t − ( m + 1) = 0 ( *) để phương trình (1) có nghiệm thì
phương trình (*) phải có nghiệm dương.
∆ = 1 + 4 ( m + 1) ≥ 0


Để phương trình (*) có nghiệm dương thì: − ( m + 1) < 0

c) P.t: A. x = m − x ⇔

−5

4m + 5 ≥ 0
m ≥
⇔
⇔
4 ⇒ m > −1 Vậy m>-1 và m ≠ 1 thì pt A x = m − x có nghiệm.
m + 1 > 0
m > −1


1 
1

Bài 16: Cho biểu thức: P =  1 +
÷.
x −1 x − x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P. 5 + 2 6.

(

)

2

x − 1 = x − 2012 + 2 + 3.

Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1

12


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

1 
1
x

1

P = 1 +
=
−
÷.
x −1 x − x  x −1

x x −1

1
1
⇒P=
2 =
b) Khi x= 25
16
25 − 1


÷ ⇔P=
÷


(

(

c)

P. 5 + 2 6.

(

)

(

2+ 3 .

1

(

)

x −1

2

)

)

x −1

2

= x − 2005 + 2 + 3 ⇔

1

(

)

x −1

2 .

) (
2

)

2

x − 1 = x − 2005 + 2 + 3

⇔ 2 + 3 = x − 2005 + 2 + 3 ⇔ x = 2005 TMĐK
Vậy x = 2005 thì P. 5 + 2 6

(

)

2

x − 1 = x − 2005 + 2 + 3

1 

1 
 1
+
Bài 16: Cho biểu thức A = 
÷.1 +
÷
x +1 
x
 x −1
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
1
b)Tính giá trị của A khi x= .
4
c)Tìm giá trị của x để A > A.
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1 .
1 
1 
 1
A=
+
÷. 1 +
÷=
x + 1 
x
 x −1

(

x + 1+ x −1

)(

x −1

)

x +1

.

1
⇒A=
b) Khi x = 4

2
2
=
= −4
1
1
−1
−1
2
4
2
< 1.
c) A > 0 ⇔ 0 < A < 1 ⇔ 0 <
x −1
2

+0 <
⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1( 1)
x −1
+

2
2
<1 ⇔ 1−
>0⇔
x −1
x −1

x −3
>0
x −1
13

2 x ( x + 1)
x +1
2
⇒A =
=
x
x −1
( x − 1) ( x + 1) x


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
 x −3> 0


⇔
⇔ x > 9 Vậy x > 9 thì A > A
 x −1 > 0

x
2 x −1
−
Bài 17: Cho biểu thức: A =
x −1
x x −1

(

)

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A > A
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1 .
A=

x
2 x −1
−
x −1
x x −1

(

)

( x)
=

x

2

(

− 2 x +1

)

x −1

=

(
x

(

)

x −1

2

)

x −1

=

x −1
x

36 − 1 5
=
6
36
x −1
c) A > A ⇔ A < 0 ⇔
< 0 ⇔ x − 1 < 0 (vì x > 0 )
x
⇔ x < 1 ⇔ x < 1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A > A
b) Khi x=36 ⇒ A =

14


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

ƠN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Mục tiêu:
+ Củng cố cho học sinh kiến thức về giải hệ phương trình.
+ Học sinh được rèn luyện kĩ năng sử dụng các kiến thức về giải hệ phương trình để giải bài
tập.

+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Nghiên cứu soạn giảng
2. Học sinh: Ôn tập chung
III. Các hoạt động dạy và học ( Tổ chức ôn tập)
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
7 x − 3 y = 5
x − y = 3
2 x − y = 3
 2 x + 3 y = −2
1)

;
2) 
; 3) 
;
4) 
3 x + y = 7
5 x + 2 y = 6
3x − 4 y = 2
4 x + y = 2

3 x + y = 3
5) 
2 x − y = 7

;

4 x + 3 y = 6
6) 

2 x + y = 4

3x − 2 y = 10

7)  2
1
x − 3 y = 3 3


;

;

2 x + y = 4
3x − y = 1

8) 

0, 2 x − 3 y = 2
x + 2 y = 5
3 x − y − 5 = 0
; 11) 
; 12) 
x + y − 3 = 0
3 x − y = 1
 x − 15 y = 10
y

