Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (455.59 KB, 51 trang )
1
MỞ ĐẦU
1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ
TÀI
Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức, được S.Kobayashi đưa ra đầu những
năm 70 là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức.
Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc của lý thuyết này đã
được chứng minh bởi S.Kobayashi, M.Kwack, J.Noguchi… Những công trình
nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã
hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học đó là giải tích phức
Hyperbolic. Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã tìm được những mối
liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài
toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về hữu hạn của
các tập ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó của các không gian phức.
Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã được nhiều thạc sĩ cũng
như sinh viên nghiên cứu, như thạc sĩ Nguyễn Thị Bích Hằng đã nghiên cứu về
“Họ S- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Hyperbolic của các không gian
phức”.
Thạc sĩ Tô Hải Bình đã nghiên cứu về “Một số lý thuyết thác triển lý
thuyết hàm hình học”
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Trong quá trình học tập ở trường phổ thông và những năm đầu ở đại học
chúng em chỉ biết đến hai loại hình học. Đó là hình học Euclide và hình học giải
tích, các đối tượng được đề cập đến là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, khoảng
cách, diện tích, Nhưng khi hoàn thành chương trình năm thứ hai của đại học
em đã biết kiến thức ẩn chứa trong hình học vô cùng phong phú, mỗi một loại
hình học có một nền tảng và cái hay riêng của nó, vì hình học được xây dựng từ
nhiều hướng khác nhau như hình học đại số, hình học tôpô, hình học lồi,
2
Để tiếp cận các khái niệm, các tính chất của không gian phức Hyperbolic
một trong những kiến thức cơ sở trong hình học tôpô chúng em đã chọn đề tài
“Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic ” làm đề tài nghiên cứu cho
mình.
3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
3.1. Mục tiêu của đề tài
Hệ thống các kiến thức cơ sở về không gian phức, không gian tôpô, đa tạp
phức,…
Chứng minh chi tiết một số tính chất, tiêu chuẩn nhận biết không gian
phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản, một số khái niệm cơ bản và
tiêu
chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4.1 Đối tượng nghiên cứu
Không gian phức Hyperbolic.
4.2 Phạm vi nghiên cứu
Một số tính chất và tiêu chuẩn để nhận biết không gian phức Hyperbolic.
5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nội dung chính: Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề
tài
gồm 44 trang, bao gồm
Chương 1. Kiến thức cơ sở
1.1. Không gian metric
1.2. Không gian phức
1.3. Không gian tôpô
1.4. Ánh xạ chỉnh hình và hàm phân hình
1.5. Đa tạp phức
1.6. Cung tham số
1.7. Tôpô mở compact và compact hóa một điểm
1.8. Hàm độ dài
3
1.9. Định lý thác triển Riemann
1.10. Định lí Ascoli
1.11. Phủ chỉnh hình
1.12. Không gian phân thớ
1.13. Hàm đa điều hòa dưới
1.14. Lân cận đa đĩa
1.15. Phân hoạch
Chương 2. Không gian phức Hyperbolic
2.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
2.3 Không gian phức Hyperbolic
2.4. Một số tiêu chuẩn nhận biết tính Hyperbolic của không gian phức
2.5. Không gian phức Hyperbolic đầy
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc các tài liệu liên quan đến không gian
phức Hyperbolic để hiểu được và biết được vai trò của không gian phức
Hyperbolic.
2. Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: tổng hợp và hệ thống hóa
các kiến thức liên quan đến không gian phức Hyperbolic một cách đầy đủ và
khoa học.
3. Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: tham khảo trực tiếp ý kiến từ thầy hướng
dẫn và một số thầy cô trong chuyên ngành giải tích.
4
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
1.1.1 Định nghĩa không gian metric
Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ
:
d X X R
× →
thỏa mãn:
1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y X (tính phân biệt dương)
d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
2. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y X (tính đối xứng)
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z X (bất đẳng thức tam giác)
Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X và cặp (X,d) được
gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (X,d) thường được viết
là X với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.
Ví dụ: Hàm số
(
)
,
x y x y
ρ
= −
là m
ộ
t metric trên t
ậ
p s
ố
th
ự
c
R
, và g
ọ
i là
metric thông th
ườ
ng trên
R
. T
ừ
nay ta g
ọ
i t
ậ
p s
ố
th
ự
c
R
v
ớ
i metric thông
th
ườ
ng là
đườ
ng th
ẳ
ng th
ự
c.
1.1.2. Tập compact
T
ậ
p con A c
ủ
a m
ộ
t không gian metric X g
ọ
i là m
ộ
t t
ậ
p compact n
ế
u m
ộ
t
dãy b
ấ
t k
ỳ
{
}
n
x
nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
A
đề
u có m
ộ
t dãy con
{
}
k
n
x
h
ộ
i t
ụ
đế
n m
ộ
t
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
A
.
T
ậ
p con c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p compact g
ọ
i là t
ậ
p compact t
ươ
ng
đố
i.
1.1.3. Các tính chất
i)
T
ậ
p compact là m
ộ
t t
ậ
p
đ
óng.
ii)
T
ậ
p con
đ
óng c
ủ
a t
ậ
p compact là t
ậ
p compact.
5
iii)
T
ậ
p
A
là compact t
ươ
ng
đố
i khi và ch
ỉ
khi bao
đ
óng
A
c
ủ
a nó là m
ộ
t
t
ậ
p compact.
1.1.4. Không gian đầy
a) Định nghĩa dãy Cauchy
Cho không gian metric
(
)
,
X d
. Dãy
{
}
n
n
x X
⊂
đượ
c g
ọ
i là dãy cauchy
(dãy c
ơ
b
ả
n) n
ế
u
(
)
,
lim , 0.
m n
n m
d x x
→∞
=
Vậy
{
}
n
n
x
là dãy Cauchy
(
)
0, 0: , , .
m n
N m n N d x x
ε ε
⇔ ∀ > ∃ > ∀ >
⇒
<
Nhận xét
Nếu
{
}
n
n
x
là dãy hội tụ thì
{
}
n
n
x
là dãy Cauchy. Điều ngược lại chưa chắc
đã đúng.
Ví dụ: Không gian
[
]
1
0,1
L
là không gian các hàm khả tích Lebesgue trên
đoạn
[
]
0,1
vớ
i chu
ẩ
n
1
.
. Ta có
[
]
0,1
C là t
ậ
p trù m
ậ
t trong
[
]
1
0,1
L
. Nói cách
khác
[
]
1
0,1
L
là không gian có tiêu chu
ẩ
n Cauchy, theo chu
ẩ
n
1
.
, bé nh
ấ
t ch
ứ
a
[
]
0,1
C
. Vi
ệ
c ch
ứ
ng minh
[
]
1
0,1
L
có tiêu chu
ẩ
n Cauchy h
ơ
i khác so v
ớ
i ch
ứ
ng
minh thông th
ườ
ng vì:
Dãy Cauchy trong
[
]
1
0,1
L
ch
ư
a ch
ắ
c là dãy h
ộ
i t
ụ
.
b) Định nghĩa không gian đầy
Không gian metric (X,d)
đượ
c g
ọ
i là không gian metric
đầ
y n
ế
u m
ọ
i dãy
Cauchy trong X
đề
u là dãy h
ộ
i t
ụ
.
V
ậ
y X
đầ
y
{
}
n
n
x
⇔ ∀
là dãy Cauchy
{
}
, :lim .
n n
n
x
x X x X x x
→∞
⊂ ∃ ∈ =
6
Ví d
ụ
: Trong gi
ả
i tích c
ổ
đ
i
ể
n ta
đ
ã bi
ế
t
đườ
ng th
ẳ
ng th
ự
c
R
là m
ộ
t không
gian
đầ
y. Vì s
ự
h
ộ
i t
ụ
trong không gian Euclid
k
R
là s
ự
h
ộ
i t
ụ
theo t
ọ
a
độ
nên t
ừ
tính
đầ
y c
ủ
a
R
d
ễ
dàng suy ra
k
R
là không gian
đầ
y.
