hướng dẫn học sinh khai thác nhiều hơn nữa các chức năng của máy tính bỏ túi

I.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong các năm học qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio
vào hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT. Hàng năm đều có các
cuộc thi giải toán trên máy tính bỏ túi từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia, trong đó các
môn tự nhiên nói chung và môn toán nói riêng được sử dụng nhiều hơn cả. Nhìn
chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện các phép tính đơn giản mà
chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học
dựa trên công cụ máy tính.
Bên cạnh đó qua quá trình giảng dạy tôi thấy được việc sử dụng máy tính
giúp cho học sinh thực hiện các phép tính nhanh chóng với độ chính xác cao;
biết cách kiểm tra kết quả, dự đoán kết quả điều này rất có ích khi làm bài thi.
Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm còn giúp cho các đồng nghiệp có một tài
liệu tham khảo thêm về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mang lại.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không đi vào trình bày các vấn đề cơ
bản về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mà đưa ra các ứng dụng thiết
thực, có tính mới phục vụ vào giải các bài tập thường gặp trong sách giáo khoa
cũng như trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học.
1
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Trong chương trình môn toán THPT ở mỗi khối học đều có các bài đọc
thêm hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi vào giải toán mà cụ thể là dòng máy
Casio fx-500MS, điều đó nói lên rằng việc sử dụng máy tính bỏ túi là rất cần
thiết, có nhiều loại máy tính bỏ túi trên thị trường hiện này, trong đó máy tính
Casio fx-570ES là loại máy phổ biến, được đông đảo học sinh sử dụng và tính
năng tương tự như Casio fx-500MS; Do vậy trong đề tài này tôi muốn hướng
dẫn cho học sinh THPT sử dụng máy tính này vào giải toán.
Khi làm bài thi thí sinh sử dụng máy tính trong quá trình tính toán sẽ rút
ngắn được thời gian, độ chính xác cao; Điều quan trọng nữa là định hướng được
cách làm và còn kiểm tra được kết quả đúng hay sai.
Học sinh đã được trang bị các kiến thức toán học cơ bản trong sách giáo

khoa do vậy khi kết hợp với sử dụng máy tính bỏ túi CASIO FX-570ES thì sẽ có
sự bổ trợ lẫn nhau trong quá trình giải toán.
Trong các kỳ thi, từ tốt nghiệp THPT đến kỳ thi Cao đẳng và Đại học trong
quy chế hiện hành thí sinh được mang máy tính Casio fx-570ES vào phòng thi
nên ứng dụng mang tính thực tế cao.
2. Thực trạng của vấn đề:
Đa số các học sinh hiện nay đều sử dụng máy tính bỏ túi phục vụ cho việc
học tập nhưng chủ yếu các em mới biết cách dùng để cộng, trừ, nhân, chia, khai
căn, giải phương trình bậc hai, bậc, một số hệ phương trình đơn giản và tính giá
trị của các hàm số lượng giác mà thôi; Còn việc vận dụng cao hơn đòi hỏi có suy
luận logic và có sự bổ trợ của kiến thức toán học thêm vào thì còn rất ít học sinh
vận dụng được.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy được là rất nhiều học khá, giỏi khi giải
toán mặc dù là đã biết được phương pháp giải nhưng đáp số sai do tính toán sai
thật là tiếc nếu các em biết sử dụng máy tính CASIO FX-570ES để kiểm tra kết
quả; Còn đối với học sinh yếu, kém thì khi giải toán gặp nhiều khó khăn, kể các
2
các bài tập đơn giản mà máy tính có thể tìm ra được kết quả chính xác, do vậy
trong trường hợp này các em biết cách sử dụng máy tính bỏ túi là rất tốt.
Việc sử dụng máy tính giúp đã giúp các em tính toán nhanh hơn, chính xác
hơn mà còn tránh được dài dòng trong quá trình trình bày kết quả; Ví dụ như
một học sinh lớp 11, 12 khi làm bài thi cần đến phải giải phương trình bậc 2 và
hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn thì các em chỉ cần sử dụng máy tính đưa ra kết
quả không cần giải chi tiết như lớp 10 và còn trách sai số đáng tiếc xãy ra.
Từ thực trạng trên Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề đó là
hướng dẫn học sinh khai thác nhiều hơn nữa các chức năng của máy tính bỏ
túi, từ đó chất lượng dạy và học sẽ được nâng lên.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
3.1 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải phương trình lượng giác
Khi giải các phương trình đa thức ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để