2 x + 3 y = 6
3 x − y = 2

x = 3 − 2 y
x − = 5

13) 
; 14) 
; 15) 
2
; 16)  5
5
 2 x + 4 y = 2007
 −3 y + 9 x = 6
3 x + 2 y = 5
2 x − y = 6


2 x + y = 5
( x + 1) + 2( y − 2) = 5
( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)

17)  3
; 19) 
3
15 ; 18) 
( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)
3( x + 1) − ( y − 2) = 1
2 x + 4 y = 2

 ( x − 1)( y − 2) + ( x + 1)( y − 3) = 4
7x − 3y = 5
 3( x + y ) + 5( x − y ) = 12

20) 
; 21) 
; 22) 
;
( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 1
4x + y = 2
 − 5( x + y ) + 2( x − y ) = 11


x − y = 1
9) 
3x + 2 y = 3

 x + 3 y = −2
23) 
5 x − 4 y = 11

; 10) 

;

3x − 2 y = 11
2 4) 
4 x − 5 y = 3

x y
 − =1
; 25)  2 3
; 26)
 5x − 8 y = 3


15

 3x − y = 5

 5 x + 2 y = 23


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

x 2
 =
27)  y 3
;
 x + y − 10 = 0


−5 x + 2 y = 4
30) 
 6 x − 3 y = −7
 1
x− 2 +

33) 
 2 −
x− 2


3 x + 5 y = 1
28) 

2 x − y = −8

2 x − 3 y = 11
; 31) 
; 32)
−4 x + 6 y = 5


1
=2
y −1
; 33)
3
=2
y −1

1

y = − x+3


2

 y = − 1 x +1


2

0,3 x + 0,5 y = 3
; 9) 

1,5 x − 2 y = 1,5

3 x − 2 y = −2

; 34)

2 x + y = 1


2 x − y = 1
; 37) 
; 38)
x − 2 y = −1


2
1
4 x − 4 y = 2
 x− y =
3 ; 42)
; 41)  3

−2 x + 2 y = − 1

x − 3y = 2


3 x − 2 y = 10

2

1

x − 3 y = 3 3


2 x − 1 − y − 1 = 1


 x−1+ y −1 = 2


3x − y = 3

 1
x − 3 y = 1


x − y = 3

3x − 4 y = 2

 y = 3 − 2x
; 35) 
36)
y = 3x − 1


x + y = 2
3 y + 3 x = 2

; 39) 

7 x − 3 y = 5
4 x + y = 2

; 43) 

 y = 3 − 2x
3x + y = 3
3 x + 5 y − 1 = 0
; 45) 
; 46) 
; 47)

2 x − y = −8
2 x − y = 7
 y = 3x − 1
 2 x + 3 y = −2
4 x + 3 y = 6
2( x − 2) + 3(1 − y ) = −2
; 49) 
; 50) 

3( x − 2) − 2( y + 1) = −3
2 x + y = 4
3 x + 2 y = −3

44)

16

40)

2 x + 5 y = 8

2 x − 3 y = 0

48)


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Mục tiêu:
+ Củng cố cho học sinh kiến thức về giải hệ phương trình.
+ Học sinh được rèn luyện kĩ năng sử dụng các kiến thức về giải phương trình bậc hai để giải
bài tập.
+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Nghiên cứu soạn giảng
2. Học sinh: Ôn tập chung
III. Các hoạt động dạy và học ( Tổ chức ơn tập)
Bài 02: Giải các phương trình sau:
1) 6 x2 - 25x - 25 = 0
; 2) x2 - 4x + 2 = 0
; 3) 6x2- 5x + 1 = 0
4) 3x2 + 5x + 60 = 0
; 5) 9x2 - 6x + 1 = 0
; 6) 7x2 - 13x + 2 = 0
7) -3x2 + 2x + 8 = 0

; 8) x2 - 6x + 5 = 0
; 9) 2x2+ 5x + 1 = 0
10) 3x2 - 6x + 5 = 0
; 11) 5x2 - x + 2 = 0
; 12) 3x2 - 12x + 1 = 0
13) x2 - 3x -7 = 0
; 14) 5x2 - 6x - 1 = 0
; 15) x2 - 3 x - 10 = 0
16) 3x2 + 14x + 8 = 0
; 17) 4x2 - 5x - 9 = 0
; 18) -7x2 + 6x = - 6
19) 2x2 - x - 21 = 0
; 20) x2 - 12x + 32 = 0
; 21) x2 - 12x + 32 = 0
22) x2 - 6x + 8 = 0
; 23) 56x2 + 9x- 2 = 0
; 24) 9x2 - 38x - 35 = 0
25) 10x2 + 17x + 3 = 0
; 26) x2 - 2 3 x + 2 = 0
; 27) 7x2 + 5x - 3 = 0
28) 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
; 29) x2 + 17x + 3 = 0
; 30) 2x2- 2 2 x + 1 = 0
2
2
31) 2x2 + x -4 = 0
; 32) 3x − 2 3 + 2 x + 3 + 1 = 0
; 33) 2 x − ( 2 2 − 3) x + 2 − 3 = 0

