SKKN Giai pt vo ty

Tên đề tài :“Rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ trong chương trình Toán – Đại số lớp 9 ”.
Giáo viên thực hiện : Tích Thị Kim Châu – Nguyễn Tấn Thành
Trường Trung Học Cơ Sở Bàu Năng
I. Lý do chọn đề tài:
- Trang bị cho học sinh kỷ năng giải phương trình vô tỷ trong Đại số 9.
- Qua thực trạng học sinh còn yếu về kỹ năng giải phương trình vô tỷ, giáo viên phải có
nhiều biện pháp khắc phục nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.
- Củng cố và mở rộng kiến thức, góp phần phát triển các phẩm chất tư duy sáng tạo linh hoạt
cho học sinh.
II. Đối tượng- Phương pháp nghiên cứu:
* Đối tượng :
Nghiên cứu về việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ trong môn Toán - Đại số 9 theo
chương trình bậc trung học cơ sở.
* Phương pháp :
-Tham khảo tài liệu.
-Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên và học sinh.
-Kiểm tra quá trình thực hiện : Đối chiếu kết quả, so sánh.
III. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
Phương pháp rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ từ cơ bản đến nâng cao cho từng đối
tượng học sinh trong chương trình Toán - Đại số lớp 9
IV. Hiệu quả áp dụng:
* Giáo viên:
-Phương pháp rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ hợp lý cho các đối tượng học sinh.
-Định hướng nhanh việc xây dựng cách giải một phương trình vô tỷ.
* Học sinh :
- Nắm vững và khắc sâu kiến thức hơn về giải phương trình vô tỷ.
- Được củng cố và vận dụng nhiều kiến thức cơ bản về Toán học.
- Biết cách tự rèn tốt kỹ năng giải toán, đặc biệt là giải phương trình vô tỷ.
V. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu :
-Dạng phương trình vô tỷ cơ bản theo chuẩn kiến thức và kỹ năng trong Đại số lớp 9

-Một số phương trình vô tỷ trên chuẩn kiến thức thường gặp ở cấp Trung học cơ sở.

Bàu Năng, ngày tháng năm 2010
Giáo viên thực hiện

Tích Thị Kim Châu - Nguyễn Tấn Thành

-1-
BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
A. MỞ ĐẦU :
1. Lý do chọn đề tài :
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, để có được các phương pháp rèn luyện kỹ năng cho
học sinh ở một dạng toán nào đó trong chương trình đang học, qua đó học sinh có thể nắm
kiến thức và vận dụng vào giải bài tập thật tốt, đó là việc mà mỗi giáo viên tâm đắc và nó được
tích luỹ kinh nghiệm trong suốt quá trình lên lớp. Việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ
xuất phát trên cơ sở đó và cũng nhằm trang bị cho các em có kiến thức thật tốt, thật vững vàng
trong việc chuẩn bị bước vào bậc trung học phổ thông.
- Phương trình vô tỷ là một trong những dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 9 trong phần
phương trình nói chung, cả trong chương trình và trong các bài toán của đề thi, đặc biết là thi
học sinh giỏi, thi tuyển vào lớp 10 Phổ thông trung học. Chúng tôi nhận thấy đa số các em giải
phương trình vô tỷ còn sai sót nhiều, một số giải chưa hoàn chỉnh, từng bước giải còn yếu cho
thấy kỹ năng học sinh chưa được rèn luyện đúng mức , học sinh giỏi chưa có phương pháp giải
tốt nhiều dạng phương trình vô tỷ trong chương trình Đại số 9, chưa thể hiện việc vận dụng
kiến thức một cách sáng tạo phong phú vào giải quyết bài toán.
- Hơn nữa, qua giảng dạy nhiều năm, chúng tôi nhận thấy trong 45 phút giảng dạy bài mới
trên lớp, để học sinh lĩnh hội các kiến thức cơ bản trong chương trình, giáo viên khi dạy
phương trình vô tỷ không đủ thời gian phân tích khai thác đề bài hay mở rộng bài toán mới
cùng loại, vì giải một phương trình vô tỷ nói chung có nhiều phương pháp và rất đa dạng, dẫn
đến học sinh gặp bài toán về giải phương trình vô tỷ là lúng túng, ngại khó, thường mắc sai

lầm về tìm điều kiện xác định của phương trình, khi nâng lên luỹ thừa để loại dấu căn, hay đưa
về giải phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối, …
- Ngoài ra, chương trình Đại số 9 mới nội dung phong phú, đa dạng, có nội dung mở ở các
sách bài tập và tham khảo, đòi hỏi sự tích cực tìm tòi và sáng tạo trong vận dụng kiến thức giải
bài tập của học sinh. Do đó các em cần được rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải phương
trình vô tỷ đa dạng và linh hoạt, sáng tạo, nhanh nhẹn và hoàn chỉnh hơn.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài : “Rèn kỹ năng
giải phương trình vô ty trong chương trình Toán – Đại số lớp 9.” cho các đối tượng học sinh
các lớp khối 9 ở trường trung học cơ sở Bàu Năng góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
đáp ứng mục tiêu giáo dục của ngành đề ra.
2. Đối tượng nghiên cứu :
-Trong đề tài này nghiên cứu kỹ năng về giải phương trình vô tỷ trong chương trình Đại số
lớp 9. Phân loại dạng bài tập dành cho học sinh trung bình – yếu, học sinh khá giỏi và một số
phương pháp giải phương trình này nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường Trung học
cơ sở Bàu năng
-Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ tập trung trong và sau chương I Đạisố lớp 9,
hình thành các bước giải từng loại từ cơ bản đến nâng cao cho từng đối tượng học sinh của
chương trình chính khoá và mở rộng một số dạng thường gặp dành cho học sinh giỏi
3. Phạm vi nghiên cứu :
- Thực hiện các tiết dạy Đại số lớp 9 ở các lớp 9A
2;5
và một số tiết ngoại khoá chủ yếu dành
cho học sinh khá giỏi và thành thạo kỷ năng ở học sinh trung bình - yếu.
- Thời gian thực hiện từ đầu năm học 2009-2010.

-2-
4. Phương pháp nghiên cứu :
a. Đọc và nghiên cứu tài liệu:
Đọc tài liệu, sách tham khảo. Nghiên cứu qua các dạng đề kiểm tra, đề thi nhiều năm,
….để phân loại và chọn lựa các giải và đối tượng học sinh mà hình thành kỹ năng giải mỗi

loại.
b. Phương pháp điều tra:
-Thường xuyên dự giờ và tao đổi với đồng nghiệp trong tổ để có thể vận dụng phương
pháp, cách hướng dẫn phù hợp với trình độ học sinh
-Thông qua các tiết luyện tập trên lớp, qua kinh nghiệm giảng dạy, qua phụ đạo ngoại
khoá, chọn lọc dạng bài toán cơ bản và nâng cao phân loại từng dạng rồi hình thành và rèn
luyện phương pháp giải, trình bày hoàn chỉnh các phương trình vô tỷ trong chương trình Đại
số 9.
c. Khảo sát thực tế:
-Dạy thực tế để nắm bắt những tồn tại trong việc chuẩn bị bài của học sinh nhằm có hướng
vận dụng phương pháp hướng dẫn phù hợp
- Hướng dẫn trên lớp và phụ đạo, kiểm tra, đối chiếu các kết quả rèn luyện của học sinh
trước và sau khi thực hiện giải pháp đưa ra
d. Giả tuyết khoa học:
Nếu như đề tài nghiên cứu thành công, sau khi học xong chương trình trung học cơ sở,
học sinh có thể tự tin bước vào bậc trung học phổ thông vì các em đã có được kỹ năng giải
phương trình vô tỷ nói riêng, giải toán nói chung sẳn sàng tiếp nhận kiến thức một cách chủ
động và nhẹ nhàng

