Đề tài quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

0"
"
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN


Môn: Rèn Luyện Nghiệp Vụ Sư Phạm 3

Đề tài:
QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN







N
g
ư

Người thực hiện: Hoàng Thị Ái Nhi



Huế, 11/2013
0"
"
MỤC LỤC

QUAN HỆ SONG SONG 2
A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2
I.Định nghĩa 2
II.Định lý và các tính chất 2
III.Chứng minh hai đường thẳng song song 4
IV. Bài tập rèn luyện. 6
B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 8
I.Định nghĩa 8
II.Định lý và các tính chất 8
III.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 9
IV.Bài tập rèn luyện. 13
C.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 14
I.Định nghĩa 14
II.Định lý 14
III.Chứng minh hai mặt phẳng song song 15
IV. Bài tập rèn luyện 18
QUAN HỆ VUÔNG GÓC 19
A.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 19
I.Định nghĩa 19
II.Định lý 19
III.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 20
IV.Bài tập rèn luyện. 22
B.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 24
I.Định nghĩa 24
II.Định lý 24
0"
"

III.Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc 25
IV.Bài tập rèn luyện 27

C.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 28
I.Định nghĩa 28
II.Định lý 28
III.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 29
IV. Bài tập rèn luyện 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32


1"
"
LỜI NÓI ĐẦU
Nội dung tôi muốn giới thiệu đến các bạn trong đề tài này là các vấn đề cơ bản
trong phần hình học không gian lớp 11, cụ thể là quan hệ song song và quan hệ vuông
góc.
Tôi xin giới thiệu đến các bạn sáu dạng chứng minh cơ bản trong hai loại quan hệ
song song và vuông góc sau:
1. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau;
2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng;
3. Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau.
4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau;
5. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng;
6. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Mục tiêu của đề tài nhằm định hướng cách chứng minh một số bài toán trong quan hệ
song song và quan hệ vuông góc, giúp các bạn hệ thống lại các kiến thức liên quan trong
phần này. Ngoài ra còn cung cấp mộ t số bài tập để rèn luyện kỹ năng chứng minh, trình
bày bài toán không gian. Tôi xin trân trọng gởi đến các bạn đề tài này như một tài liệu
học tập bổ ích, mong các bạn sử dụng có hiệu quả.
Tác giả
Hoàng Thị Ái Nhi

2"
"
QUAN HỆ SONG SONG
A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
I.Định nghĩa
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
II.Định lý và các tính chất
1. Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

𝑎 ⫽ 𝑏
𝑎 ⫽ 𝑐
⇒ b⫽c


2. Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.


𝑎⏊(𝑃)
𝑏⏊(𝑃)
⇒ a⫽b




3. Trong một mặt phẳng, nếu hai đườ ng thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì
song song với nhau.


3"
"

𝑎⏊𝑐
𝑏⏊𝑐
𝑎, 𝑏, 𝑐! ⊂ (𝑃)
⇒ a⫽b

4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng song song với hai đường thẳ ng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó).

𝑎 ⊂ 𝑃 , 𝑏 ⊂ (𝑄)
𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑐
𝑎 ⫽ 𝑏
⇒ c⫽a⫽b


5. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu
có) song song với đường thẳng đó.


𝑎 ⫽ (𝑃)
𝑎 ⫽ (𝑄)
𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑏
⇒a⫽b




4"

"
III.Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương Pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể sử dụng một trong những cách sau:
1. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
2. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song
thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng ấy.
3. Dùng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng: nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một
cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song
với nhau.
4. Chứng minh chúng đồng phẳng và sử dụng phương pháp chứng minh hai đường
thẳng song song trong hình học phẳng.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh IJ song song với CD.

Gọi M là trung điểm của AB
Trong mặt phẳng (MCD), xét ∆MCD có:
MI=
!
!
MC (do I là trọng tâm của ∆ABC)
5"
"
MJ=
!
!
MD ( do J là trọng tâm của ∆ABD)
Theo Định lý Talet ta có IJ⫽CD (đpcm).
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Trên AC, BF lần lượt lấy M,N sao cho AM=

!
!
AC, BN=
!
!
BF. Chứng minh MN⫽DE.