1.1.5. Ánh xạ liên tục
a) Định nghĩa 1.1
Cho
(
)
,
X
X d
và dãy
(
)
,
Y
Y d
là hai không gian metric và ánh x
ạ
: .
f X Y
→
f
đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c t
ạ
i
0
x X
∈
n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
0, 0
ε δ
> ∃ >
sao cho
x X
∀ ∈
mà
0X
d (x,x ) <
δ
thì
(
)
(
)
(
)
0
, .
Y
d f x f x
ε
<
f
đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c trên X n
ế
u f liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i x thu
ộ
c X.
b) Định nghĩa 1.2
Ánh x
ạ
: X
f Y
→
liên t
ụ
c t
ạ
i
0
x X
∈
khi và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i lân c
ậ
n
(
)
(
)
0
,
Y
S f x
ε
c
ủ
a
(
)
0
f x
trong Y luôn t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t lân c
ậ
n
(
)
0
,
X
S x
δ
c
ủ
a
0
x
trong X
để
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
, , .
X Y
f S x S f x
δ ε
⊂
c) Hội tụ đều
Cho
{
}
n
f
là m
ộ
t dãy hàm s
ố
liên t
ụ
c trên không gian metric X sao cho
{
}
n
f
h
ộ
i t
ụ
đề
u trên X v
ề
hàm s
ố
f, ngh
ĩ
a là
0,
ε
∀ >
có
0
1
n
>
sao cho
(
)
(
)
0
,
n
f x f x n n x X
ε
− < ∀ ≥ ∀ ∈
.
d) Định lý 1.1
Cho hai không gian metric
(
)
,
X
X d
,
(
)
,
Y
Y d
và ánh x
ạ
: .
f X Y
→
Khi
đ
ó
f liên t
ụ
c t
ạ
i
{
}
0 0
,
n n
n
x X x X x x
∈ ⇔ ∀ ⊂ →
thì
(
)
(
)
0
.
n
f x f x
→
7
e) Định lý 1.2
Cho ánh x
ạ
: X
f Y
→
. Khi
đ
ó ba
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau t
ươ
ng
đươ
ng:
i)
f liên t
ụ
c trên X.
ii)
Ngh
ị
ch
ả
nh c
ủ
a m
ỗ
i t
ậ
p
đ
óng trong Y là m
ộ
t t
ậ
p
đ
óng trong X.
iii)
Ngh
ị
ch
ả
nh c
ủ
a m
ỗ
i t
ậ
p m
ở
trong Y là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong X.
1.1.6. Đồng liên tục
Định nghĩa 1.3
Gi
ả
s
ử
X
là t
ậ
p con compact c
ủ
a m
ộ
t không gian metric và
Y
là không
gian metric
đầ
y.
L
(
X, Y
)
là t
ậ
p các ánh x
ạ
liên t
ụ
c t
ừ
X
vào
Y
v
ớ
i chu
ẩ
n
sup
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng liên t
ụ
c t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0
x X
∈
n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
0
ε
>
, t
ồ
n t
ạ
i
0
δ
>
sao cho v
ớ
i m
ọ
i
x X
∈
mà
(
)
0
, ,
d x x
δ
<
thì:
(
)
(
)
(
)
0
, , .
d f x f x f F
ε
< ∀ ∈
H
ọ
F
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng liên t
ụ
c trên
X
n
ế
u
F
là
đồ
ng liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m
.
x X
∈
Ví d
ụ
: M
ộ
t t
ậ
p con
X
c
ủ
a
L
(
X, Y
) g
ồ
m h
ữ
u h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
luôn là
đồ
ng
liên t
ụ
c. Thêm vào
đ
ó n
ế
u các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
X
là liên t
ụ
c
đề
u thì
X
là
đồ
ng liên t
ụ
c
đề
u.
1.2. Không gian phức
1.2.1. Định nghĩa 1.4
Gi
ả
s
ử
Z
là
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c. M
ộ
t không gian ph
ứ
c
đ
óng
X
là m
ộ
t t
ậ
p con
đ
óng
c
ủ
a
Z
mà v
ề
m
ặ
t
đị
a ph
ươ
ng
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i h
ữ
u h
ạ
n các ph
ươ
ng trình gi
ả
i
tích. T
ứ
c là, v
ớ
i
x
o
∈
X
t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n m
ở
V
c
ủ
a
x
trong
Z
và h
ữ
u h
ạ
n các hàm
ch
ỉ
nh hình
φ
1
,
φ
2
, ,
φ
m
trên V sao cho:
X
∩
V=
{
x
∈
V
|
φ
i
(x) = 0,i = 1, ,m
}.
8
Gi
ả
s
ử
X
là m
ộ
t không gian con ph
ứ
c trong
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c Z. Hàm
f
:
X
→
C
đượ
c g
ọ
i là ch
ỉ
nh hình n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m
x
∈
X
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t lân c
ậ
n
U(x)
⊂
Z
và
m
ộ
t hàm ch
ỉ
nh hình trên U sao cho:
f
|
U
∩
X
=
f
|
U
∩
X.
Gi
ả
s
ử
f
:
X
→
Y
là ánh x
ạ
gi
ữ
a hai không gian ph
ứ
c
X
và
Y.
f
đượ
c g
ọ
i là
ch
ỉ
nh hình n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i hàm ch
ỉ
nh hình
g
trên m
ộ
t t
ậ
p con m
ở
V
c
ủ
a
Y
, hàm h
ợ
p
g
f
là hàm ch
ỉ
nh hình trên
f
-1
(
V
)
Kí hi
ệ
u
Hol
(
X,Y
) là t
ậ
p các ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình t
ừ
X
vào
Y
đượ
c trang b
ị
tôpô compact m
ở
. K
ế
t qu
ả
c
ơ
b
ả
n sau
đượ
c ch
ứ
ng minh trong [
G-R
]: Gi
ả
s
ử
{
f
n
:
X
→
Y
} là dãy các ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình gi
ữ
a các không gian ph
ứ
c X,Y. N
ế
u
{
f
n
} h
ộ
i t
ụ
đề
u t
ớ
i
f
trong
Hol
(
X,Y
) thì
f
là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình.
Các khái ni
ệ
m hàm
độ
dài, kho
ả
ng cách sinh b
ở
i hàm
độ
dài trong không
gian ph
ứ
c
X
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
nh
ư
đố
i v
ớ
i
đ
a t
ạ
p.
1.2.2. Điểm chính quy và điểm kỳ dị
Gi
ả
s
ử
X là không gian ph
ứ
c .
M
ộ
t
đ
i
ể
m
a
∈
X
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m chính quy c
ủ
a X n
ế
u
a
có m
ộ
t lân c
ậ
n
U
trong
Z
sao cho
U
∩
X
là
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c. T
ậ
p các
đ
i
ể
m chính quy c
ủ
a
X
đượ
c kí
hi
ệ
u là
X
reg
.
M
ộ
t
đ
i
ể
m
a
∈
X
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
c
ủ
a X n
ế
u nó không là
đ
i
ể
m chính
quy. T
ậ
p các
đ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
c
ủ
a
X
đượ
c kí hi
ệ
u là
X
sin
.
Định lý 1.3
Trong không gian ph
ứ
c
X
t
ậ
p các
đ
i
ể
m chính quy
X
reg
là m
ộ
t
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c
m
ở
và t
ậ
p các
đ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
X
sin
là m
ộ
t không gian ph
ứ
c v
ớ
i
IntX
sin
=
∅
.