-3-
B. NỘI DUNG :
I Cơ sở lý luận :
1. Các văn bản chỉ đạo của cấp trên :
- Nghị quyết TW 4- khoá VII (1-1993) đề ra nhiệm vụ : “Đổi mới phương pháp dạy học ở
tất cả các cấp học”.
- Nghị quyết TW 2- khoá VIII nhận định : “Phương pháp giáo dục và đào tạo chưa đổi mới,
chưa phát huy được tính chủ động sáng tạo của người học”.
- Nghị quyết TW 2- khoá VIII (12-1996) khẳng định : “Phải đổi mới phương pháp giáo dục-
đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy, sáng tạo của người
học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy

học, bảo đảm thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
- Luật Giáo dục, điều 28.2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỷ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”.
-Để hòa nhập tiến độ phát triển của Đất nước trong giai đoạn hiện nay thì giáo dục và đào
tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo
Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
2 . Các quan niệm khác về giáo dục :
2.1. Đặc trưng của bộ môn toán và việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ :
- Đối với môn toán, bên cạnh việc giúp học sinh hoạt động lĩnh hội các kiến thức về lý
thuyết, một trong những mục tiêu đặc ra là phải rèn luyện kỹ năng cho học sinh đối với việc
vận dụng kiến thức để giải mỗi loại toán trong chương trình của từng khối lớp, và nó cũng
chiếm một thời lượng cần thiết trong mỗi tiết học.
- Việc rèn kỹ năng giải toán nói chung là giúp học sinh từ chổ biết cách giải được một bài
toán đến giải thành thạo dạng toán đó. Đối với rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cũng vậy,
là quá trình hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học từ chổ nhận biết cách giải và giải
thành thạo một số dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong chương trình Toán lớp 9.
- Để rèn kỷ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh , trước hết học sinh phải được cung
cấp và nắm vững những kiến thức cơ bản của việc giải phương trình và đặc trưng của phương
trình vô tỷ cũng như các bước thực hiện , trình bày hoàn chỉnh như thế nào. Trước hết cần nắm
vài khái niệm về phương trình này
2.2. Thế nào phương trình vô tỷ và các bước cơ bản giải phương trình này ?
* Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn
* Các bước giải cơ bản cần nắm :
 Tìm điều kiện xác định của phương trình
 Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học
 Giải phương trình vừa tìm được

 So điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
*Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn nói chung ta tìm cách khử dấu căn, đưa
phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.

-4-
2.3. Kỹ năng để giải tốt phương trình vô tỷ
Học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản, hình thành kỹ năng theo từng bước giải của từng
loại cụ thể dành cho từng đối tượng học sinh thích hợp :
 Đối với học sinh đại trà cần nắm vững:
Nhận biết và giải được một số dạng phương trình vô tỷ theo chuẩn kiến thức và kỷ năng
trong chương trình Toán 9 bằng phương pháp đặc trưng của bộ môn thông qua 1 số dạng cơ
bản sau:
 Dùng phép biến đổi đương tương hay phép khử căn thức đối với phương trình chứa căn
thức ( Hay nâng lên luỹ thừa ) :
.
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

hay
0B
A B
A B
≥


= ⇔

=

.
3 3
A B A B= ⇔ =
 Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : ( Vận dụng hằng đẳng thức
dáng nhớ biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của 1 tổng hay hiệu )

2
A B A B= ⇔ =
 Đối với học sinh khá giỏi :
Nhận biết và giải được một số dạng phương trình từ chuẩn và trên chuẩn kiến thức và kỷ
năng thường gặp trong chương trình Toán 9 bằng cách vận dụng kiến thức đã học một cách
sáng tạo :
 Biến đổi đưa về phương trình tích :
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
A x
A x B x
B x
=
= ⇔


=


 Đặt ẩn phụ : Dùng ẩn phụ thay thế cho 1 biểu thức chứa ẩn nào đó nhằm hạ bậc của
phương trình, đưa phương trình đã cho về dạng những phương trình đã biết. Giải phương trình
với ẩn phụ, rồi tìm nghiệm của phương trình thông qua ẩn phụ đó.
 Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thưc :
+ Dạng 1 : Đưa phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)
≥
a ( a là hằng số) và g(x)= a
Nghiệm của phương trình là nghiệm của hệ :
( )
( )
f x a
g x a
=


=


+ Dạng 2 :
. Đưa phương trình cần giải về dạng h(x) = a ( a là hằng số) mà ta luôn có
( )
h x a≤

hoặc
( )
h x a≥
thì nghiệm của phương trình là giá trị của x làm cho dấu bằng xảy ra .

. Ap dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≥ +
Dấu bằng xảy ra
. 0a b⇔ ≥
. Ap dụng bất đẳng thức Cô-si:

2 .a b a b+ ≥
với a,b không âm . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b
. Ap dụng bất đẳng thức Bunnhiacốpski :
(ax+by)
2

≤
( a
2
+b
2
)(x
2
+y
2
) . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b
x y
=
 Chứng minh nghiệm duy nhất ; hoặc chứng minh phương trình vô nghiệm :
Dựa trên một số tính chất đặc biệt của phương trình để chứng minh

-5-
 Đưa về tổng bình phương các số không âm :

Ta có thể biến đổi về dạng :
2 2 2
1 2
( ) ( ) ( ) 0
n
f x f x f x+ + + =

Nghiệm của phương trình là nghiệm của hệ :
1
( ) 0

( ) 0
n
f x
f x
=




=

 Đưa về hệ phương trình : Khi giải phương trình vô tỷ, có những phương trình ta đặt ẩn
phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình đã cho về giải một hệ phương trình quen
thuộc
Trong quá trình giải học sinh cần nhận biết định dạng loại phương trình được cho, xác định
kiến thức vận dụng và bước giải cũng như trình bày đặc trưng của từng loại.
II Cơ sở thực tiễn :
1. Thực trạng về kỹ năng và rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ :
Trong thực tế giảng dạy hiện nay, dù giáo viên luôn cố gắng đổi mới phương pháp dạy và

học để học sinh luôn tích cực chủ động trong quá trình lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kỹ năng
kỹ sảo vận dụng kiến thức vào thực tiễn giải toán. Song bên cạnh vẫn còn những thực trạng về
kỹ năng giải toán, nhất là việc giải phương trình vô tỷ :
+ Đối với học sinh lớp 9 Trường THCS Bàu Năng:
- Qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy hầu hết học sinh giải phương trình vô tỷ
chưa hoàn chỉnh mà phần lớn ở phương trình cơ bản luôn thiếu điều kiện, đứng trước một số
phương trình vô tỷ chưa biết vận dụng kiến thức như thế nào để giải và trình bày ra sao, tâm lý
luôn lo ngại khi gặp phải việc giải phương trình vô tỷ
- Một bộ phận học sinh trung bình yếu rất lúng túng trong việc khử bỏ dấu căn và trình
bày còn nhiều sai sót, chưa biết biến đổi về dạng cơ bản theo chuẩn kiến thức của chương trình
Đại số 9 mà các em cần nắm, cho thấy các em chưa có kỹ năng thật tốt về giải phương trình
vô tỷ.
- Ở các kỳ thi học kỳ, đặc biệt các kỳ thi tuyển vào lớp 10, tuyển học sinh giỏi đa số học
sinh giải phương trình vô tỷ còn yếu, chưa biết tìm hướng giải đúng một số phương trình vô tỷ
mức độ trong chuẩn kiến thức cũng như trên chuẩn kiến thức kỷ năng trong chương trình Đại
số lớp 9 . Qua đó bộc lộ kỷ năng học sinh chưa thành thạo, kiến thức chưa sâu trong giải
phương trình loại này.
+ Đối với giáo viên :
- Chưa đủ thời gian trên lớp để phân loại được các dạng phương trình vô tỷ và xây dựng
cách giải từ phương trình cơ bản đến các dạng cùng loại, giúp học sinh vận dụng kiến thức đã
học trong giải quyết bài toán khó.
- Chưa có phương pháp phù hợp trong bồi dưỡng và rèn luyện kỹ năng giải phương trình
vô tỷ ở hai mức độ : làm được (biết làm) và thông thạo (làm thành thạo). Ngoài ra cách đặt và
sử dụng câu hỏi kích thích tư duy học sinh chưa phù hợp để học sinh tự nhận biết và sáng tạo
trong vận dụng kiến thức vào giải phương trình.
- Giáo viên do nhiều nguyên nhân đã chưa thật sự nghiên cứu sâu vấn đề rèn kỹ năng cho
học sinh theo một dạng toán từ mức độ học sinh đại trà đến dành cho học sinh khá giỏi, mà
trong đó việc giải phương trình vô tỷ là một trong các mãng kiến thức khá quan trọng của
chương trình Đại so lớp 9

