Giai pt bac 2 chua tham so

Giải phương trình tham số
( Dành cho GV và HS luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 ).
Bài 1 : Cho phương trình tham số m : x
2
– ( m + 1 )x + m = 0 . (1)

1 , Giải pt (1) khi m = 1 .
2 , CMR : pt (1) luôn có nghiệm với mọi m thuộc R .
3 , Tìm giá trị của m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
và 2 nghiệm cùng dương .(cùng dấu , cùng âm ,…).
4 , Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm kép
và tìm gía trị của nghiệm kép đó .
5 , Tìm gia trị của m để pt (1) có một nghiệm x
1
= 3 ,
Và tìm nghiệm còn lại ( nghiệm x
2 = ? ) .

6, Gọi x
1
và x
2
là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m ,
Để biểu thức : A = x
1
2
x
2
+ x
2
2

x
1
+ 2008 đạt giá trị nhỏ nhất ( min ) .
7 , Tìm giá trị của m để pt( 1) thỏa mãn hệ thức :x
1
= 3 x
2
.
( hay : x
1
/ x
2
+ x
2
/ x
1
= 3 ; 3x
1
+ 2x
2
= 5 ) .
8 , Giải và biện luận pt (1) theo m .
9 , Gọi x
1
và x
2
là 2 nghiệm của pt (1) đã cho CMR giá trị BT :
B = x
1
( 1 – x

2
) + x
2
( 1 – x
1
) + x
1
x
2
,
∉
vào giá trị của m .
10 , Cho hình chữ nhật có 2 cạnh là a và b có chu vi bằng 10 ,
a và b là 2 nghiệm của pt (1) với a < b .Tính a và b ?
11 , Tìm m để tích 2 nghiệm bằng 5 và từ đó tính tổng 2 nghiệm ấy .
12 , Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ vào giá trị của m .
13 , Gọi 2nghiệm của pt(1)là x
1
và x
2
.xác định giá trị của m để:
1 2 1 2
x x x x− = +
.
Bài hướng dẫn giải
1-Ta thay m = 1 vào pt (1) và giải pt bậc hai tìm được ta có nghiệm:x

1 =
x
2
=1 .
2-Tính giá trị :
∆
= b
2
- 4ac = (m – 1)
2

≥
0 ,
∀
m
∈
R .
Vậy pt (1) luôn có nghiệm
∀
m
∈
R .
3- Pt(1) có 2 nghiệm cùng dương  pt(1) thỏa mãn 3 điều kiện sau :

∆
= b
2
- 4ac = (m – 1)
2
> 0 (pt có 2 nghiệm phân biệt ) (1)

P = x
1
x
2
= c/a = m > 0 ( pt có 2 nghiệm cùng dấu ) (2)
S = x
1
+ x
2
= -b /a =m +1 > 0 (pt có 2nghiệm cùng dương ) (3)
Từ pt (1) ,(2) và (3) ta dễ dàng suy ra : m > 0 và m
≠
1 .
4- Pt (1) có nghiệm kép 
∆
= 0  m – 1 = 0  m = 1 .
giải pt với m = 1 ta có nghiệm x
1
= x
2
= 1 .
5- Thay x
1
= 3 vào pt (1) ta có pt : 9 – 3m -3 + m = 0  2m = 6  m = 3 .
Thay m =3 vào pt (1) ta tìm x
2
= 1.
6- Ta có : A = x
1
2

x
2
+ x
2
2
x
1
+ 2008 = x
1
x
2
( x
1
+ x
2
) +2008
A = m .( m + 1 ) +2008 = m
2
+m +1/4 + 8031/3
A = (m + 1/2 )
2
+ 8031/3
≥
80031/3
A (min) =8031/3  m + 1/2 = 0  m = - 1/2 .

7- Tìm giá trị của m để pt (1) thỏa mãn hệ thức : x
1
= 3x
2

.
1
Kết hợp tổng 2 nghiệm và tích 2 nghiệm của pt với ht x
1 =
3x
2,
Ta có hệ pt gồm 3 pt sau :
x
1 +
x
2
= - b/a = m + 1 (*)
X
1
x
2
=

c /a = m (**)
X
1
= 3x
2
(***)

Giải hệ pt gồm 3 pt (*), (**)và (***) ta tìm được : m
1
= 3 ; m
2
= 1/3 .

Vậy với m = 3 , hoặc m = 1/3 thì pt (1) thỏa mãn hệ thức : x
1
= 3x
2
.
8- Ta thấy pt (1) có :
∆
= (m -1 )
2

≥
0 .
∀
m
∈
R .
* Nếu : m - 1 = 0  m = 1 => pt (1) có nghiệm kép x
1
= x
2
= 1 .
* Nếu : m -1
≠
0  m
≠
1 => pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
X
1
=
2

1 ( 1)
2
m m+ + −
; x
2
=
2
1 ( 1)
2
m m+ − −
.
9- Ta biến đổi Bt: B = x
1
( 1 – x
2
) + x
2
( 1 – x
1
) + x
1
x
2
. về bt thu gọn là hằng
số không chứa tham số m , diều đo chứng tỏ giá trị bt B
∉
m .
( * ) Thật vậy ta có : B = x
1
– x

1
x
2
+ x
2
– x
1
x
2
+ x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
) – x
1
x
2

B = m + 1 – m =1 ( hằng số ) .
(* ) Vậy : gtbt : B = 1 , không phụ thuộc vào giá trị m .


10- Ta có a và b là độ dài 2 cạnh của HCN nên ta có chu vi: 2(a + b) = 10 (4)
 a + b = 5 , ngoài ra avà b là 2 nghiệm của pt (1) ta có a +b = m + 1.(5)
Từ (4) , (5) => m +1 = 5 => m = 4 .Ta biết :x
1

= 1 , x
2
= m .
 x
1
= 1 , x
2
= 4 . và gt cho a < b , nên ta chọn a = 1; b = 4 .
 HCN có các cạnh là 1 (cm) và 4 ( cm ) .

11- Tìm m để tích 2 nghiệm : x
1
x
2
= 5 , tính tổng 2 nghiệm ấy ?
Ta có : x
1
x
2
= c/a = m = 5 => m = 5
và : x
1
+ x
2
= - b/a = m + 1 mà m = 5 ,
=> x
1
+ x
2

= 6 . Hay : x
1
x
2
= 5 , x
1
+ x
2
= 6 .
12- Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ vào gtrị m .
Ta có : S = x
1
+ x
2
= m + 1 <=> m = S – 1 (6)
P = x
1
x
2
= m <=> m = P (7)
Từ (6) và (7) => S – 1 = P <=> x
1
+ x
2
-1 = x
1

x
2

 x
1
– x
1
x
2
+ x
2
– 1 = 0 ( hệ thức cần tìm )

13 – Tìm giá trị m thỏa mãn hệ thức :
1 2 1 2
x x x x− = +
. (+)
Hệ thức (+) xẩy ra  x
1
+ x
2

≥
0  m + 1
≥
0  m
≥
- 1 . (8)
Bình fương 2 vế của Ht (+) ta có : x
1

2
+ x
2
2
- 2x
1
x
2
= x
1
2
+ x
2
2
+2x
1
x
2
.
 4 x
1
x
2
= 0  x
1
x
2
= 0  m = 0 (9)
 Từ (8) và (9)  m = 0 . Thì pt (1) có 2 nghiệm
 x

1
và x
2
thỏa mãn hệ thức :
1 2 1 2
x x x x− = +
. ./.

( Lưu ý : các bạn cần giải cụ thể , lý luận chặt chẽ hơn ) .
Người thực hiện : Xuân Xuân .
2
3