Trong (ABCD) gọi G là giao điểm của DM và AB
Ta có ∆AMG ∾ ∆CMD suy ra
𝐴𝐺
𝐶𝐷
=
𝐴𝑀
𝐶𝑀
=
1
2

⇒ G là trung điểm của AB
Trong (ABEF) gọi H là giao điểm của AB và EN
Ta có ∆BNH ∾ ∆FNE suy ra
6"
"
𝐵𝐻
𝐸𝐹
=
𝐵𝑁
𝑁𝐹
=
1

2

⇒ H là trung điểm của AB
⇒ H≡G ⇒ DM∩EN=G
Trong mặt phẳng (GDE) xét ∆GED có
𝑀𝐺
𝑀𝐷
=
𝑁𝐺
𝑁𝐸
=
1
2

⇒ MN⫽DE (đpcm).
IV. Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của
∆SAB và ∆SAD. E là trung điểm của BC.
a. Chứng minh MN⫽BD.
b. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) và SB, SD. Chứng
minh LH⫽BD.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này kẻ ra ngoài
(P) các nữa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz.Trên Ax lấy A’ sao cho
AA’=a, trên By lấy B’ sao cho BB’=b, trên Cz lấy C’ sao cho CC’=c. Gọi G,G’ lần lượt
là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh GG’⫽ AA’.
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của
tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của AB’ và A’B. Chứng minh hai đường thẳng
GI và CG’ song song với nhau.
7"
"

Bài 4. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại B, đoạn thẳng DA vuông góc
voi (P) tại A. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với BD lần lư ợt cắt BD và CD tạ i H
và K. Chứng minh HK vuông góc với BC.
Câu 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt
cắt SB, SD tại B’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD.

8"
"
B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa
Đường thẳng a được gọi là song song với mặt phẳng (P) nếu giữa chúng không có điểm
chung.
II.Định lý và các tính chất
1.Nếu một đườ ng thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường
thẳng b chứa trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

a ⊄ (P)
𝑏 ⊂ (𝑃)
𝑎 ⫽ 𝑏
⇒a⫽(P)


2.Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đườ ng thẳng trong mặt phẳng này đều
song song với mặt phẳng kia.


.
𝑎 ⊂ (𝑄)
𝑃 ⫽ (𝑄)

⇒a⫽(P)


3.Nếu một đườ ng thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường
thẳng song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

𝑎 ⊄ (𝑃)
𝑎 ⫽ 𝑏
𝑏 ⫽ (𝑃)
⇒a⫽(P)
9"
"
4.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một mặt phẳng
song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).


𝑎 ⫽ 𝑄 , 𝑎 ⊄ (𝑃)
𝑄 ⫽ (𝑃)
⇒a⫽(P)





5.
𝑎 ⊄ 𝑃 , 𝑎⏊𝑏
𝑏⏊(𝑃)
⇒a⫽(P)

6.
𝑎⏊ 𝑄 , 𝑎 ⊄ (𝑃)
𝑄 ⏊(𝑃)
⇒a⫽(P)


III.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta sử dụng các cách sau:
1. Thông thường ta chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng chứa
trong mặt phẳng (P).
10"
"
2. Chứng minh đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng nào đó song song với mặt
phẳng (P).
3. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b nào đó mà b song song
với (P) hoặc a song song với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) song song với (P).
4. Chứng minh a vuông góc với đường thẳng b nào đó ma b vuông góc với (P) hoặc
chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) vuông góc với (P).
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và
BAD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (BDC).

Gọi E là trung điểm của AD.
Trong mặt phẳng (EBD), xét ∆EBD có:
EN=
!
!
EB (do N là trọng tâm của ∆ABD)
EM=

!
!
EC (do M là trọng tâm của ∆ACD)
Theo Định lý Talet ta có MN⫽BC
11"
"
Ta có
MN ⫽ BC
𝐵𝐶 ⊂ (𝐵𝐶𝐷)
⇒ MN⫽(BCD)

MN ⫽ BC
𝐵𝐶 ⊂ (𝐴𝐵𝐶)
⇒ MN⫽(ABC) (đpcm).
Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M∈AD, N∈C’D’ sao cho:
𝐴𝑀
𝑀𝐷
=
𝐷′𝑁
𝑁𝐶′

Chứng minh MN⫽(C’BD).