-6-
2. Sự cần thiết của giải pháp :
- Trong môn toán ớ trường trung học cơ sở, các bài toán về giải phương trình ngày càng
được quan tâm hơn. Phương trình vô tỷ là một trong những mãng kiến thức cơ bản trong toán
– Đại số 9, và thông qua việc giải các bài toán về phương trình vô tỷ học sinh có thể hiểu sâu
sắc hơn các kiến thức về : Các phép biến đổi toán học, một số tính chất về dấu giá trị tuyệt đối,
căn thức bậc hai, tính chất của luỹ thừa, tính chất bất đẳng thức,…
-Trong quá trình vận dụng kiến thức để giải phương trình năng lực suy nghĩ độc lập, sáng
tạo của học sinh được phát triển đa dạng, mạnh mẽ. Đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ
logic, liền mạch kết hợp giữa kiến thức cũ và mới một cách phù hợp, linh hoạt và sáng tạo. Do
đó phương pháp rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho các em là việc cần thiết đối với mỗi
giáo viên giảng dạy bộ môn toán 9.
-Từ đó chúng tôi, với sự nghiên cứu chọn lọc đã phân loại phương trình vô tỷ và hướng dẫn
một số phương pháp giải phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng tư duy ở các đối tượng học
sinh : Đối với học sinh trung bình yếu các em chưa có kỹ năng nắm vững kiến thức và vận
dụng giải phương trình, các em cần nắm vững dạng cơ bản và được định hướng tốt trong cách
giải. Đối với học sinh khá giỏi, các em sẽ được tiếp cận với các phương pháp giải phương trình
vô tỷ nhờ đặc tính đoc đáo và đa dạng đầy hấp dẫn, qua đó các em được phát triển tư duy sáng
tạo, đa dạng phong phú hơn, có nhiều cơ hội vận dụng kiến thức vào bài toán cụ thể
- Việc rèn luyện tốt kỹ năng giải phương trình vô tỷ, các em sẽ linh hoạt hơn trong biến đổi,
trong tính toán, …. trong vận dung kiến thức đã học, giúp các em hoc tốt chương trình Đại số
9, thấy được sự cần thiết phải đào sâu và mở rộng kiến thức. Hình thành những cảm xúc ham
học hỏi, khám phá những mới lạ, giải quyết vấn đề trên cơ sở khoa học
- Hơn nữa, việc học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những
bài tập do Thầy, Cô ra mà phải được bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu đào sâu kiến
thức, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Biết giải quyết
vấn đề theo trình tự khoa học hợp lý.
- Cùng với sự đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và
học Toán nói riêng trong trường trung học cơ sở hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập,
hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh; khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm

nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Đặc biệt rèn luyện và hình thành kỹ năng
vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
III Nội dung vấn đề :
1. Vấn đề đặt ra đối với việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9 :
Rút kinh nghiệm từ các bài làm kiểm tra, các bài thi của học sinh trong các kỳ thi, thực
tế giảng dạy nhiều năm, qua các tiết dự giờ rút kinh nghiệm, trong trao đổi kinh nghiệm với
các đồng nghiệp, vấn đề đặt ra đối với việc rèn luyện kỷ năng giải phương trình vô tỷ cần được
tiến hành từ cơ bản đến nâng cao:
a) Đối với học sinh :
Phải được củng cố chắc một số kiến thức cơ bản sau:
+ Các khái niệm, các phép biến đổi phương trình tương đương, cách giải mốt số phương
trình cơ bản : phương trình bậc nhất, phương trình tích, ….bất phương trình.
+ Một số tính chất của đẳng thức và bất đẳng thức thường gặp, tính chất của luỹ thừa…
+Định nghĩa phương trình vô tỷ. Các kiến thức cơ bản về biến đổi căn thức . Một số dạng
phương trình vô tỷ và phương pháp giải từng dạng.


-7-
b) Đối với giáo viên:
+ Xây dựng và hình thành các kỹ năng nhận biết và biêt cách giải một số dạng phương
trình vô tỷ cơ bản nhất trong chuẩn kiến thức và kỹ năng đối với học sinh đại trà .
Mỗi loại, học sinh tự nhận biết đặc điểm, biết vận dụng kiến thức đã học để giải, nắm chắc
cơ sở của việc giải phương trình đó.
Có thói quen biết xây dựng một angorit trong giải phương trình vô tỷ, vì một số loại
phương trình vô tỷ có chứa angôrit . Qua đó góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung: phân
tích, tổng hợp, khái quát … cho học sinh.
+ Ap dụng vào một số phương trình vô tỷ cùng loại, nhưng quá trình giải được rèn kỹ
năng biến đổi, định hướng được nhanh chống cách giải, không phân tán mò mẫm lung tung.
+ Một số phương trình vô tỷ dạng trên chuẩn kiến thức trong chương trình Đại số 9 dành
cho học sinh khá giỏi: học sinh tự phân loại và biết tìm cách vận dụng kiến thức đã học đưa về

phương trình quen thuộc đã biết cách giải
2. Giải quyết vấn đề đặt ra :
2.1 . Hình thành kỹ năng cơ bản qua phương pháp giải một số dạng thường gặp của
phương trình vô tỷ trong chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Đại số 9




- Học sinh phải nhận thức được giải được loại phương trình này ta bắt buột phải khữ bỏ
được dấu căn, tức là đưa về dạng phương trình đã học ở lớp 8 để giải
- Lựa chọn hệ thống câu hỏi giúp học sinh dể định hướng tìm cách vận dụng kiến thức để
giải : chẳng hạn “ Cần vận dụng những kiến thức nào để giải loại phương trình này ? “
- Học sinh phải được tư duy : vì sao g(x)
0
≥
và do đâu ta có phương trình
( ) ( )
2n
f x g x=

Việc giải thích phải dựa trên cơ sở toán học chính xác (với a>0, b>0 nếu a =b
⇔

2 2n n
a b=
)
nhằm cũng cố và khắc sâu kiến thức , để học sinh thấy được kiến thức đã được vận dụng cụ thể
hoá ở bài tập. Đó cũng là vấn đề mà học sinh dể mắc sai lầm và chủ quan trong khi giải phương
trình vô tỷ.
- Hình thành các bước giải phương trình loại này (angorit bài toán). Học sinh có thể trình

bày nhiều cách, nhưng đảm bảo tính chính xác của bài toán.
- Suy nghĩ xem bài toán có thể giải bằng cách khác được hay không ?

Ví dụ 1:

* Phân tích :
- Phương trình có được xác định với mọi giá trị của x không, hay có giá trị nào của x
làm cho vế trái hoặc vế phải của phương trình vô nghĩa?
- Lựa chọn hệ thống câu hỏi, hoặc tuỳ theo tình huống trên lớp hướng dẫn học sinh tư
duy được: giải được phương trình này phải tìm cách khữ dấu căn (cũng là cơ sở then chốt trong
giải phương trình vô tỷ)
⇒
cần vận dụng kiến thức nào để giải ?


