Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o






NGUYỄN NGỌC LINH





PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG






LUẬN ÁN TIẾN SĨ

HÀ NỘI – 2015
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o


NGUYỄN NGỌC LINH



PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG


Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01


LUẬN ÁN TIẾN SĨ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS.TSKH Nguyễn Đông Anh
2. TS Lưu Xuân Hùng



HÀ NỘI – 2015

II
LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, đặc biệt là
GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học, truyền niềm say
mê nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Khoa Đào tạo sau
đại học và bạn bè, đồng nghiệp trong Viện Cơ học đã giúp đỡ tôi ngay từ những
ngày đầu ở Viện Cơ học.
Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới đơn vị công tác là Trường Cao đẳng Xây
dựng số 1 đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên
cứu sinh.
Tôi cũng xin bày tỏ sự cám ơn tới TS Lã Đức Việt, chủ nhiệm đề tài “Tối
ưu hóa tham số các hệ tiêu tán hoặc tích trữ năng lượng trong điều khiển và
giám sát kết cấu”, mã số 107.04-2011.14- Nafosted đã tạo điều kiện cho tôi
được tham gia đề tài và có những hỗ trợ tài chính giúp ích cho quá trình làm
nghiên cứu sinh.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi
trong thời gian làm luận án.



III

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác.



Tác giả luận án


Nguyễn Ngọc Linh




IV
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN II
LỜI CAM ĐOAN III
MỤC LỤC IV
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT VI
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ VIII
DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI IX
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 4
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất 4
1.1.1 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên 4
1.1.2. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất 5
1.2 Quá trình ngẫu nhiên 7
1.2.1 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 8
1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt 12
1.3 Phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov (FPK) 16

1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss 17
1.4.1 Dao động ngẫu nhiên tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss 19
1.4.2 Dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss 20
1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi
tuyến 22
1.5.1 Phương pháp nhiễu 22
1.5.2 Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 22
1.5.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên 23
1.5.4 Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 24
1.5.5 Phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ 24
1.5.6 Phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK 25
1.5.7 Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo 26
1.5.8 Nhận xét 26
Kết luận chương 1 28
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU
NHIÊN 29
2.1 Tiêu chuẩn kinh điển 33


V
2.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng 35
2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh 35
2.4 Tuyến tính hóa tương đương dựa trên phân bố khác Gauss 37
2.5 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần 38
Kết luận chương 2 39
CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN
TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 40
3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát 40
3.2. Tiêu chuẩn đối ngẫu 42
3.2.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu 42

3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu 44
3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu 46
3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai của dao
động ngẫu nhiên phi tuyến 50
3.3 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu
chuẩn đối ngẫu 52
3.3.1. Dao động Van der pol 52
3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba 54
3.3.3 Dao động Duffing 55
3.3.4 Dao động có cản và đàn hồi phi tuyến 58
3.3.5 Dao động Lutes Sarkani 60
CHƯƠNG 4. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CÓ TRỌNG SỐ CỦA PHƯƠNG
PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 66
4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66
4.1.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66
4.1.2 Xác định dạng giải tích của trọng số 68
4.1.3 Một số tính chất khác của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được đề
xuất 74
4.1.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số để phân tích mô men bậc hai
của dao động ngẫu nhiên phi tuyến 76
4.2 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu
chuẩn đối ngẫu có trọng số 78
4.2.1 Dao động đàn hồi phi tuyến không cản 78
4.2.2 Dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ 80
4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5 83
4.2.4 Dao động có cản phi tuyến phụ thuộc năng lượng 85


VI
4.2.5 Dao động tự do 88

Kết luận chương 4 91
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO 96
PHỤ LỤC 103


VII
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A véc tơ, hàm phi tuyến


,
a x
t
véc tơ hệ số dịch chuyển
, ,
c
 
hệ số hằng số
B véc tơ, hàm tuyến tính tương đương
b, k hệ số tuyến tính hóa tương đương
,
i j
b k
hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j
,
tt
b h

hệ số cản tuyến tính
C hệ số chuẩn hóa
1
,
tt
c k
hệ số độ cứng tuyến tính
3 5
,
c c
hệ số độ cứng phi tuyến


1 2 12
, ,
xx
D t t D
hiệp phương sai


k
d

tỉ số các hệ số tuyến tính hóa theo các tiêu chuẩn
đối ngẫu có trọng số và kinh điển




