Tiểu luận tốt nghiệp về nghiệm của đa thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (560.05 KB, 56 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA SƯ PHẠM
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Giáo viên hướng dẫn:
Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
Sinh viên thực tập:
Phạm Nguyễn Vũ
Mã số SV: DC1301K067
Lớp: Sư phạm Toán học
Tp.Hồ Chí Minh, 05/2015
Trang 1
MỤC LỤC
MỤC LỤC 2
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 3
!"
#$%
#$%
#$$&%
'()&*+ ,-%
'()&*+%
,-%
"./*0
"123+4 50
"670
%89:( ;<;= 0
CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN 7
VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 7
5>?@$*AB
5C<*DE+;FGHIJ
5C<*4KJ
"51L&D*KH'<*M
%5+;F>NHM
05'?@$O
B5G PQP@$O
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ ỨNG DỤNG 31
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 31
5+;?RSRC6RSCT4(=)<*D
51U4(
5>?@$*V
5G PQP@$%
56W*'L+;XE'L+-D44PJ
514(J
5>?@$*V"
5G PQP@$"
5Y@$D<*D <(Q9ULW"%
"5'4 ''"M
"5X<Z[)"M
"52KZ)8LH<*D%O
%5Y@$D2KZ)8LH<*D%
%514(%
%5G PQ?@$*V%
Trang 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
KẾT LUẬN 55
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.
1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.
6'L7\;X97 ;+Z]Q'L&D^_KE``
*KFa;F;P !2b;X =L6L7/<
)E2<Q`E</`Q(L(@,L? )
9:,
6L/<)EH=&*'@$*XD(
9XE'@$ /c*,@,L?E /,; 4d@9e,
L*;aQ'L&D;/9:L
(D6'>P)@/)6'AQf2 <QL
97E4<Q(gF@/)974Q9UQ'QQ,
?EEW*h Z,Q'EQ'L&4 '&f='`E'
='` ,9@)('
9ULW6'Q6i Q6i.6EU4(D4K*2
6'; ''<*E'+aE'+;FE'<=(E'E'2
E'=)\QjQ?`; *K)EK@6'*
ZQ(c*9: 9; 'H*EZ[_/9:)`
*K)/ 2b=Lk*26'[X
97; l1m(4 PQ6'n,); *KK@`&/9:
)W97)Q(PZ9EW*hK@EQ9UQ'Q(@/)
&gQZ`9:;9@)Z'/o``9:m(6'
6L9ULW'Q6i 6i.6`EmA
o['4 '/Z[`;=@'L+)<[; k
4 '`[XZEAk4 ' )Z97L@!*
L='LW4-@'L+)<[(4<; k4Q9ULWE
Q9ULW`o@'L+)<[LA;Ek4 '( 4<;P
Q9ULW*4Q9ULW@'L+)<[E; *k4 PQ
Trang 3
@/ )Q;X'ZL;gg2`Q9UQ'Q(?W
P)2)Z “Nghiệm của đa thức”&W*Lk
Q9UQ'Q(L9c*/9:)gQZ`9:l1m
(4 PQ6'n
1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.
g_4Lc<)&@/)ljQn; )Lh
jQ AEL)$H&l4W2np/)djE
$K; &@/)f&2hQP9:4<; [X*2
6'E@/)9P)WLh,=`E; *4 PQ W44
PQ`E(4 )4 'E[L7 2Z* 2
;/LZW'&C)(kZ'-q
P)E*Xr9 ('4 '` )4 '`'* V
9Q')9:?9@)Z'/E9`*KQ9UQ'Q; *4 6L
`Eo*KU+U4( `D';/`*K<[4
PQL@/ QQgE*s4 *K&E*K@/* ;7(W2H
*K2*V (pP)* ZL;ggL9X*K
'6o`* ;9:*26'VQ9'Q9:**-D
g
>P)W&,;9:PQ4K*26'DZEU
97)`Lh=LEQ(Zf*XQ9UQ'Q(@/)E
Q(?`/KDZc*W Z9@)?
E?K;PQZ'/E=`,;Q'< (=)'
*K'`6o`* Zo;aK9:)Dk)
D9ULW< Eo<9:,L?ELN;)<9:
9@);2? (Z'/'
&; *9:`EL(@/)4K*26'E97)Q(
QZkU4(EkmEa^(E*K
<[; *4 E^H*`; k2$&(=)'4 PQEQ9U,*;
“Giải 1 bài toán bằng 10 phương pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phương
pháp”
Trang 4
1.2 Mục tiêu nghiên cứu.
1.2.1 Mục tiêu chung.
C,;9:'@$E'Qf*XQ9UQ'Q(@/)
<)
.')??EDKZ'/E;DZE/
<'H*gPQ4K*2
1.1.2 Mục tiêu cụ thể.
tN;)<Zkm ('Q9ULW
@'L+)<[
'mEUZA=)\?'E'L+)<[D*K4&
(Q9ULW@L+)<[
C9:*KZ[<*D4(,u“Nghiệm của đa thức”
C LhLNZk?TPEZ'/EDK
L('
1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.