-8-
2.1.1 Dạng phổ biến nhất :
( ) ( )
2n
f x g x=

⇔

( )
( ) ( )
2
0
n
g x
f x g x

≥



=


Giải phương trình:
11 =−x

* Trình bày :
Giải : + Cách 1 : ĐKXĐ : x - 1
≥
0
⇔
x
≥
1
Bình phương hai vế phương trình, ta được phương trình:
x - 1 = 1
⇔
x = 2 (TMĐK) .
Vậy : tập nghiệm của phương trình l S =
{ }
2
Phương pháp còn được gọi phương pháp nâng lên luỹ thừa
+ Cách 2 : ĐKXĐ : x - 1
≥
0
⇔

x
≥
1
Theo định nghĩa căn bậc hai số học, ta có :
x-1 = 1
2

⇔
x = 2 (TMĐK) .
Vậy : tập nghiệm của phương trình l S =
{ }
2

* Nhận xét hay hình thành các bước giải :
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bình phương hai vế phương trình ( khữ dấu căn)
- Giải phương trình vừa tìm được.
- Kiểm tra giá trị tìm được của ẩn có thoả điều kiện hay không, rồi kết luận.
* Bài tập áp dụng ( hay hướng khai thác bài toán nếu có)
( Ở phần bài tập áp dụng chung)

Vài ví dụ khác :

Ví dụ 2:
Giải : ĐKXĐ: x - 1
≥
0
⇔
x
≥

1
Bình phương hai vế phương trình (2), ta được phương trình :
x + 1 = (x - 1)
2

⇔
x
2
- 3x = 0
⇔
x(x - 3) = 0

⇔
0
3
x
x
=


=

Chỉ có giá trị x = 3 thoả mãn điều kiện x
≥
1
Vậy : phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3
Ví dụ 3:
Giải :
Phương trình (3)
⇔

5 7 2x x+ = +

⇔
( )
2
2 7 0
5 2 7
x
x x
+ ≥



+ = +



⇔
2
7
2
4 27 44 0
x
x x

≥ −



+ + =


⇔
7
2
4
11
4
x
x
x

≥ −


= −






= −



⇔
x = -
11
4
( thoả ĐK) . Vậy :Tập nghiệm của phương trình là

11
4
S
 
= −
 
 

-9-
Giải phương trình
11 −=+ xx
(2)
Giải phương trình
5 2 7x x+ − =
(3).

Ví dụ 4:
Giải :
ĐKXĐ:
1 0 1
2 1
2 0 2
x x
x
x x
− ≥ ≤
 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
+ ≥ ≥ −

 
Bình phương 2 vế của phương trình (4) ta được

xxx ++++=− 22211

⇔
2 1x x+ = − −
Trở về dạng cơ bản nên ta giải như sau:

2 1x x+ = − −

⇔

2
1 0
2 2 1
x
x x x
− − ≥


+ = + +


⇔

2
1
1 5
1 0

2
x
x
x x
≤ −

− −
⇔ =

+ − =

.
Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
1 5
2
S
 
− −
 
=
 
 
 
Phương trình này dành cho học sinh khá giỏi



* Học sinh có thể so sánh và buột các em phải suy nghĩ : vì sao g(x) không cần điều kiện như
trên . Trong cách giải vẫn dùng kiến thức nào để khữ dấu căn ?

Ví dụ 5:

Giải : Ap dụng hằng đẳng thức (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b), lập phương 2 vế của phương
trình ta được phương trình :
( )
3 3 3 3
1 2 3 1. 2 1 2 2 3x x x x x x x− + − + − − − + − = −

⇔
( )
3 3 3 3
3 1. 2 1 2 0x x x x− − − + − =

⇔
1
2
x
x
=


=

Vậy : Tập nghiệm của phương trình là

{ }
1;2S =


Một số bài tập áp dụng chung :
1.
7 14 5x − =
6.
x−1
=
x−6
-
)52( +− x
2.
4
2
−x
= x- 2 7.
2
1 2x + =


-10-
Giải phương trình
121 =+−− xx
(4)
2.1.2 Dạng bậc lẽ :
( ) ( )
2 1n
f x g x

+
=

⇔

( ) ( )
2 1n
f x g x
+
=
Giải phương trình
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
(5)
3.
41
2
++ xx
= x+ 1 8.
2
3 1x + = −
4.
x−1
+
x+4
=3 9.
2 3 1x x+ = −
5.
3
45+x

-
3
16−x
=1 10.
2
2 2 0x x x− − − =


- Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nên quan sát, nhận xét biểu thức chứa ẩn trong dấu
căn có gì đặc biệt ? ( Có thể viết được dưới dạng bình phương của 1 biểu thức)

⇒
vận dụng kiến thức nào để được về phương trình không còn dấu căn nữa. Khi đó phương
trình được quy về phương trinh nào đã học ở lớp 8 . Qua đó học sinh cần được lưu ý áp dụng
hằng đẳng thức
2
A A=
-Việc giải phương trình lúc này dựa trên kiến thức nào ? . Đối với phương trình này học
sinh cũng dể mắc sai lầm và lúng túng trong việc xét các khoảng giá trị của ẩn để loại bỏ dấu giá
trị tuyệt đối

⇒
Hình thành các bước giải ( angorit bài toán )

Ví dụ 6:

* Nhận xét hay phân tích :
-Ta thấy biểu thức trong căn có gì đặc biệt (dạng hằng đẳng thức) và biểu thức vế phải ?
(vế phải là số dương)
- Phương trình luôn được xác định với mọi giá trị của x ? Vì sao ?

- Có thể khai phương biểu thức lấy căn ? ( khữ dấu căn )

⇒
vận dụng các kiến thức nào ?
* Trình bày :
Giải : Ta có : 9x
2
-6x +1 = (3x- 1)
2

0
≥
với mọi x
Nên phương trình được xác định với mọi giá trị của x
Phương trình (6)
⇔

( )
2
3 1 2x − =

⇔

3 1 2x − =

⇔

1
3 1 2
1

3 1 2
3
x
x
x
x
=

− =


⇔


− = −
= −


Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
1
;1
3
S
 
= −
 
 
* Hình thành các bước giải chung đối với phương trình dạng này:
- Lập luận về điều kiện xác định của phương trình.

-11-
2.1.3 Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
2
A B A B= ⇔ =
Giải phương trình
2
9 6 1 2x x− + =
(6)
- Biến đổi, vận dụng
2
A A=
để khai phương biểu thức lấy căn.
- Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm được.
- Kết luận

Vài ví dụ khác và cách trình bày :

Ví dụ 7:
Giải : Ta thấy
( )
2
2
9 24 16 3 4x x x− + = −
không âm với mọi x
Để phương trình (7) có nghiệm thì -x + 4
≥
0
⇔
x
≤

4
Khi đó: (7)
⇔

43 −x
= -x + 4

⇔

3 4 4
3 4 4
x x
x x
− = − +


− = −


⇔
2
0
x
x
=


=

Cả hai giá trị này đều thoả mãn ĐK x

≤
4
Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
{ }
0;2S =
Ví dụ 8 :
Giải : ĐKXĐ :
x
∀ ∈
R (vì các biểu thức dưới căn đều không âm)
(8)
⇔

2−x
+
4−x
= 5
Lặp bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)
⇔
6-2x =5
⇔
x = 0,5(thoả mãn x
≤
2)
+ Khi 2

≤
x
≤
4 ta có (2)
⇔
0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)
⇔
2x – 6 =5
⇔
x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0,5 , x = 5,5

Một số bài tập áp dụng :
1.
2
4 4 1 2x x− + =
6.
4 4 4 4 4x x x x+ − − − − =
2.
2
4 12 9 1x x x− + = −
7.
2 2
2 1 6 9 1x x x x− + + − + =
3.
2
5 2 5 1 5 1x x− + = −
8.
12 4 3 1 1 4 3 12 2x x x x− + − + + = −

4.
2
14 49 3 1x x x− + − =
5.
2 1 2 1 2x x x x+ + − − + =

-12-
Giải phương trình
416249
2
+−=+− xxx
(7)
Giải phương trình :
2
4 4x x− +
+
168
2
+− xx
= 5 (8)
2.2 .Ap dụng vào một số phương trình cùng loại, nhưng trong quá trình giải, học
sinh cần được rèn kỹ năng biển đổi đưa về dạng quen thuộc cơ bản trên
Có thể tiến hành cho học sinh hoạt động nhóm trong bước đầu tìm tòi và phát hiện lời
giải, trong quá trình giải học sinh cần có nhận xét vè dạng của phương trình, có thể biến đổi như
thế nào để đưa được về dạng trên.
Ví dụ 9:
* Phân tích :
- Đối với phương trình này có thể rút gọn vế trái ? Làm cách nào để rút gọn ?
- Điều kiện xác định của phương trình này như thế nào ?
- Thực hiện các bước giải ra sao ?

