Đáp án TOÁN- ĐH-CĐ lần 2/2011

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG LẦN II NĂM HỌC 2010 – 2011
Câu ý Nội dung Điểm
I
1
Với m= 3/2 ta có y = x
4
-2x
2
+2
Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.
=
• Sự biến thiên:
3
4 4y' x x.= −
Ta có
0
0
1
x
y'
x
=

= ⇔

= ±

0.25
lim ; lim
x x

y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
( ) ( )
0 2 1 1
CD CT
y y ; y y .= = = ± =
0.25
• Bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1
+∞
y'


−
0
+
0
−
0
+
y

+∞
2
+∞
1 1
0.25

• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
• Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy
0.25
2
• Ta có
( ) ( )
( )
3 2
4 8 1 4 2 1y x m x x x m .
′
= − − = − −

•
( )
2
0
0
2 1
x
y
x m
=

′
= ⇔

= −

nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1
0.25

• Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m .− − − + − − − − + −
Ta có:
( ) ( )
( )
4
2 2
2
2 1 16 1
8 1
AB AC m m
BC m
= = − + −
= −
0.5
So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra
3
3
1
2
m = +
0.25
II
1
Đk:

0
2
cos x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
,ta có
( )
2
2 inx 1 2 n
4
cos( x ) cos x s , sin x cos x s i
π
+ = − − = −
0.25
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 2
3
4
os 1 2
os inx
cos x sin x c x sin x sin x
cos x sin x c x sin x s cos x
⇔ − = − −

⇔ − = − +
( )
3
0sin x cos x sin x⇔ − =
0.25
0
0 1
4
x k
sin x x k
cos x sin x tan x
x k
π
π
π
π
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
 

− = =
= +
 

Vậy pt có 2 nghiệm:
4

x k
x k
π
π
π
=



= +

0.5
Đk:
1y ≤
. Ta có
( )
( )
( )
2 4 3 3
9 9 9 0x y y x y y x y x y− + = + − ⇔ − + − =
0.25
vì
1y ≤
và
3
1 1 2x y+ + − =
nên
3
1 x+
≤

2
⇔
x
≤
7.Do đó
3
9x y+ −
≤
-1<0
nên x=y
0.25
Thế vào pt ban đầu ta được
3
1 1 2x x+ + − =
.Đặt
3
1a x= +

1b x= −
(b>0) thì
3 2
2
2
a b
a b
+ =


+ =


⇒

( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
2 2 4 2 0 1 2 2 0a a a a a a a a+ − = ⇔ + − + = ⇔ − + − =
⇒

1; 1 3; 1 3a a a= = − + = − −
0.25
Từ đó tìm đựơc các nghiệm của hệ : x=y=0 và
11 6 3 11 6 3x y ; x y= = − + = = − −
0.25

III
1 1
3
2
1 2
2
0 0
4
x
x
I x e dx dx I I
x
= − = +
−
∫ ∫

0.25
Tính
1
2 2
2 2 1
1 0
0
1 1
( ) |
2 2 4
x
x x
e e
I x e dx xe
+
= = − =
∫
0.25
Tính
2
I
bằng cách đặt
2
4t x
= −
được
2
16
3 3

3
I
= − +
0.25
2
61
3 3
4 12
e
I
= + −
0.25
IV
4a
2a
2
2a
2a
a
a
a
5
C'
≡
C
a
a
a
a
a

45
°
45
°
H
E
A
D
C
B
H
B
A
C
D
S
Từ giả thiết suy ra
( )
SH ABCD⊥
và
2 3
3
2
a
SH a= =
0.25
Theo định lý Pythagoras ta có
2 2
2CH SC SH a= − =
.

Do đó tam giác
HBC
vuông cân tại
B
và
BC a
=
0.25
Gọi
DE HC A= ∩
thế thì tam giác
HAE
cũng vuông cân và do đó suy ra
2 2 2 4 3 .DE a a AD a= × = ⇒ =
0.25
Suy ra
( ) ( )
( )
2 2 ; ;CE a d D HC d D SHC= = =
y ra
( )
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a= + × =
0.25
(đ.v.d.t.). Vậy
3

. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S= × × =
(đ.v.t.t.)
V

VI.a
1
Ta có: 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b
3
+ c

3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc
2
+ ca
2

mà a
3
+ ab
2

≥
2a
2
b
b
3
+ bc
2

≥
2b

2
c
c
3
+ ca
2

≥
2c
2
a
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
≥
3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0.25
Suy ra
2 2 2
2 2 2

ab bc ca
VT a b c
a b c
+ +
≥ + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
2( )
a b c
VT a b c
a b c
− + +
⇒ ≥ + + +
+ +
0.25
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh được t
≥
3.
Suy ra
9 9 1 3 1
3 4

2 2 2 2 2 2 2
t t t
VT t
t t
−
≥ + = + + − ≥ + − =
⇒ VT ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0.5
ptđt AB đi qua M(-3;-2) có dạng ax+by+3a+2b=0 . Đuờng tròn (C) có tâm I(2;3) và bán
kính
10R =
nên
2 2 2
2 2
| 2 3 3 2 |
10 10( ) 25( )
a b a b
a b a b
a b
+ + +
= ⇔ + = +
+
0.25
⇔

( 3 )(3 ) 0 3a b a b a b+ + = ⇔ = −
hay
3b a
= −

pt AB: x- 3y-3 = 0 hoặc AB: 3x-y+7=0
0.25
TH1: AB: x- 3y-3 = 0, gọi A(3t+3; t)⇒t>-1 và do IA
2
=2.R
2
=20⇒ t = 1, t = -1 (loại).
Suy ra A(6;1)⇒ C(-2; 5)
0.25
TH2: AB: 3x-y+7=0, gọi A(t; 3t+7)⇒t>0 và do IA
2
=2.R
2
=20⇒ t = 0, t = -2 (không thoả
mãn)
0.25
+ ) Ta có:
(2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC= − =
uuur uuur
Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực
của AB, AC là:
1 0, 3 0.x y z y z+ − − = + − =
0.25
+) Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là
, (8; 4;4).n AB AC
 
= = −
 
r uuur uuur
Suy ra (ABC):

2 1 0x y z− + + =
.
0.25
+) Giải hệ:
1 0 0
3 0 2
2 1 0 1
x y z x
y z y
x y z z
+ − − = =
 
 
+ − = ⇒ =
 
 
− + + = =
 
. Suy ra tâm đường tròn là
(0; 2;1).I
0.25
Bán kính là
2 2 2
( 1 0) (0 2) (1 1 .) 5= = − − + − + − =R IA
0.25
VII.a

21
20
(1 ) 1

1 (1 ) (1 )
i
P i i
i
+ −
= + + + + + =
0,25
10
21 2 10 10
(1 ) (1 ) .(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 )i i i i i i
 
+ = + + = + = − +
 
0,25
( )
10
10 10
2 (1 ) 1
2 2 1
i
P i
i
− + −
= = − + +
0,25
Vậy: phần thực
10
2−
, phần ảo:
10

2 1+
0,25
Ta có:
Idd
21
=∩
. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:



=
=
⇔



=−+
=−−
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy






2

3
;
2
9
I
0.25
M là trung điểm cạnh AD
OxdM
1
∩=⇒
. Suy ra M( 3; 0)
Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
=






+







−==
Theo giả thiết:
22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
===⇔==
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1

ADd
1
⊥⇒
Đường thẳng AD có PT:
03yx0)0y(1)3x(1 =−+⇔=−+−
. Lại có:
2MDMA ==
0.25
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
( )






=+−
=−+
2y3x
03yx
2
2

( ) ( )



±=−
−=
⇔



=−+−
+−=
⇔



=+−
+−=
⇔
13x
x3y

2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2



=
=
⇔
1y
2x
hoặc



−=
=
1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0.25








2
3
;
2
9
I
là trung điểm của AC suy ra:



=−=−=
=−=−=
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0.25
2
Ta có
(2; 3; 1), ( 2; 1; 1) (2;4; 8)AB AC n= − − = − − − ⇒ = −
uuur uuur r
là 1 vtpt của (ABC)
0.25
Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25
M(x; y; z) MA = MB = MC ta có

2 3 2 0
2 0
x y z
x y z
− − − =


+ + =

0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25
VII.
b
Đặt
( )
x,yz x yi= + ∈¡
. Ta có
2 1 2
2 1 2
2 1 2 2
z z z
x yi x yi x yi
x yi yi
− = − +
⇔ + − = + − + +
⇔ − + = +
( )
2
2 2
2 1 4 4x y y⇔ − + = +

0.5
2
2 0
0
2
x x
x
x
⇔ − =
=

⇔

=

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng
0, 2x x= =
0.5
Hết