1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.
v(
i
O
uC)D [XZ; 9
i
O
u#K(9A/'L97D'Zq;
9
1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.
1. 6WW! )_Qf4L9ULW'@$Q
6i 6i.69w
2. Ck&**/&*)LQ9UQ'Q )w
3. .(4L)/K@D )Z9 w`Qb
:QX('[9:Zw
4. [='LW(Q(ZK_Z)a/ZE; * w
6/Zaw
Trang 5
1.4 Phạm vi nghiên cứu.
1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)
9://x[v6Qi#
./*PQZ[;<u6L/x[v6Qi#
1.4.2 Thời gian
9:< 'O%yO%
1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.
6L='LW< E'(_*(*KZ[4
);=K@<$&9Zu
[1] )4d@9eivzPhan Huy Khải
[2] C, Q'L&'BzVũ Hữu Bình
[3] vgQH*-6'BzNguyễn Đức Tấn.
[4] 6'U4( ,zNguyễn Đức Tấn, Nguyễn Đức Hòa, Phan Hoàng
Ngân, Nguyễn Hoàng Vũ, Đỗ Quang Thanh và Nguyễn Anh Hoàng.
[5] .9ULW *zTrần Nam Dũng.
[6] 6DZ'6i66zCác bài toán thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 20016) .
[7] &*L+{6'BzNguyễn Văn Chi.
[8] 1&*L''97^) +{zNhà xuất bản Giáo Dục.
Trang 6
CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
C<*D`*KLh=LL<'?
DC?D9:&<=<*DgC9:;/E
<?'<*Dqq; *KL'L
,*D/Z[
2.1) Ví dụ mở đầu.
|j^H*Z[
++=
α
; k})2}
6`&(4 ' )4c'*;;9:'*<Zu
5C2}W
a
2}
5C2}W
a
2}
5
2}
C9q`&`*K'QP'9Zu
56W*X<Z[)Pα; *<*
5*Lc )2`<*k}
><W*X<Z[)Pα; *<*9: 9Z
3~5OB"J
553353
0M
=+−+−⇒
=−−⇒+=−⇒++=⇒++=
xx
αα
αααα
>h;/; *3~52`<*k}>< )Z•9:<A
[4
Trang 7
2.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.
Định nghĩa. [3L*KZ[L97:QE^j('Z[Q59:;
<*D.3^5€
^
•
^
•‚•
^•
O
.35€OE;
•
•‚•
•
O
€O
6`+;FU(9L`@$Z,)<*Du
Định lý 1.; <*D.3^5 r.3^5^z
+;F ); <=(D+;FZu
Định lý 2.[@9LQjQ.3^5^z; .35
(+;F +;F9:; +;FGHI&*+;FEr
*.3^5z.35^zC9 ); &W
.3^5z.35€
3^
5•
3^
5•‚•
3^5
^
z
€3^53^
•^
•‚•
5
6o+;FE`&`*K+a'<*D9Zu;
<*D.3^5.3^5€3^5x3^5Xx3^5; *K `>X+
a )E`&Q'L& +a<*4K
Định nghĩa:
9:; nghiệm bội rD.3^5.3^5€3^5
L
x3^5Xx35≠O
2.3) Nghiệm bội.
#K4P;XUOL.ƒ^„9:; 4(=L.ƒ^„E`2&
9:@9X@/?D4PL
≠
O 4jUED.ƒ^„
#s4P*…OD.ƒ^„`&Q,?9: ?Dk
4(=L.ƒ^„ ZQ,?`; @)E2&',
Trang 8
] 2&',]4PO
6L
£
ƒ^„Er`'+4P; 4(=
6L
¡
ƒ^„Er`'+4P '*4P2`<*
; '4(=
yv(Z]†3^5
∈
¡
ƒ^„
∈
¡
6`†3^5P
α
; *<*†3
α
5€OE`
†3^5^)P^; **K,]
4yv(Z]†3^5
∈
¡
ƒ^„
∈
¡
∈
¥
ƒ^„E
≥
6`
α
; <*4KD
†3^5d/3^5
∈
¡
ƒ^„E3
α
5
≠
OZ
3 5 3 5
k
x g x
α
−
X
x
∀ ∈
¡
3; †3^5
3 5
k
x
α
−
92
3 5
k
x
α
+
−
5
C€W`
α
; <*U
C‡W`
α
; <*4K
2.4) Khai triển của một đa thức theo các nghiệm.