_ _

,
S ts S kd
d d
 
tỉ số không thứ nguyên của minS


x

hàm Delta Dirac


,E
   
kỳ vọng toán


,
e x x

sai số phương trình


F x
hàm phân phối xác suất
FPK phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov





,
f t u t
kích động ngoài


,
g x x

hàm phi tuyến của dịch chuyển và vận tốc


,
H x x

hàm tổng năng lượng


,
K x
t
ma trận hệ số khuyếch tán


1 2
,
R t t
hàm tương quan

hệ số trở về
m khối lượng

x
m
trung bình xác suất
minS giá trị cực tiểu của tiêu chuẩn tuyến tính hóa


VIII


mức độ phụ thuộc tuyến tính
n

mô men trung tâm
nm

mô men liên kết trung tâm


P

xác suất của một sự kiện
p,


p

trọng số, hàm trọng số





, ,
p x p x x

hàm mật độ xác suất một chiều, hai chiều


0 0
, ,
p x t x t
mật độ xác suất chuyển tiếp
r hệ số tương quan
r
2
hệ số tương quan bình phương
S biểu thức của sai số phương trình


x
S

hàm mật độ phổ
0
S
mật độ phổ hằng số
T chu kỳ dao động
0 1 2
, , ,
t t t t
thời gian


độ trễ


U x
hàm thế năng
u, v véc tơ




,
v t x t

vận tốc
X, Y biến ngẫu nhiên


x t
dịch chuyển


x t

gia tốc

góc giữa hai véc tơ


t


quá trình Wiener


t


quá trình ồn trắng
 cường độ của ồn trắng
x

độ lệch chuẩn
2
x

phương sai

tần số của kích động
0

tần số dao động tự do


IX

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm 6
Hình 1.2. Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu) 7
Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất 8
Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm 11

Hình 1.5 Hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng 14
Hình 1.6 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do 17
Hình 2.1 Các cách tiếp cận chủ yếu của các phương pháp tuyến tính hóa và phi
tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 31
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu 49
Hình 3.2 Hàm thế năng dạng giếng đơn và giếng đôi 56
Hình 3.3 Mô hình hệ một bậc tự do chuyển động có ma sát 60
Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất 68
Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ) 72
Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ) 73
Hình 4.4 Tỉ số


k
d

75
Hình 4.5 Các tỉ số




_ _
,
S ts S kd
d d
 
76

X
DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI
Bảng 1.1 Phân loại mức độ tương quan tuyến tính của Cohen 12
Bảng 3.1 Đáp ứng trung bình bình phương với
1, 0.5, 2
o
h
 
   ;

thay
đổi 42
Bảng 3.2 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Van der Pol với
α=0.2; 

=1; =2; σ
2
thay đổi 54
Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc
ba với
0.05, 1, 4
o
h h
 
   , và γ thay đổi 55
Bảng 3.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với
1
o



,
0.5
h

,
1
2, 1
c

 
;
3
c
thay đổi 57
Bảng 3.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với
1
o


,
0.1
h

,
1
2, 1
c

  
;

3
c
thay đổi 57
Bảng 3.6 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản và đàn hồi phi
tuyến, với
0
0.1, 1, 1
h
 
  
và

thay đổi 60
Bảng 3.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Lutes Sarkani với
0
1; 1
S

 
và
a
thay đổi 63
Bảng 3.8 Sai số của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn kinh điển theo giá trị của
mức độ phụ thuộc tuyến tính 65
Bảng 4.1 Các giá trị chính xác của
i

và
( )
cx i

p
của dao động Lutes Sarkani với
mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu (
0 1/ 3

 
) 72
Bảng 4.2 Các giá trị chính xác của
j

và
( )
cx j
p
của dao động Lutes Sarkani với
mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh (
2/ 3 1

 
) 72
Bảng 4.3 Trọng số và hệ số tuyến tính hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
74
Bảng 4.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến
không cản với
1


,
2



và

thay đổi 79
Bảng 4.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1


;
2


, a = 1/5 và γ thay đổi 81
Bảng 4.6 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1


;

2


, a = 1/3 và γ thay đổi 82
Bảng 4.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1


;
2


, a = 5 và γ thay đổi 82


XI
Bảng 4.8 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo
qui luật mũ với
0.5
h

;
0
1



;
2


, a = 7 và γ thay đổi 82
Bảng 4.9 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3
và bậc 5 với
1 3
2 1
h c c
  