1.2.3. Định lý Hironaka về giải kỳ dị
Gi
ả
s
ử
X
là không gian ph
ứ
c. Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
X
t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n m
ở
U
ch
ứ
a
x
, t
ồ
n t
ạ
i
đ
a t
ạ
p gi
ả
i tích M và ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình
π
:
M
→
U
lên
U
sao cho:
i)
π
là ánh x
ạ
riêng;
ii) Ngoài t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
S
c
ủ
a
X
trong
U
thì
π
: M
∖
π
-1
(S)
→
U
∖
S
9
là ánh x
ạ
song ch
ỉ
nh hình.
1.2.4. Tập con giải tích
T
ậ
p
A D
⊂
, v
ớ
i
D
là mi
ề
n gi
ả
i tích. Khi
đ
ó
A
đượ
c g
ọ
i là t
ậ
p con gi
ả
i
tích.
1.2.5. Hol(M,N)
Hol(M,N)
là không gian các ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình t
ừ
không gian ph
ứ
c
M
vào
không gian ph
ứ
c
N
đượ
c trang b
ị
tôpô compact – m
ở
. Hay
Hol(M,N)
không gian
tôpô compact t
ươ
ng
đố
i.
1.2.6. Zero cấp, cực cấp
N
ế
u t
ạ
i
a
, hàm
(
)
f z
th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
(
)
(
)
(
)
' 1
0
m
f a f a f a
−
= = =
và
(
)
0
m
f a
≠
thì ta nói
(
)
f z
có m
ộ
t zero c
ấ
p
m
t
ạ
i
a
, hay
a
là zero c
ấ
p
m
.
Khi
đ
ó
(
)
f z
có th
ể
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
(
)
(
)
(
)
m
f z z a z
ϕ
= − ,v
ớ
i
(
)
0;
a m
ϕ
≠ ∈
¥.
N
ế
u
(
)
(
)
(
)
m
f z z a z
ϕ
−
= − v
ớ
i
(
)
a
ϕ
0
≠
, thì
z a
=
g
ọ
i là c
ự
c c
ấ
p
m
c
ủ
a
(
)
f z
.
1.2.7. Nguyên lý Acgumen
N
ế
u
(
)
f z
gi
ả
i tích trong và trên m
ộ
t
đườ
ng cong kín C ngo
ạ
i tr
ừ
t
ạ
i m
ộ
t
s
ố
h
ữ
u h
ạ
n c
ự
c, n
ế
u
(
)
f z
không có zero nào n
ằ
m trong C và n
ế
u
Γ
là qu
ỹ
tích
c
ủ
a w=
(
)
f z
thì s
ố
l
ầ
n
Γ
qu
ẩ
n quanh O trong m
ặ
t ph
ẳ
ng w
đượ
c cho b
ở
i:
(
)
( )
( )
'
1 1
ln
2 2
C C
f z
k dz d f z N P
i f z i
π π
= = = −
∫ ∫
10
trong
đ
ó N là s
ố
các zero c
ấ
p và P là s
ố
các c
ự
c c
ấ
p c
ủ
a
(
)
f z
trong C tính c
ả
độ
b
ộ
i.
1.3. Không gian tôpô
1.3.1. Định nghĩa 1.5
Cho m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p
.
X
≠ ∅
H
ọ
τ
các t
ậ
p h
ợ
p con nào
đ
ó c
ủ
a
X
đượ
c g
ọ
i là
m
ộ
t tôpô trên
X
n
ế
u
i)
, ,
X
τ τ
∅∈ ∈
ii)
{
}
,
I
I
G G
α α
α
α
τ τ
∈
∈
⊂
⇒
∈
∪
iii)
1 2 1 2
, .
G G G G
τ τ
∀ ∈ ⇒ ∩ ∈
t
ậ
p h
ợ
p
X
cùng v
ớ
i tôpô trên
X
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t không gian tôpô.
Kí hi
ệ
u
(
)
, .
X
τ
Ví d
ụ
: kí hi
ệ
u
(
)
P X
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a
X.
Khi
đ
ó
(
)
P X
τ
=
là
m
ộ
t tôpô trên
X
, g
ọ
i là tôpô r
ờ
i r
ạ
c trên
X.
1.3.2. Không gian tôpô con
Cho
(
)
,
X
X
τ
là m
ộ
t không gian tôpô,
.
Y X
⊂
Khi
đ
ó h
ọ
{
}
,
X X
G Y G
τ τ
= ∩ ∈
là m
ộ
t tôpô trên
Y
.
(
)
,
Y
X
τ
đượ
c g
ọ
i là không gian tôpô
con c
ủ
a không gian tôpô
(
)
,
X
X
τ
. Tôpô
Y
τ
đượ
c g
ọ
i là tôpô c
ả
m sinh trên
Y
b
ở
i
tôpô
X
τ
.
1.3.3. Phủ mở
H
ọ
U các t
ậ
p h
ợ
p nào
đ
ó là m
ộ
t cái ph
ủ
c
ủ
a t
ậ
p
B
n
ế
u h
ọ
t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p
thu
ộ
c U ch
ứ
a
B.
11
N
ế
u t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p thu
ộ
c U là các t
ậ
p m
ở
U thì là m
ộ
t ph
ủ
m
ở
c
ủ
a
B
.
1.3.4. Không gian compact
a) Định nghĩa 1.6
Không gian tôpô
(
)
,
X
τ
đượ
c g
ọ
i là không gian compact n
ế
u m
ọ
i ph
ủ
m
ở
c
ủ
a
X
đề
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t ph
ủ
con h
ữ
u h
ạ
n.
Ta có:
(
)
,
X
τ
là không gian compact
{
}
(
)
, 1,2, : .
i i
I
I
G G X U i n U X
α α
α
α
τ
∈
∈
⇔ ∀ ∈ ⊃
⇒
∃ = ∃ ⊃
∪
b) Không gian compact địa phương
Không gian tôpô
X
là không gian compact
đị
a ph
ươ
ng n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
x
thu
ộ
c
X
đề
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t lân c
ậ
n
đ
óng và compact.
1.4 . Ánh xạ chỉnh hình và hàm phân hình
1.4.1. Ánh xạ chỉnh hình
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong C
n
và
f: X
→
C
là m
ộ
t hàm s
ố
.
Hàm f
đượ
c g
ọ
i là
khả vi phức
t
ạ
i
0
x
∈
X
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
λ
:
C
n
→
C
sao cho
0 0
0
( ) ( ) ( )
lim 0
h
f x h f x h
h
λ
→
+ − −
=
,
trong
đ
ó h
=
(h
1
,….h
n
)
∈
C
n
và
│
h
│
=(
2
1/2
1
) .
n
i
i
h
=
∑
Hàm f
đượ
c g
ọ
i là
chỉnh hình tại
x
0
∈
X
n
ế
u f kh
ả
vi ph
ứ
c trong m
ộ
t lân
c
ậ
n nào
đ
ó c
ủ
a
x
0
và
đượ
c g
ọ
i là
chỉnh hình trên
X
n
ế
u
f
ch
ỉ
nh hình t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c
X.
M
ộ
t ánh x
ạ
f: X
→
C
m
có th
ể
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
f = (f
1
,….,f
m
),
trong
đ
ó
fi =
: , 1, ,m
i
f X C i
π
→ =
là các hàm t
ọ
a
độ
. Khi
đ
ó
f
đượ
c g
ọ
i là ch
ỉ
nh hình
trên X n
ế
u
f
i
ch
ỉ
nh hình trên
X
v
ớ
i m
ọ
i
i=1,…,m.
12
Ánh x
ạ
f : X
→
f(X)
⊂
C
n
đượ
c g
ọ
i là song ch
ỉ
nh hình n
ế
u
f
là song
ánh, ch
ỉ
nh hình và
1
f
−
c
ũ
ng là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình.
1.4.2. Hàm phân hình
Gi
ả
s
ử
f(z)
là hàm ch
ỉ
nh hình trong vành tròn
{z
∈
C
│
0<
│
z - a
│
<p}.