v(Z]
ƒ „f x∈¡
'Z[Q,4<
E EE
m
α α α
∈¡
; '<*D†X'4K
9U;
E EE
m
k k k
`d/∈ℝƒ^„Zu
3 5 3 3 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5E
j
m
m
k
k
k k
i m
i
f x x a g x x x x a g x x
α α
=
= − = − − − ∀ ∈
∏
¡
@H @H
m
i
i
f g k
=
= +
∑
2.5) Định lý Viète.
v(Z]_†3^54PL.ƒ^„
O O
3 5
n n n
n
f x a x a x a x a x a
− −
−
= + + + + +
1?<u
E EE
n
α α α
; <*D†3^5L.E*s<*&*KZ[;4c4KZ[D
`6`uˆ
Trang 9
O
O
O
O
3 5
3 5
3 5 3
n
n n n
n n n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
α α α
α α α α α α α α α α
α α α α α α
α α
−
− −
−
−
= − + + +
= + + + + + +
= − + +
= −
O
5
3 5
n n
n
n
n
a
a
α α α α
α α α
−
+ +
= −
2.6) Các ví dụ.
Ví dụ 1: |'+†3^54LcX*^Wu
3 5 f x x x
+ = − +
Giải
)€^•W^€)zE ‰LLA u
3 5 3 5 3 5 % 0f y y y y y= − − − + = − +
>WP)
3 5 % 0f x x x= − +
Ví dụ 2: |'+'Z[QE=Z
"
x
+
x px q+ +
Giải
tŠL 9UDQjQ
"
x
+
x px q+ +
; *K4P`@/
x ax b
+ +
>W,); QjQu
"
"
3 53 5
3 5 3 5 3 5
x x px q x ax b
x a p x b ap q x bp aq x bq
+ = + + + +
= + + + + + + + +
>WP)Q(`
O35
O35
O35
3"5
a p
b ap q
bp aq
bq
+ =
+ + =
+ =
=
6o35Z)L€QE) 35W9:
O€4Q•=€4QzQ=€34=5QE
6; Q€OE4z=€O
CQ€OWo35Z)L4€=E 3"5LA
b− =
E )2;F
Trang 10
Cu
Op ≠
@`Q€=6) 3"5W9:4€=€4€=€#'Eo35Z)
L
OE Ob a n n b= ≥ ≥
6o,)`4€=€
a
€E)
E L a suy p
= ± =
m
6];/E)Lc
"
x x x
+ ± +
M
E4AWu
"
3 5 3 53 5x x x x x x x
+ = + − = + − + +
>P)
x px q+ +
W*;
x x
+ +
x x
− +
Ví dụ 3: *Lcu
MMMM JJJJ BBBB 0000
x x x x x
+ + + + + +
M J B 0
x x x x x
+ + + + + +
Giải
u
M J B 0
MMMM JJJJ BBBB 0000
A x x x x x
B x x x x x
= + + + + + +
= + + + + + +
1`u
MMMM M JJJJ J BBBB B 0000 0
M O MMM J O JJJ B O 000 O
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5
ƒ3 5 „ ƒ3 5 „ ƒ3 5 „ ƒ3 5 „
B A x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
− = − + − + − + − + + −
= − + − + − + + −
&FLcX*Z[Wu
O O O3 5 O3 5 O
3 5 3 5ƒ „
k k k
x x x x x
− − −
= − + + + +
O
x
−
*
O M J B 0
3 53 5x x x x x x x− = − + + + + + +
( )
O
^
−
M J B 0
x x x x x+ + + + + +
p`Gz‹‹E @`G‹
Ví dụ 4: i_)W*k'L+D*Z[Zk<*^
E^
E^
D
3 5 P x x x x a= + + +
-*_<
x x x
+ =
Giải
gFX2>NH <_D<*^
E^
E^
-*_k‰
Zu
x x x
x x x x x x a
x x x
x x x
+ + = −
+ + =
=
+ =
Trang 11
6o‰L,9:u
" 3 5 x x x x a x a
= + + = + ⇒ = −
C9^; <*D_u