,
2


và
5
c
thay đổi 85
Bảng 4.10 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến phụ
thuộc năng lượng, a thay đổi 87
Bảng 4.11 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay đổi 90
Bảng 4.12 Sai số của các tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số, đối ngẫu và kinh điển
theo giá trị của mức độ phụ thuộc tuyến tính 92
MỞ ĐẦU
Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu
chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng, ổ, trục đỡ của cơ cấu di
chuyển. Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các

bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình
ngẫu nhiên. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới
việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích
động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có
tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của
các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất. Sự tồn tại
nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn
của mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ
hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong
các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra. Tuy nhiên, do những
hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có
nghiệm chính xác. Mặc dù các phương pháp số giúp cho các bài toán phi tuyến
trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số
không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ. Ví dụ, đối
với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính
toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự do gồm nhiều
thông số đầu vào thì khối lượng cần giải là rất lớn và mất nhiều thời gian tính
toán. Do vậy, phương pháp giải tích xấp xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi
tuyến.
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương
đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn
giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không
dừng, hệ có trễ. Theo thống kê trong [57], kể từ khi được đề xuất trong những
năm 1950-1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính
hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê trong [64] chỉ tính từ năm 1990 đến 2005 đã
có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị liên quan đến tuyến tính hóa


2
ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên. Tuy

nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính
xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng, lên đến hơn 20% [31],[49], [69]. Do đó,
vấn đề nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên
cứu, ứng dụng. Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết
nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục
tiêu, đối tượng và phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau:
Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân tích mô men đáp ứng bậc
hai của dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến
thay đổi khác nhau, sai số của nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi tuyến một bậc tự
do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng đa thức.
Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương pháp giải tích,
phương pháp hình học giải tích và phương pháp số. Các phương pháp giải tích,
phương pháp hình học giải tích được sử dụng để phân tích các tính chất, đặc
điểm cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn đối có trọng số. Phương pháp
số được sử dụng chương trình có sẵn trong phần mềm Matlab để tính toán cho
bài toán nội suy và các thuật toán xác định nghiệm của một số dao động ngẫu
nhiên phi tuyến một bậc tự do. Các dao động này có nghiệm chính xác hoặc
nghiệm mô phỏng số, được sử dụng làm cơ sở để xây dựng một số đặc điểm của
tiêu chuẩn được đề xuất và để đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn này.
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu và bốn chương, bao gồm:
Chương 1. Sơ lược về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một
số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Trong chương
này các vấn đề cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao
động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến được liệt kê.
Chương 2. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.
Trong chương này trình bày về phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu

3
nhiên trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương
pháp tuyến tính hóa tương đương được giới thiệu tóm tắt.
Chương 3. Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương ngẫu nhiên. Trong chương này xây dựng tiêu chuẩn đối ngẫu dựa
trên cách thay thế tương đương đối ngẫu. Các tính chất và đặc điểm cơ bản của
tiêu chuẩn này được mô tả có quan hệ chặt chẽ với mức độ phụ thuộc tuyến tính
dưới dạng giải tích và hình học giải tích. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác
định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu
chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên
phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Xác định được phạm vi
hiệu quả của tiêu chuẩn đối ngẫu theo mức độ phụ thuộc tuyến tính.
Chương 4. Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số của phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Để cải tiến hạn chế về phạm vi áp dụng của
tiêu chuẩn đối ngẫu, trong chương này phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu thành dạng
tổng quát hơn thu được tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Phân loại mức độ phụ
thuộc tuyến tính áp dụng cho tuyến tính hóa ngẫu nhiên được đề xuất. Xác định
được biểu thức giải tích của trọng số dưới dạng hàm tuyến tính từng đoạn của
mức độ phụ thuộc tuyến tính dựa trên việc phân tích ảnh hưởng của trọng số và
bài toán nội suy từ dao động Lutes Sarkani. Hiệu quả của tiêu chuẩn này được
đánh giá thông qua việc so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm xác định theo
tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu
nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Ngoài ra, áp dụng
mở rộng cho dao động tự do cũng được trình bày.
Kết luận chung. Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án
và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo,
trong đó các bài báo 2, 3, 4, 6 được công bố trong nước; các bài báo 1, 5 được
công bố quốc tế.

