Tuyển tập các dạng toán tích phân cơ bản (có bài tập vận dụng) theo chương trình mới

I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;a b sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;a b sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.

B ài tập
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
4

0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−

∫

8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫

10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1

1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1
2
0
1

1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π

∫

18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.

2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

24.
2
2 3

3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
32.
1
2
3

0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2

1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

40.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
41.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
4.
2ln 1
1

e
x
e
dx
x
+
∫
43
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

44.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫

45.
1
2 3
0
5+
∫
x x dx
46.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
47.
4
2
0
4 x dx−
∫
2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2
,a x a x+
và
2 2
x a
(trong trong đó
a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất

căn thức, cụ thể là:
Với
2 2
a x
, đặt
sin , ;
2 2
x a t t


=



hoặc
[ ]
cos , 0;x a t t

= .
Với
2 2
a x+
, đặt
, ;
2 2
x atgt t


=
ữ

hoặc
( )
, 0;x acotgt t

= .
Với
2 2
x a
, đặt
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t


=


hoặc
;
cos
a
x
t
=
[ ]

0; \
2
t






.
B i tp : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2
0
4 x dx

b)
1
2
0
1
dx
x+

c)
9
2
0
9 x dx

d)
2
2
0
4
dx
x+

e)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x

f)

+
32
5
2
4xx
dx
g)
1
2

0
1 x dx

h)
3
5 2
0
1x x dx+

II. PHNG PHP TCH PHN TNG PHN:
Cụng thc tớch phõn tng phn :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx=

@ Da

ng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e










t
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx

e e
= =







= =







@ Da

ng 2:
( )ln( )f x ax dx





t
ln( )
( )
( )

dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=




=


=


@ Da

ng 3:
sin
.
cos
ax
bx
e dx
bx

t:
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=




=
=



Bi tp
1)

1
0
3
. dxex
x
2)


2
0
cos)1(

xdxx
3)


6
0
3sin)2(

xdxx
4)

2
0
2sin.

xdxx

5)

e
xdxx
1
ln
6)


e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)

3
1
.ln.4 dxxx
8)

+
1
0
2
).3ln(. dxxx

9)

+

2
1
2
.).1( dxex
x
10)


0
.cos. dxxx
11)

2
0
2
.cos.

dxxx
12)

+
2
0
2
.sin).2(

dxxxx
13)
2
5

1
ln x
dx
x

14)
2
2
0
x cos xdx


15)
1
x
0
e sin xdx

16)
2
0
sin xdx


17)
e
2
1
x ln xdx

18)
3
2
0
x sin x
dx
cos x

+

19)
2
0
x sin x cos xdx


20)
4
2
0
x(2 cos x 1)dx



III.Tích phân một số hàm số thờng gặp
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

( )
2

0
dx
I a
ax bx c


=
+ +

.
(trong đó
2
0ax bx c
+ +
với mọi
[ ]
;x

)
Xét
2
4b ac
=
.
+)NÕu
0
∆ =
th×
2
2

dx
I
b
a x
a
β
α
=
 
−
 ÷
 
∫ tÝnh ®îc.
+)NÕu
0
∆ >
th×
( ) ( )
1 2
1 dx
I
a x x x x
β
α
=
− −
∫
,
(trong ®ã
1 2

;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
)

( )
1
1 2 2
1
ln
x x
I
a x x x x
β
α
−
⇒ =
− −
.
+) NÕu
0
∆ <
th×
2
2
2

2
2 4
= =
+ +
 
 
−∆
 
+ +
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
∫ ∫
dx dx
I
ax bx c
b
a x
a a
β β
α α
§Æt
( )
2
2 2
1

1
2 4 2
−∆ −∆
+ = ⇒ = +
b
x tgt dx tg t dt
a a a
, ta tÝnh ®îc I.
b) TÝnh tÝch ph©n:
( )
2
, 0
mx n
I dx a
ax bx c
β
α
+
= ≠
+ +
∫
.
(trong ®ã
2
( )
mx n
f x
ax bx c
+
=

+ +
liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;
α β
)
+) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
222
)2(
+)Ta cã I=
∫
β
α
dx
cbxax
B

dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
∫∫
222
)2(
β
α
β
α
. TÝch ph©n
dx
cbxax
baxA
++
+
∫
2
)2(
β

α
=
β
ε
cbxaxA
++
2
ln
TÝch ph©n
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
tÝnh ®îc.