O " x x ax x a
= + − = −
Ca; ^
€;
€
v(Q9ULWLP9:u€€
Ví dụ 5: 6*4P.3^5Xk<Z[ZQ9ULW.3^5€^2`
<**LcuQ9ULW.3.3^55€^q2`<*
Giải
Cd/Z[ 4Z.35Œ .345…4E *;$x3^5€.3^5^Z•P'
L+L'@x35ŒO x345ŒOEZ)L.3^5€^X^ `E )L'X<_
C9P)rh; .3^5…^X*^; .3^5Œ^X*^
C9`; .3.3^55….3^5…^X*^M%; .3.3^55Œ.3^5E^X*^E`;
Q(*
Ví dụ 6:
v(Z]X<Z[)
( )
O
n n
n n
P x a x a x a x a
−
−
= + +…+ +
L`‡1`E
.3^5`<*krW*<*D.3^5`@/
r
s
EL`L; 9XD
O
EhZ;
9XD
3LEZ5€
Giải
v(Z]; <*krb)FD@9X@/[(E
L
Z
=
`3LEZ5€
( )
O
O
O
p. O 3 5 3 5 3 5 O
O
3 5
n n
n n
n n n n
n n
n n n
n n
r r r
a a a a
s s s
a s a rs a r s a r
a r s a s a s a r
−
−
− −
−
− −
−
= ⇒ + + + + =
⇒ + + + + =
⇒ = − + + +
‰L-Lc
n
n
a r sM
>W3LEZ5€Z)L3ZEL
5€
Z35
8PQ;P9Uu
O
3 5
n n n n
n n
a s r a s a r s a r
− − −
−
= − + + +
-Lc
O
n
a s rM
>W3LEZ5€Z)L3LEZ
5€Z)L
O
L 35
1:Q35 359:Q(*
Trang 12
6o+;FL`9:<=(Zu
( )
O
n n
n n
P x a x a x a x a
−
−
= + + … + +
EL`
)E∀
€OEE‚E1`E.3^5`<*krW*<*krD.3^5
; Z[) ; *KL'9XZ[3,*E@9U5D<Z[
O
Ví dụ 7: .3^5∈ℤ ƒ^„E(Z]'Q9ULW.3^5€E.3^5€E.3^5€`?
<*);;9:; ^
E^
E^
*Lcu^
E^
E^
; '<*)@)D'Q9ULWL
*LcuQ9ULW.3^5€%2`U<*)
Giải
( )
3 5 3 5 3 5 E 3 5 ƒ „
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5
E
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5
p E E 3 5E 3 5 E •Ž•
# ^ ^
Do P x P x x x q x q x x
P x x x q x x x q x
Cho x x x x
P x x x q x x x q x
x x x x q x q x x x x x
x x
= ⇒ = − + ∈
= = − + − = −
= = ⇒ ⇒
= = − + − =
∈ ⇒ ∈
− =
≠
¢
Z
35
x x
x x
x
x x x x
=
+
⇒ =
− = − =
v(Z]Q9ULW.3^5€`<*)^•
€^
E;F;P9LZ)L
‘ ‘
x x
x x x
+
= ⇒ =
*,VEZ)L.3^5€`<*)@); ^
CQ9ULW.3^5€`<*)^•
’^
E;F;P9UZ)L^•
€^
^
)L^•
€^
*,VEZ)L^
; <*)@)DQ9ULW.3^5€
69U^
; <*)@)DQ9ULW.3^5€
v(Z]Q9ULW.3^5€%`<*)^
%
6L35^€^
%
Z)L%€.3^
%
5€3^
%
^
5=3^
%
5•)3^
%
^
5=3^
%
5€⇒^
%
^
r`&;)
''L+“)“
C^
%
^
€“WH35
%
%
x x
x x
=
⇒
=
2;FW^
%
’^
^
%
35x x⇒ − = ±
#'u
.3^5€3^^
5L3^5•EXL3^5∈ℤƒ^„
% % % %
3 5 3 5 x x x x r x x x= ⇒ − = ⇒ −
r;)'L+“
)“
C^
%
^
€“W*,VX35 35⇒^
%
^
€“3"5
Trang 13
|j35E35E3"5⇒^
^
€ ^
^
€W^
%
^
€
p`u<*)^
%
3d/5DQ9ULW.3^5€%9: ^'+
4A'Z[^
E^
E^
@)
)L.3^5€%2&`U<*)
Ví dụ 8: v(Z]
O
3 5
n
n n
n
f n a x a x a x a
−
−
= + + + +
; X<Z[
O
'O -
*_u
3 5 3 5 3 5Ef x f x f x x x= + ∀ ∈¡
*Lcu )2`<*
Giải
6o
3 5 3 5 3 5Ef x f x f x x x= + ∀ ∈¡
3~5EZZ'<Z[D^