Đ
i
ể
m a
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m b
ấ
t th
ườ
ng cô l
ậ
p c
ủ
a hàm
f(z)
n
ế
u hàm
f(z)
không th
ể
thác tri
ể
n thành hàm ch
ỉ
nh hình trong toàn
đĩ
a
{
│
z - a
│
<p}.
Đ
i
ể
m b
ấ
t th
ườ
ng cô l
ậ
p
z = a
c
ủ
a hàm ch
ỉ
nh hình
f(z)
đượ
c g
ọ
i là
a) C
ự
c
đ
i
ể
m c
ủ
a
f(z)
n
ế
u
lim
z a
→
f(z)
=
∞
b)
Đ
i
ể
m b
ấ
t th
ườ
ng c
ố
t y
ế
u n
ế
u không t
ồ
n t
ạ
i
lim
z a
→
f(z)
Hàm
f
(
z
) ch
ỉ
nh hình trong toàn m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c
C
đượ
c g
ọ
i là
hàm
nguyên.
Hàm
f
(
z
)
đượ
c g
ọ
i là
hàm phân hình
trong mi
ề
n
D
⊂
C
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m ( h
ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ
n ) các
đ
i
ể
m cô l
ậ
p { a
i
}
i
∈
I,
a
i
∈
D,
∀
i
∈
I sao
cho m
ỗ
i
đ
i
ể
m trong t
ậ
p
đ
ó là m
ộ
t c
ự
c
đ
i
ể
m c
ủ
a hàm
f
(
z
) và
f
là hàm ch
ỉ
nh hình
trên
D\
{
a
i
}
i I
∈
. Nói cách khác trong hàm f không có các
đ
i
ể
m b
ấ
t th
ườ
ng nào
ngoài c
ự
c
đ
i
ể
m. N
ế
u D = C thì ta nói f(z) phân hình trên C hay
đơ
n gi
ả
n f(z) là
hàm phân hình.
Nhận xét
N
ế
u f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân c
ậ
n c
ủ
a m
ỗ
i
đ
i
ể
m z
∈
D,
f(z) có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c d
ướ
i d
ạ
ng th
ươ
ng c
ủ
a hai hàm ch
ỉ
nh hình.
1.5. Đa tạp phức
1.5.1. Định nghĩa 1.7
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t không gian tôpô hausdorff.
13
+ C
ặ
p (U,
ϕ
)
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
bản đồ địa phương
c
ủ
a X, trong
đ
ó U là t
ậ
p m
ở
trong X và
ϕ
: U
→
C
n
là ánh x
ạ
, n
ế
u các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c th
ỏ
a mãn:
i)
( )
U
ϕ
là t
ậ
p m
ở
trong C
n
.
ii)
ϕ
:U
→
( )
U
ϕ
là m
ộ
t
đồ
ng phôi.
+ H
ọ
A = {(
, )
}
i i i I
U
ϕ
∈
các b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a X
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ậ
p
bản đồ
giải
tích (atlas)
c
ủ
a X n
ế
u các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c th
ỏ
a mãn
i)
{ }
i i I
U
∈
là m
ộ
t ph
ủ
m
ở
c
ủ
a X.
ii) V
ớ
i m
ọ
i
,
i j
U U
mà
,
i j
U U
≠ ∅
∩
ánh x
ạ
1
: ( ) ( )
j i i i j j i j
U U U U
ϕ ϕ ϕ ϕ
−
→
∩ ∩
là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình.
Xét h
ọ
các atlas trên X. Hai atlas A1, A2
đượ
c g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng n
ế
u
h
ợ
p
A1
∪
A2 là m
ộ
t atlas.
Đ
ây là m
ố
i quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên t
ậ
p các atlas. M
ỗ
i
l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng xác
đị
nh m
ộ
t c
ấ
u trúc kh
ả
vi ph
ứ
c trên X, và X cùng v
ớ
i c
ấ
u
trúc kh
ả
vi ph
ứ
c trên nó
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đa tạp phức
n chi
ề
u.
1.5.2. Ví dụ
1. Gi
ả
s
ử
D là mi
ề
n trong C
n
. Khi
đ
ó , D là m
ộ
t
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c n chi
ề
u v
ớ
i b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng {(D,Id
D
)}.
2.
Đ
a t
ạ
p x
ạ
ả
nh P
n
(C).
Xét
i
U
= {[
0 1
: : : z
m
z z ]
∈
P
n
(C)
│
i
z
≠
0} v
ớ
i i= 0,1,….,n. Rõ ràng
{
i
U
1
}
n
i
=
là m
ộ
t ph
ủ
m
ở
c
ủ
a P
n
(C).
Xét các
đồ
ng phôi
i
ϕ
:
i
U
→
C
n
[
0 1
: : :
m
z z z
]
֏
(
0 1 1
, , , , ,
i i n
i i i i
z z z z
z z z z
− +
).
Ta có
1
j i
ϕ ϕ
−
: (z
0
, ,z
i-1
,z
i+1
, ,z
n
)
֏
(
k
j
z
z
)
k≠j
; k = 0,…,m;
i
z
= 1
rõ ràng
1
j i
ϕ ϕ
−
là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình. V
ậ
y P
n
(C) là m
ộ
t
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c n chi
ề
u và
g
ọ
i là
đ
a t
ạ
p x
ạ
ả
nh n chi
ề
u.
14
1.5.3. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
Gi
ả
x
ử
M , N là các
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c. Ánh x
ạ
liên t
ụ
c f : M
→
N
đượ
c g
ọ
i là
ch
ỉ
nh hình trên M n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng (U,
ϕ
) c
ủ
a M và m
ọ
i b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng ( V,
ψ
) c
ủ
a N sao cho f(U)
⊂
V thì ánh x
ạ
ψ
f
ϕ
-1
:
ϕ
(U)
→
ψ
(V) là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình.
Hay t
ươ
ng
đươ
ng, v
ớ
i m
ọ
i x
∈
M, y
∈
N, t
ồ
n t
ạ
i hai b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng
(V,
ψ
)(U,
ϕ
) và t
ạ
i x và y t
ươ
ng
ứ
ng sao cho
1
: ( ) ( )
f U V
ψ ϕ ϕ ψ
−
→
là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình.
Gi
ả
s
ử
f: M
→
N là song ánh gi
ữ
a các
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c. N
ế
u f và
1
f
−
là các
ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình thì f
đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ
song ch
ỉ
nh hình gi
ữ
a M và N.
1.5.4. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c m chi
ề
u và D là
đĩ
a
đơ
n v
ị
trong C. Gi
ả
s
ử
(U,
, )
m
D
∅
là b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng quanh x; t
ứ
c là, U là m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a x và
:
m
U D
∅ →
là ánh x
ạ
song ch
ỉ
nh hình.
Đặ
t
∅
= (
1
, , )
m
z z
. Khi
đ
ó
(
1
, , )
m
z z
là m
ộ
t h
ệ
t
ọ
a
độ
ch
ỉ
nh hình
đị
a ph
ươ
ng quanh x.
Đặ
t
z x iy
α α α
= + , trong
đ
ó
x
α
và
y
α
là các giá tr
ị
th
ự
c. Khi
đ
ó
(
1 1
, , , , ,
m m
x x y y
) là h
ệ
t
ọ
a
độ
đị
a ph
ươ
ng th
ự
c quanh x,
ở
đ
ó M
đượ
c xem
nh
ư
là
đ
a t
ạ
p kh
ả
vi 2m chi
ề
u. Gi
ả
s
ử
x
T M
là không gian vect
ơ
th
ự
c 2m chi
ề
u,
và
(1)
1 1
{( ) , ,( ),( ), ,( ) }
x x
m m
x x y y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
x
T M
. Kí hi
ệ
u
x R
T M C
⊗
là ph
ứ
c hóa c
ủ
a
z
T M
.
khi
đ
ó (1) c
ũ
ng là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a không gian véc t
ơ
ph
ứ
c
x R
T M C
⊗
.