4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
Trong phân tích dao động, có hai cách tiếp cận chủ yếu là các phương
pháp của cơ học tiền định và các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên. Khi các
thông số đầu vào của hệ đã biết hoặc có thể dự đoán được, các phương pháp của
cơ học tiền định sẽ được sử dụng để nghiên cứu các trạng thái có tính chất đơn
lẻ của hệ. Trong khi đó, các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên hướng tới việc
nghiên cứu toàn bộ các trạng thái có khả năng xảy ra của hệ, các thông số đầu
vào thường được biểu diễn theo các quy luật xác suất và thống kê do không thể
đo đạc hoặc dự đoán chính xác được. Để phân biệt, dao động ngẫu nhiên được
định nghĩa là các chuyển động không phải là tiền định. Mục tiêu chính trong
phân tích dao động ngẫu nhiên là xác định các đặc trưng xác suất của đáp ứng.
Trong chương này, sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác
suất, một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt và một số phương pháp phân tích dao
động ngẫu nhiên phi tuyến.
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất
1.1.1 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên
Trong nghiên cứu dao động ngẫu nhiên, các thuật ngữ và định nghĩa của lý
thuyết xác suất thường được sử dụng là:
Phép thử: là sự thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện
tượng nào đó có xảy ra hay không.
Kết cục: là kết quả của phép thử.
Tập hợp: chứa tất cả các kết cục trong miền D.
Không gian mẫu: là tập hợp của tất cả các kết cục trong một phép thử.
Sự kiện: là hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử hoặc còn gọi là
một quá trình nếu kết cục của phép thử là một hàm của thời gian. Sự kiện là tập
hợp của các kết cục có liên quan trong một phép thử nên là tập con của không

gian mẫu. Sự kiện ngẫu nhiên: là một sự kiện có thể xảy ra, hoặc có thể không


5
xảy ra khi thực hiện phép thử. Ngược lại, sự kiện tiền định là một sự kiện mà ta
biết chắc chắn nó sẽ phải xảy ra hoặc không thể xảy ra.
Xác suất: là độ đo khả năng xuất hiện của một sự kiện khi thực hiện phép thử,
được ký hiệu là P(I), theo định nghĩa của Von Mises là [53]

I
P(I) lim
n
n
n

 (1.1)
trong đó n là số lần thực hiện một phép thử, n
I
là số lần xuất hiện của sự kiện I.
1.1.2. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng X được gán cho kết cục của một phép
thử. Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên là một hàm có miền xác định là tập hợp
của các kết cục thỏa mãn hai điều kiện sau
a) Tập hợp X  x là một sự kiện I đối với mỗi số thực x,
b) Xác suất của các sự kiện



P X 0
  

và


P X 0
  
(1.2)
Hàm của biến ngẫu nhiên gọi là hàm ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên và hàm ngẫu
nhiên còn được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) là xác suất để biến
ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với mọi x từ

tới


F(x) = P{X  x} (1.3)
Hàm phân phối xác suất có các tính chất



F( ) 1, F( ) 0, 0 F 1 ,
x
     

nếu




1 2 1 2
thì F F ,

x x x x
 
nếu




0 0
F 0 thì F 0, ,
x x x x
    (1.4)





P X 1 F ,
x x
  



1 2 2 1
( ) ( )
P x X x F x F x
   
Dựa trên tính chất của hàm phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên có hai loại rời
rạc và liên tục. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu hàm phân bố xác suất
của nó có dạng

6



F( ) P X
i
i
x x
x x P

  

với


P X
i i
P x
  (1.5)
Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm F(x) của nó liên tục, có đặc điểm



F( ) P X 0
x x
  
, với
x


(1.6)

a) Loại liên tục b) Loại rời rạc
Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm
Hàm mật độ xác suất ký hiệu là


p x
, dùng để mô tả mức độ tập trung xác suất
của biến ngẫu nhiên X tại điểm x. Biểu diễn của hàm mật độ xác suất của các
biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc là khác nhau. Như ví dụ ở hình 1.1a thể hiện
hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm là đường liên tục còn ở hình 1.1b thể
hiện hàm mật độ của tải trọng rời rạc tác dụng lên dầm. Đối với biến ngẫu nhiên
liên tục


p x
được định nghĩa là đạo hàm

 


F
d x
p x
dx
 (1.7)
và có các tính chất

       