^
O
LL&3~5
O O O
35
O
35
n
n n
n
a a a
a
a a
a
= ⇒ =
⇒
=
= ⇒
=
C
€OW
~
3 5 3 5E 3O5 OE
k
f x x f x f k
= ≠ ∈
¥
E) 3~5`u
3 53 5 3 5 3 5 3 5
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5
k k k
k k
x f x x f x x x f x x
x f x f x x f x x
= + +
⇒ = + +
^€OEZ)L†3O5€O32;F5EZ)L
'O
|j
€6`u†3^5`<*^
O
EW^
O
'O
3~5
O O O O
3 5 O f x x x x
⇒ + = ⇒ +
q; <*DQ9ULW†3^5€O
pu^
O
^
O
b@⇒”^
O
•^
O
”€”^
O
”•”^
O
”…”^
O
”
)Lu†3^5`2Z[<*-^
•
€^
•^
3∈ℕ532;F5
Ví dụ 9:
3 5
n n n
f x x x x x
− −
= − − − − −
35
G<;PZ[)D35H
v(Z]‡E*35r`<*U;XU
vIEIE‚EI; '<*QD35EX‡*Lcu
• •EEE •u
i
i n z
∃ ∈ >
Giải
6`
3 5
n n n
n
x x x
f x x
x x
+
− − +
= − =
− −
E
3 5
n n
x x x
ϕ
+
= − + ⇒
<*D
Trang 14
ϕ
3^5X^’
6`
‘3 5 3 5 ƒ3 5 „
n n n
x n x nx x n x n
ϕ
− −
= + − = + −
C–W
‘
ϕ
3^5`<*4K;—^€O <*U
n
x
n
=
+
^
−∞
O
n
n
+
+∞
‘
ϕ
3^5
• O ˜ O •
ϕ
3^5
−∞
O
ŒO
+∞
)L†3^5`<*UQ,4<
C;—W
‘
ϕ
3^5`<*4K–^€O <*U
n
x
n
=
+
^
−∞
O
n
n
+
+∞
‘
ϕ
3^5
˜ O ˜ O •
ϕ
3^5
+∞
O
ŒO
+∞
)L†3^5`<*UQ,4<
p 4(4LE)†3^5;2`g<*…35>X‡E`u
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 O 3 5
n n n
x
ϕ ϕ
+ +
= − = − + < ⇒
`<*;XU
35
35E35Z)L†3^5r`<*…
v
E EE E
E EE E
n i
n j
α α α α
β β β β
≥
<
; '<*QD
ϕ
3^5
Trang 15
6`
k m k m
i j i j
i j i j
α β α β
= = = =
= ± ⇒ =
∏ ∏ ∏ ∏
E(Z]†3^5`='<*Q`*@;H…
⇒…
”™
O
”
*
X”™
O
”€*•”™
O
”•⇒…”™
O
”
*
3~5
#'u
O O O O O O O O O O
O 3 5 3 5
n n n
n n n
i i i i i i i i i i
β β β β β β β β β β
+
− + = ⇒ − = ⇒ = − ≤ + ⇒ ≤ ≤
#,VXQ(*
Ví dụ 10: i_)W*k<*DQ9ULWu
"
3 5 0 M B 0 OP x x x x x= + − − + =
Giải
CZ[kr€y; <*DQ9ULW_EWH+;FALkZ[
`(Z,)€“E“E“E“"E“0E“ €“E“E“E“0&`&'Q@$+
;F"Z•?('(D• *(DZ[
=(^H*L4(Zu
u/v u+v u-v u/v u+v u-v u/v u+v u-v
1
-2
4
-6
½
-3/2
2/3
-4/3
¾
-1/6
%
%
%
B
%
O
•
B
%
B
B
"
y
y
y
š
y"
O
"
"
%
%
%
B
0
y
y
"y
y"
y0
B
%
B
B
"
%
"
%
%
6?9:.35€" .35€JE))LckZ[kr-*_'+;FL
; uŽŽyŽy34c'W*L4(k.35• .35
5C9P)Q9ULW_`<*krEWgZ•c*LŽŽyŽ
y[ Z•Z;h<*D_E4c''Q@$.3^5€O r
.3^5^Ea; 'Q@$ZUdiLHL6`u
0 M B 0
0 %% J" JO
0 " O
Trang 16
)L; <*DQ9ULW_
( )
. ^ 3 530 O "5 3 5 3 5x x x x x Q x
= + + − + = +
G,)7E&*LkZ[ L'Z[Žyyy; <*3Q(&*L;/W
LoQ9ULW_`<*4K5okZ[ )Z)L)2Q(;
<*Dx3^5EW"2h;/Z[Z;/Z]@$ZUdiLHL
0 O "
0 " J O
0 B My
y 0 0y
)LQ9ULW_`<*krE`; ^
€ ^
€y
Bài 11:v(Z].3^5; 4PMMX<Z[)|jx3^5€.
