CHUYÊN ĐỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LỰỢNG GIÁC

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


1

CHƢƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC

1. Các hệ thức lƣợng giác cơ bản

22
sin cos 1aa+=

sin
tan
cos
a
a
a
=

cos
cot
sin
a
a
a
=


2
2

1
1 tan
cos
a
a
+=

2
2
1
1 cot
sin
a
a
+=

tan .cot 1aa=

2. Giá trị lƣợng giác của cung góc có liên quan đặc biệt
2.1 Cung đối nhau:
a
và
a-


cos( ) cosaa-=


sin( ) sinaa- = -

tan( ) tanaa- = -


cot( ) cotaa- = -

2.2 Cung bù nhau:
a
và
pa-


sin( ) sinp a a-=


cos( ) cosp a a- = -


tan( ) tanp a a- = -


cot( ) cotp a a- = -

2.3 Cung hơn kém
p
:
a
và
ap+

sin( ) sina p a+ = -


cos( ) cosa p a+ = -


tan( ) tana p a+=


cot( ) cota p a+=

2.4 Cung phụ nhau:
a
và
2
p
a-


sin cos
2
p
aa
æö
÷
ç
÷
-=
ç

÷
ç
÷
ç
èø

cos sin
2
p
aa
æö
÷
ç
÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø


tan cot
2
p
aa
æö
÷
ç

÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

cot tan
2
p
aa
æö
÷
ç
÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

3. Công thức lƣợng giác
3.1 Công thức cộng

sin( ) sin cos sin cosa b a b b a+ = +

sin( ) sin cos sin cosa b a b b a- = -


cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = -


cos( ) cos cos sin sina b a b a b- = +


tan tan
tan( )
1 tan tan
ab
ab
ab
+
+=
-


tan tan
tan( )
1 tan tan
ab
ab
ab
-
-=
+

3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba

sin2 2sin cosa a a=


2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1
1 2sin
a a a a
a
= - = -
=-


2
2tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
-


3
sin 3 3sin 4sina a a=-

3
cos3 4cos 3cosa a a=-

3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
22
a b a b
ab
+-
+=


cos cos 2sin .sin
22
a b a b
ab
+-
- = -


sin sin 2sin .cos
22
a b a b
ab
+-
+=

sin sin 2cos .sin
22
a b a b
ab
+-
-=

3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
éù
= + + -
êú
ëû


1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
éù
= - + - -
êú
ëû


1

sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
éù
= + + -
êú
ëû

3.5 Công thức hạ bậc

2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=

2
1 cos2
sin
2
a
a
-
=


Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

2


2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
-
=
+



Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


3

BÀI TẬP
GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Ví dụ 1. Cho
<< Tính , , .sin 0,8 . cos tan cot
2
p
a a p a a a

æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Giải: Áp dụng công thức:
22
sin cos 1aa+=


2 2 2
cos 1 sin 1 0,8 0,36aaÞ = - = - =


cos 0,6aÞ = ±

Vì
2
p
ap<<
nên
cos 0a <

Do đó
cos 0,6a =-


sin 0,8 4
tan
cos 0,6 3
a
a
a
= = = -
-


cos 0,6 3
cot
sin 0,8 4
a
a
a
-
= = = -

Ví dụ 2. Tính
2sin 3cos
3sin 2cos
xx
B
xx
+

=
-
biết
tan 2x =-

Giải:
sin
2
tan 2 sin 2cos
cos
cos 0
x
x x x
x
x
í
ï
ï
=-
ï
ï
= - Û Û = -
ì
ï
ï
¹
ï
ï
î

2sin 3cos 2cos 3cos cos 1
3sin 2cos 2cos 2cos 4cos 4
x x x x x
B
x x x x x
+ - + -
= = = =
- - - -

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức:
2
2cos 1
sin cos
x
A
xx
-
=
+

Giải:
2 2 2 2 2
2cos (sin cos ) cos sin (cos sin )(cos sin )
cos sin
sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x
A x x
x x x x x x
- + - - +

= = = = -
+ + +

GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Ví dụ 1. Tính GTLG của các cung (góc):
0
315

Giải:
0 0 0 0 0
2
sin 315 sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45
2
= - + = - = - = -

0 0 0 0 0
2
cos315 cos( 45 360 ) cos( 45 ) cos45
2
= - + = - = =

00
0
00
sin 315 sin 45
tan 315 1
cos315 cos45
-
= = = -

0
0
1
cot 315 1
tan 315
= = -

Ví dụ 2. Tính
0 0 0 0 0
cos0 cos20 cos40 cos160 cos180A = + + + + +L

Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


4

Ta có:
00
cos180 cos0=-


00
cos160 cos20=-


00
cos140 cos40=-

Do đó:
0A =

MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN
Điền các giá trị thích hợp vào ô trống
Độ
0
0

0
15

0
30

0
45

0
60

0
75

0
90

0
120

0
150

0
180

Radian











Radian
16
p

5
p

3
8
p
-

7
4
p

5
6
p
-

11
8
p

13
24
p
-

4
3
p

12
p
-

3
2
p
-

Độ










BIỂU DIỄN CUNG LƢỢNG GIÁC
Bài 1. Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A:
0
30
;
0
45-
;
0
750
;
3
p
-
;
15
2
p

;
2010
4
p

Bài 2. Xác định điểm cuối của cung có số đo:
2k p
;
kp
;
2
k
p
;
3
k
p
;
4
k
p
;
2
33
kpp
+
;
22
kpp
+

;
3
44
kpp
-+
(
k Î ¢
)
Bài 3. Cho hai điểm M và N sao cho
6
sd AM
p
=
Ð
và
798
k
sd AN
p
=
Ð
với
k Î ¢
. Tìm
k Î ¥
sao cho:
a) M và N trùng nhau b) M và N đối xứng nhau qua O.
GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Bài 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức:
a)

sin
4
x
p
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
;
3
cos
2
x
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷

ç
èø
;
tan
2
x
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
;
cot
2
x
p
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷

ç
÷
ç
èø
với
0
2
x
p
<<

b)
00
sin 40 .cos( 290 )A =-
c)
00
sin( 25 ).cos170B =-

d)
32
cot .sin
53
C
pp
æö
÷
ç
÷
=-
ç

÷
ç
÷
ç
èø
e)
4 4 9
cos .sin .tan .cot
5 3 3 5
D
p p p p
=

Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:
a)
3
sin
5
a =-
với
3
2
p
pa<<
b)
5
cos
13
x =-
với

00
180 270x<<

c)
tan 3b =-
với
3
2
2
p
bp<<
d)
cot 3x =-
với
00
90 180x<<

Bài 3. Tính giá trị của các biếu thức lượng giác sau:
a) Cho
tan 2x =-
. Tính
1
5cot 4 tan
5cot 4tan
xx
A
xx
+
=
-

và
2
2sin cos
cos 3sin
xx
A
xx
+
=
-

b) Cho
cot 2x =
. Tính
1
3sin cos
sin cos
xx
B
xx
-
=
+
và
2
sin 3cos
sin 3cos
xx
B
xx

-
=
+

c) Cho
3
sin
5
x =
với
0
2
x
p
<<
. Tính
1
cot tan
cot tan
xx
C
xx
+
=
-
và
2
tan cos
cot
xx

C
x
-
=

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


5

d)
4
cos
5
x =-
với
2
x
p
p<<
. Tính
1
cot tan
cot tan
xx
D
xx
+
=
-

và
2
sin
cot
1 cos
x
Dx
x
=+
+

Bài 4. Cho
5
sin cos
4
xx+=
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a)
sin .cosA x x=
b)
sin cosB x x=-
c)
33
sin cosC x x=-

Bài 5. Cho
tan cot 3xx-=
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a)
22

tan cotA x x=+
b)
tan cotB x x=+
c)
44
tan cotC x x=-

Bài 6. Tính
sin ,cos , tan ,cotx x x x
. Biết rằng:
a)
sin cos 2xx+=
b)
sin cos 2xx-=
c)
tan cot 4xx+=

Bài 7. Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau:
a)
0
sin150
b)
0
cot135
c)
cos11p
d)
sin13p
e)
7

cot
6
p

f)
16
cos
3
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
g)
19
cot
4
p
æö
÷
ç
÷
-

ç
÷
ç
÷
ç
èø
h)
159
tan
4
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
i)
115
sin
6
p
æö
÷
ç

÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
cos sin cos sin
2 2 2 2
A
p p p p
a a a a
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
= - + - - + - +
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

b)
3 3 7 7

cos sin cos sin
2 2 2 2
B
p p p p
a a a a
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
= - - - + - - -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

c)
73
2cos 3cos( ) sin tan
22
C x x x x
pp
p
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
= + - - - + -
çç

÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

d)
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
D x x x x
p p p
p
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= + + - + + + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2 2
cos sin 1 2sina a a- = -
b)

22
2cos 1 1 2sinaa- = -

c)
22
3 4sin 4cos 1aa- = -
d)
sin cot cos tan sin cosa a a a a a+ = +

e)
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cosa a a a+ = -
f)
4 4 2 2
cos sin cos sina a a a- = -

g)
33
sin cos sin cos sin cosa a a a a a+=
h)
4 4 2 2
sin cos 1 2cos 2sin 1a a a a- = - = -

Bài 10. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1
tan cot
sin cos
xx
xx

+=
b)
1 cos sin
sin 1 cos
xx
xx
-
=
+
c)
11
1
1 tan 1 cotxx
+=
++

d)
2
11
1 1 tan 0
cos cos
x
xx
æ öæ ö
÷÷
çç
÷÷
- + + =
çç
÷÷

çç
÷÷
çç
è øè ø
e)
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
x
x
x
+
=+
-
f)
tan tan
tan tan
cot cot
xy
xy
xy
+
=
+

g)
4

24
21
1 cot
sin sin
x
xx
- = -
h)
cos 1
tan
1 sin cos
x
x
xx
+=
+
i)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
xx
x x x
+
+=
+

Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào
x
:
a)
4 4 2

cos sin 2sinA x x x= - +
b)
4 2 2 2
sin sin cos cosB x x x x= + +

c)
4 2 2 2
cos sin cos sinC x x x x= + +
d)
( ) ( )
4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3D x x x x= - + -

e)
6 6 4 4 2
sin cos 2sin cos sinE x x x x x= + - - +
f)
2 2 2 2 2
cos cot 5cos cot 4sinF x x x x x= + - +

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


6


Bài 12. Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của một tam giác thì:
a)
sin sin( )B A C=+
b)

cos( ) cosA B C+ = -

c)
sin cos
22
A B C+
=
d)
cos( ) cos( 2 )B C A C- = - +

e)
cos( ) cos2A B C C+ - = -
f)
sin( 2 ) sinA B C B+ + = -

g)
cot( ) cot 2A B C B- + = -
h)
3
cos sin 2
2
A B C
A
- + +
=-

Bài 13. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính)
a)
0 0 0 0 0
cos0 cos20 cos40 cos160 cos180A = + + + + +L

b)
0 0 0 0 0
cos10 cos40 cos70 cos140 cos170B = + + + + +L

c)
0 0 0 0 0
tan20 tan 40 tan60 tan160 tan180C = + + + + +L

d)
0 0 0 0 0
cot15 cot 30 cot 45 cot150 cot165D = + + + + +L

e)
0 0 0 0 0
sin5 sin10 sin15 sin 355 sin 360E = + + + + +L

f)
0 0 0 0
cot15 .cot 35 .cot 55 .cot 7 5F =

g)
0 0 0 0
tan1 .tan2 .tan3 . .tan 89G = K

h)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 80 sin 90H = + + + + +L

i)

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 170 cos 180I = + + + + +L

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
Bài 1. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức:
a)
0 0 0 0
sin12 .cos48 cos12 .sin 48A =+
b)
0 0 0 0
cos38 .cos22 sin 38 .cos22B =-

c)
0 0 0 0
sin10 .cos55 cos10 .sin 45C =-
d)
0 0 0 0
sin200 .sin 310 cos340 .cos50D =+

e)
0 0 0 0 0
cos11 .cos21 cos69 .cos79 cos10E = + -
f)
0 0 0 0 0
cos68 .cos78 cos22 cos12 sin100F = + -

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức:
a)
0
0

1 tan 15
1 tan15
A
+
=
-
b)
00
00
tan 25 tan20
1 ta n 25 .tan 20
B
+
=
-

c)
0 0 0 0
0 0 0 0
sin10 .cos20 sin20 .cos10
cos17 cos13 sin17 .sin13
C
+
=
-
d)
0 0 0 0
0 0 0 0
sin 73 .cos3 sin 87 .cos17
cos132 .cos13 cos42 .cos28

D
-
=
+

e)
2 0 2 0 2 0
sin 20 sin 100 sin 140E = + +
f)
2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 110 cos 130F = + +

g)
0 0 0 0 0 0
tan20 .tan 80 tan 80 .tan140 tan140 .tan20G = + +

h)
0 0 0 0 0 0
tan10 .tan 70 tan70 .tan130 tan130 .tan190H = + +

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
cos
3
A
p
a
æö
÷
ç

÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
biết
1
sin
3
a =
và
0
2
p
a<<

b)
sin
3
B
p
a
æö
÷
ç
÷
=-

ç
÷
ç
÷
ç
èø
biết
12
cos
13
a =-
và
3
2
p
pa<<

c)
tan
3
C
p
a
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷

ç
÷
ç
èø
biết
3
sin
5
a =
và
2
p
ap<<

d)
cot
4
D
p
a
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç

èø
biết
4
sin
5
a =-
và
3
2
p
pa<<

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


7

Bài 4. Biết
4
sin
5
a =
,
( )
00
0 90a<<
và
8
sin
17

b =
,
( )
00
90 180b<<
. Hãy tính giá trị của biểu thức
cos( )A ab=+
và
sin( )B ab=-
.
Bài 5. Biết
8
sin
17
a =
,
5
tan
12
b =
và
a
,
b
là các góc nhọn. Hãy tính giá trị của các biểu thức
sin( )A ab=-
,
c os( )B ab=+
và
tan( )C ab=+

.
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
sin( )cos( ) sin( )cos( )A x y x y x y x y= + - + - +

b)
0 0 0 0
cos(40 )cos( 20 ) sin(40 )sin( 20 )B x x x x= - + - - +

c)
0 0 0 0
sin( 10 )cos(2 80 ) sin( 100 )cos(2 10 )C x x x x= + - + + +

d)
sin cos sin cos
3 4 4 3
D x x x x
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
= - - + - -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

e)
3
cos cos cos cos
3 4 6 4
E x x x x
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
= - + + + +
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

f)
9 5 5
sin cos sin cos
3 4 4 3
F x x x x
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
= - - - - +
ç ç ç ç

÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cos sin 2 cos 2 sin
44
x x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+ = - = +
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

b)
cos sin 2 cos 2 sin
44
x x x x
pp
æ ö æ ö

÷÷
çç
÷÷
- = + = - -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

c)
2 2 2 2
sin( )sin( ) sin sin cos cosx y x y x y y x+ - = - = -

d)
2 2 2 2
cos( )cos( ) cos sin cos sinx y x y x y y x+ - = - = -

Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
sin sin 2 sin
44
x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+ - - =

çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
b)
2
4sin sin 4sin 3
33
x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+ - = -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

c)
22
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
x x x x x x
p p p p

æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + + = -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

d)
( )
32
cos .cos cos .cos 1 3
3 4 6 4 4
x x x x
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
- + + + + = -
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cos( ) cot cot 1
cos( ) cot cot 1
a b a b
a b a b
-+
=
+-
b)
sin( ) sin( ) sin( )
0
cos cos cos cos cos cos
a b b c c a
a b b c c a
- - -
+ + =

c)
22
22
sin( )sin( )
tan tan
cos cos
a b a b
ab
ab
+-
=-

d)
22
22
cos( )cos( )
1 tan tan
cos cos
a b a b
ab
ab
+-
=-

Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến
x

a)
2
sin cos cos
33
A x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
= + - +
çç
÷÷
çç
÷÷

çç
è ø è ø
b)
2 2 2
cos cos cos
33
B x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
= + - + +
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
b)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


8

c)
2 2 2
22
sin sin sin
33

C x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
= + - + +
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
d)
2 2 2
22
cos cos cos
33
D x x x
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
= + + + -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç

è ø è ø

Bài 11. Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)
a)
00
cos36 cos72A =
b)
2
cos cos
55
B
pp
=
c)
sin cos cos
884
C
ppp
=

d)
sin cos cos
16 16 8
D
p p p
=
e)
000
sin10 sin50 sin 70E =
f)

24
cos cos cos
7 7 7
F
p p p
=

g)
45
cos cos cos
7 7 7
G
p p p
=
h)
0 0 0 0
sin6 cos12 cos24 cos48H =

Bài 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a)
1 cos cos2 cos3x x x+ + +
b)
sin sin3 sin7 sin5x x x x- + -
c)
sin sin2 sin5 sin8x x x x- + +

d)
cos10 cos8 cos6 1x x x +
e)
cos9 cos7 cos3 cosx x x x- + -

f)
cos7 sin 3 sin2 cos3x x x x+ + -