* Trình bày :
Giải : Phương trình (10)
⇔

4 1 3 1 2 1 1 16x x x x+ − + + + + + =

⇔
4 1 16x + =
. ĐKXĐ: x
≥
-1

⇔

1 4x + =

⇔
x+1 = 16

⇔
x = 15 (thoả mãn)
Vậy : tập nghiệm của phương trình là
{ }
15S =
* Hình thành các bước giải chung :
- Vận dụng các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
- Rút gọn đưa phương trình về dạng cơ bản trên và tìm điều kiện xác định
- Giải phương trình vừa tìm được
- Kết luận.


Vài ví dụ khác :
Ví dụ 9’ :
Cần nhận ra mỗi biểu thức dưới dấu căn là một bình phương
Giải : (10)
⇔
( ) ( )
2 2
2 1 2 1 1x x− + − − − =
. Do đó : ĐKXĐ: x
≥
2

⇔

2 1 2 1 1x x− + − − − =
Ta xét hai trường hợp (giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối)
+ Nếu
2 1 0 3x x− − ≥ ⇔ ≥
. Ta có phương trình

2 1 2 1 1x x− + − − + =
(Phương trình vô nghiệm)
+ Nếu
2 1 0 2 3x x− − < ⇔ ≤ <
. Ta có phương trình

2 1 2 1 1x x− + + − − =

⇔
x =

9
4
(thoả mãn)
Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
9
4
S
 
=
 
 

-13-
Giải phương trình
16 16 9 9 4 4 1 16x x x x+ − + + + + + =
(10)
Giải phương trình
1 2 2 1 2 2 1x x x x− + − − − − − =
(10)

Một số bài tập áp dụng :
1.
9 16 81 2x x x− + =
5.
2
4 9 2 2 3x x− = +
2.
5 1
4 20 3 9 45 4
9 3

x
x x
−
− + − − =
6.
2
5 6 2 0x x x− + + − =
3.
1 2
3 1
x x
x x
+ −
=
+ +
7.
1 2
7
3 1x
=
+
4.
2 3
2
1
x
x
−
=
−

8.
15 7 2 9 63 9 25 175 4 24x x x x− − − − − = −

2.3 . Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ dạng trên chuẩn kiến thức và kỹ năng
trong chương trình Đại số 9 dành cho học sinh khá giỏi :
Đối với việc rèn kỷ năng cho đối tượng học sinh khá giỏi, nhằm phát triển những
phẩm chất tư duy sáng tạo vá biết vận dụng tốt kiến thức giải quyết vấn đề tên cơ sở khoa học là
hết sức quan trong và cần thiết để các em được phát triển toàn diện
2.3.1 Phương pháp đưa về phương trình tích :
Xem xét những đặc điểm của biểu thức chứa ẩn trên phương trình, nếu có thể phân tích
chúng thành nhân tử, ta có thể tiến hành việc đưa về phương trình tích

Ví dụ 10 :

* Phân tích gợi ý :
- Có nhận xét gì về các biểu thức dưới căn. Tìm điều kiên xác định của phương trình ?
- Qua đó ta cần biến đổi như thế nào sẽ hợp lý nhất để có thể giải được phương trình (hoặc
đưa phương trình về dạng phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải).
- Có những kiến thức nào có thể áp dụng trong quá trình biến đổi ?
(Cần ôn lại về giải bất phương trình dạng tích, hoặc cung cấp thêm về dấu của tam thức
bậc hai trong tìm điều kiện xác định. Kiến thức này ở phần nâng cao trong chương trình Toán
lớp 8)
* Trình bày lời giải :
Nhận xét:
2
3 2 ( 1)( 2) (1 )(2 )x x x x x x− + = − − = − −

2
4 3 ( 1)( 3) (1 )(3 )x x x x x x− + = − − = − −

2
5 4 ( 1)( 4) (1 )(4 )x x x x x x− + = − − = − −

⇒
ĐKXĐ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2 0
3 2 0
4
4 3 0 1 3 0
1
5 4 0
1 4 0
x x
x x
x
x x x x
x
x x
x x
− − ≥

− + ≥
≥




− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔
 

≤

 
− + ≥
− − ≥


Ta xét hai trường hợp
- Trường hợp x
≤
1
(12)
⇔

( )
1 2 3 2 4 0x x x x− − + − − − =

-14-
Giải phương trình
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + = − +
(12)

⇔

1 0 1x x− = ⇔ =
(thoả mãn) hoặc
2 3 2 4x x x− + − = −
(12’)
Ta thấy khi x
≤
1 thì
2 4
2 3 2 4
3 4
x x
x x x
x x

− < −

⇒ − + − < −

− < −


Do đó phương trình (12’) vô nghiệm
-Trường hợp x
≥
4
(12)
⇔

( )
1 2 3 2 4 0x x x x− − + − − − =

Lập luận tương tự thì phương trình vô nghiệm
Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là
{ }
1S =
* Nhận xét hay hình thành các bước giải :
- Tìm điều kiện xác định của phương trình
- Dùng các phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng : f(x).g(x) = 0
⇔
f(X) = 0 hoặc
g(x) = 0 là những phương trình quen thuộc giải được.
- Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của f(x) = 0, g(x) = 0 thoã mãn điều
kiện xác định của phương trình.
+ Lưu ý : Học sinh tư duy nhận xét về điểm đặc biết của phương trình, biết vận dụng phối
hợp một cách linh hoạt các phương pháp phân tích thành nhân tử, hoặc kết hợp với việc đặt ẩn
phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai, rồi
đưa về phương tích quen thuộc đã biết cách giải.


Vài ví dụ khác :
Ví dụ 11 :
Giải :
ĐKXĐ : -1
≤
x
≤
1 (1)
Đặt :
x+1
= u (0
≤

u
≤

2
)
Suy ra : x = u
2
-1 . Phương trình (1) có dạng :
(u -1 ) (
)12
2
+− u
= 2 ( u
2
-1)
⇔
(u -1 ){ (
)12
2
+− u
- 2 (u+1)} = 0

⇔
(u-1) (
)122
2
−−− uu
= 0
⇔





=−−−
=−
0122
01
2
uu
u
* u-1 = 0
⇒
u =1 ( Thoã mãn u
≥
0 ) suy ra x = 0 thão mãn (1)

-15-
Giải phương trình : (
11 −+ x
)(
11 +− x
) = 2x
*
122
2
−−− uu
= 0
⇔

2

2 u−
= 2u + 1
⇔




+=−
≥+
)12(2
012
2
uu
u
⇔ 5u
2
+ 4u - 1 = 0
⇒
1
1u = −
( loại ) ,
2
1
5
u =
( nhận )
Do đó : x = u
2
2
-1 = (

5
1
)
2
– 1 =
25
24−
thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm : x = 0 và x =
25
24−
.