     
0, F P X ,
F( ) 1, P a X b
x
b
a
p x x x p x dx
p x dx p x dx



   
      

 
(1.8)
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên loại rời rạc hoặc loại pha trộn giữa
liên tục và rời rạc được định nghĩa là

 
 
1
n
i i
i
p x p x x


 


(1.9)
trong đó hàm Delta Dirac


x

được biểu diễn là


7

 
, 0
0, 0
x
x
x

 





với đặc điểm
 
1
x dx






(1.10)
Hàm mật độ xác suất (1.9) cũng thỏa mãn các tính chất đã nêu trong (1.8).
Trong lý thuyết dao dộng ngẫu nhiên, thường sử dụng biến ngẫu nhiên X phụ
thuộc vào thời gian. Các khái niệm và đặc trưng cơ bản của quá trình ngẫu nhiên
ở phần kế tiếp được sử dụng để mô tả các trường hợp như vậy.
1.2 Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa một cách vắn tắt là một dãy các thể
hiện của biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian (hình 1.2) hoặc không gian một
chiều. Nếu số lượng các thể hiện là hữu hạn thì quá trình gọi là rời rạc, nếu số
lượng các thể hiện tập hợp vô hạn thì quá trình gọi là liên tục. Trong thực tế
thường gặp các quá trình ngẫu nhiên liên tục chẳng hạn như vận tốc gió, tuy
nhiên ta không thể thu thập được các tập hợp vô hạn này trong không gian và
thời gian. Phương án khả thi là thu thập một lượng thông tin đủ lớn, kết hợp với
các kinh nghiệm có được trong quá khứ sẽ cho phép việc mô tả một quá trình
ngẫu nhiên ở mức độ gần đúng theo mong muốn. Ví dụ như Bản đồ phân vùng
áp lực gió lãnh thổ Việt Nam được thiết lập cho chu kỳ lặp 20 năm.

Hình 1.2. Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu)
t
1
t
2


8
Để đơn giản, ta có thể sử dụng ký hiệu x(t) cho quá trình ngẫu nhiên x theo thời
gian t. Hình 1.2 mô tả tổng thể hay các thể hiện







1 2
, ,
n
x t x t x t
của một quá
trình ngẫu nhiên. Mỗi thể hiện


i
x t
được gọi là một hàm mẫu, chứa các mẫu x
i
.
Trung bình của tất cả các mẫu tại thời điểm t
1
hay t
2
được gọi là các trung bình
tổng thể. Tại mỗi thời điểm t=t
1
thì quá trình ngẫu nhiên là một biến ngẫu nhiên


1

i
x t
. Vì vậy, ta có thể sử dụng các định nghĩa và khái niệm về biến ngẫu nhiên
áp dụng cho quá trình ngẫu nhiên. Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường
liên quan đến việc sử dụng các đặc trưng là các hàm không ngẫu nhiên như hàm
mật độ xác suất, trung bình, trung bình bình phương, phương sai, hàm tương
quan, mật độ phổ.
1.2.1 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên
Ký hiệu


;
F x t
là phân bố bậc nhất của quá trình ngẫu nhiên


x t
với mỗi t xác
định, thì đạo hàm bậc nhất của


;
F x t
theo x là mật độ xác suất bậc nhất của
quá trình


x t
, ký hiệu là



;
p x t


 


 
;
;
F x t
p x t
x t



(1.11)

Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất có một số tính chất cơ bản như sau

 
 
 
P a b ;
b
a
x t p x t dx
  


(1.12)

 
; 1
p x t dx




(1.13)


9
Biểu thức (1.12) là xác suất để


x t
nằm trong khoảng (a, b) có giá trị bằng diện
tích nằm dưới đường cong


;
p x t
trong khoảng này (hình 1.3).
Phân bố bậc hai


1 2 1 2
, ; ,

F x x t t
của quá trình


x t
là phân bố liên kết của các
biến ngẫu nhiên


1
x t
và


2
x t
có đạo hàm bậc hai của nó theo x là mật độ xác
suất bậc hai. Hàm mật độ xác suất bậc hai có tính chất

 
2 1 2 1 2 1 2
, ; , 1
p x x t t dx dx
 
 

 
(1.14)
và quan hệ với mật độ xác suất bậc nhất theo công thức

       
1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; , ; , , ; , ; ,
p x t p x x t t dx p x t p x x t t dx
 
 
 