biến đổi phương trình ấy về dạng phương trình tích qua đó phương trình bậc cao
hơn được chuyển về giải các phương trình bậc thấp hơn. Trong chủ đề này sẽ lấy
tư tưởng trên vào việc giải một số phương trình lượng giác với sự trợ giúp của
máy tính Casio fx-570ES.
a) Nội dung phương pháp: để giải phương trình lượng giác bằng phương
pháp này, tiến hành theo các bước sau.
Bước 1. Tiến hành thử tìm một nghiệm nào đó, ta thử với các giá trị đặc biệt
sau:
2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ;
6 4 3 2 3 4 6
π π π π π π π
π
Chú ý: để tìm các nghiệm trên dùng máy tính bỏ Casio fx-570ES theo một trong
hai cách sau
Cách 1: Dùng chức năng (CALC), chức năng này có công cụ là tính giá trị của
một hàm số tại một điểm.
- Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0, giả sử cần thử với giá trị x = x
0

3
- Thực hiện như nhập vào máy hàm số f(x), ấn phím (CALC) máy hỏi x?
ta nhập vào x
0
và ấn phím (=); Để thử với các giá trị khác ta tiếp tục
nhấn phím (CALC).
Cách 2: Dùng chức năng (SOLOVE); Chức năng này có công dụng là tìm
nghiệm của phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện như
sau:
- Chuyển máy tính về đơn vị độ; nhập vào phương trình f(x) = 0

- ấn phím (SOLOVE), máy hiển thị x? ta nhập giá trị mà ta dự đoán là
nghiệm, chẳng hạn 30 (30
0
), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận
của 30
0
; Tiếp tục nhấn phím (SOLOVE) để kiểm tra các nghiệm khác…
Bước 2. giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm
6
x
π
=
ta tiếp tục thử với các giá trị
đặc biệt tương ứng liên kết với nghiệm ấy. Cụ thể:
+ Thử với giá trị
6
x
π
= −
nếu thỏa mãn ta dự đoán phương trình có nghiệm
x sao cho
3
osx=
2
c
, hay phương trình đưa về dạng tích có thừa số là
(2cos 3)x −
+ thử với giá trị bù với nó
5
6

x
π
=
nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm
x sao cho
1
sinx=
2
, hay phương trình có một thừa số là
(2sin 1)x −
+ thử lại với giá trị hơn (kém) nó
π
, thử với
6
x
π
π
= +
=
7
6
π
nếu giá trị này
thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho
3
tan
3
x
=
hay có

thừa số
( 3 t anx-1)
b) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. giải phương trình 3cos2x + 5sinx + cosx – sin2x = 4
Giải
4
Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm
6
x
π
=
,
5
6
x
π
=
do đó dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho:
1
sinx=
2
vậy lời giải được trình bày theo 2
cách sau:
Cách 1.
Đặt t = sinx (
1t ≤
) ta viết phương trình đã cho trở thành
3(1-2t
2

) + 5t + cosx – 2tcosx =4 hay 6t
2
+ (2cosx-5)t + (1-cosx) = 0
Áp dụng viet:
1 2
5 2cos
6
x
t t
−
+ =
suy ra: t
2
= (1-cosx)/ 3
Vậy phương trình đã cho tương đương với
1
sinx=
2
3sin osx=1x c



