SKKN Giải pt (được)

Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
A - đặt vấn đề
1. Lời nói đầu:
Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các
lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo
đạc, tính toán...
Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác.
Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính
trừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế
nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha
mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học.
Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ
cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị
cho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình.
Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giải
phơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các
phơng trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhng khi gặp một số phơng trình bậc
cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán. Ngay
cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phơng trình
này.
Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao trong ch-
ơng trình toán THCS và các bài tập minh họa.
2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.
- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph-
ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc.
- Các ví dụ minh hoạ.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn.
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
3. Đối t ợng nghiên cứu .
- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thích
học toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định.

- Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân -
Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém.
Trang
1
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
4. Ph ơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm.
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ
giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học.
5. Dự kiến các kết quả đạt đ ợc của đề tài .
Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS trong
việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phơng pháp giải
nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việc trình bày
cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các
kỳ thi.
Trang
2
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
B. Nội dung đề tài
I. Một số kiến thức cơ sở về ph ơng trình bậc cao
I.1.Cơ sở lý luận
1> Khái niệm về ph ơng trình một ẩn :
Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một
phơng trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu
thức này bằng nhau.
Biến x gọi là ẩn
Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm
Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình
Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

2> Định nghĩa hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng
nhau.
3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng các ph ơng trình
Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình: Biến đổi một phơng
trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản hơn gọi
là phép biến đổi tơng đơng.
a) Định lý 1:
Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ: 3x= 27 3x + 2x = 27 + 2x
Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình
đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với ph-
ơng trình đã cho
Ví dụ:
5x + 7 = 16x - 3 5x - 16x = -3 -7
Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì
đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho
Trang
3
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Ví dụ:
7x
3
+ 8x - 5=14 + 7x
3
8x -5 = 14
b. Định lý 2:
Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng trình
mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

Ví dụ:
204181029
2
1
=+=+
xxxx
I-2. Các dạng ph ơng trình
1. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn :
1.1. Định nghĩa:
Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, đợc gọi là
phơng trình bậc nhất một ẩn .
1.2. Tập xác định:
Tập xác định của phơng trình là R
1.3.Cách giải
Phơng trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất
a
b
x
=
2.Ph ơng trình bậc hai một ẩn số :
2.1.Định nghĩa:
Phơng trình bậc hai có một ẩn số là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a 0.
Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của
phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0.
2.2. Cách giải
- Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi phơng trình đã cho về các
dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích) để

tìm nghiệm của phơng trình.
- Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phơng trình:
= b
2
- 4ac
gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức = b
2
- 4ac quyết định
nghiệm số của phơng trình bậc hai
Trang
4
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a) < 0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau )
a
b
xx
2
21
==
c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1

+
=
;
a
b
x
2
2

=
2.3. Hệ thức Viet.
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và
tích hai nghiệm đó là :
S = x
1
+x
2
= -
a
b
P = x
1
.x
2

=
a
c
3. Ph ơng trình bậc cao một ẩn .
3.1. Dạng tổng quát của ph ơng trình bậc cao một ẩn
Phơng trình tổng quát bậc n có dạng:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+...+a
1
x+a
0
= 0 (a
n
0)
Trong đó: x là ẩn số,
a
n
,...,a
0
: là các hệ số
Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm
nghiệm của nó. Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có
công thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài

chơng trình THCS, THPT.
Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại số
bậc cao.
3.2. Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn :
Cho phơng trình bậc n: a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+...+a
1
x+a
0
= 0 (a
n
0)
Giả sử phơng trình có n nghiệm x
1
,...,x
n
, trong các nghiệm đợc kê ra một số
lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau:
n
n
n
a
a

xx
1
1
...

=++
Trang
5
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
n
n
nn
a
a
xxxxxx
2
14321
...


=+++
k
n
kn
iii
a
a
xxx
k
)1(...

