bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60

ứng dụng tích phân để
tính diện tích hình
phẳng


?1 Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình
thang cong và tích phân?
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên
đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b lµ:
b

S = ∫ f ( x)dx
a


H1

Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R
giới hạn bởi đường tròn có phương trình : x2
+ y2 = R2

Thực hiện các
bài tập sau:

Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đư

ờng thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trên.
Nhãm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 3x2 + 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x2 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.


Lời giải
Xét đường trịn có phương trình: x2 + y2 = R2

N1

Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’
trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số
y = R 2 − x 2 và hai đường thẳng x = 0 và x = R.
Ta có:
R
S' = ∫ R 2 − x 2 dx
0

Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt.
x = 0 thì t = 0; x = R thì t = π/2
 π
R 2 − x 2 = R 2 − R 2 sin 2 t = R cos t (t ∈ 0;  )
 2
R

S' = ∫ R 2 − x 2 dx
0

π
2

π
2

π
1 + cos 2t
R 2  sin 2t 
πR 2
= ∫ R cos t .R cos tdt = R ∫
dt =
t +
2 =
2
2 
2 0
4
0
0
Vậy S = 4S’ = πR2
Quay lại…
2


N2

Vậy diện tích hình thang cong giới
hạn tích hình thang y = giới hạn
+ Diệnbởi đồ thị hàm sốcongf(x) liên bởi

đồtục, âm trên đoạn [a;b], trụcOx và hai
thị hàm số y = x2, trục Ox và
hai thẳng x = 1, x = a, x
đườngđường thẳng x = 2 là:= b là gì?

y

y = x2

2

x3 2
S1 = ∫ x 2dx =
3 1
1
=

7
3

x

+ Căn cứ vào hình vẽ nhận thấy:
Diện tích hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm sốthang x2, trục Ox
Diện tích hình y = - cong giới hạn bởi
và đồ thị hàm thẳng x = 1, x = 2 là: trên
hai đường số y = f(x) liên tục, âm
đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x
7

S2 = S1 =
= a, x = b là:

3

b

S = ∫ − f ( x )dx
a

y = - x2
Tiếp tục…


N3
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6 , trục Ox
và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:
3

S 3 = ∫ ( x 3 − 3x 2 + 6)dx
1

 x4
3
3
=  − x + 6x 
 4
1



 81
 1

=  − 27 + 18  −  − 1 + 6 
 4
 4

=6
Quay lại…


N4
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 , trục Ox
và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:
3

S 4 = ∫ ( x 2 − 2x + 1)dx
1

 x3
3
2
=  − x + x
 3
1


 27

 1

=  − 9 + 3  −  − 1 + 1
 3
 3

8
=
3
Quay lại…


Nhận xét:
Từ kết quả của nhóm 3 và nhóm
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4, tính diện tích hình phẳng giới
đồ thị các hàm số:
hạn bởi 3 thị các hàm số:
đồ
y = x – 2 2 + 6 , y = x2 3x
y = x3 – 3x + 6 , y = x2 - 2x + 1
2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x
và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ?
= 3 là:

y=

x 2-

2x +

1

y

S = S3 – S4
3

1

Vậy 8 10
diện tích hình phẳng
=giới hạn bởi đồ thị các hàm
6− =
3
số 3
y = f(x), y = g(x) liên tục
trên đoạn [a;b] và hai đường
thẳng x = a, x = b bằng?

x
+6

1

= ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 6)dx − ∫ ( x 2 − 2 x + 1)dx

y = x 3 – 3x 2

3

Tiếp tục…


1. Một số cơng thức cần nhớ
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
là:
b

S = ∫ f ( x ) dx
a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x),
= g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b

b

S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a

Quay lại…

y


2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2.
y

Lời giải:
Đặt f(x) = x3 – 1.

y = x3 - 1

Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0
trên [1; 2]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S = ∫ x 3 − 1dx
0
1

2

= ∫ (1 − x 3 )dx + ∫ ( x 3 −1)dx
0

3 11 7
= +
=
4
4
2

1

x

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x

Lời giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là:
3
y f1(x) =x – 3x
 x = −2

x 3 − 3x = x ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔  x = 0

x=2


Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S=

∫

x 3 − 4 x dx

−2

0

x

2

= ∫ ( x − 4 x )dx + ∫ (4 x − x )dx
3

−2

3

0

 x4
 0
 2 x4  2
=  − 2x 2 
 4
 − 2 +  2x − 4  0







= 4+4 =8

f2(x) =x

3. Bài tập vận dụng
Thực hiện H1 và
H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2,
H2 trong sách
đường thẳng x = 3, trục tung và trục hồnh.
giáo khoa!
H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2
và Parabol y = x2 + x - 2

H1:

Giải:

Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên:
3

2

3

23
S = ∫ 4 − x dx = ∫ (4 − x )dx + ∫ ( x − 4)dx =
3
0
0
2
2

H2:

2

2

Giải:

PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vậy:
2
32
2
S = ∫ 4 − x dx =
3
−2


Chú ý:

+

Để khử dấu giá trị tuyệt đối

trong công thức:

b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

Ta thực hiện như sau:
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử

pt có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b).
• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) khơng
đổi dấu.
• Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có:
d

d

c

c

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx


Củng cố:

y=

- Ghi nhớ các cơng thức tính diện tích hình phẳng.
y
- Bài tập đề nghị:
y = x2 - 4x + 3
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị các hàm số:
y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và
y = 2x – 6.
-2 x

1

3

[

]

+ ∫ x 2 − 4 x + 3 − ( 2 x − 6) dx
2

2
=
3

2x

]

S = ∫ x 2 − 4 x + 3 − ( −2 x + 2) dx

y=

[

-6

+2

2

x