+

Với
2
1
6
sinx= ;
5

2
2
6
x k
k Z
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


Với:
1 1
3sin osx=1 os(x- )= arccos 2 ;
10 10
;tan 3
x c c x m
m Z
α α π
α
+ ⇔ ⇔ = ± +
∈ =

Đến đây ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của phương trình
Cách 2
Do dự đoán được
1
sinx=
2
, do đó phương trình chứa thừa số (2sinx-1). Vậy ta
nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (2sinx-1) từ đó ta phân tích
được
(1-2sinx)(cosx + 3sinx -1) = 0
1
sinx=
2
3sin osx=1x c


⇔

+

.
Từ đó ta giải được phương trình như trên.
Ví dụ 2.
5
Giải phương trình: cos3x + cos2x + sin2x + sinx- 5cosx = 3
Phân tích: thực hiện phép thử ta tìm được 2 nghiệm
2
3
x
π

= ±
vậy ta dự đoán
phương trình có nghiệm x:
1
cos
2
x
−
=
Cách 1.
Đặt t = cosx (
1t ≤
). Phương đã cho trở thành
4t
3
+ 2t
2
+ ( 2sinx-8)t +(sinx – 4) = 0 do thử nghiệm biết phương trình có nghiệm
t = - 1/2 nên sử dụng phép chia đa thức ta được phương trình
( t + 1/2)[4t
2
+ (2sinx-8)] = 0
Hay cosx = -1/2 hoặc cos
2
x + 2sinx – 8 = 0
Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình này.
Cách 2. ( biến đổi phương trình về dạng tích ) do theo dự đoán trên nên phương
trình chứa thừa số ( 2cosx + 1) vậy ta nên kết hợp 2 số hạng nào đó để có nhân
tử chung ( 2cosx – 1) từ đó ta đi đến phương trình:
(2cosx + 1)(sinx + 2cos

2
x – 4) = 0. Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình
này.
Ví dụ 3: giải phương trình sau:
2 2
1 8 1
2cos os ( ) sin 2 3cos( ) sin
3 3 2 3
x c x x x x
π
π
+ + = + + + +
Giải
Đưa phương trình về
6cos os2 3sin 2 9sin 8 0x c x x x
+ − + − =
nhận thấy phương trình này có nghiệm
2
2
x k
π
π
= +
nên chứa thừa số (sinx – 1)
Cách 1. Đặt t = sinx (
1t ≤
). Phương đã cho trở thành
-2t
2
+ (9- 6cosx)t + (6cosx – 7) = 0 phương trình này có A + B + C = 0. Vậy

sinx=1
6cosx-7
sinx=
-2




Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình
6
Cách 2. (biến đổi phương trình về phương trình tích)
nhận thấy phương trình này có nghiệm
2
2
x k
π
π
= +
nên chứa thừa số (sinx – 1) vậy nên gép 2 số hạng nào đó để làm
xuất hiện thừa số chung (sinx – 1) từ đó ta thu được phương trình
(sinx- 1)(6cosx + 2sinx -7) = 0
Từ đó ta dễ ràng tìm được tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: giải phương trình 4sinx + cosx + 3sinxtanx-3tanx = 3
Giải
Điều kiện:
cos 0x ≠
Thực hiện các phép thử được hai nghiệm được hai nghiệm
3
;
4 4

x x
π π
−
= =
Vậy cần nhóm 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện nhân tử chung (tanx + 1)
ta đi đến phương trình: (1 + tanx)(cosx + 3sinx -3) = 0. Từ đó ta dễ ràng tìm
được tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4. giải phương trình sin3x - 6sin2x + 9sinx – cos3x + cosx = 8
Giải
Thử thấy phương trình có các nghiệm
2 ;
2
x m
π
π
= +
nên phương trình chứa thừa
số ( sinx-1). Đặt t = sinx (
1t ≤
). Phương đã cho trở thành
Trở thành -4t
3
+ 4(cosx) t
2
+ (12-12cosx)t + (8cosx – 8)= 0
Thực hiện phép chia đa thức ta được phương trình
(t – 1)[-4t
2
+ (4cosx-4)t + 8- 8cosx] = 0
Hay t = 1 hoặc -4t