Một số bài tập áp dụng :
1. x
2
+
1
+
x
= 1 4. x(x+5) = 2
225
3
2
−−+ xx
2.
67
3
−− xx
= 0 5.

2
10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −
3.
2
2
−− xx
- 2
2
2
+− xx
=
1−x
2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ :
-Có một số loại phương trình phải giải bằng cách đặt ẩn phụ. Giáo viên tiến hành tương
tự như trên, nhưng then chốt ở đây học sinh phát hiện cách đặt ẩn phụ.
- Cần lưu ý : phương pháp đặt ẩn phụ nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng
hữu tỷ. Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét, tìm tòi hướng giải quyết
cách đặt ẩn phụ như thế nào cho phù hợp. Phương pháp này thường hay kết hợ với phương pháp
đưa về phương trình tích hay đưa về giải hệ phương trình. Nên chỉ xét qua một số ví dụ trình
bày cách giải
Ví dụ 12:
Giải :
Nhận xét: 5x
2
+10x = 5(x
2
+2x) và -x
2
-2x = -(x
2

+2x)
ĐKXĐ :
2
7 2 0x x− − ≥
Ta đặt t = x
2
+2x ta có phương trình

5 1 7t t+ = −

⇔

2 2
7 0 7
5 1 (7 ) 19 48 0
t t
t t t t
− ≥ ≤
 
⇔
 
+ = − − + =
 

⇔

7
3
16
t

t
t
≤


=




=


Chỉ có giá trị t=3 thoả mãn điều kiện
Với t = 3 ta được phương trình : x
2
+2x -3 = 0
⇔

1
3
x
x
=


= −

Thoả mãn điều kiện
Vậy : Tập nghiệm của phương trình đã cho là

{ }
3;1S = −


-16-
Giải phương trình:
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + = − −
Giải phương trình:
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = +
Ví dụ 13:

Ở bài này học sinh cần phải biết (x+5)(2-x)=-x
2
-3x+10
Giải : ĐKXĐ :
5 2x
− ≤ ≤
Đặt t =
2
3x x+
với điều kiện t
≥
0, ta có phương trình:
-t
2
+10 = 3t
⇔
t

2
+3t-10=0
⇔
5
2
t
t
= −


=

Chỉ có giá trị t=2 thoả mãn
Với t = 2, ta được :
2
3x x+
= 2
⇔
x
2
+3x-4 = 0
⇔
1
4
x
x
=


= −


Thoả mãn điều kiện
Vậy
{ }
4;1S = −

Một số bài tập áp dụng :
1.
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
4.
3 1
2 1
3 1
x x
x x
−
= +
−

2.
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −
5.
2 2
3 21 18 2 7 7 2x x x x+ + + + + =
3.
1 1
4 6 0x x
x
x

 
+ − + + =
 ÷
 
2.3.3 Phương pháp dùng bất đẳng thức:
-Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỷ được thể hiện dưới nhiều dạng,
cũng là dạng thường gặp nhất ở các đề thi tuyển. Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải nắm
vững một số bất đẳng và biết vận dụng hợp lý.
-Hướng dẫn học sinh có nhận xét về đặc điểm của biểu thức lấy căn, rồi chọn lựa bất
đẳng thức thích hợp, thông thường sử dụng nhiều nhất lá bất đẳng thức Cô-si, Bunnhiacopski,
dùng hằng đẳng thức, bất đẳng thức về dấu gái trị tuyệt đối,…
Ví dụ 14 :
* Phân tích hướng dẫn :
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Có thể vận dụng cách nào để giải phương trình ? . Với điều kiện xác định của phương trình
thì các số x , y , y-1, và x-1 là những số luôn có giá trị như thế nào ? ( so sánh với 0)
- Cung cấp hay nhắc lại một số bất đẳng thức thường sử dụng : Cô-si, Bunnhiacopski, …
(Cần rèn học sinh thành thạo khi vận dụng các bất đẳng thức)
- Hãy vận dụng bất đẳng thức thích hợp đối với vế trái của phương trình . Từ đó tìm x, y
* Trình bày cách giải :
Giải :
ĐKXĐ: x
≥
1; y
≥
1
Ap dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm x-1 và 1, y-1 và 1,ta có :

-17-
Giải phương trình

1 1x y y x xy− + − =

1 ( 1)
1 1.( 1) 1 (1)
2 2 2
1 ( 1)
1 1.( 1) 1 (2)
2 2 2
x x xy
x x y x
y y xy
y y x y
+ −
− = − ≤ = ⇒ − ≤
+ −
− = − ≤ = ⇒ − ≤
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

1 1x y y x xy− + − ≤
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1
2
1 1
x
x y
y
− =

⇔ = =


− =

(thoả mãn)
Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
{ }
(2;2)S =
* Nhận xét hay hình thành các bước giải :
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Vận dụng bất đẳng thức thích hợp, cần chú ý khi thực hiện :
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)
≥
a, g(x)
≤
a với a :hằng số
Nhgiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = g(x) = a.
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m ( hằng số ) mà trong đó h(x)
≥
m hay h(x)
≤
m.
Nghiệm của phương trình là giá trị của x làm cho dấu bằng xãy ra
+ Các bất đẳng thức thường vận dụng : Cô –si, Bunnhiacopski
- Kết luận: so giá trị tìm được với điều kiện xác định

Vài ví dụ khác :
Ví dụ 15 :
Giải :ĐKXĐ : 4 – 2x – x
2

0≥

Ta thấy vế trái:
2 2
3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + +
=
2 2
3( 1) 4 5( 1) 9 4 9 5x x+ + + + + ≥ + =
Vế phải: 4 - 2x - x
2
= 5 - (x + 1)
2

≤
5
Dấu “ = “ xãy ra khi x = -1. ( Thoả điều kiện )
Vậy : Tập nghiệm của phương trình là
{ }
1S = −
Ở bài này, phương pháp bất đẳng thức còn được gọi là phương pháp dùng tính đối lập.

Ví dụ 16 :
Giải : ĐKXĐ :
2 4x
≤ ≤
Ta có : x
2
-6x +11 = (x-3)
2
+ 2
≥

2
Ap dụng bất đẳng thức Bunnhiacốpski :

( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 4 2 4 1 1x x x x
 
− + − ≤ − + − +
 
 

2 4 2x x⇒ − + − ≤

Dấu “ =” xảy ra khi chỉ khi x = 3 ( thoả mãn điều kiện)
Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho

-18-
Giải phương trình
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
Giải phương trình :
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3

Một số bài tập áp dụng :
1.
2 2

2 1 4 4 3x x x x− + + − + =
3.
2
4 6 10 27x x x x− + − = − +
2.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
4.
2 2
2 4 4 3x x y y+ − = + +
5.
2 2
4
2 8 12 3 3 12 13x x x x− + = − − +
6.
2
2 10 12 40x x x x− + − = − +

2.3.4. Phương pháp dùng tổng các biểu thức không âm ( tổng các bình phương) :
Ví dụ 17 :
* Phân tích gợi ý :
- Tìm điều kiện xác định của phương trình ?
- Nhận xét đặc điểm của các ẩn (ở bên trong và bên ngoài dấu căn)
- Hãy biến đổi : chuyển các hạng tử về vế trái, để vế phải bằng 0, thêm bớt hạng tử thích hợp
để biểu diễn từng nhóm của mỗi ẩn dưới dạng bình phương của một biểu thức.
- Vận dụng tính chất nào của bình phương một số để đưa phương trình về dạng đơn giản, rồi
tìm giá trị của ẩn
* Trình bày lời giải :
ĐKXĐ : x
≥

2; y
≥
3; z
≥
5
(16)
⇔

( ) ( ) ( )
2 2 2 1 3 4 3 4 5 6 5 9 0x x y y z z
     
− − − + + − − − + + − − − + =
     
⇔

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 2 5 3 0x y z− − + − − + − − =
⇔

2 1 0
3
3 2 0 7
14
5 3 0
x
x
y y
z
z


− − =
=


 
− − = ⇔ =
 
 
=
− − =



(thoả mãn điều kiện)
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là
( )
{ }
3;7;14S =
* Hình thành các bước giải:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình
- Kết hợp việc thêm bớt hạng tử thích hợp, biến đổi vế trái thành tổng các bình phương của các
biểu thức, vế phải bằng 0
- Vận dụng tính chất không âm của bình phương một số, đưa phương trình về dạng đơn giản
nhất, rồi tìm nghiệm
- Nhgiệm của phương trình là các giá trị tìm được thoả điều kiện xác định.