Đặ
t
1
( ),1 .
2
j j j
j m
z x y
∂ ∂ ∂
= − ≤ ≤
∂ ∂ ∂
ta kí hi
ệ
u
15
1
{ ( / ) ; }
m
j j j
x x
j
T M z C
ξ ξ
=
= ∂ ∂ ∈
∑
.
Khi
đó
x
T M
là một không gian con tuyến tính phức m chiều của
x
T M
R
C
⊗
, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương
(
1
, , ).
m
z z
Ta gọi
x
T M
là không gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x.
Đặt TM=
x
T M
∪
( hợp rời).
Ta
định nghĩa phép chiếu
:
TM M
π
→
bởi điều kiện
( )
x
T M
π
= x.
Khi đó TM có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho
π
là ánh xạ
ch
ỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử (
1
, ,
m
z z
) là hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác
định trên một tập con mở U của M. Khi đó ta có
1
1
( ) { ( / ) ; , }
m
j j j
x
j
U z x U C
π ζ ζ
−
=
= ∂ ∂ ∈ ∈
∑
.
Ánh x
ạ
1 1 1 2
1
( / ) ( ) ( ( ), , ( ), , , ) C
m
j j m m m
x
j
z U z x z x
ζ π ζ ζ
−
=
∂ ∂ ∈ ∈
∑
֏
là m
ộ
t h
ệ
t
ọ
a
độ
ch
ỉ
nh hình
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a TM.
Ta g
ọ
i TM là
phân thớ tiếp xúc chỉnh hình
c
ủ
a
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c M.
1.6. Cung tham số
1.6.1. Định nghĩa 1.8
Cho M là không gian ph
ứ
c, m
ỗ
i ánh x
ạ
:
G M
ρ
→
t
ừ
m
ộ
t t
ậ
p m
ở
G
ς
⊂
vào M
đượ
c g
ọ
i là cung tham s
ố
trong M .
1.6.2. Cung trắc địa
Cung tham s
ố
(
)
p t
trên m
ặ
t S g
ọ
i là m
ộ
t cung tr
ắ
c
đị
a c
ủ
a S n
ế
u
''
ρ
và
n p
cùng ph
ươ
ng.
(
S
là m
ộ
t m
ặ
t trong
M
đị
nh h
ướ
ng b
ở
i tr
ườ
ng vect
ơ
pháp tuy
ế
n
n
).
1.6.3. Ánh xạ khả vi
16
Cho
M, N
là hai không gian ph
ứ
c,
U
là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong
M, V
là t
ậ
p m
ở
trong
N,
: U V,
f
→
p
→
(
)
f p
là m
ộ
t ánh x
ạ
thì
f
kh
ả
vi (l
ớ
p
k
C
)
N
ế
u v
ớ
i
O N
∈
, hàm vect
ơ
U N
→
,
p
→
(
)
p
là kh
ả
vi (l
ớ
p C
k
)
a) Ánh xạ
f
.
Cho ánh x
ạ
(kh
ả
vi)
:
f U V
→
(
U
m
ở
thu
ộ
c
M, V
m
ở
thu
ộ
c
N
) v
ớ
i m
ỗ
i
p U
∈
có ánh x
ạ
, kí hi
ệ
u
( )
:
p P
f p
T f T U T V
→
xác
đị
nh b
ở
i: cho
P P
T U
α
∈
, coi
(
)
0
' , :G U
P
t
α ρ ρ
= →
là m
ộ
t cung tham s
ố
, thì
(
)
(
)
(
)
0
' .
p p
T f f t
α ρ
=
Khi p
đ
ã rõ thì ta kí hi
ệ
u
f
∗
thay cho
p
T f
. Ánh x
ạ
p
T f
g
ọ
i là ánh x
ạ
ti
ế
p xúc t
ạ
i p c
ủ
a
f .
Chú ý:
f
∗
là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính.
b) Ánh xạ
f
∗
(“kéo lùi” dạng vi phân hay ánh xạ đối “tiếp xúc”)
f là m
ộ
t ánh x
ạ
kh
ả
vi t
ừ
t
ậ
p m
ở
U M
⊂
vào t
ậ
p m
ở
V N
⊂
thì m
ỗ
i
0,1,2,
i
=
có các ánh x
ạ
:
(
)
(
)
:
i i
f V U
∗
Ω → Ω
(
)
0,1,2
i
=
V
ớ
i
(
)
0
0, , ,
i V f f
ϕ ϕ ϕ
∗
= ∈Ω =
V
ớ
i
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
1, ,
p
f p
p
i V f T f
θ θ α θ α
∗
= ∈Ω =
, ,
p
p U T U
α
∀ ∈ ∈
V
ớ
i
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2
2, , , ,
p p
f p
p
i V f T f T f
ω ω α β α β
∗
= ∈Ω = Ω
17
, , ,
p
p U T U
α β
∀ ∈ ∈
trong
đ
ó
(
)
'
U
Ω
là t
ậ
p h
ợ
p các d
ạ
ng vi phân b
ậ
c i.
c) Trường các vectơ
Tr
ườ
ng vect
ơ
trên t
ậ
p m
ở
U M
∈
là các ánh x
ạ
:
:
U TU
χ
→
P
֏
X(P)
Sao cho v
ớ
i m
ọ
i
(
)
, .
p
p U p T U
χ
∈ ∈
khi
đ
ó ta kí hi
ệ
u
(
)
U
ψ
là các t
ậ
p hàm s
ố
kh
ả
vi trên U.
(
)
Vec U
là t
ậ
p các tr
ườ
ng vect
ơ
kh
ả
vi trên U.
d) Dạng vi phân bậc 1
U là t
ậ
p m
ở
trong M, m
ộ
t d
ạ
ng vi phân
θ
trên U là vi
ệ
c
đặ
t
ứ
ng v
ớ
i m
ỗ
i
p U
∈
, m
ộ
t ánh x
ạ
ℝ
tuy
ế
n tính
:
p p
T U
θ
→
ℝ
khi
đ
ó ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các d
ạ
ng vi phân b
ậ
c 1 trên U là
(
)
1
U
Ω
.
(
)
(
)
:
Vec U U
θ ψ
→
(
)
X X
θ
֏
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u các
(
)
U
ψ
−
mô
đ
un. Khi
đ
ó
(
)
U
ψ
đượ
c kí hi
ệ
u là
(
)
0
U
Ω .
e) Dạng vi phân bậc 2
U là t
ậ
p m
ở
trong M, m
ộ
t d
ạ
ng vi phân b
ậ
c hai w trên U là vi
ệ
c
đặ
t
ứ
ng
v
ớ
i m
ỗ
i
p U
∈
, m
ộ
t ánh x
ạ
R
−
song tuy
ế
n tính ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng
w :
p p p
T U T U
× →
ℝ
18
khi
đ
ó ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các d
ạ
ng vi phân b
ậ
c hai trên U là
(
)
2
U
Ω .
1.7. Tô pô compact mở và compact hóa một điểm
1.7.1. Tô pô compact mở
Gi
ả
s
ử
X, Y là các không gian tô pô. G
ọ
i F là m
ộ
t h
ọ
các ánh x
ạ
t
ừ
X vào
Y.
+ V
ớ
i m
ỗ
i t
ậ
p con K c
ủ
a không gian X và v
ớ
i m
ỗ
i t
ậ
p con U c
ủ
a không gian Y,
ta
đị
nh ngh
ĩ
a: W(K,U)={f \ f(K)
⊂
U}.
H
ọ
t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p W(K,U), trong
đ
ó K là m
ộ
t t
ậ
p con compact b
ấ
t kì c
ủ
a X
và U là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong Y, là m
ộ
t ti
ề
n c
ơ
s
ở
c
ủ
a
tô pô compact mở
C trên F.