2
+ (4cosx-4)t + 8- 8cosx = 0 (*) nhận thấy
2x k
π
=
là nghiệm
của (*) hay phương trình (*) có nghiệm t = 0 theo định lí Viet thì nghiệm còn lại
là
t=cosx- 1. Từ đó ta hoàn toàn tìm được tập nghiệm của phương trình.
từ đó
Ví dụ 5 (ĐH Khối A, A
1
– 2012). giải phương trình
3 sin 2 os2x=2cosx-1x c+
Giải
7
Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm
2
x
π
=
,
2
x
π
−
=
do đó dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho:
cosx=0

vậy lời giải được trình bày theo 2
cách sau:
Cách 1.
Đặt t = cosx (
1t ≤
) ta viết phương trình đã cho trở thành
2 2
2 3sin 2 -1=2t-1 2t 2(1 3sin ) 0
0
1 3sin
t x t x t
t
t x
+ ⇔ − − =
=

⇔

= −

Hay
;
2
cosx=0
2
2
2 ;
1
3
3 sin osx=1

os(x- )
2
3 2
x k k Z
x k
x m m Z
x c
c
x m
π
π
π
π
π
π
π
π

= + ∈



= +



⇔ ⇔ = + ∈




+


=


=




Cách 2
Do dự đoán được
cosx=0
, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx). Vậy ta nên
kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được
1
cosx=
2
( 3 sinx+cosx-1)cosx=0
3 sinx+cosx=1


⇔



.
Từ đó ta giải được phương trình như trên.
Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2011). giải phương trình

2
1 sin 2 ox2x
2 sinxsin2x
1+cot
x c
x
+ +
=
Giải
Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm
2
x
π
=
,
2
x
π
−
=
do đó dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho:
cosx=0
vậy lời giải được trình bày theo 2
cách sau:
Cách 1. Điều kiện
sin 0x ≠
(*)
8
Đặt t = cosx (

1t ≤
) ta viết phương trình đã cho trở thành
2 2 2
2
1
1+2(sinx)t+2t 1 . 2(2sin ) 2t 2(sin 2) =0
sin
t=0
t= 2-sinx
x t x t
x
− = ⇔ + −

⇔


Hay
;
cosx=0
2 2
;
sin osx= 2
os(x- ) 1 2
4 4
x k x k k Z
m Z
x c
c x m
π π
π π

π π
π
 
= + = + ∈
 

⇔ ⇔ ∈
 

+
 

= = +
 
 
Kết hợp điều kiện (*) phương trình có các nghiệm là
2 ; 2
2 4
x k x m
π π
π π
= + = +
Cách 2
Điều kiện
sin 0x ≠
(*)
Do dự đoán được
cosx=0
, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx). Vậy ta nên
kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được

cosx=0
(sinx+cosx- 2)cosx=0
sinx+cosx= 2

⇔


.
Đến đây ta giải được phương trình như trên.
(Nhận xét: Với bài tập đơn giản như ví dụ 5, 6 thì nên làm theo cách 2)
c. Bài tập rèn luyện: giải các phương trình sau:
1) sin2x + 3sinx – 2cosx = 3
2) sin5x +sin2x + cos6x = cos4x + cosx
3) 1 + cosx + cos2x = sin2x + sin 3x + sin4x
4) 4sinx + cosx = 1 + tanx – 3sinxtanx
3.2 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải bất phương trình.
Tôi thấy rằng việc giải bất phương trình có dạng f(x) > 0 (f(x) < 0
,
( ) 0, ( ) 0)f x f x≥ ≤
thì phức tạp hơn nhiều so với việc giải phương trình f(x) = 0
. Thực chất của bài toán là quy về việc xét dấu của của biểu thức f(x) trên miền
xác định của bất phương trình. Do vậy nội dung của chủ đề này là quy việc giải
9
bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0 sau đó lập bảng xét dấu của
f(x) và từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình.
a) Nội dung phương pháp:
Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau
Tính chất: giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K. Nếu phương trình
f(x) = 0 vô nghiệm nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên K.
Phương pháp giải bất phương trình theo cách này:

+ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) là D
+ Giải phương trình f(x) = 0
+ Lập bảng xét dấu của f(x) ( để xác định dấu của f(x) trên khoảng con K của D
mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x
0
) với x
0
thuộc K )
Chú ý: Để tính giá trị của hàm số tại một điểm nhanh chóng bằng máy tính
Casio fx-570ES; Cách tính: Dùng chức năng (CALC) được minh họa qua ví dụ
sau
Ví dụ: Tính giá trị của hàm số y = x
2
+ 3x – 2 với x = 3 và x = 4 ta thực hiện
như sau
+ Nhập biểu thức ấn phím: ( ALPHA) Y (ALPHA) (=) (X) (X
2
) (+) 3 (ALPHA) (X) (-) 2
+ Lưu biểu thức ấn ( CALC)
+ Tính giá trị của y với x = 3 ấn: 3 (=)
+ tính giá trị của y với x = 4 ấn: (CALC) 4 (=)
b) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
2
2
40
16
16
x x
x

+ + ≤
+
Giải
• Xét hàm số
2
2
40
( ) 16
16
f x x x
x
= + + −
+
là hàm số liên tục trên D, tập xác
định hàm số là D = R
• Phương trình f(x) = 0
10

2 2
2 2 2 2
2
16 24
( 16) (24 )
64 576 3
x x x
x x x
x x
⇔ + = −
⇒ + = −
⇔ = ⇔ = ±

Thử lại thấy nghiệm x = 3 thỏa mãn.
• Bảng xét dấu f(x):
x -∞ 3 + ∞ Ta có: f(0) = -6 < 0 và f(4)=2,58>0
nên ta xác định được dấu trên các
f(x) - 0 + khoảng ( - ∞; 3) và ( 3;+∞)
Qua bảng xét dấu bất phương trình có tập nghiệm T =
( ;3]−∞
Ví dụ 2. giải bất phương trình:
2
1
1
3
3
1 1
log ( 1)
log 2 3 1
x
x x
>
+
− +
Giải
* Điều kiện:
2
0 2 3 1 1
1 3 3
(0; ) ( 1;0) (1; ) ( ; )
2 2 2
0 1 1
x x

x
x

< − + ≠
⇔ ∈ ∪ − ∪ ∪ +∞

< + ≠

* Đặt
2
1
1
3
3
1 1
( )
log ( 1)
log 2 3 1
f x
x
x x
= −
+
− +
PT f(x) = 0 trở thành:

2
1 1
3 3
2

2
log 2 3 1 log ( 1)
2 3 1 1
5 0 0; 5
x x x
x x x
x x x x
− + = +
⇔ − + = +
⇔ − = ⇔ = =
So với điều kiện thì x = 5 thỏa mãn.
* Lập bảng xét dấu: Ta có: f(-1/2)=- 3,584 < 0; f(1/4) = 7,163 >0; f(5/4) =
3,594>0; f(2) = -1 < 0; f(6) = 0,016 > 0 nên ta suy ra dấu f(x) như sau:
x
-1 0 1/2 1 3/2 5 + ∞
f(x) - + + - +
11
Qua bảng xét dấu của f(x) ta suy ra tập nghiệm của BPT là:
1 3
(0; ) (1; ) (5; )
2 2
T
= ∪ ∪ +∞
Ví dụ 3. giải bất phương trình sau:
1 1x x x
+ − − ≥
Giải.
* Điều kiện
1 1x
− ≤ ≤

Xét hàm số
( ) 1 1f x x x x
= + − − −
với
[-1;1]x
∈
* Phương trình f(x) = 0
2
2
1 1 1 1 2 1
2 1 2 0
x x x x x x x x
x x x x x
⇔ + = + − ⇒ + = + − + −
⇒ − = − ⇒ =
Thử lại thấy x = 0 thỏa mãn.
* Bảng xét dấu của f(x).
Ta có: f(-1/2)=0,017 < 0; f(1/2) = 0,017 > 0
x - 1 0 1
f(x) - 0 +