3^5M
*LcuZ[<*)Dx3^5-UMM0
Giải
v(Z]<*Dx3^52-UMM0
3 5 O 3 5 M O ƒ 3 5 „ƒ 3 5 „ OQ x P x P x P x
= ⇔ − = ⇔ − + =
v(Z]^
E^
E‚E^
; '<*)D.3^5€3^
Œ^
Œ‚Œ^
5 )
E)
EE)
;
; '
<*)D.3^5€3)
Œ)
Œ‚Œ)
;
5tŠL ^
')
›
E∀
E›
>W
@H 3 5 MM MMŽ MMP x k l
= ⇒ ≤ ≤
*'E•?; Z[<*Dx3^5
H()Q(W
MM0k l
+ ≥
6o``
%E %k l
≥ ≥
Z)Ld/
O O O O
E 3 Ž 5i j i k j l
≤ ≤ ≤ ≤
Zu
O O
” ” B35
i j
x y− ≥
v(Z]u
MM MMO
MM MMO O
3 5 P x a x a x a x a= + + + +
X
∈ℤE€
OEMM
6Wo.3^
O
5€O .3)
O
5•€OEZ)Lu
( ) ( )
O O
0
i i
P y P x
− =
>W.3^5; X<Z[)* )
O
E^
O
; )`u
Trang 17
( ) ( )
O O O O
i i i i
P y P x y x− −M
C9P)u0⋮
O O
z
i i
y x
EZ)L”)Oz^O”
≤
035
6o35 35Z)L*,V>P)(Q(; ZE; x3^5€
3 5 MP x
−
2&`='MM%<*)3Q*5
Nhận xét
6`&*359Zu
>W
%E % E E
i i
k l x y i j
≥ ≥ ≠ ∀
@``?4<*LZ[
l
<*
3 E 5
i
y j l
=
c*
;<‰4Q(34L'5'<*
3 E 5
i
x i k
=
12(*f='Z
;< )4Q(C9P)`u
k p p p
x x x y y y
+ +
< < < < < <
E
3A,))QE)Q•E)Q•; Z[LZ['<*)E)E)‚E);5gF; A,)'
3 E 5 E E
i p p p
x i k y y y
+ +
=
; Z[)u
” ”
p p
y x y x k k
+ +
− = − ≥ − + = +
p
%k
≥
Z)L
” ” B
p i
y x
+
− ≥
>P)359:*
Bài 12: E4E; 4<*DQ9ULW^
z^•€O8PQQ9ULW4P4
`<*;
5
E4
E
Ž
c
c
b
b
a
a
b
+
−
+
−
+
−
E
E
5
Giải
6H+;F>HE`
•4•€OE4•4•€E4€
6o`?9:
•4
•
€3•4•5
z34•4•5€O
35€0
4
•4
•
€34•4•5z43•4•5€35
z35O€M
4
€345
€
œQ@$+;F>H(EZ)L
E4
E
; 4<*DQ9ULW
Trang 18
^
z0^
•M^z€O
69UE?9:
M
53
553533
553533553533553533
−=
−
=
+++++++
−++−+++
=
+++
−++++−++++−
=
+
−
+
+
−
+
+
−
abccabcabcba
abccabcabcba
cba
cbacbacba
c
c
b
b
a
a
5353
553533553533553533
−=
−
=
+++++++
+++−++−
=
+++++++
−+−+−−+++−−
=
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
abccabcabcba
abccabcabcba
abccabcabcba
cbacbacba
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
53
5353
=
−
−
=
+++++++
−+++++−
=
+
−
+
−
+
−
abccabcabcba
abccabcabcba
c
c
b
b
a
a
6o`Z)L
c
c
b
b
a
a
+
−
+
−
+
−
E
E
; <*DQ9ULWu^
•^
z^zy€O
Bài 13: tg4&
553355335533
bcac
c
abcb
b
caba
a
A
−−
+
−−
+
−−
=
Giải
|j
5533
5533
5533
5533
5533
5533
53 x
bcac
bxaxc
abcb
axcxb
caba
cxbxa
xF −
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
6`•35€•345€•35€OC9•3^5; 4P-U)4cp`•3^5Q(
dO
6o`Z)L<Z[D^
D•3^54cOi<Z[ )4c
Trang 19
553355335533
−
−−
+
−−
+
−− bcac
c
abcb
b
caba
a
)L‹€
Bài 14:>X'L+ D‹ GW.3^5€‹^
•
•G^
•`^€; <*4K?
