DE THI 1- 18

Phòng Giáo dục
Kiến xơng
Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 2008
Môn : Toán 8
(thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x
2
4x + 3 2) x
8
- 2
8
Bài 2 (5đ). Giải phơng trình, bất phơng trình sau:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 2 2
2 2 2
x 3 x 1 2
1)
x 4 x 2 6x 8 x
2) x 2 x 4 x 1 0
3) x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1
+
+ =

+ +
+ + + =
Bài 3 (4đ)

1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh:
a
3
+ b
3
+ 3abc > c
3
2)Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn:
1 1 1
a b c
a b c
+ + = + +
và abc = 1
Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số bằng 1
Bài 4 (4đ)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh
AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB
2
= BD.CE
1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng .
2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài
không đổi khi D,E di động trên AB, AC
Bài 5(3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của
tam giác ABC. Cho GM vuông góc với AC, D là trung điểm của BC. Chứng
minh BM vuông góc với AD.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1
1) 2điểm = (x- 1)(x 3)
2) 2điểm

x
8
2
8
= (x
4
)
2
(2
4
)
2
= =(x
4
+ 16)(x
2
+ 4)(x -2 )(x + 2)
Bài 2
1) 2,5đ
2
x 3 x 1 2 x 3 x 1 2
1)
x 4 x 2 6x 8 x x 4 x 2 (x 2)(x 4)
+ +
+ = + =

(1) (0,5đ)
MTC (x-2)(x-4); TXĐ =
{ }
x / x 2,x 4

.Phơng trình (1) trở thành (0,25đ)
(x+3) (x-2) + (x -1)(x 4) = 2 (0,5đ)
(0,5đ)
x = 0; x = 2 (loại) (0,25đ)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ)
2) 1đ
Ta thấy x = -2 là 1 nghiệm của bpt (0,25đ)
Với x

2 thì (x -2)
2
> 0 khi đó ta có : (x + 4)(x 1)

0 (0,25đ)
x + 4

0 và x -1

0 hoặc x + 4

0 và x - 1

0

x

1 hoặc x

- 4 (0,25đ)
Vậy nghiệm của bpt là x = - 2 hoặc x

1 hoặc x

- 4 (0,25đ)
3 1,5 đ
Ta thấy
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1+ + + =
(0,25đ)
Đặt x
2
+ 3x 4 = a; 2x
2
5x + 3 = b. Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)
3
a
3
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3a
2

b + 3ab
2

ab( a+ b) = 0
a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = -b (0,25đ)
+. Với a = 0 ta có x
2
+ 3x 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25đ)
+.Với b = 0 ta có 2x
2
5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25đ)
+. Với a = - b x
2
+ 3x 4 = -2x
2
+ 5x 3 3x
2
2x 1 = 0
x = 1; x = -1/3 (0,25đ)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là
1 3
S 4; ;1;
3 2


=


(0,25đ)
Bài 3

ý Nội dung Điểm
1 a
3
+ b
3
+ 3abc = (a+b) (a
2
ab + b
2
) + 3abc >c(a
2
- ab +b
2
)+3abc
= c (a + b)
2
>c . c
2
= c
3
1
0,25
0,5
2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1)
Theo giả thiết : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c và abc = 1
=> a + b + c (ab + bc + ca) = 0 (2). Cộng theo 2 vế của (1)
và (2). Ta có
abc (ab + bc + ca) + (a + b + c) 1 = 0
(a-1)(b-1)(c- 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1

0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
0,25đ
B
C
A
D
O
E
H
K
ý Nội dung Điểm
1
Từ giả thiết có : OB
2
= BD.CE => OB.OC = BD.CE =>
OB BD
EC OC
=
Xét
CBDV
và
ECOV
có
à
à

B C=
(vì tam giác ABC cân tại B)

OB BD
EC OC
=
=>
CBDV
~
ECOV
(c.g.c)
0,75
0,75
0,5
2
Ta có
ã
ã
ã
ã
ã ã
DOC DOE COE;DOC OBD BDO= + = +
Mà
ã
ã
ã
ã
BDO COE(cmt) DOE OBD= => =
Xét tam giác ODE và Tam giác BDO có
ã

ã
DOE OBD=
(cmt)

OD OE
BD OB
=
(cmt)
=>
V
ODE ~
V
BDO (cgc)
=>
ã
ã
BDO ODE=
nghĩa là DO là phân giác của
ã
BDE

=> OH = OK ( Với OK

AB)
Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 5 (3điểm)

Hình vẽ : 0,25 đ
Tam giác ADH có GM //DH;
OD OE 2
BD OB 3
= =
(0,5đ)
3AM = 2AH = AC = AM + MC
MC = 2AM (1đ)
áp dụng t/c tia phâng giác với tam giác ABC:
BC MC BC
2 AB BD
AB MA 2
= = => = =
(D là trung điểm BC)
(0,75đ)
Vậy tam giác ABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao. Do đó BM
vuông góc với AD (0,5đ)
M
I
A
B
C
D
G
H