Qua bảng xét dấu của f(x). Tập nghiệm BPT là T = [0; 1]
Ví dụ 4. giải bất phương trình sau:
2
sin x osx
6
2
( ) 3 log 2005 0
3
c

+ − ≥
Nhận xét: dùng máy tính kiểm tra thì: log
6
2005
≈
4, 243537…>4
Dễ thấy:
2
sin x osx 0 1
2 2
( ) 3 ( ) 3 4
3 3
c
+ ≤ + =
Nên BPT đã cho vô nghiệm
d. Bài tập rèn luyện: giải các bất phương trình sau.
1)
x x
x
1
2 2 1
0
2 1
−
− +
≥
−
12
2)
1 1

2 3 5 2
≤
+ − − −x x x
3)
2 2
3 2 2 3 1 1
− + − − + ≥ −
x x x x x
4)
2 1 2 1
( 1) ( 1)
x x x
x x x x
− + −
+ + ≥ + +
3.3. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có nghiệm của
phương trình:
Ví dụ: Cho hàm số y = x
4
– 6x
2
+ 4x + 6. Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị
Thật vậy
Ta có: y’ = 4x
3
– 12x + 4 ta chỉ cần chứng minh phương trình y’ = 0 có 3
nghiệm phân biệt. Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm:
1 2 3
1,8; 0,3; 1,5x x x≈ − ≈ ≈
Sau đó ta áp dụng định lí về hàm liên tục cho hàm số g(x) = 4x

3
– 12x + 4 trên
các đoạn [-2; -1], [0; 1], [1; 2] ta được điều phải chứng minh.
3.4. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để nhận dạng tam giác
Trong tiết học về nhận dạng tam giác, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của các biểu thức lượng giác rất hay gặp
Ví dụ1: Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = cosA + cosB + cosC và giá trị lớn nhất đạt được khi nào?
* Trước hết ta tính giá trị của biểu thức T ứng với một số tam giác cụ thể
A 60
0
60
0
15
0
30
0
B 60
0
30
0
20
0
70
0
C 60
0
90
0
145

0
80
0
T
3
2
1,35… 1,09… 1,38…
13
Từ đó rút ra kết luận
3
2
T ≤
hay ta phải chứng minh
3
cos cos cos
2
A B C+ + ≤

2
2 2
3
2cos cos cos 0
2 2 2
4sin cos 2(1 2sin ) 3 0
2 2 2
(2sin cos ) sin 0
2 2 2
A B A B
C
C A B C

C A B A B
+ −
⇔ + − ≤
−
⇔ + − − ≤
− −
⇔ − + ≥
luôn đúng; Hay giá trị lớn nhất của T là 3/2 khi tam giác ABC đều.
Ví dụ2: Xét bài toán: Nhận dạng tam giác ABC biết
3 3
sin sin sin
2
A B C+ + =
.
* Nếu ta thay các giá trị giá trị của A, B, C bằng một số tam giác cụ thể
A 60
0
60
0
15
0
30
0
B 60
0
30
0
20
0
70

0
C 60
0
90
0
145
0
80
0
T
3 3
2
1,36… 1,17… 2,42…
Từ đó rút ra kết luận
3 3
sin sin sin
2
A B C
+ + ≤
. Sau đó dùng lí luận để chứng
minh bất đẳng thức này và chỉ ra được dấu bằng khi và chỉ khi tam giác ABC
đều.
3.4. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để tìm các nghiệm duy nhất của
phương trình.
Ví dụ
Giải phương trình:
2 8
1 2 4 3 2 1 14
1
x

x x x
x
+
= − + + + − −
+
Giải
Điều kiện:
1x ≥
Xét hàm số f(x) =
2 8
1
x
x
+
+
và hàm số
( ) 1 2 4 3 2 1 14g x x x x
= − + + + − −
Trên miền xác định của phương trình ta có
14
2
6
'( ) 0; 1
( 1)
f x x
x
−
= < ∀ ≥
+
và