(

)

34) ( 2 − 3 ) x 2 + 2 3x − ( 2 + 3 ) = 0 ; 35) 4 x 2 − 2 3x = 1 − 3
37) 3x 2 − ( 1 − 3 ) x − 1 = 0 .

Bài 03: Giải các phương trình sau:
1) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) -15
3) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
5) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) -11
7) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) -1
9) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
11) 3 x 2 − 2 x = x 2 + 3
13) 3 x 2 + 3 = 2 ( x + 1)
15) x3 + 2x2 -(x -3)2 = (x -1)(x2 -2)

(

17) 2 x − 2

)

2

− 1 = ( x + 1) ( x − 1)

2) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
4) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
6) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
8) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7

10) 3(2x + 3) = - x(x - 2) -1
12) (x -3)2 + (x + 4)2 = 23 -3x

;
;
;
;
;
;
;
;

; 36) 1,5 x 2 − 1, 6 x + 0,1 = 0

14) (x -3)2 + (x + 4)2 = 23 -3x
16) (x -1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)

;
17

18) 0,5 x ( x + 1) = ( x − 1) 2


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
19) 2 3x 2 + x = 1 = 3 ( x + 1)

;

21) ( x − 1) 3 + 2 x = x3 − x 2 − 2 x + 1

;

22) x ( x 2 − 6 ) − ( x − 2) 2 = ( x + 1) 3

23) ( x + 5) 2 + ( x − 2)2 + ( x + 7 ) ( x − 7 ) = 12 x − 23

;

24)

24)

20) ( x + 2 ) 2 − 3 x − 5 = ( x + 1) ( 1 − x )
2

( x + 1)3 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2)

( x + 1)3 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2)

ƠN TẬP PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Mục tiêu:
+ Củng cố cho học sinh kiến thức về giải hệ phương trình.
+ Học sinh được rèn luyện kĩ năng sử dụng các kiến thức về giải phương trình quy về phương
trình bậc hai như phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn thức,
giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ… để giải bài tập.
+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Nghiên cứu soạn giảng
2. Học sinh: Ôn tập chung
III. Các hoạt động dạy và học ( Tổ chức ôn tập)

Bài 04: Giải các phương trình sau:

( x + 3) ( x − 3)
1)
+ 2 = x(1 − x )
3

14
1
= 1−
2
3− x
x −9
12
8
5)
−
=1
x −1 x +1
16
30
7)
+
=3
x − 3 1− x
x 2 − 3x + 5
1
9)
=
( x − 3)( x + 2) x − 3

2x
x
8x + 8
−
=
11)
x + 2 x + 4 ( x − 2)( x + 4)
3
2
2
13) x + 7 x 3 + 6 x − 30 = x 2− x + 16
x −1
x + x +1

3)

;
;
;
;
;
;
;
18

( x − 1)
2)
2

2

+

( x + 2 ) ( x + 3)
3

= x −1

2x
x2 − x + 8
=
x + 1 ( x + 1)( x − 4)
x + 0,5 7 x + 2
6)
=
3x + 1 9 x 2 − 1
x+2
6
8)
+3=
x−5
2− x
4
− x2 − x + 2
10)
=
x + 1 ( x + 1)( x + 2)
x
x +1
12)

− 10
=3
x +1
x
2
14) x +49 x − 1 = 3 17
x −1
x + x2 + x + 1

4)


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
15)

3x + 6 x − 4 x = 0
3

;

2

x2 + 9 x −1
17
= 3
4
x −1
x + x2 + x + 1

16)

Bài 05: Giải các phương trình sau:
1) x 4 + 8 x 2 − 9 = 0
; 2) 36t 4 − 12t 2 + 1 = 0
4) 3x4 -12x2 + 9 = 0
; 5) 2x4 + 3x2 -2 = 0
7) y 4 − 1,16 y 2 + 0,16 =

