Sai lầm khi tính tích phân

VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
4
2
0
1I x dx

 

Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt
sinx t
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
  


     
  
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt
0 0
sin

4 4
x t
x t arc
 
  



  


arcsin arcsin arcsin
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2
1 sin .cos . cos .
2
1 1
arcsin sin 2arcsin
2 4 4 4
t
I t t dt t dt dt
  
 

   
 
 
 

 
  
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
VD2: tÝnh
1
5
0
(2 1)
dx
I
x



Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1
1 3
0 1
x t
x t
  



  

3
4
5 4

1
3
1 1 20
1
1
4 4 3 81
dt t
I
t

 
      
 
 

Lêi gi¶i ®óng:
®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx
1 3
0 1
x t
x t
  



  

3
4
5 4

1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t

 
      
 
 

www.vntoanhoc.com
3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx

Giải:
* lời giải sai:
đặt
' 1
'
x x

u x u
v e v e







2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e

*Lời giải đúng:
đặt
x x
u x du dx
dv e v e

2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e

Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1: cho
n N
; CMR

2
0
sin sin 0I x nx dx



* Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên

0;2

ta có:
f(x) là hàm liên tục trên

0;2

và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ

I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì

a
a
f x dx


=0
* Lời giải đúng: Đặt
x y



2
0
sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx






=

1 sin sin
n
ny y dx





Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên

,


là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)

g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên

0,

. Hãy so sánh

0
sinI xf x dx



và

0
sinJ f x dx



*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:

sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x









0
cos cos
0
I xf x f x dx




www.vntoanhoc.com

Do f liên tục /[0;

]


0
cos 0 0 cosf f I f x dx




(1)
Mà

0
sin
2
J f x dx




(2)
Từ (1) và (2) ta có
I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
* Lời giải đúng:
Đặt
x t

ta có:


0
0
sin sinI xf x dx t f t dt






0 0
sin sinf x dx xf x dx





0 0
2 sin sin
2
I f x dx I f x dx

Vậy ta có I=J
ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm

,C a b
sao cho:

c b
a c
f x f c dx f c f x dx



* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]

f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:

c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx



* Nguyên nhân sai lầm:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai.
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân


ít nhất một điểm

,C a b
sao cho:

b b
a a
f x dx f c b a f c dx


0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx



Hay ta có:

c b
a c
f x f c dx f c f x dx



(ĐPCM).
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích
phân
I. Kiến thức chung
- Cho hàm số

y f x
khả tích trên

;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là :

b
a
S f x dx

II. Những sai lầm thờng gặp
1. Sử dụng sai công thức
www.vntoanhoc.com
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x





Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
2 3
1

4
1
(9 ) 9 7
1
3
S x dx x x





Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là: 9
3
2
1
9S x dx


3 4
2 2
1 3
3 3
(9 ) 9
3 4
1 1 65 38
9 9 9
1 3
3 3 2 3

x dx x dx
x x x x






o 1 3 4 x
2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi:
2
0; 1
1; 0
y y
y x x





Lời giải sai:
2
1 1y x y x
0 1
1 2
y x
y x

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

2
3
2
1
2
2 2
1 1
1
3 3
S x dx x

Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S
với :
2
1
1 1S


2
3
2
2
1

2
2 1
1 1 1
1
3 3
4
3
S x dx x x
S






3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:
www.vntoanhoc.com


2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C

y x x C
x x










y
Lời giải sai:

1 2
2;1C C
1 2 3 x
Vậy diện tích của hình giới hạn là:


5
2
2
2 2
3
2
2
3 3
1 3

2 5
1 1
2
1 3
3
3 3
2
2
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
S x dx x dx
x x







Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)
2
y=(x-3)
2
Lời giải đúng:

1 2
2;1C C
Diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S

1 3 x



2
2 2
1
3
2
2
2
3
2
3 1
2
1
4 8 2 8
3
2
2
S x x dx
x dx x x

5
2
2 2
2
2
5
2
2
2
1 3
5
1
2
4 8 (2 8 )
2
2
S x x dx
x dx x x






Vậy S =
1 1
1
2 2

Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

I, công thức:
www.vntoanhoc.com
1
2
Cho hình phẳng giới hạn bởi



2
0
0
0
2
b
b
y f x
Vox f x dx
y
x a
Voy xf x dx
x b

Nếu hình phẳng giới hạn bởi



1
2
2 2
1 2
. 0
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d
f y g y

II, Một số sai lầm thờng gặp:
1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn

2
2 2
0x y b a a b
quay
quanh trục 0x.
* Lời giải sai: y
Phơng trình đờng tròn (C):

2
2 2
x y b a
có thể viết

2 2
2
1
2 2
2 2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C







Vậy thể tích của hình xuyến là: x




2 2
2 2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx

2
2 a b


* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:

2 2
1 2
b
a
Vox y y dx



mà
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx



.
* Lời giải đúng:

2 2
2 2 2 2 2
2
a
a
Vox b a x b a x dx a b




2. Sử dụng nhầm Voy
ví dụ: Tính Voy của hình
2
1
2
y x
x
x

* Lời giải sai:
2
5
4
1
2
31
1
5 5
x
Voy x dx




* Sai lầm: Đã sử dụng công thức
2
b
a
Voy y dx



đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy
lời giải bị sai.
* Lời giải đúng.
2
2
1
15

2 .
2
Voy x x dx




www.vntoanhoc.com
www.vntoanhoc.com