1 1 3
'( ) 0; 1
2 1 4 2 2 1
g x x
x x x
= + + > ∀ ≥
− + −
hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến trên miền xác định.
Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm, dùng chức năng
(SOLVE) ta tìm được nghiệm x = 5. Vậy PT có một nghiệm x = 5
3.5. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để kiểm tra lại kết quả giới hạn của
hàm số:
Máy tính bỏ túi không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy nhiên ta
có thể dự đoán kết quả giới hạn qua ý tưởng sau
Giả sử cần tính
lim ( )
x a
f x
→
ta dùng chức năng ( CALC) để tính giá trị của
hàm số f(x) tại các giá trị của x rất gần a. Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ1. Tính
3
2
2
7 25
lim
3 2
x
x x

x x
→
+ − +
− +
Bằng phương pháp gọi số hạng vắng, ta viết:
3 3
2 2
2 2
3
2 2
2 2
7 25 ( 7 3) ( 25 3)
lim lim
3 2 3 2
7 3 25 3
lim lim
3 2 3 2
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
→ →
→ →
+ − + + − − + −
=
− + − +
+ − + −
= −

− + − +
Đến đây ta thu được giới hạn là 7/54;
Sau đó dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả, bằng cách tính giá trị của hàm số
3
2
7 25
( )
3 2
x x
f x
x x
+ − +
=
− +
tại giá trị của x rất gần với 2, chẳng hạn tính
f(1,999999), ta sẽ được kết quả là 0,1300000, đây cũng là giá trị gần đúng của
7/54; Nếu gặp các bài toán trắc nghiệm về tính giới hạn thì hoàn toàn có thể
dùng máy tính Casio fx-570ES để tìm đáp án đúng.
Ví dụ2 Cho hàm số :
2 1
1
x
y
x
−
=
−
tính các giới hạn sau:
a)
1

lim
x
y
−
→
a)
1
lim
x
y
+
→
c)
lim
x
y
→−∞
d)
lim
x
y
→+∞
giải.
a)
1
lim
x
y
−
→

= −∞
a)
1
lim
x
y
+
→
= +∞
c)
lim 2
x
y
→−∞
=
d)
lim 2
x
y
→+∞
=
15
Nhận xét:
* Đây là một ý trong câu khảo sát hàm số thường gặp ở học sinh lớp 12;
Đối với học sinh học lực trung bình trở lên thì các bài toán này không có vấn đề
gì, nhưng với những học sinh yếu kém thì các em hay sai ở câu này nhất là ý a)
và b) dẫn đến lập bảng biến thiên sai và bài khảo sát hàm số làm không chọn vẹn
mà đây là câu “gỡ điểm” của kỳ thi tốt nghiệp THPT
* Do vậy gợi ý để học sinh yếu kém kiểm tra kết quả như sau:
Để tính

1
lim
x
y
−
→
ta lấy x nhỏ hơn 1 rất gần với 1, chẳng hạn tính f(0,999999999),
ta sẽ được kết quả xấp xỉ là -1,111.10
9
càng lấy số bé hơn 1 và gần 1 hơn nữa thì
được kết quả âm có xu hướng tiến ra -
∞
, từ đó suy ra kết quả của giới hạn là -
∞
;
với suy nghĩ tương tư khi làm câu b); còn ở câu d) lấy x rất lớn, chẳng hạn tính
f(1000000000) ta được kết quả xấp sỉ là 2,0000000019 và x càng lớn thì kết quả
tiến đến 2; cách làm câu c) tương tự.
3.6. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES kiểm tra lại kết quả của tích phân:
Giả sử tính tích phân:
( ) ,
b
a
f x dx
∫
ta được kết qủa là m. Giáo viên nên
hướng dẫn cho học sinh dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả sau:
( )
b
a