0 ;

10) x 4 + 4 x 2 + 3 = 0
13) 3 x 4 + 5 x 2 − 2 = 0

;

8)

; 3) z 4 − 7 z 2 − 144 = 0
; 6) x4 + 5x2 + 1 = 0

1 4 1 2 1
x − x + =0
4
2
6

11) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0

(

)(

;

;

)

; 14) x 2 − 3x + 1 x 2 − 3x + 2 = 2 ;

3x 4 − (2 − 3) x 2 − 2 = 0

9)

12) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0
15) x 2 − 5 + x 2 − 6 = 7

Bài 06: Giải các phương trình sau:
1) (3x2 -5x + 1)(x2 -4) = 0
; 2) (3x2–7x–10)[2x2+(1- 5 )x + 5 -3]=0
3) ( x 2 + x + 1) 2 = (4 x − 1) 2
; 4) ( x 2 + 3 x + 2) 2 = 6( x 2 + 3 x + 2)
5)

(2 x 2 + 3) 2 − 10 x3 − 15 x = 0

7) 1, 2 x 3 − x 2 − 0, 2 x = 0
9) (x2 -1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x
11) 3(x2 + x)2 -2(x2 + x) -1 = 0
13) x ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 5 ) = 12

; 6) (2x2 + x -4)2 -(2x -1)2 = 0
; 7) 5 x 3 − x 2 − 5 x + 1 = 0
; 10) (x2 + 2x -5)2 = (x2 -x + 5)2
; 12) (x2 - 4x + 2)2 + x2 -4x -4 = 0

(

;

14) 2 x 2 − 2 x

;

16)

2

15)  x + 1  − 4  x + 1  + 3 = 0

÷

÷
x
x


2
2
17) ( x + 3 x − 4 ) ( x + x − 6 ) = 24

)

2

+ 3( x2 − 2x ) + 1 = 0

( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 7 ) = −15
2

ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ CHỨA THAM SỐ
I. Mục tiêu:
+ Củng cố cho học sinh kiến thức về giải hệ phương trình.
+ Học sinh được rèn luyện kĩ năng sử dụng các kiến thức về giải phương trình bậc hai để giải
các bài tốn liên quan đến phương trình bậc hai có chứa tham số.
+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Nghiên cứu soạn giảng
19


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
2. Học sinh: Ôn tập chung
III. Các hoạt động dạy và hc ( T chc ụn tp)
1. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ §iỊu kiƯn: ∆ > 0 ; (hc ∆/ > 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x -2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải: (a = 1; b = 2; c = −2m) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.(2m) = 4 + 8m
Phơng trình (1) có hai ngiệm ph©n biƯt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 4 + 8m > 0 ⇔ 8m > −4 ⇔ m >

−1
2

Bµi tËp lun tËp
Bài 1. Tìm m để mỗi phương trình sau có 2 nghiệm.
a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0
b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0
2 + 4x + m + 2 = 0
c/ - x
d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0
Bài 2: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng tr×nh: x2 + kx + 3 = 0
1/Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
2/Tìm k để phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm cịn lại?
Bµi 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + 2m2 + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng trình : (m -4)x2 -2mx + m -2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phơng trình với k = 3
b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm kép:
+ Điều kiƯn: ∆ = 0 ; (hc ∆/ = 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x -k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kÐp ?

Gi¶i: (a = 1; b = 2; c = −k ) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.(−k ) = 4 + 4k
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biÖt ⇔ ∆ = 0 ⇔ 4 + 4k = 0 ⇔ 4k = −4 ⇔ m = −1
Bµi tËp lun tËp
Bài 1. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép.
a/ x2 -4x + k = 0
b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0
2 - 5x + 3m + 1 = 0
c/ - x
d/ x2 -(k + 2)x + k2 + 1 = 0
Bµi 2: Cho phương tr×nh: 5x2 + 2x -2m -1 = 0
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phương trình có nghim kộp.
Bài 3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
2 + (m + 1)x + m2 = 0
Bµi 4:: Cho phơng trình: x
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
20


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
Bµi 5: Cho phương trình: kx2 -(2k-1)x + k + 1 = 0
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó ?
3. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm :
+ Điều kiện: < 0 ; (hoặc ' < 0 )
+ VÝ dơ: Cho phương tr×nh: x2 + 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?