Một số bài tập áp dụng:
1.
1

1 2 ( )
2
x y z x y z+ − + − = + +
2.
8 2 1 4 2 6 3x y z x y z+ + + = − + − + −

3.
9 16 25
24 19 5 91
19 5 91
x y z
x y z
+ + = − − − − − −
− − −

-19-
Giải phương trình
4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
(16)
2.3.5. Vài phương pháp khác trong giải phương trình vô tỷ :
*Phương pháp chứng minh phương trình vô nghiệm; (hoặc chứng minh phương trình
có nghiệm duy nhất):

Ví dụ 18 :

Giải :
ĐKXĐ :






≥−
≥−
≥−
023
015
01
x
x
x
⇔









≥
≥
≥
3
2
5
1
1
x

x
x

⇔
x
≥
1
Với x
≥
1 thì x < 5x do đó
1
−
x
<
15
−
x
Suy ra vế trái của phương trình là số âm, còn vế phải là số không âm .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
* Phương pháp đưa về hệ phương trình :
Phương pháp thường được kết hợp với phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 19 :
Giải : ĐKXĐ : 0
≤
x
2

≤
15

Đặt :
2
25 x−
= a (a
≥
0) (* ).
2
15 x−
= b ( b
≥
0) ( ** )
Từ phương trình đã cho, ta có hệ phương trình sau :






≠+
+=+−
=−
0
)(2))((
2
ba
bababa
ba
⇔




=+
=−
5
2
ba
ba
⇔







=
=
2
3
2
7
b
a
Thay giá trị của a, b vào (*), ta được : 25 –x
2
=
4
49

⇔

x
2
=
4
51

⇒
x =
2
51
±
(Thoả ĐK ) .
Vậy : Phương trình đã cho có nghiệm x =
2
51
±
.
* Phương pháp nhân biểu thức liên hợp :

Ví dụ 20 :

Giải : ĐKXĐ :
2
3
x ≥

-20-
Giải phương trình :
2
25 x−

-
2
15 x−
=2
Giải phương trình :
1 5 1 3 2x x x− − − = −
Giải phương trình :
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
(*)
(*)
⇔

( )
4 1 3 2
3
5
4 1 3 2
x x
x
x x
+ − −
+
=
+ + −

⇔

3 3
5
4 1 3 2
x x
x x
+ +
=
+ + −

⇔

4 1 3 2 5x x+ + − =
( vì x+3 > 0)

⇔
7x-1 +
( ) ( )
2 4 1 3 2x x+ −
= 25
⇔

2
2 2 5 2 26 7x x x− − = −

⇔

( )

( )
2
2
2
26
26 7 0
7
4 2 5 2 26 7
344 684 0
x
x
x x x
x x

− ≥

≤
 
⇔
 
− − = −



− + =


⇔
x = 2
Vậy : tập nghiệm của phương trình là

{ }
2S =
* Trong rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cần thiết :
Vận dụng hiệu quả hệ thống kiến thức sách giáo khoa - sách bài tập :
- Thông qua các tiết dạy, giúp học sinh vừa khai thác các thông tin kiến thức cơ bản cần
thiết nhất về các loại phương trình vô tỷ trong sách giáo khoa, sách bài tập môn Đại số lớp 9
một cách vững chắn, vừa củng cố kiến thức liên quan vận dụng trong việc giải phương trình
này
- Phân loại và hệ thống kiến thức theo từng mức độ phù hợp với năng lực của học sinh trong
từng lớp, từng đối tượng học sinh.
 Kết hợp phương pháp dạy học đặc trưng của bộ môn trong quá trình giảng dạy rèn kỹ
năng giải phương trình vô tỷ
- Chọn lựa, phối kết hợp các câu hỏi khai thác thông tin ở sách giáo khoa, câu hỏi phát triển
tư duy sáng tạo, độc lập suy nghĩ,…
- Hướng dẫn học sinh hoạt động lĩnh hội kiến thức dưới hình thức :
+ Vấn đề được đặt ra: biết quan sát, nhận xét, dự đoán,…
+ Học sinh tư duy giải quyết vấn đề: Vận dụng những kiến thức nào hay có những kiến
thức nào liên quan để giải quyết . Con đường giải quyết then chốt từ đâu (tránh sự mày mò,
suy nghĩ phân tán lung tung không dựa trên cơ sở khoa học của toán học ). Có thể khái
quát……
- Bài tập vận dụng mức độ hợp lý cho từng loại đối tượng học sinh một cách linh hoạt
 Đối với phương trình vô tỷ trên chuẩn kiến thức kỹ năng Toán 9 :
-Một số phương trình cần tổng hợp nhiều kiến thức, trong đó có vận dụng phương trình bậc
hai với nghiệm vô tỷ, chúng ta chỉ hướng dẫn vào cuối năm khi chuẩn bị cho các em dự tuyển
vào cấp trung học cơ sở, hay chỉ dành bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi các cấp.
-Mỗi phương trình tuỳ theo đặc điểm của nó mà có hướng phân tích, vận dụng kiến thức
một cách phù hợp, làm sao có thể đưa về dạng đơn giản quen thuộc đã biết cách giải. Mỗi
phương trình có thể có nhiều cách giải, bởi tính đa dạng của nó, nên học sinh cần tư duy sáng
tạo trong quá trình vận dụng kiến thức để giải.
* Tóm lại :

Để có hiệu quả tốt trong rèn luyện kỷ năng giải phương trình vô tỷ, giáo viên :
- Nên làm :
+ Củng cố và rèn luyện học sinh nắm kiến thức cơ bản thật vững chắc : Tìm điều kiện xác
định của biểu thức (Chủ yếu là điều kiện căn thức có nghĩa), một số phép biến đổi Toán học cần

-21-
thiết, giải một số phương trình đưa được về phương trình bậc nhất, phương trình tích,…, các
phép biến đổi căn thức, tính chất của luỹ thừa, bất đẳng thức, ….
+ Định hướng học sinh tư duy chọn phương pháp giải hợp lý . Có thể khai thác bài toán qua
nhiều cách giải
+Hướng dẫn học sinh luôn suy nghĩ theo chiều hướng tìm cách đưa bài toán phức tạp về dạng
quen thuộc, đơn giản đã biết để giải quyết
+ Hình thành các bước giải ( angôrit bài toán) vì bản thân nhiều phương trình vô tỷ có chứa
angôrit
+ Uốn nắn, sửa sai kịp thờinhững sai sót, hiểu nhằm của học sinh, hay có thể cho học sinh
tìm ra cái sai trong một số bài giải
+Tạo điều kiện để mỗi học sinh đều tự mình giải được và nâng dần lên giải thành thạo. Đặc
biết chú trọng nhiều đến kỷ năng trình bày và tính toán chính xác
- Không nên làm:
+ Học sinh giải theo bài giải mẫu sẵn, tức là học thuộc lòng cach giải một loại bài toán
+ Ap đặt cách giải của thấy cô
+ Chỉ chú ý đến một số đối tượng học sinh
3. Kết quả :
- Đề tài đã được định hướng ngay từ đầu năm học 2009-2010 và qua thời gian nghiên cứu,
hướng dẫn học sinh các lớp khối 9 thực hiện khai thác kiến thức từ sách giáo khoa, sách tham
khoả đã giúp học sinh có được kỹ năng tương đối khá tốt trong việc giải phương trình vô tỷ,
cũng giúp các em lĩnh hội kiến thức tốt hơn trong giờ học, đồng thời giúp các em phát triển tư
duy sáng tạo , linh hoạt trong việc chiếm lĩnh và vận dụng vào giải bài toán, vì vậy chất lượng
học tập của học sinh cũng được tăng lên qua mỗi thời điểm
- Bảng thống kê kết quả kiểm tra khảo sát trước và sau khi thực hiện đề tài:

Thời điểm khảo
sát
Lớp TSHS Giỏi - Khá Trung bình Yếu - Kém
SL TL SL TL SL TL
Trước khi thực
hiện giải pháp
9A2 40 5 12.5% 20 50% 15 37.5%
9A5 37 8 21.6% 15 40.6% 14 37.8%
Sau khi thực hiện
giải pháp
9A2 40 15 37.5% 18 45% 7 17.5%
9A5 37 16 43.2% 15 40.6% 6 16.2%

- Qua bảng thống kê cho thấy rằng :
+ Về chất lượng : Chất lượng bộ môn toán 9 từng bước có tiến bộ nhiều so với khảo sát chất
lượng đầu năm, số học sinh yếu có giảm dần.
+ Về học sinh : Các em có kỹ năng giải phương trình vô tỷ, giúp các em giải quyết tốt một
số dạng bài tập về giải phương trình, nắm vững và khắc sâu kiến thức hơn
Đối với học sinh đại trà các em được cũng cố và nắm vững các kiến thức : các phép biến đổi
toán học, về luỹ thừa, các hằng đẳng thức, về giá trị tuyệt đối, giải các phương trình cơ bản :
phương trình đưa được về phương trình bậc nhất, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,

-22-
phương trình tích,… quy trình bài toán giải phương trình. Qua đó các em có được kỹ năng tư
duy phân tích, và tổng hợp trình bày
Đối với học khá giỏi các em được mở rộng và đào sâu kiến thức giải phương trình vô tỷ, cũng
cố các kiến thức về bất đẳng thức, phân tích thành nhân tử, hằng dẳng thức,….
Giúp học sinh thuận lợi hơn trong đạt mục tiêu môn học.

+ Về giáo viên :
Hướng dẫn học sinh hoạt động chiếm lĩnh kiến thức được thuận lợi, kiến thức được lĩnh hội
không quá khó đối vợi học sinh trung bình yếu, phong phú đa dạng cho học sinh khá giỏi gây sự
hứng thú hơn đối với môn học.
Qua đó cũng phân hoá được các mức độ kiến thức cho các đối tượng học sinh khác nhau, do
đó thu hút được tất cả các đối tượng tham gia xây dựng bài học.
Củng cố được nhiều kiến thức cho học sinh : các phép biến đổi toán học, cách giải phương
trình các loại đã học, một số định nghĩa, khái niệm, …toán học.

-23-
C. KẾT LUẬN:
1. Bài học kinh nghiệm :
Qua quá trình thực hiện rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ, chúng tôi rút ra được những kinh
nghiệm trong giảng dạy bộ môn Toán - Đại số 9:
* Đối với giáo viên:
- Có được phương pháp rèn kỹ năng cho học sinh trong giải phương trình vô tỷ, định hướng
nhanh chóng và thích hợp trong quá trình phân tích và trình bày bài giải. Qua đó hình thành kỹ
năng cho học sinh theo từng bước từ cơ bản đến nâng cao học sinh khắc sâu kiến thức và làm
bài thành thạo hơn.
- Nắm vững cơ sở giải phương trình vô tỷ từ các dạng phổ biến trong chương trình theo
chuẩn kiến thức và kỹ năng đến một số dạng trên chuẩn dành cho học sinh khá giỏi. Đào sâu và
mở rộng kiến thức cũng như phương pháp dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo toàn diện
cho học sinh.
* Đối với học sinh:
- Được củng cố nhiều kiến thức: biến đổi toán học, giải một số phương trình bậc nhất,
phương trình tích, … bất phương trình, các kiến thức về căn thức, …
- Có được phương pháp học toán Đại số nói chung, phương pháp giải phương trình vô tỷ nói
riêng một cách có trình tự khoa học.
- Có kỹ năng tốt trong giải phương trình vô tỷ, có thể dể dàng giải một số phương trình loại
khác trong chương trình toán 9.

* Nhận xét chung:
- Kỹ năng được hình thành và rèn luyện theo từng bước, từ cơ bản đến nâng cao, từ làm
được đến thành thạo giúp học sinh dễ lĩnh hội kiến thức hơn và kiến thức cũng được khắc sâu
hơn. Ngoài ra trong quá trình giải phương trình vô tỷ còn cung cấp cho học sinh phương pháp
vận dụng kiến thức đã học một cách sáng tạo, phong phú đa dạng mà sách giáo khoa chưa đề
cập đến trong chương trình đại số 9.
- Học sinh nắm bài toán giải phương trình vô tỷ theo từng bước vững chắc, biết cách phân
loại dựa trên đặc điểm bài toán và định hướng cách giải rạch rồi từ phân tích đến tổng hợp trình
bày và không ngại khó khi gặp một số dạng phương trình vô tỷ trên chuẩn kiến thức và kỹ năng.
Qua đó giúp các em có thói quen giải quyết vấn đề theo trình tự hợp lý, khoa học.
- Trong việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh thì việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ
là nội dung không thể thiếu và cần phải rèn cho học sinh có kỹ năng tốt. Nên việc hoạch định
phương pháp rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ theo từng bước và từng đối tượng học sinh
một cách linh hoạt giúp học sinh có cơ sở rèn luyện nhiều các dạng phương trình vô tỷ từ thấp
đến cao, từ làm được đến thành thạo khi giải phương trình vô tỷ.

-24-
2. Hướng phổ biến áp dụng của đề tài:
-Thực hiện phương pháp rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ, chúng tôi đã nghiên cứu và áp
dụng ở các lớp 9A
2
và 9A
5
thu được những kết quả rất khả thi. Do đó phương pháp sẽ được áp
dụng cho tất cả các lớp khối 9 của trường và đồng thời có thể phổ biến rộng cho các đơn vị
trường bạn trong việc rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho các đối tượng học sinh.
- Đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, chuẩn bị kiến thức học sinh dự tuyển vào
cấp Trung học phổ thông việc cung cấp phương pháp giải các phương trình vô tỷ trên chuẩn là
việc vô cùng cần thiết, áp dụng của đề tài sẽ mang lại hiệu quả cao hơn.
3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:

- Bằng những lý luận và giải pháp cụ thể của đề tài, chúng tôi đã vận dụng có hiệu quả vào
thực tế rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ ở môn Đại số lớp 9 và vẫn nghiên cứu tiếp về một số
phương pháp rèn kỹ năng giải một loại dạng toán trong chương trình toán cấp Trung học cơ sở
nhằm nâng cao chất lượng bộ môn góp phần đạt mục tiêu giáo dục – đào tạo của ngành Giáo
dục, đặc biệt là học sinh ở cấp trung học cơ sở.
- Việc hình thành và rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ là một việc làm cần thiết giúp học
sinh củng cố, nắm vững và khắc sâu kiến thức từ cơ bản đến nâng cao để học sinh dễ dàng học
tiếp các loại phương trình khác trong chương trình Đại số 9. Từ đó giáo viên có hướng nghiên
cứu rèn kỹ năng giải một số loại phương trình trong chương trình Toán cấp trung học cơ sở từ
cơ bản dành cho học sinh trung bình yếu đến những bài tập trên chuẩn để tạo nguồn học sinh
giỏi một cách có hệ thống từ lớp 6 đến lớp 9.

-25-