f x dx
∫
; Nếu
máy tính hiển thị kết quả rất gần với số m thì giá trị của tích phân là m. Điều này
giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm bài.
Ví dụ.( Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)
Tính tích phân sau:
ln2
2
0
( 1)
x x
I e e dx= −
∫
Giải
ln2
ln2
3 2 3 2
0
0
1 1
( 2 ) ( )
3 3
x x x x x x
I e e e dx e e e= − + = − + =
∫
16
Sử dụng máy tính Casio fx-570ES ta tính được
ln2
2

0
( 1) 0,333333333
x x
I e e dx= − ≈
∫
Đây chính là kết quả gần đúng của phân số 1/3.
Nhận xét: Qua kiểm tra này học sinh có thể so sánh đáp số của mình làm
với kết quả gần đúng của giá trị tích phân, tránh mất điểm khi học sinh biết làm
bài thi nhưng tính toán sai.
III. Kiểm nghiệm.
Nhận thấy nếu kết hợp việc dạy và học môn toán với sự trợ giúp của máy
tính CASIO FX- 570ES một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được là rất tốt. Tôi
đã thực hiện phương pháp trên đối với học sinh lớp 12A1 sau khi các em bắt đầu
lên lớp 11 thì thấy các em tiếp thu nhanh hơn, rễ nhớ hơn, trong đó sai số trong
tính toán đã giảm đi đáng kể, đồng thời nâng cao kết quả học tập của các em
Cụ thể Kết quả học tập môn toán lớp 12A1 với 33 học sinh trong các năm học
như sau:
Năm học
Khá, giỏi
(hs/%)
Trung
bình(hs/%)
Yếu
(hs/%)
Số học sinh hay mắc lỗi
sai số (hs/%)
2010-2011 15(45,4%) 13(39,4%) 5(15,2%) 6(18,1%)
2011-2012 19(57,6%) 12(36,4%) 2(6%) 3(9%)
2012-2013 24(72,7%) 9(27,3%) 0(0 %) 1(3%)
IV. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:

1.Kết luận:
Tôi viết Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích chia sẽ với các đồng
nghiệp và các em học sinh những kinh nghiệm về cách sử dụng máy tính bỏ túi
trong giải toán.
Biết khai thác thế mạnh mà máy tính bỏ túi mang lại sẽ giúp cho học sinh
dễ ràng định hướng cách giải, kiểm tra được kết quả, rút ngắn thời gian tính toán
sẽ làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn.
Những vấn đề trình bày trong Sáng kiến kinh nghiệm này là những gợi ý về
cách sử dụng máy tính Casio fx-570ES trong giải toán; Mong các đồng nghiệp
17
sẽ tiếp tục nghiên cứu để ngày càng nhiều thủ thuật trong ứng dụng máy tính
cầm tay.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai trong các chủ đề tự chọn để
bồi dưỡng cho học sinh lớp 10, 11, 12 học toán tốt hơn.
Trong điều kiện hiện nay 100% học sinh đã có máy tính cầm tay nên việc
rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán với sự trợ giúp của máy tính là một việc
làm khả thi.
2.Đề xuất: Qua SKKN này mong nhận được sự trao đổi, góp ý góp phần nâng
cao chất lượng của Sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Đỗ Văn Hào
MỤC LỤC
Nội dung Trang
I.Đặt vấn đề 1
II.Giải quyết vấn đề 2
1.Cơ sở lí luận 2

2.Thực trạng 2
3.Các giải pháp và tổ chức thực hiện 3
3.1.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải phương trình lượng
giác
3
3.2.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải bất phương trình 6
18
3.3.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có
nghiệm của phương trình
12
3.4.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES nhận dạng tam giác 13
3.5.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để tìm nghiệm duy nhất
của phương trình
15
3.6.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES kiểm tra kết quả của
phép tính giới hạn
17
III.Kết luận và đề xuất 19
19