; 4Pw
Giải
6L9XQ(`.35€OE; ‹•G•€OEZ)LG€z‹z1`.3^5€‹^
3^
5z^
•€3^53‹^
z^
z^
‚5€3^5x3^5&; <*4K?; 4PW
x3^5^E; x35€OEZ)L‹€>P)€E4€3•5ž
2.7) Bài tập vận dụng.
Bài 1: *LcuX*^E)EI`u3^•)•I5
^
)
I
€3^•)53)•I53I•^5
Hướng dẫn – Đáp số:
|jX4^
( ) ( )
P x x y z x y z
= + + − − −
35
6
( ) ( )
OP y z y y z
− = − − − − =
z); <*D.3^56H+;FGjIW.3^5⋮
3^•)5; u
( )
x y z x y z x y
+ + − − − +
M
69U) Iu
( )
( )
x y z x y z z y
x y z x y z x z
+ + − − − +
+ + − − − +
M
M
pP)
( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y z x y z x y z Q
+ + − − − = + + +
35
6o35W@H.3^5€E@`o35Z)LxQ(; 4PO[X^|j9UE
)EIC`''xŸEA,)€Z
#'L35^€)€I€E"€J
)Lu€)LQ(*
Trang 20
Bài 2:*Lcu12d/4PX<Z[).3^5€^
•4^•P
; *<*
Hướng dẫn – Đáp số:
v(Z]`4P[<Z[).3^5€^
•4^•P ; *<*C9P)
'O `u
( ) ( )
( )
( )
M 4 O
M 4 z 4 O
4 4 €O
+ + =
⇒ + + =
⇒ − − −
pE4E) ; Z[2}o35Z)Lu
( )
( )
4 O
4 O
− =
− =
C,D35X35X4LdLooE`u
( )
4 O
4 "
− =
⇒ =
p4)3"5r^()L€4€O3 @`€O5
)*,VX(u'O
Bài 3:
3 5P x
; X<Z[)Z
3 5 3 5 3 5 P a P b P c
= = =
EA,)E4E; 'Z[)2*K'*Lc
3 5P x
2`<*)
Hướng dẫn – Đáp số:
v(Z]`<*)6H+;FGjIE.3^5&4&@!@9X@/u
( ) ( ) ( ) ( )
O
. ^ ^ ^ x ^
= −
A,)x3^5q; X<Z[)
6o35 (Z)Lu
( ) ( ) ( )
O
. ^ x
= = −
p”x35” ”^
O
”; )2,*Eo35
”^
O
”€35
69U[X4Eu
Trang 21
”4^
O
”€Ž”^
O
”€3"5
'Z[LKPQ:Q•Ž•>WLZ[g4c3);?pL;H5
)Lu€43L'(56o`Z)LQ(*
Bài 4: .3^5; X<Z[)E4; Z[)-*_<Œ4
.35€.345€E@; Z[)-*_<Œ@ .35€.3@5€v(
*LcŒ*E4EE@; "Z[);Q
Hướng dẫn – Đáp số:
( ) ( )
( ) ( )
O
P c P d
P c P d
= = −
⇒ + = + =
>Wx3^5ۥ.3^5PE@; *<*EH+;FGHIE`
x3^5€•.3^5€3^53^@5t3^5EA,)t3^5q; X<Z[)C9P)u
.3^5€3^53^@5t3^5 35
>W.35€Eo35`u
353@5t35€ 35
1:QX(o35)u
a c a c
a d a d
− = − + =
⇒
− = − + =
)LuEE@; Z[);Q
.34O€EVo35Z)Lu
34534@5t345€ 35
4…* €• E4E)4‡
W.345€ .35€`u
.345’.35⇒4’⇒4…
69Uu@€•4…@
C9P)4…4@…O6o35:Q(u4@€Ž4€i)u
d b
c b
+ =
+ =
6o`Z)LQ(*
Bài 5:*LcX*Z[)E
( ) ( )
"
OO% OO" OOP x x x a x x a
= − + + − +
2&`<*)Q,4<
Hướng dẫn – Đáp số:
Trang 22
C^
O
; <*DW^
O
Q(–
Z)L'L+D.3^
O
5E.35o`u
.3^
O
5.35€OO
CP)uƒ.3^
O
5.35„⋮3^O5Eu3OO5⋮3^
O
535
Z)L^
O
; Z[;—^
O
; Z[–
(Z]u
3 5 3 5
O
P x P x
x x
−
=
−
35