Do
đ
ó h
ọ
t
ấ
t c
ả
các giao h
ữ
a h
ạ
n các t
ậ
p h
ợ
p d
ạ
ng W(K,U), trong
đ
ó K và
U là các t
ậ
p h
ợ
p nh
ư
trên, l
ậ
p thành c
ơ
s
ở
c
ủ
a tô pô compact m
ở
trên F. M
ộ
t
ph
ầ
n t
ử
tùy ý c
ủ
a c
ơ
s
ở
đ
ó có d
ạ
ng
{W( , 1, , }
i i
K U i n
=
∩
trong
đ
ó m
ỗ
i
i
K
là
t
ậ
p con compact c
ủ
a X và m
ỗ
i
i
U
là m
ộ
t t
ậ
p con m
ở
c
ủ
a Y.
+ Gi
ả
s
ử
{ }
n
f
là m
ộ
t dãy trong F. Ta nói dãy
{ }
n
f
h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i f
∈
F
đều trên
các
tập con compact
c
ủ
a X ( hay h
ộ
i t
ụ
theo tôpô compact m
ở
) n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i t
ậ
p con
compact
K c
ủ
a X và m
ỗ
i t
ậ
p m
ở
U c
ủ
a Y th
ỏ
a mãn f(K)
U
⊂
, t
ồ
n t
ạ
i
0
o
n
>
sao
cho v
ớ
i m
ọ
i n
≥
0
n
ta có
( )
n
f K U
⊂
.
1.7.2. Compact hóa một điểm
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t không gian tôpô không compact. C
ặ
p ( Y,
ϕ
), trong
đ
ó Y
là m
ộ
t không gian compact,
:
X Y
ϕ
→
là m
ộ
t phép nhúng
đồ
ng phôi X vào Y
sao cho
( )
X
ϕ
trù m
ậ
t trong Y, g
ọ
i là m
ộ
t
compact hóa
c
ủ
a X.
Ta s
ẽ
xét compact hóa b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ủ
a không gian compact. Gi
ả
s
ử
Y là
m
ộ
t không gian tôpô không compact và
∞
là m
ộ
t
đ
i
ể
m không thu
ộ
c Y.
Đặ
t
{ }.
Y Y
+
= ∞
∪
Ta trang b
ị
cho
Y
+
m
ộ
t tôpô
τ
nh
ư
sau :
-
N
ế
u G là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p trong
Y
+
không ch
ứ
a
∞
, t
ứ
c là G
⊂
Y, thì G
τ
∈
khi
và ch
ỉ
khi G m
ở
trong Y.
-
N
ế
u G là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p trong
Y
+
ch
ứ
a
∞
thì
G
τ
∈
khi và ch
ỉ
khi
\
Y G
+
là
m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p
đ
óng và compact trong X.
19
Ta có (
H
v
,
Y
τ
+
) là m
ộ
t không gian tôpô và Y là không gian con c
ủ
a
không gian tôpô
Y
+
. N
ế
u g
ọ
i i:Y
→
Y
+
,i(x)=x là phép
đồ
ng phôi Y vào
Y
+
thì c
ặ
p (
Y
+
, i) là m
ộ
t compact hóa c
ủ
a Y [Ke] và g
ọ
i là
compact hóa
1
điểm hay compact hóa Al
c
ủ
a Y.
1.8. Hàm độ dài
a) Định nghĩa 1.9
+ Gi
ả
s
ử
Z là
đ
a t
ạ
p th
ứ
c và E là phân th
ớ
véct
ơ
ph
ứ
c trên Z.
Hàm độ dài
trên E là m
ộ
t hàm H t
ừ
E vào t
ậ
p các s
ố
th
ự
c không âm th
ỏ
a mãn
i)
H(v) = 0 khi và ch
ỉ
khi v = 0.
ii) V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c c
∈
C, ta có:
H(cv) =
( )
c H v
.
iii) H là hàm liên t
ụ
c.
Ta c
ũ
ng kí hi
ệ
u H(v) b
ở
i
H
v
ho
ặ
c
v
n
ế
u H
đ
ã
đượ
c xác
đị
nh.
+ Hàm
H : E
0
R
≥
→
đượ
c g
ọ
i là hàm
nửa liên tục trên
n
ế
u v
ớ
i v
∈
E và
ε
> 0, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n W c
ủ
a v trong E sao cho v
ớ
i m
ọ
i w
∈
W ta có
H(w) < H(v) +
ε
.
+ Hàm H : E
0
R
≥
→
đượ
c g
ọ
i là hàm
nửa độ dài
n
ế
u H th
ỏ
a mãn ii) và n
ử
a liên
t
ụ
c trên.
b) Định nghĩa 1.10
Kho
ả
ng cách d trên t
ậ
p h
ợ
p X là m
ộ
t hàm
: ,( , ) ( , )
d X X R x y d x y
× →
֏
th
ỏ
a mãn, v
ớ
i m
ọ
i x, y, z
∈
X,
i)
d(x,y)
0, ( , ) 0
d x y
≥ >
v
ớ
i x
≠
y.
ii)
d(x,y) = d(y,x).
iii)
d(x,y)
≤
d(x,z) + d(z,y).
N
ế
u d ch
ỉ
th
ỏ
a mãn ii), iii) và d(x,y)
≥
0 thì d
đượ
c g
ọ
i là
giả khoảng
cách
trên
X.
c) Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
20
Gi
ả
s
ử
TZ là phân th
ớ
ti
ế
p xúc c
ủ
a
đ
a t
ạ
p z. Gi
ả
s
ử
H là hàm
độ
dài trên TZ
mà ta c
ũ
ng g
ọ
i là hàm
độ
dài trên Z.
N
ế
u
:[ , ]
a b Z
γ
→
là
đườ
ng cong l
ớ
p
1
C
−
trên Z, thì ta
đị
nh ngh
ĩ
a
' '
( ) ( ( )) ( ) \ ,
b b
H H
a a
L H t dt t dt
γ γ γ
= =
∫ ∫
và g
ọ
i
H
L
là
độ
dài c
ủ
a
đườ
ng cong
γ
ứ
ng v
ớ
i hàm
độ
dài H.
V
ớ
i x,y
∈
X, ta g
ọ
i
đườ
ng n
ố
i gi
ữ
a x và y là h
ợ
p c
ủ
a h
ữ
a h
ạ
n các
đườ
ng cong
l
ớ
p
1
C
sao cho
đ
i
ể
m cu
ố
i c
ủ
a
đườ
ng này là
đ
i
ể
m
đầ
u c
ủ
a
đườ
ng ti
ế
p theo.
Độ
dài c
ủ
a
đườ
ng n
ố
i gi
ữ
a x và y
ứ
ng v
ớ
i hàm
độ
dài cho tr
ướ
c
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a là
t
ổ
ng c
ủ
a các
độ
dài c
ủ
a các
đườ
ng cong l
ớ
p
1
C
thành ph
ầ
n.
Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
H là kho
ả
ng cách
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i
( , )
H
d x y
=
inf
( )
H
L
γ
,
trong
đ
ó inf
đượ
c l
ấ
y theo t
ấ
t c
ả
các
đườ
ng
γ
n
ố
i gi
ữ
a x và y.
d) Ánh xạ khả vi và hàm độ dài
Gi
ả
s
ử
f :
Y Z
→
là ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a các
đ
a t
ạ
p, khi
đ
ó có ánh x
ạ
ti
ế
p
xúc
df =
:
f TY TZ
∗
→
,
và ta có th
ể
kéo lùi hàm
độ
dài H trên TZ thành m
ộ
t hàm
độ
dài, ký hi
ệ
u là
f H
∗
, trên TY b
ở
i công th
ứ
c
(
)( ) ( ( ))
f H v H f v
∗
∗
= v
ớ
i v
∈
TY.