 
(1.15)
Nếu


1
x t
và


2
x t
là độc lập thì







2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2
, ; , ; ;
p x x t t p x t p x t

 (1.16)
Hàm mật độ xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y là

2
1
( , )
( / )
( )
p x y
p x y
p y
 (1.17)
Khi biết hàm mật độ xác suất một chiều hoặc hai chiều, có thể tính toán được
các đặc trưng xác suất khác của quá trình ngẫu nhiên, cụ thể là các mô men.
Tổng quát, mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên


x t
có dạng

 
 
     
;
n n n
n
E x t x t x t p x t dx




  

(1.18)
Hai mô men quan trọng thường được sử dụng là mô men bậc nhất gọi là trung
bình
x
m
hay kỳ vọng toán


x t
và mô men bậc hai biểu diễn giá trị trung bình
bình phương của


x t
,


2
x t
. Giá trị trung bình dùng để phản ánh giá trị trung
tâm của phân phối xác suất của quá trình


x t
là mô men bậc nhất

 
 

       
;
x
E x t m t x t x t p x t dx


  

(1.19)
có tính chất tuyến tính


10






       
1 2 1 2
, ,
c c cx t c x t c const
x t x t x t x t
  
  
(1.20)
Trung bình bình phương của



x t
là mô men bậc hai, có ý nghĩa là công suất
trung bình của quá trình

 
 
     
2 2 2
;
E x t x t x t p x t dx


 

(1.21)
Mô men của


x t
với trung bình của nó được gọi là mô men trung tâm

 
 


   
 
 
 
 

;
n
n n
n x x
E x t m x t x t x t m p x t dx



     

(1.22)
Mô men trung tâm bậc hai gọi là phương sai
2
x

, là giá trị trung bình của bình
phương độ lệch so với trung bình
x
của nó

   




   
2
2
2 2
x x

D E x t x t x t x t

     (1.23)
được sử dụng để đo mức độ phân tán của


i
x t
quanh giá trị trung bình. Căn bậc
hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn
x

. Trường hợp


x t
có trung bình
không,
0
x

, phương sai giảm xuống trung bình bình phương







2 2 2

x
E x t x t

 
(1.24)
Mô men liên kết của


x t
tại hai thời điểm
1
t
và
2
t
có dạng

   
 
     
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
, ; ,
n m n m n m
E x t x t x t x t x x p x x t t dx dx


 

(1.25)
Hàm tự tương quan là mô men liên kết bậc nhất

       
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
, , ; ,
R t t x t x t x x p x x t t dx dx
 
 
 
 
(1.26)
Nếu x
1
và x
2
độc lập lẫn nhau hay còn gọi là không tương quan thì hàm tự tương
quan bằng 0.
Nếu
1 2
t t t
 
thì












2 2
, 0
R t t R E x t x t
  
(1.27)


11

Mô men liên kết trung tâm của


x t
tại hai thời điểm
1
t
và
2
t
cho bởi

 


 





 
 
 
 
 
1 2
1 2
1 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2
, ; ,
n m
nm x x
n m
x x
E x t m x t m
x t m x t m p x x t t dx dx

 
 
   
  
 
(1.28)
Mô men liên kết trung tâm bậc hai gọi là hiệp phương sai



11 1 2 12 1 2 1 2
,

xx
D t t D x x x x

    (1.29)
Nếu x
1
và x
2
có trung bình không thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương
quan. Nếu x
1
và x
2
độc lập lẫn nhau thì hiệp phương sai bằng 0. Nếu
1 2
t t t
 

thì hiệp phương sai trùng với phương sai. Trong phân tích quan hệ của hai hàm
ngẫu nhiên




1 2
X, Y
x t x t
 
, thường sử dụng phương sai được chuẩn hóa

 
11 XY
1/2
X Y
20 02
r
 
 
 
 
,
1
r

(1.30)
Phương sai chuẩn hóa thường được gọi là hệ số tương quan của hai đại lượng
ngẫu nhiên X và Y, có tính chất
1
r

theo bất đẳng thức Cauchy-Swarch. Nếu
biểu diễn X và Y dưới dạng hai véc tơ trong không gian xác suất, Rodgers [61]
chứng minh rằng



cos
r

 (1.31)

với

là góc giữa hai véc tơ này. Khi
0 / 2
 
 
,
0
r

được gọi là tương quan
dương. Khi
/ 2
  
 
,
0
r

được gọi là tương quan âm (hình 1.4).

