Đề thi chọn hsg khối 11 có đáp án ( Nguyên)

Sở GD&ĐT Bắc ninh
Tr ờng THPT Quế võ i
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Năm học: 2009 - 2010
Đề thi có 01 trang
Môn: Toán - Khối 11
Thời gian làm bài 150 phút
C âu 1: (2 điểm) 1.Giải phơng trình lợng giác sau:

4 4
2 2
sin cos
1 sin
2 2
tan .sin tan
1 sin 2
x x
x
x x x
x
+
+
= +

2. Tìm điều kiện của m để phơng trình:
cos2 cos 1 0x x m + =
có nghiệm thuộc
khoảng
3
;
2 2

ữ

Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phơng trình:
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
2. Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1 2
1
1
2009; 2010
2
( 2)
3
n n
n
u u
u u
u n

+
= =



+

=


Chứng tỏ rằng dãy số (v
n
) với
1n n n
v u u
+
=
là một cấp số nhân. Từ đó lập công thức tính
n
u
theo n.
Cau 3: (2 điểm) 1. Số 16200 có bao nhiêu ớc nguyên dơng.
2. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển:
12
(1 2 )x+
.
Câu 4: (3 điểm)
1. Cho đờng tròn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y+ + =
và đờng thẳng (d) :
2 0x y =
.
Viết phơng trình đờng tròn (C

) đối xứng với đờng tròn (C) qua đờng thẳng (d).
2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABCD có đáy lớn BC=2a, AD=a, AB=b.

Mặt bên SAD là tam giác đều, (

) là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song
với SA và BC, (

) cắt CD, SC, SB lần lợt tại N, P, Q.
a) Chứng minh rằng: MNPQ là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x=AM (0 < x <b).
Câu 5: ( 1 điểm). Cho A,B,C là 3 góc nhọn của 1 tam giác CMR
sin sin sin
1 2
sin sin sin sin sin si n
A B C
B C C A A B
< + + <
+ + +

__________________Hết___________________________
(Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu trong quá trình làm bài)
Đáp án
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng năm học 2009 2010
Môn: Toán Khối 11. Ngời soạn: Đỗ Thị Nguyên
Câu Nội dung Điểm
I 1 1đ
Đk:
cos 0x

(1)
2 2
2

1 2sin .cos
1 sin
2 2
tan (1 sin )
1 sin 2
x x
x
x x
x

+
= + +

2
2
1
1 sin
1 sin sin
2
1 sin 2 1 sin
x
x x
x x

+
= +

2
2
3

1 sin
1 sin
2
2sin 1 cos2 0
1 sin 2
x
x
x x
x

+
= = =

( ) ( )
4 2
k
x k tm

= + Â
0.25
0.25
0.25
0.25
2 1đ
2
(2) 2cos cosx x m =
Đặt
( )
cos
3

; 1;0
2 2
x t
x t

=


ữ

2
(2) 2t t m =
+) Xét f(t) = 2t
2
- t trên (-1; 0) có bảng biến thiên
Và PT (2) có nghiệm khi đờng thẳng y= m (song song hoặc trùng
0x ) cắt parabol f(t) trên (-1; 0)
+) ĐS:
(0;1)m
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2 1 1đ
Đặt
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 ( 0)

(3) 3 3 3 0
3( )
1
x t t
t x x t t x t
t x
t loai
x x ptvn
+ =
+ = + + + =
=



=

+ =
Vậy pt đã cho vô nghiệm
0.25
0.25
0.5
2
1 1
1
1 1 2 2 3 2 1 1
1 2 3 2 1 1
1
1 1
1
2,3( ) ( )

1
; 2
3


1
1
3 1
2009 1
4 3
n n n n
n n
n n n n n n n
n n n
n
n
n
n
n u u u u
v v n
u u u u u u u u u u
v v v v v u
q
u v u
q
u
+

=
=
= + + + + +
= + + + + + +

= +



= +

ữ



0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3 1 1đ
Ta có:
3 4 2
16200 2 .3 .5=
Ước cua 16200 co dạng:
( )
2 .3 .5 , , ;0 3,0 4,0 2
m n p
m n p m n p Ơ

+ Với mỗi bộ số(m, n, p) ta có 1 ớc số tự nhiên của 16200.
+ Chọn m: có 4 cách.
n: có 5 cách. Suy ra: có 4.5.3=60 (bộ số(m, n, p)
p: có 3 cách.
Vậy có 60 ớc số cần tìm.
0.25
0.25
0.25
0.25
2
( )
12
12
12 12
0
1 1
1 12 12
1 2 3 7 8 9 12
1 2 (2 ) ; 2 .
23
2 2
3
.
k k k k
k
k
k k k k
k k
x C x b C
b b C C k

b b b b b b b
=
+ +
+
+ = =
< < <
< < < < < > > >

Vậy hệ số lớn nhất là:
8 8
8 12
2 126720.b C= =
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4 1 1đ
(C) có tâm I(1;-2);bán kính R=
7
Đ
d
: (C)

(C); (C) =(I;R).
Pt đờng thẳng II:2x + y = 0
+Tọa độ của I(-1;2)
+ Phơng trình đờng rròn (C) là: (x+1)
2
+(y-2)
2

=7
0.25
0.25
0.25
0.25
2 1đ
B
C
A
D
S
M
Q
N
P
H
a) Ta cã:
⇒//NP MQ MNPQ
lµ h×nh thang.
⇒ = =
=
=
⇒ = ⇒
= ⇒ =
// (1)
(2)
(3)
//
MN BM BN
MN SA

SA BA BS
BN CP
BS CS
BM CQ
BA CD
CQ CP
PQ SD
CD CS
MN PQ
MN PQ
SA SD
Mµ MN kh«ng song song PQ
Suy ra MNPQ lµ h×nh thang c©n.
b) TÝnh ®îc MN,NP
MQ,NH
DiÖn tÝch
( ) ( )
= + −
2
3
3
4
ac
S x b b x
b


0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.5
0.25
C©u 5 1®
¸p dông ®Þnh lÝ sin.B§T trë thµnh:
< + + <
+ + +
+
+ > < ⇒ < <
+ +
+
+ ⇒ < + +
+ + +
⇒ + + <
+ + +
⇒
1 2.
: , , 0; (*)
/ (*)
(*) 1
(*) 2.
a b c
b c c a a b
x x x z
NX x y z x y
y z y y z
c m
a b c
AD

b c c a a b
a b c
AD
b c c a a b
dpcm
0.25
0.25
0.25
0.25