Gi
ả
s
ử
H và
'
H
hai hàm
độ
dài trên TY và TZ t
ươ
ng
ứ
ng. Khi
đ
ó chu
ẩ
n
c
ủ
a df(y)
ứ
ng v
ớ
i các hàm
độ
dài H,
'
H
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i
'
( )
( ) sup
H
H
df y v
dh y
v
= v
ớ
i v
, 0.
y
T Y v
∈ ≠
1.9. Định lí thác triển Riemann
Gi
ả
s
ử
X là
đ
a t
ạ
p ph
ứ
c và A là t
ậ
p con gi
ả
i tích trong X. Khi
đ
ó, n
ế
u f: X \
A
→
C là ch
ỉ
nh hình và
f
b
ị
ch
ặ
n
đị
a ph
ươ
ng trên X thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t thác
tri
ể
n ch
ỉ
nh hình F : X
→
C c
ủ
a f.
21
Hệ quả
N
ế
u f : X
→
C là liên t
ụ
c và ch
ỉ
nh hình trên X \ A, thì f là ch
ỉ
nh hình trên X.
Chú ý
Đị
nh lý thác tri
ể
n Riemann không
đ
úng trên các không gian ph
ứ
c. Ví d
ụ
,
xét không gian con ph
ứ
c
X =
2 2
1 2 1 2 2
{( , ) ;( ) 0}
x x C x x x C
∈ − = ⊂
Và
đị
nh ngh
ĩ
a hàm
f : X \ {0}
;
i
C
→
x
2
1
.
x
x
֏
khi
đ
ó f
đạ
t các giá tr
ị
0 và 1 trên hai thành ph
ầ
n c
ủ
a X, do
đ
ó f không th
ể
thác
tri
ể
n ch
ỉ
nh hình
đượ
c qua g
ố
c (0,0).
1.10. Định lý Ascoli
1.10.1. Định nghĩa 1.11
Gi
ả
s
ử
F là m
ộ
t h
ọ
nào
đ
ó các ánh x
ạ
t
ừ
không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y. H
ọ
F
đượ
c g
ọ
i là
liên tục đồng đều
(even continuous) t
ừ
x
ϵ
X t
ớ
i y
ϵ
Y n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i lân c
ậ
n U c
ủ
a
đ
i
ể
m y
đề
u tìm
đượ
c m
ộ
t lân c
ậ
n V c
ủ
a
đ
i
ể
m x và
lân c
ậ
n W c
ủ
a
đ
i
ể
m y sao cho
N
ế
u
f
(x)
∈
W thì
f
(V)
⊂
U v
ớ
i m
ọ
i
f
∈
F.
n
ế
u F là liên t
ụ
c
đề
u v
ớ
i m
ọ
i x
∈
X và m
ọ
i y
∈
Y thì F
đượ
c g
ọ
i là
liên tục đều
t
ừ
X
đế
n Y.
1.10.2. Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều)
22
Gi
ả
s
ử
F là t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p các ánh x
ạ
liên t
ụ
c C(X,Y) t
ừ
không gian chính
quy compact
đị
a ph
ươ
ng X và không gian Hausdorff Y và C(X,Y) có tôpô
compact m
ở
. Khi
đ
ó F là compact t
ươ
ng
đố
i trong C(X,Y) n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c th
ỏ
a mãn:
i) F là h
ọ
liên t
ụ
c
đề
u
ii) V
ớ
i m
ỗ
i x
∈
X, t
ậ
p h
ợ
p F
x
={
f
(x)
|
f
∈
F} là compact t
ươ
ng
đố
i trong Y.
1.11. Phủ chỉnh hình
Ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình
π
:
'
X X
→
đượ
c g
ọ
i là ph
ủ
ch
ỉ
nh hình n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
X, có lân c
ậ
n m
ở
U ch
ứ
a x mà
π
-1
(U) là h
ợ
p r
ờ
i r
ạ
c nh
ữ
ng t
ậ
p m
ở
U
α
c
ủ
a
'
X
(t
ứ
c là
π
-1
(U) =
I
α
∈
∪
U
α
, U
α
là các t
ậ
p m
ở
trong X
'
và U
α
∩
U
β
=
∅
n
ế
u
α
,
β
∈
I,
α
≠
β
) th
ỏ
a mãn
π
|
U
α
: U
α
→
U là song ch
ỉ
nh hình.
khi
đ
ó X
'
g
ọ
i là không gian ph
ủ
, X g
ọ
i là
đ
áy c
ủ
a ph
ủ
và v
ớ
i m
ỗ
i x
∈
X,
π
-1
(x) g
ọ
i là th
ớ
trên x c
ủ
a ph
ủ
π
.
1.12. Không gian phân thớ
1.12.1. Phân thớ véc tơ
Ánh x
ạ
liên t
ụ
c
π
: E
→
X gi
ữ
a các không gian Hausdorff
đượ
c g
ọ
i là phân
th
ớ
K-vect
ơ
b
ậ
c
τ
n
ế
u các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau th
ỏ
a mãn
i) V
ớ
i m
ỗ
i p
∈
X, E
p
:=
π
-1
(p) là K-không gian vect
ơ
τ
chi
ề
u (E
p
đượ
c
g
ọ
i là th
ớ
trên p) và g
ọ
i là compact hóa 1
đ
i
ể
m hay compact hóa Al
ế
chxan
đ
r
ố
p
c
ủ
a Y.
ii)V
ớ
i m
ỗ
i p
∈
X t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n U c
ủ
a p và m
ộ
t
đồ
ng phôi
h:
π
-1
(U)
→
U
×
K
τ
th
ỏ
a mãn h(E
P
)
⊂
{P}
×
K
τ
và h
p
, xác
đị
nh b
ở
i phép h
ợ
p
thành
h
p
: E
p
h
→
{p}
×
K
τ
procj
→
K
τ
,
là
đẳ
ng c
ấ
u K-không gian vect
ơ
(c
ặ
p(U,h)
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ầ
m th
ườ
ng hóa
đị
a
ph
ươ
ng).
23
Đố
i v
ớ
i m
ộ
t K-phân th
ớ
vect
ơ
π
: E
→
X, E
đượ
c g
ọ
i là không gian toàn
th
ể
, X
đượ
c g
ọ
i là không gian
đ
áy, và ta nói E là m
ộ
t phân th
ớ
vect
ơ
trên X. Ta
ký hi
ệ
u phân th
ớ
vect
ơ
trên là (E,
π
,X).
1.12.2. Phân thớ chỉnh hình
N
ế
u E, X là các không gian ph
ứ
c và
π
là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình, toàn ánh, và
phép
đồ
ng phôi h là ánh x
ạ
song ch
ỉ
nh hình thì phân th
ớ
vect
ơ
đượ
c g
ọ
i là phân
th
ớ
ch
ỉ
nh hình.
1.12.3. Phân thớ kéo lùi
Gi
ả
s
ử
π
:E
→
Y là phân th
ớ
vect
ơ
và
f
:X
→
Y là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình gi
ữ
a
các không gian ph
ứ
c. Khi
đ
ó có phân th
ớ
vect
ơ
(
f
-1
E,
π
'
, X), trong
đ
ó
f
-1
E:= {(x,e)
∈
X
×
E; th
ỏ
a mãn
f
(x) =
π
(e)},
và
π
-1
=p
τ
1
là phép chi
ế
u lên thành ph
ầ
n th
ứ
nh
ấ
t. Phân th
ớ
(
f
-1
E,
π
’,X)
đượ
c
g
ọ
i là phân th
ớ
kéo lùi (phân th
ớ
pull-back) c
ủ
a phân th
ớ
(E,
π
,Y) b
ở
i ánh x
ạ
f
.