21
=


với 1i
1
<i
2
<...<i
k
n
n
n
a
a
xxx
0
21
)1(...
=
Đảo lại: Cho trớc n số bất kỳ x
1
x
2
,...x
n
Đặt S
1
= x
1

+...+x
n
S
2
=x
1
x
2
+ x
3
x
4
+...+x
n-1
x
n
S
k
=

k
iii
xxx ...
21
với 1 i
1
< i
2
< ... < i
k

<n
S
n
=x
1
x
2
...x
n
Khi đó x
1
x
2
,...,x
n
là nghiệm của phơng trình sau:
x
n
- S
1
x
n-1
+ S
2
x
n-2
+... +(-1)
k
S
n

= 0
Ví dụ:
Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau:
Cho phơng trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
.
Khi đó:

a
b
xxx
=++
321
a
c
xxxxxx
=++
433221
a
d
xxx
=

321
- Hệ thức Viet cho phơng trình bậc bốn : ax
4
+ bx
3
+cx
2
+dx +e =0
Có dạng nh sau:
a
b
xxxx
=+++
4321
a
c
xxxxxxxxxxxx
=+++++
434232413121
a
d
xxxxxxxxxxxx
=+++
432421431321
a
c
xxxx
=
4321
II. Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn :

Trang
6
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song
trong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại số
bậc cao.
Đó là:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích.
+ Đặt ẩn phụ
II.1. Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
1.Cơ sở lý luận:
Ta biết rằng phơng trình:



=
=
=
0)(
0)(
0)().(
xg
xf
xgxf
Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì sẽ
đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng ph-
ơng trình quen thuộc đã biết cách giải.
2. Nội dung
Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thờng h-
ớng dẫn học sinh sử dụng các phơng pháp sau:

a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
c. Nhóm nhiều hạng tử
d. Tách hạng tử
e. Thêm bớt cùng một hạng tử
đ. Phối hợp nhiều phơng pháp
Ví dụ: Giải phơng trình sau:
a) 7x
3
- 63 x=0

7x(x
2
-9)=0

7x (x-3)(x+3)=0





=+
=
=

03
03
0
x
x

x






=
=
=

3
3
0
x
x
x
Trang
7
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3
b) x
3
-6x
2
+ 12x - 8 =0

(x-2)
3
=0

x-2=0

x=2
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm x=2;
c)x
3
- 3x
2
+ 6x - 18 = 0

(x
3
- 3x
2
) + ( 6x - 18 ) = 0

x
2
(x-3) + 6( x-3) = 0

( x
2
+ 6 )(x-3) = 0 ( 1)
Vì x
2
0
x

nên x

2
+ 6 6
x


x
2
+ 6 > 0
x

( 2)
Từ (1) và (2)

x-3=0

x=3
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3
d) x
4
+ 3x
2
- 28 = 0

x
4
+ 7x
2
- 4x
2
- 28 =0

x
2
(x
2
-4) + 7(x
2
-4) = 0

(x
2
+ 7)(x
2
- 4) =0

(x
2
+7 )(x-2)(x+2)=0 (1)
Vì x
2
0
x

nên x
2
+ 7 7
x


x

2
+ 7 > 0
x

( 2)
Từ (1), (2)

(x-2) (x+2)=0



=+
=

02
02
x
x




=
=

2
2
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2

e) x
3
- 7x-6 =0

x
3
+ 8 -7x - 6- 8=0

(x
3
+ 8) -(7x+14)=0

(x+2)(x
2
-2x+4) - 7(x+2) =0

(x+2)(x
2
-2x-3)=0



=
=+

032
02
2
xx
x

=++
=+

0)1(2)1)(1(
02
xxx
x

Trang
8
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn





=
=+
=+

03
01
02
x
x
x

=
=
=

3
1
2
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3
* Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm
nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử .
Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho
nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a .
- Khai thác cách nhẩm nghiệm :
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1

+...+a
1
x+a
0
= 0 (1) ( a
i
Z )
+) Nếu a
n
+ a
n-1
+...+a
1
+ a
0
= 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1 +)
Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) có
nghiệm x = - 1
+) Nếu số hữu tỉ x =
q
p
( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình
(1) thì p là ớc của a
0
, q là ớc của a
n
.
Ví dụ : Giải phơng trình : x
4
- 2x

3
+ x
2
- 4 = 0 (*)
Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình
(*) nhận x =- 1là nghiệm .
Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1, do
đó phơng trình (*) có thể viết đợc dới dạng :
(x +1 ). ( x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 ) = 0
x + 1 = 0 (1)
x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 = 0 (2)
(1) x+1 = 0 x = - 1
(2) x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 = 0
T a thử các ớc của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích đợc
thành : ( x - 2) . ( x
2
-x + 2 ) = 0
x -2 = 0 x = 2

x
2
- x + 2 = 0 '< 0 : vô nghiệm
Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 .
Bài toán áp dụng:
Trang
9


Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
1. Giải phơng trình:
a) 3x
4
-12x
2
= 0
b) x
3
+ 14x
2
- 4x - 56 =0
c) 2x
3
+ 11x +9 =0
d) x
16
+x
8
-2 =0
e) 2x

4
+ 5x
3
-35x
2
+ 40x-12=0
2. Cho phơng trình : 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x -2m
2
+ 3m -2=0
a. Xác định m để phơng trình đã cho có 3 nghiệm dơng phân biệt
b. Giải phơng trình với m=1
H ớng dẫn
2a) 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x - 2m
2
+3m -2 =0 (*)

2x
3

-x
2
-4mx
2
+ 2x(2m
2
-3m+2+m)-2m
2
+3m-2=0

x
2
(2x - 1) -4mx
2
+ 2mx +2x(2m
2
-3m+2) -(2m
2
-3m +2)=0

x
2
(2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m
2
-3m+2)=0

=++
=
02322
012
22
mmmxx
x

(1)

2x-1=0


2
1
=
x
(2)

x
2
-2mx+2m
2
-3m+2=0
Ta thấy phơng trình (*) luôn có 1 nghiệm
2
1
=
x
Muốn phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình (2) phải

có 2 nghiệm dơng phân biệt khác
2
1
Đặt f(x)=x
2
-2mx +2m
2
-3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau:









>
>
>

0
0
0'
0)
2
1
(
P
S

f








>+
>
>++
+

0232
02
033
09168
2
2
2
mm
m
mm
mm
Trang
10
(1)
(2)
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn

>+







>
>
+

0
4
1
2
3
2
0
0)2)(1(
01)1(8

2
2
m
m
mm
m



>
<<

0
21
m
m

21
<<
m
Vậy với 1<m<2 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng phân biệt khác
2
1

Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2
II.2. Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ
1.Cơ sở lí luận
Khi giải phơng trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu
thức chứa ẩn để đa phơng trình về dạng phơng trình quen thuộc đã biết cách giải
2. Nội dung ph ơng pháp

Trong chơng trình THCS học sinh thờng gặp các dạng phơng trình sau:
2.1. Ph ơng trình trùng ph ơng :
a. Dạng tổng quát:
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:
ax
4
+bx
2
+c =0 (1) (a 0)
Trong đó:
x là ẩn số
a, b, c là các hệ số
b.Cách giải:
Khi giải phơng trình loại này ta thờng dùng phơng pháp đổi biến số
Đặt y=x
2
( y 0) (2)
Khi đó phơng trình trùng phơng sẽ đa về dạng phơng trình bậc hai trung
gian: ay
2
+ by + c=0
Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta
đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0). Giải phơng trình này ta đợc
nghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu.
Trang
11
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
c.Ví dụ:
* Ví dụ 1 : Giải phơng trình x
4

-3x
2
+2 =0 (1)
Giải :
Đặt y=x
2
(y 0).
Phơng trình (1) trở thành : y
2
-3y +2 =0

(y-1)(y-2)=0




=
=
02
01
y
y




=
=
2
1

y
y
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y 0
+ Với y=1 ta có x
2
=1

x
1
=1
x
2
=-1
+ Với y=2 ta có x
2
=2

x
3
=
2
x
4
=
2

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là: x
1
=1;x
2

=-1; x
3
=
2
; x
4
=
2

* Ví dụ 2 : Xác định a để phơng trình: ax
4
- ( a - 3 ) x
2
+ 3a = 0 (a 0 ) (1)
Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1
Giải :
Đặt y= x
2
0
(1) ay
2
- ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2)
Giả sử (2) có nghiệm 0 < y
1
< y
2
thì (1) có 4 nghiệm phân biệt :
-
2
y

< -
1
y
<
1
y
<
2
y
Muốn phơng trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia
lớn hơn -1 thì :
-
2
y
< - 2 y
2
>4

1
y
> - 1 y
1
< 1
Vậy phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y
1
, y
2
thoả mãn :
0 < y
1

< 1 < 4 < y
2
a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a
2
< 0
a . f(1) < 0 a . (a -a +3 +3a ) < 0 3a
2
+ 3a < 0
a. f(4) < 0 a . ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a
2
-12a < 0
Trang
12