Giải: (a = 1; b = 2; c = n) ⇒ ∆ = 2 2 − 4.1.n = 4 4n
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biÖt ⇔ ∆ = 0 ⇔ 4 − 4n < 0 ⇔ −4n < −4 ⇔ n > 1
Bµi tËp lun tËp
Tìm m để mỗi phương trình sau vơ nghiệm ?
a/ x2 + 2x + m + 3 = 0
b/ - x2 - 3x + 2m - 1 = 0
c/ mx2 -(2m -1)x + m + 1 = 0
d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho tríc .T×m
nghiƯm thø 2
VÝ dơ: Cho phương trình: x2 -x + 2m -6 = 0. (1)
a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x1 = 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:
a/ Thay x1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 12 1 + 2m − 6 = 0 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3
Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) cã mét nghiÖm x1 = 1.
b/ Thay m = 3 vµo PT (1) ta cã:
x 2 − x + 2.3 − 6 = 0
⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x( x − 1) = 0
⇔

x=0
x =1

VËy nghiÖm thø hai cđa Pt (1) lµ x = 0
Bµi tËp luyện tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2: Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )

có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
T×m m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1.
5. Chứng minh phơng trình luôn luôn có nghiệm :
Ví dụ: Cho phơng trình x 2 (m 2) x + m − 5 = 0
Chøng minh r»ng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có: a = 1; b = −(m − 2); c = m − 5 ⇒ ∆ = [ − (m − 2)] 2 − 4.1.(m − 5) = (m 2 − 4m + 4) − 4m + 20
= m 2 − 8m + 24 = m 2 − 2.m.4 + 4 2 + 8

21


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
= (m − 4) 2 + 8 > 0

V× ∆ > 0 với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập
Bi 1. Cho phương trình: 2x2 -mx + m -2 = 0
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bài 2. Cho phương trình: x2 -(k -1)x + k -3 = 0
1/Giải phương trình khi k = 2
2/Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi k.
Bài 3. Cho phương trình: x2 + (m -1)x -2m -3 = 0
Chứng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.

6. Định lý Vi-et và hệ quả:
1.nh lý Vi - et: Nu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
S = x 1 + x2 = -

b
a

c

p = x1x2 =
a
2 To¸n ứng dụng định lý Viét:
a)Tìm nghiệm thứ 2; biết phơng tr×nh cã mét nghiƯm x = x1 :
VÝ dơ:
BiÕt r»ng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Giải: Cách1:
Thay x = 1 vµo pt ta cã: 1 − 2.1 + 5m − 4 = 0 ⇔ m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0  x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = −

b
⇒ 1 + x2 = 2 ⇔ x2 = 1
a

Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 − 2.1 + 5m − 4 = 0 ⇔ m = 1
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0  x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi Ðt ta cã: x1 .x 2 =

c
⇒ 1.x 2 = 1 ⇔ x 2 = 1
a

VËy nghiƯm thø hai cđa phơng trình là x = 1.

Bài tập luyện tập:
Bài 1:
Cho phương trình: x2 -2x + m = 0
Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm cịn li.
Bài 2 Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = 1. T×m nghiƯm còn lại
Bài 3: Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
b).LP PHNG TRìNH BC HAI khi biÕt hai nghiÖm x1;x2
22


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Gi¶i:
 S = x1 + x2 = 5
 P = x1 x2 = 6

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 

Vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

Bài tập luyện tập:
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm:
1/
x1 = 8
và
x2 = -3
2/
x1 = 36
vµ
x2 = -104
Buổi 10 - ƠN TẬP VỀ HÀM SỐ

y = ax ( a ≠ 0 ) , y = ax + b ( a ≠ 0 ) , y = ax 2 ( a ≠ 0 )

I. Mục tiêu:
- Rèn luyện cho học sinh định nghĩa và tính chất tích chất của hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 )
- Rèn kỹ năng xác định sự tương giao của đồ thị các hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 ) với đồ thị hàm số
bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ) trên hệ trục toạ dộ Oxy.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính tốn, vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 )
và đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) trên hệ trục toạ dộ Oxy.
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Nghiên cứu soạn giảng
2. Học sinh: Ôn tập chung
III. Các hoạt động dạy và học ( Tổ chức ôn tập)
1. Bài tập 1:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 (P) và đường thẳng y = − x + 2 (D) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ Oxy.
b) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính.
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 (P)

Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=−

x2
2

9

4

1

0

1

4

9

Đồ thị hàm số y = x 2 (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống dưới và đi qua các điểm có
toạ độ O (0; 0); A ( 1;1) ; A’ ( −1;1) ; B ( 2; 4 ) ; B’ ( −2; 4 ) ; C ( 3;9 ) ; C’ ( −3;9 )

23


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016
+) Đường thẳng y = − x + 2 (D)
Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ G(0; 2)
y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ E (2; 0)
⇒ Đường thẳng y = 2 x + 2 đi qua 2 điểm G(0; 2) và E (2; 0)
b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 (P) và đường thẳng y = − x + 2 (D) là nghiệm
 y = x2
 y = x2
( 1)
 y = x2


⇔  2
⇔  2
của hệ phương trình: 
x = −x + 2
 x + x − 2 = 0 ( 2)
 y = −x + 2


2
- Giải phương trình: x + x − 2 = 0 (2)

Ta có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 nên phương trình (2) có nghiệm x1= 1; x2= -2
+) Với x1 = 1 ⇒ y1 = 12 = 1 ⇒ M (1; 1)
+) Với x2 = -2 ⇒ y2 = (-2)2 = 4 ⇒ N (-2; 4)

Vậy đồ thị hàm số y = x 2 (P) và đường thẳng y = − x + 2 (D)
cắt nhau tại 2 điểm M (1; 1) và N (-2; 4) .
2. Bài tập 2:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 (P) và đường thẳng y = x + 2 (D) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ Oxy.
b) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính.
3. Bài tập 3:
a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số y = ax 2 đi qua điểm A (-2; 1)
b) Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm được ở câu a
c) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và đường thẳng y = x − 1 bằng phép tính.
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số y =

x2
(P)
4

Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
x
-3
-2
-1
y=

2

x
4

9

4

1

1
4

0

1

2

3

0

1
4

1

9
4

x2
(P) là một Parabol có bề lõm quay lên trên và đi qua các điểm
4
có toạ độ O (0; 0); B’ ( 1;1) ; B ( −1;1) ; A ( 2; 4 ) ; A’ ( −2; 4 ) ;

Đồ thị hàm số y =

24


GIÁO ÁN ƠN THI VÀO 10 MƠN TỐN NĂM 2015-2016

x2
(P) và đường thẳng y = x − 1 (D)
4

x2
y=

 y = x2
( 1)
 y = x2


⇔  2 4
⇔  2


 y = x −1
 x = x −1
 x − x − 2 = 0 ( 2)
4


c) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

là nghiệm của hệ phương trình:

Giải phương trình: x 2 − x − 2 = 0 (2)
Ta có a - b + c = 1 -(-1) + (-2) = 0 nên phương trình (2) có nghiệm x1=- 1; x2= -2
+) Với x1 = -1 ⇒ y1 = 12 = 1 ⇒ B (-1; 1)
+) Với x2 = 2 ⇒ y2 = 22 = 4 ⇒ A (2; 4)
Vậy đồ thị hàm số y = x 2 (P) và đường thẳng y = − x + 2 (D) cắt nhau tại 2 điểm B (-1; 1) và
A (2; 4) .
Bài tập 4:

3
2

Cho hàm số y = f ( x ) = x 2


2

1) Hãy tính f ( −2 ) ; f ( 3) ; f ( 5 ) ; f  − ÷
 3 ÷


2) Các điểm A ( 2;6 ) , B ( − 2;3) , C ( −4; −24 ) , D  ; ÷ có thuộc đồ thị hàm số khơng?
 2 4
Giải:
 1

1) Ta có:

3
3
2
f ( −2 ) = . ( −2 ) = .4 = 6 ;
2
2

3

3
3
27
f ( 3) = .32 = .9 =
;
2
2
2
2


2 3 
2
3 2 1
f
5
f −
÷= . −
÷ = . =
 3 ÷ 2  3 ÷ 2 9 3





3
2) +) Thay toạ độ điểm A ( 2;6 ) vào công thức hàm số y = f ( x ) = x 2
2
3 2
Ta có 6 = .2 ⇔ 6 = 6 ( T/M)
2
3
Vậy điểm A ( 2;6 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 2
2
3
+) Thay toạ độ điểm C ( −4; −24 ) vào công thức hàm số y = f ( x ) = x 2
2
3
2
Ta có 24 = . ( −4 ) ⇔ −24 = 24 ( Vơ lí)
2

( )

3
5 = .
2

( )

2

3
15
= .5 =
;
2
2

25