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
" "
3 OO% OO" OO P x P x x x x x a x x x x
− = − − − + + − − −
35
1:Q35 35 ^
E^
; 'Z[–Z)L2;FQ(*
Bài 6: .3^5; X<Z[)v(Z].3O5 .35; 'Z[);—
*Lcu.3^52`<*)
Hướng dẫn – Đáp số:
( )
O
n n
n n
P x a x a x a x a
−
−
= + +…+ +
E’OvQ =; Z[)'D–
b;—
.3Q5.3=5€3Q=5•3Q•=5•‚•3Q=535
œQ@$c‰L&^):QX35Z)Lu
.3Q5.3=5⋮Q=Z)L.3Q5.3Q5; Z[–X*Q; Z[)–'O
#'E.3O5; Z[);—Z)Lu.3Q5; Z[);—3.3Q5’OX*Z[)–5
69UE`.3Q5.35; –X*Q);—
1:QX.35;—Z)LQ;—W.3Q5;—3.3Q5’OX*Z[);—5
`a; .3^5;—X*^)E; 2`<*)3Q(
*5
CP^ju
C.3^5; X<Z[)EL`.354 .345; 'Z[);—XE4`?
–E;—'1`.3^5; Z[);—X*'L+)D^
Bài 7:u
( )
O
k k
k k
P x a x a x a x a
−
−
= + +…+ +
EL`'<Z[; 'Z[);—E€OEE
‚E
*Lcu.3^52`<*kr
Hướng dẫn – Đáp số:
Trang 23
v(Z]`<*kr
O
p
x
q
=
EX3QE=5€6o
( )
O
O
p
P x P
q
= =
÷
E`u
O
Q Q
O
= =
−
−
+ +…+ =
÷ ÷
35
( )
O
Q = Q = = a
− − −
−
= − +…+ +
35
)Lu
Q =M
35
>W3QE=5€3Q
E=5€pP)o35u
⋮=3"5
69Uu
( )
O O
= = = Q Z)L Q
− −
= − +…+
M
3%5
6o3"5 3%5 @
O
E
; 'Z[);—Z)LQ =D; 'Z[);—
>L'D35; *KfD3•5Z[);—E@`f)2&4cO
)LQ(*
Bài 8: G.3^5€^
%
•^
•`%<*x3^5€^
6??Zu
‹€x3^
5x3^
5x3^
5x3^
5x3^
5
Hướng dẫn – Đáp số:
œQ@$+;FGjIQ,?.3^5 ,]
6o`Z)Lu6?W*‹€.3 5.3 5€
Bài 9: X<Z[)G.3^5P'L+4cX"'L+'D
^∈ℤ*LcE.3^52&P''L+EE%EBEM
|jx3^5€.3^5C9P)X<Z[)x3^5`"<*'
Hướng dẫn – Đáp số:
]@$GjI
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"
Q x x x x x x x x x R x
= − − − −
8)^
O
∈ℤu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
O O O O O " O
Q x x x x x x x x x R x
= − − − −
35
Z)Lx3^O5?u
3^
O
^
53^
O
^
53^
O
^
53^
O
^
"
5
Trang 24
6o35Z)L=3^
O
5€O”x3^
O
5”; :QZ[
x3^
O
5∉•ŽŽŽ%ŽB•Z)L.3^
O
55∉•ŽŽ%ŽB•
>?@$Ou^'+Z[E49:^'+9Z; Z[kr)2ru
"35
% %
M M 35
B B
a
b
= +
= + + − − + +
8PQQ9UD35u
00
-; <*Du
.3^5€^
0^0
+;FALW<*krDQ(KPQ:Q•EEE0•
6];/; <*Z)L; Z[2r
69U4u4
•%40€O⟺34534
•4•05
)L4€; Z[kr
Bài 10: .3^5€^
•^
•4^•EL`E4E; 'Z[kr4Lc ; *K
<*DW*'<*'D3`5
Hướng dẫn – Đáp số:
.3 5 O 3 5 Ob c a= ⇔ + + + =
35
6o(u
O
O
b b
c a c a
+ = = −
⇒
+ = = −
.3^5LA u
( )
3 53 5P x x ax x a x x a
= + − − = − +
35
)L'<*h;/
Bài 11:|j'4P4X<Z[)u
( )
P x ax bx cx d
= + + +
E'O
Trang 25