a) Tương quan dương,
0 / 2
 
 
b) Tương quan âm,
/ 2
  
 

Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm
Trong nhiều trường hợp khi phân tích tương quan, ta có thể sử dụng hệ số tương
quan bình phương r
2
thay cho r. Vì
2
0
r

nên không cần quan tâm đến hướng
của X và Y. Trong bài toán xấp xỉ đại lượng ngẫu nhiên X bằng một hàm tuyến
tính của đại lượng nhiên Y, có dạng
aY b

, áp dụng tiêu chuẩn bình phương tối


12

thiểu Soong [66] chứng minh rằng xấp xỉ tuyến tính là tốt nhất khi
2
1
r

, ngược
lại là tồi nhất khi
2
0
r


. X và Y được gọi là không tương quan nếu

0
r

hay
XY = X Y
(1.32)
và được gọi là trực giao nếu

XY =0
(1.33)
Do đó, hệ số tương quan r hay hệ số tương quan bình phương r
2
được sử dụng là
độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y. Trong
xác suất và thống kê, hệ số ảnh hưởng (effect size) được định nghĩa là một độ đo
định lượng cường độ của một hiện tượng (phenomenon) [24], theo đó r hay r
2

cũng là hệ số ảnh hưởng. Việc phân loại hệ số ảnh hưởng có thể được đề xuất, ví
dụ Cohen [24] phân loại mức độ tương quan tuyến tính dựa trên giá trị của r và
r
2
thành ba mức như bảng 1.1.
Bảng 1.1 Phân loại mức độ tương quan tuyến tính của Cohen
Mức độ r r
2

Yếu 0.1-0.3 0.01-0.1

Trung bình 0.3-0.5 0.1-0.25
Mạnh > 0.5 > 0.25
1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu các tính chất thống
kê của nó không đổi theo thời gian, nghĩa là





1 1 1 1
, , ; , , , , ; , , ,
n n n n n n
p x x t t p x x t t n
 
   
(1.34)
với
2 1
t t

 
là độ trễ.
Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k nếu (1.34) đúng với n  k. Quá
trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp. Quá trình dừng có
các tính chất






 
   
       
1 1
2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
;
, ; , , ;
,
x
x
p x t p x
x t m const
p x x t t p x x
R t t x t x t R x x

 


 





   

(1.35)

13


Nói một cách khác mật độ xác suất một chiều không phụ thuộc vào thời gian, có
giá trị trung bình là một đại lượng không đổi, mật độ xác suất hai chiều và hàm
tương quan chỉ phụ thuộc vào độ trễ

.
Như vậy, định nghĩa quá trình dừng đã làm đơn giản hóa đáng kể việc mô tả một
quá trình ngẫu nhiên. Bởi vậy, các ứng dụng kỹ thuật thường chú ý đến việc giả
thiết quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong khoảng thời gian hoặc không gian không
lớn là quá trình dừng.
Hàm tự tương quan


x
R

của quá trình ngẫu nhiên dừng


x t
theo công thức
cuối cùng trong (1.35) là hàm chẵn, liên tục, xác định không âm theo độ trễ

.
Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là hàm mật độ phổ



x
S

. Lấy tích
phân Fourier cho hàm


x
R

được

0
( ) ( )exp{ } 2 ( )cos
x x x
R S i d S d
      
 

 
 
(1.36)
trong đó


x
S

là biến đổi ngược Fourier của hàm



x
R



0
1 1
( ) ( )exp{ } ( )cos
2
x x x
S R i d R d
      
 
 

  
 
(1.37)
Đối với quá trình thực


x t
, thì


x
S

là hàm chẵn, không âm đối với


và đạt
cực đại tại gốc toạ độ. Thay
0


vào (1.36) thu được phương sai

     
2
0 0
x x x
R D x S d
 


  

(1.38)
(1.38) cho thấy hàm


x
S

biểu thị mật độ phương sai hay trung bình bình
phương của quá trình


x t

với tần số

.
Quá trình ồn trắng ký hiệu là
( )
t


là quá trình ngẫu nhiên có mật độ phổ không
đổi trong mọi dải tần số,


const
x
S

 . Khi đó quá trình ồn trắng được xác
định bởi các điều kiện

 
2
2
0
0; ( ) ; ( ) ( )
2
x x
x t S S R

    


    (1.39)