Cách 1:
Trong mặt phẳng (AA’D’D), dựng MM’⫽AD’(M’∈ DD’)
Suy ra:
12"
"
𝐴𝑀

𝑀𝐷
=
𝐷′𝑀′
𝑀′𝐷
=
𝐶′𝑁
𝑁𝐷′

⇒ M’N⫽DC’
Ta có:
MM’⫽AD’ mà AD’⫽BC’ ⇒ MM’⫽BC’
𝑀′𝑁 ⫽ 𝐷𝐶′
𝑀𝑀′ ⫽ 𝐵𝐶′
⇒ (MM’N)⫽ (C’BD)
⇒MN⫽(C’BD) (đpcm).
Cách 2:
Ta có :
𝐴𝑀
𝑀𝐷
=
𝐷′𝑁
𝑁𝐶′

Suy ra:
𝐴𝑀
𝐷′𝑁
=
𝑀𝐷
𝑁𝐶′
=

𝐴𝑀 + 𝑀𝐷
𝐷
′
𝑁 + 𝑁𝐶
=
𝐴𝐷
𝐷′𝐶′

Mà AD và D’C’ chéo nhau nên theo định lý Talet đảo ta có:
AD’,MN và DC’ cùng song song với một mặt phẳng
Mặt khác ta có AD’⫽BC’⊂(C’BD) ⇒ AD’⫽(C’BD)
Mà DC’⊂(C’BD)
⇒MN⫽(C’BD) (đpcm).
13"
"
IV.Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
và G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và
BCD. Chứng minh rằng G
1
G
2
song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của
tam giác SAB và I trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD =3AM.
a. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng
NG//(SCD)

b. Chứng minh rằng MG//(SCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn là AD. Gọi M là một
điểm bất kỳ trên cạnh AB, (P) là mp qua M và song song với AD và SBChứng minh
SC//(P).
Bài 4. Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của SA và CD.
a. Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm nằm trong (ABCD) và cách đều
AB,CD. Chứng minh IJ⫽(SAB).
b. Giả sử ∆ABC và ∆SAD đều cân tại A. Gọi AE,AF lần lượt là là đường phân giác
trong của ∆ACD và ∆SAB. Chứng minh EF⫽(SAD).
Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. G là trọng tâm ∆SAB,I là trung
điểm của AB. Lấy M∈AD sao cho AD=3AM. Chứng minh: MG⫽(SCD).

14"
"
C.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I.Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
II.Định lý

1.
𝑎, 𝑏 ⊂ (𝑃)
𝑎 ⫽ 𝑄 , 𝑏 ⫽ (𝑄)
𝑎 ∩ 𝑏 ≠ ∅
⇒(P)⫽(Q)

2.Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

𝑃 ⫽ (𝑅)
𝑅 ⫽ (𝑄)
⇒(P)⫽(Q)


3.Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng nằm ngoài mặ t phẳng kia thì song
song với nhau.


(𝑃)⏊𝑎
𝑄 ⏊𝑎
⇒(P)⫽(Q)


15"
"
4.Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thi song song với nhau.



𝑃 ⏊(𝑅)
𝑄 ⏊(𝑅)
⇒ (P)⫽(Q)


5.Định lý Talet đảo: cho hai đư ờng thẳng a và b chéo nhau. Trên a, b lần lượt lấy các
điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho B nằm giữa A, C và B’ nằm giữa A’. C’ và
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=

𝐵𝐶
𝐵′𝐶′

Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượ t nằm trên ba mặt phẳng song song với
nhau.
III.Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thê sử dụng những cách sau:
1. Thông thường ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần
lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia.
2. Chứng minh hai mặt phẳng này cùng song song hoặc vuông góc với mặt phẳng
thứ ba,hoặc chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng.
3. Đối với những bài toán cho tỉ lệ ta có thể sử dụng Định lý Talet đảo để chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của SA, CD. Chứng minh (OMN)⫽(SBC).
16"
"

Trong tam giác BCD có:
𝑂!𝑙à!𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔!đ𝑖ể𝑚!𝑐ủ𝑎! 𝐵𝐷
𝑁!𝑙à!𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔!đ𝑖ể𝑚!𝑐ủ𝑎!𝐶𝐷
⇒NO⫽BC
Trong tam giác SAC có:
𝑀!𝑙à!𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔!đ𝑖ể𝑚!𝑐ủ𝑎!𝑆𝐴
𝑂!𝑙à!𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔!đ𝑖ể𝑚!𝑐ủ𝑎! 𝐴𝐶!
⇒MO⫽SC
Ta có
NO ⫽ BC!
MO ⫽ SC

⇒ (OMN)⫽(SBC) (đpcm).