1.12.4. Phân thớ con
Gi
ả
s
ử
π
: E
→
X là m
ộ
t phân th
ớ
vect
ơ
b
ậ
c k. T
ậ
p con F
⊂
E
đượ
c g
ọ
i là
phân th
ớ
con (b
ậ
c p) c
ủ
a E n
ế
u có m
ộ
t không gian con tuy
ế
n tính p chi
ề
u V
⊂
C
τ
và v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ
x
∈
X có lân c
ậ
n m
ở
U c
ủ
a x và m
ộ
t t
ầ
m th
ườ
ng hóa
Φ
: E
|
U
→
U
×
C
τ
, sao cho
Φ
-1
(U
×
V) = F
|
U.
1.12.5. Tổng Whitney của hai phân thớ
Gi
ử
s
ử
π
v
: V
→
X,
π
w
: W
→
X là hai phân th
ớ
vect
ơ
. Khi
đ
ó :
V
⊕
W := V
×
X
W = {(v,w)
∈
V
×
W :
π
V
(v) =
π
w
(w)}
có c
ấ
u trúc phân th
ớ
vect
ơ
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau :
G
ỉả
s
ử
{U
i
} là m
ộ
t ph
ủ
m
ở
c
ủ
a X v
ớ
i các t
ầ
m th
ườ
ng hóa
đị
a ph
ươ
ng
Φ
i
: V
|
U
i
→
U
i
×
C
τ
và
Ψ
: W
|
U
i
→
U
i
×
C
k
.
T
ầ
m th
ườ
ng hóa
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a V
⊕
W
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i
(V
⊕
W)
|
U
i
={(v,w)
∈
V
×
W ;
π
V
(v) =
π
W
(w)
∈
U
i
}
→
U
i
×
C
τ
+k
(v,w)
֏
(
π
v
(v),p
τ
1
Φ
i
(v), p
τ
2
Φ
i
(w)).
phân th
ớ
vect
ơ
π
:V
⊕
W
→
X ;
π
(v,w) :=
π
v
(v) =
π
w
(w)
đượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng
Whitney c
ủ
a hai phân th
ớ
π
v
: V
→
X,
π
w
: W
→
X
24
1.13. Hàm đa điều hòa dưới.
+ Gi
ả
s
ử
D là mi
ề
n trong C. M
ộ
t C
2
– hàm h xác
đị
nh trên D
đượ
c g
ọ
i là
điều hòa
n
ế
u
∆
h
:= 4
2
h
z z
∂
∂ ∂
= 0 trên D
+ Hàm u : D
→
[-
∞
,
∞
)
đượ
c g
ọ
i là
điều hòa dưới
trong mi
ề
n D n
ế
u u
tho
ả
mãn hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
i) U là n
ử
a liên t
ụ
c trên trong D, t
ứ
c là t
ậ
p {z
∈
D; u(z) < s} là t
ậ
p m
ở
v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
th
ự
c s ;
ii) V
ớ
i m
ỗ
i t
ậ
p con m
ở
compact t
ươ
ng
đố
i G c
ủ
a D và m
ọ
i hàm h : G
→
R là
đ
i
ề
u
hòa trong G và liên t
ụ
c trong
G
ta có: n
ế
u u
≤
h trên
G
∂
thì u
≤
h trên G.
Ta có tiêu chu
ẩ
n
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i sau:
Để
hàm u n
ử
a liên t
ụ
c trên trong mi
ề
n D là
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i trong D, c
ầ
n và
đủ
v
ớ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m z
∈
D, t
ồ
n t
ạ
i
τ
0
(z) > 0 sao cho
u(z)
≤
1
2
π
2
0
( )
it
u z e dt
π
τ
+
∫
v
ớ
i m
ọ
i
τ
<
τ
0
(z)
+ Gi
ả
s
ử
G là m
ộ
t t
ậ
p con m
ở
trong C
n
. M
ộ
t hàm
φ
: G
→
[-
∞
,
∞
)
đượ
c g
ọ
i là
đa điều hòa dưới
n
ế
u
i)
φ
là n
ử
a liên t
ụ
c trên và
φ
không
đồ
ng nh
ấ
t v
ớ
i -
∞
ch
ỉ
trên thành ph
ầ
n
liên thông c
ủ
a G.
ii) V
ớ
i m
ỗ
i z
0
∈
G và a
∈
C
n
mà a
≠
0, và v
ớ
i m
ỗ
i ánh x
ạ
τ
: C
→
C
n
,
τ
(z)
= z
0
+ az, hàm
φ
τ
trên m
ỗ
i thành ph
ầ
n liên thông c
ủ
a
τ
-1
(G) (là các
mi
ề
n trong C) ho
ặ
c b
ằ
ng -
∞
ho
ặ
c là
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i.
Trong không gian ph
ứ
c b
ấ
t k
ỳ
ta có
đị
nh ngh
ĩ
a:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t không gian ph
ứ
c. M
ộ
t hàm
đ
a
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i trên X là
m
ộ
t hàm
φ
: X
→
[-
∞
,
∞
) th
ỏ
a mãn tính ch
ấ
t sau:
V
ớ
i m
ỗ
i x
∈
X t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t lân c
ậ
n m
ở
U c
ủ
a x sao cho v
ớ
i m
ộ
t ánh x
ạ
song
ch
ỉ
nh hình h: U
→
V lên m
ộ
t không gian ph
ứ
c con
đ
óng V c
ủ
a m
ộ
t mi
ề
n G
25
⊂
C
m
nào
đ
ó và m
ộ
t hàm
đ
a
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i
ϕ
: G
→
[-
∞
,
∞
) sao cho
φ
|
U
=
ϕ
h
Nhận xét
+
Đị
nh ngh
ĩ
a trên không ph
ụ
thu
ộ
c vào vi
ệ
c ch
ọ
n b
ả
n
đồ
đị
a ph
ươ
ng
+ Fornaess và Narasimhan ([F-N])
đ
ã ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm n
ử
a liên t
ụ
c trên
φ
:X
→
[-
∞
,
∞
) trên m
ộ
t không gian ph
ứ
c X là
đ
a
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
ϕ
f
ho
ặ
c là
đ
i
ề
u hòa d
ướ
i, ho
ặ
c b
ằ
ng -
∞
v
ớ
i m
ọ
i ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình
f
:D
→
X, trong
đ
ó D là
đĩ
a
đơ
n v
ị
trong C.
+ Hàm
φ
: X
→
[-
∞
,
∞
)
đượ
c g
ọ
i là hàm vét c
ạ
n n
ế
u
φ
-1
([
,
c
−∞
]) là compact
v
ớ
i m
ọ
i c
∈
R.
1.14. Lân cận đa đĩa
V
đượ
c g
ọ
i là lân c
ậ
n
đ
a
đĩ
a c
ủ
a
0
z
n
ế
u V ch
ứ
a ít nh
ấ
t 1
đ
i
ể
m kì d
ị
và lân
c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m kì d
ị
đ
ó n
ằ
m tr
ọ
n trong.
1.15. Phân hoạch
Cho X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p và
(
)
i
I
A
là h
ọ
các t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a X. Ta nói
r
ằ
ng
(
)
i
I
A
là m
ộ
t phân ho
ạ
ch c
ủ
a X n
ế
u:
i
i I
A X
∈
=
∪
và
, , , .
i j
A A i j I i j
∩ = ∅ ∀ ∈ ≠
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC
2.1. Giả khoảng cách kobayashi trên không gian phức
V
ớ
i 0 < r <
∞
ta
đặ
t D
r
= { z
∈
C
,
z
< r }, D
1
= D, và g
ọ
i D
r
là
đĩ
a bán
kính r, D là
đĩ
a bán kính trong C.
2.1.1. Metric Bergman – Poincré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa
Metric Bergman – Poincré và chu
ẩ
n hyperbolic trên các
đĩ
a
đơ
n v
ị
D và
đĩ
a D
r
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư
sau:
