Tải bản đầy đủ (.doc) (3 trang)

bài tập vận dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức Newton

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77.18 KB, 3 trang )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP
LÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ
BÀI TẬP
Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức Newton
Bài 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
a. (ĐHGTVT 2000):
1 2 k n
n 1
0
n n n n
n
C C C C
2 1
C
1 1 1 2 1 k 1 n 1 n
+

+ + + + + + =
+ + + + +

b.
1 2 n
0 n
n n n
n
C C C
1
C ( 1) .
1 1 1 2 1 n 1 n
− + − + − =
+ + + +


Giải
Với mọi x, và với n là số nguyên dương, ta có:
(1+x)
n
=
n
k k
n
k 0
C x
=

(1)
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta được:
t t
n 1 k 1
n n
n k k k
n n
k 0 k 0
0 0
k 1 k
n 1
n
n
k 0
t t
(1 x) x
(1 x) dx C x C
n 1 0 k 1 0

t C
(1 t) 1
(2)
n 1 k 1
+ +
= =
+
+
=
+
+ = ⇔ =
+ +
+ −
⇔ =
+ +
∑ ∑
∫ ∫


a. Thay t=1 vào (2), ta được:
k
n 1
n
n
k 0
k 1 k k k
n n
n n
k 0 k 0
C

2 1
, ®pcm.
1 n k 1
b. Thay t=-1 vµo (2), ta ® îc:
( 1) C ( 1) C
1 1
- , ®pcm.
n 1 k 1 n 1 k 1
+
=
+
= =

=
+ +
− −
= ⇔ =
+ + + +

∑ ∑


2
n
0
n
0 2 1 3 2 n 1 n n
n n n n
2 2
n 1

n n n
0 0
Bài2 : Tính tích phân: I= (1 x) dx.
Từ đó chứng minh rằng:
1 1 ( 1) 1
2C 2 C 2 C 2 C [1 ( 1) ].
2 3 n 1 n 1
Gi ả i
Ta có:
2
(1 x) 1
I= (1 x) dx (1 n) d(1 x) [( 1) 1]. (1)
n 1 0 n 1
Với mọi
+
+


+ + + = +
+ +

= = = +
+ +


n
n k k k
n
k 0
n

x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1-x) ( 1) C x (2)
Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta đ ợc:
(1 x) dx ( 1)
=
=
=

2 2
k 1
n n
k k k k k
n n
k 0 k 0
0 0
n
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
2
x
C x ( 1) C
k 1 0
1 1 ( 1)
2C 2 C 2 C 2 C . (3)
2 3 n 1
Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.
+
= =
+
=

+

= + + +
+



2 3 n 1 n 1
0 1 2 n
n n n n
n
n k k
n
k 0
Bài 3: Với n là số nguyên d ơng, chứng minh rằng:
2 2 2 3 1
2C C C C
2 3 n 1 n 1
Gi ả i
Với mọi x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1+x) C x
+ +
=

+ + + + =
+ +
=

t t
n 1 n 1

n n
n k k k
n n
k 0 k 0
0 0
k 1 k
n 1
n
(1)
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta đ ợc:
t t
(1 x) x
(1 x) dx C x C
n 1 0 k 1 0
t C
(1 t) 1

n 1 k 1
+ +
= =
+
+
+
+ = =
+ +
+
=
+ +



n
k 0
k k
n 1 1
n
n
k 0
1
2 n
n
0
1 2 n n
0
n n n
n
(2)
Thay t=2 vào (2), ta đ ợc:
2 C
3
, đpcm.
n 1 k 1
Bài 4: (ĐHQG TPHCM Khối A 97). Tính tích phân:
I (1 x ) dx, với n N.
Từ đó suy ra:
C C ( 1) C
2.4 2n
C
3 5 2n 1 35 (2n 1
=
+

=
=
+ +
=

+ + =
+ +



n
2 n 2 n 1
1 1
2 n 2 n 1 2 2 n 1 2
n
0 0
2 n
)
Gi ả i
Ta xác định tích phân I bằng ph ơng pháp tích phân từng phần, với đặt:
u (1 x ) du 2nx(1 x ) dx
dv dx v x
Khi đó:
1
I x(1 x ) 2n (1 x ) x dx 2n (1 x ) [(1 x ) 1]dx
0
2n (1 x ) dx (




= =


= =

= + =
=

1 1
2 n 1
n n 1
0 0
1
n n 1 0
0
1 x ) dx 2n(I I )
2n 2n 2(n 1) 2 2.4 2n
I .I . I dx
2n 1 2n 1 2n 1 3 3.5 (2n 1)
2.4 2n
. (1)
3.5 (2n 1)




=




= = =
+ + +
=
+


n n
n k k k 2 n k 2x
n n
k 0 k 0
1 1
2k 1
n n
2 n k k 2k k k
n n
k 0 k 0
0 0
1 2
0
n n
n
Ta có:
(1-x) ( 1) C x (1 x ) C x (2)
Lấy tích phân x theo hai vế của (2), ta đ ợc:
2
x
(1 x ) dx ( 1) C x ( 1) C
2k 1 0
C C (
C

3 5
= =
+
= =
= =
= =
+

= + +



n n
n
1) C
(3)
2n 1
Từ (1) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
+

×