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳ ng.
I∈BC sao cho DI⫽BM.Trên AC, BF lần lượt lấy M,N sao cho AM=
!
!
AC, BN=
!
!
BF.
Chứng minh (BMN)⫽(IDE)
17"
"

Trong (ABCD) gọi G là giao điểm của DM và AB
Ta có ∆AMG ∾ ∆CMD suy ra
𝐴𝐺
𝐶𝐷
=
𝐴𝑀
𝐶𝑀
=
1
2

⇒ G là trung điểm của AB
Trong (ABEF) gọi H là giao điểm của AB và EN
Ta có ∆BNH ∾ ∆FNE suy ra
𝐵𝐻
𝐸𝐹

=
𝐵𝑁
𝑁𝐹
=
1
2

⇒ H là trung điểm của AB
⇒ H≡G ⇒ DM∩EN=G
Trong mặt phẳng (GDE) xét ∆GED có
𝑀𝐺
𝑀𝐷
=
𝑁𝐺
𝑁𝐸
=
1
2

⇒ MN⫽DE
Mặt khác ta có BM⫽DI
Suy ra (BMN)⫽(IDE) (đpcm).
18"
"
IV. Bài tập rèn luyện
Bài 1.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng
minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Dựng các nữa đường thẳng song
song với nhau nằm về một phía đối với mặt phẳng (P) và lần lượt đi qua các điểm A, B,
C, D . Một mặt phẳng (P’) cắt bốn nữa đường thẳng trên lần lượt tại A’, B’, C’, D’.

Chứng minh mặt phẳng (AA’, BB’)⫽(CC’, DD’).
Bài 3. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh SB, SA, SD. Chứng minh:
a. (OMN)⫽(SCD).
b. (ONP)⫽(SBC).
Bài 4.Từ các đỉnh của tam giác ABC kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song, cùng
chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G, K lần lượt là
trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’ và A’B’C’. Chứng minh:
a. (IGK)⫽(BB’C’C).
b. (A’GK)⫽(AIB’).
Bài 5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, AD, DD’, D’C’, C’B’ và B’B. Chứng minh (MNPQRS)⫽(AB’D).

19"
"
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa
Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đườ ng
thẳng chứa trong (P).
II.Định lý
1.Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (P)
thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P).

𝑏, 𝑐 ⊂ (𝑃)
𝑎⏊𝑏, 𝑎⏊𝑐
𝑏 ∩ 𝑐! ≠ !∅
⇒a⏊(P)

2.Cho đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước, một đường thẳng a song
song với b thì vuông góc với mặt phẳng (P).


𝑏⏊(𝑃)
𝑎 ⫽ 𝑏
⇒a⏊(P)


3.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với
mặt phẳng còn lại.

20"
"

𝑃 ⫽ (𝑄)
𝑎⏊(𝑄)
⇒a⏊(P)




4.
𝑃 ⏊ 𝑄 !
𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑏
𝑎 ⊂ 𝑄 , 𝑎⏊𝑏
⇒a⏊(P)


5.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của

chúng( nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng đó.


𝑄 ⏊(𝑃)
𝑅 ⏊(𝑃)
𝑄 ∩ 𝑅 = 𝑎
⇒a⏊(P)


III.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta có thể sử dụng những
cách sau:
1. Thông thường ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng
giao nhau chứa trong mặt phẳng đó.
21"
"
2. Chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng b nào đó mà b vuông
góc với (P), hoặc chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng (Q)
nào đó mà (Q) song song với (P).
3. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P).
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông. SA⏊(ABCD).
Chứng minh: BD⏊(SAC)


Ta có :
SA⏊(ABCD) ⇒ SA⏊BD
Mặt khác ta có: BD⏊AC (do tứ giác ABCD là hình vuông)
𝐵𝐷⏊𝑆𝐴
𝐵𝐷⏊𝐴𝐶

𝑆𝐴, 𝐴𝐶 ⊂ (𝑆𝐴𝐶)
⇒ BD⏊(SAC) (đpcm).
Ví dụ 2:
Cho hình chóp SABC có SA⏊(ABC). Gọi H,K lần lượt là trực tâm của ∆ABC và ∆SBC.
Chứng minh:
22"
"
a. SC⏊(BHK)
b. HK⏊(SBC)

a. Trong (SBC), dựng SA’⏊BC (A’∈ BC)
Ta có:
𝐵𝐶⏊𝑆𝐴
𝐵𝐶⏊𝑆𝐴′
⇒BC⏊(SAA’) ⇒ BC⏊AA’

𝐵𝐻⏊𝑆𝐴
𝐵𝐻⏊𝐴𝐶
⇒BH⏊(SAC) ⇒BH⏊SC

SC⏊BH
𝑆𝐶⏊𝐵𝐾
⇒SC⏊(BHK)(đpcm).
b. Ta có: BC⏊(SAA’) ⇒ BC⏊HK
Mặt khác ta có: HK⏊SC (do SC⏊(BHK))
⇒HK⏊(SBC) (đpcm).
IV.Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.
a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.Chứng minh BC⏊(ADI).
b. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh AH⏊(BCD).