Bài toán cực trị điện xoay chiều

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU
(MẠCH CÓ R, L, C MẮC NỐI TIẾP)
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng
quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên
thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó
Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
Không nói đến r là r = 0
A. Mạch chỉ có R biến thiên.
A.I. Hiệu điện thế (U).
A.I.1. Giá trị R làm cho U
R
cực đại.
( )
2 2 2
2
R=
( )
1
R
L C
L C
U U
U I R
R Z Z
Z Z
R
= =

+ −
−
+
=>U
R
cực đại khi R = ∞  Z = ∞ = R  U
R
=U
Mặt khác U
R
cực tiểu khi R = 0  U
R
= 0
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
A.I.2. Giá trị R làm cho U
L
, U
C
, U
LC
, U
d
cực đại.
L, C, r = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại.
1
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
Mặt khác:
L, C, r = const  muốn các giá trị này cực tiểu thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực tiểu.
- L, C, r = const => Không có R
1

≠ R
2
để Z
1
=Z
2
 Không có R
1
≠ R
2
để I
1
=I
2
, U
L1
=U
L2
, U
C1
=U
C2
,
U
LC1
=U
LC2

- Không có R
1

≠ R
2
để U
RL1
= U
RL2
; U
RC1
= U
RC2
.
A.I.3.a. U
RL
không đổi khi R biến thiên.
Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự C , L(r=0) , R
2 2
2 2 2
2 2
( ) 2
1
L
RL
L C L C C
L
U R Z
U
U
R Z Z Z Z Z
R Z
+

=
+ − −
−
+
U
RL
không phụ thuộc R 
2
L C
2Z Z Z 0
C
− =
 Z
C
=2Z
L
và U
RL
= U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
A.I.3.b. U
RC
không đổi khi R biến thiên.
Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự L(r=0), C, R
2 2
2 2 2
2 2
( ) 2
1
C

RC
L C L C L
C
U R Z
U
U
R Z Z Z Z Z
R Z
+
=
+ − −
−
+
U
RC
không phụ thuộc R 
2
L C
2Z Z Z 0
L
− =
 Z
L
= 2Z
C
và U
RC
= U
A.I.3.c. U
R

không đổi khi R biến thiên.
U
R
= const khi R biến thiên  Z
L
= Z
C
và U
R
= U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
2
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
A.II. Công suất (P).
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
m
== R + r
A.II.1.a. Có hai giá trị R
1
≠ R

2
cho cùng một giá trị công suất.
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
2
2
2 2
( )
m m
m L C
U
P R I R
R Z Z
= =
+ −
- Vì P
1
= P
2
= P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai
giá trị R
1
và R
2
. Khai triển biểu thức trên ta có:
2 2 2
( ) 0
m m L C
PR R U P Z Z− + − =
- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có
hai nghiệm phân biệt R

1
và R
2
. Theo định lý Viète (Vi-et):
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
. ( ) ( )( ) ( )
2
m m L C L C
m m
R R Z Z R r R r Z Z
U U
R R R R r
P P
 
= − + + = −
 
⇔
 
+ = + + =
 
 
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R
1
và R
2
khác nhau cho cùng giá trị công suất
1 2

2
1
1 1 1
1 2
1
2
2 2 2
1 2 1 2
1
2
m m
L C m
m m m
m m
L C m
m m m
R R
Z Z R
Tan
R R R
R R
Z Z R
Tan
R R R
Tan Tan
φ
φ
π
φ φ φ φ
−

= = ± = ±
−
= = ± = ±
⇒ = ⇒ + =
Tanϕ > 0 nếu Z
L
> Z
C
và Tanϕ < 0 nếu Z
L
< Z
C
Lưu ý: Công thức ở trên khác với trường hợp 2 điện áp tức thời vuông pha:
1 2 1 2
n Ta 1
2
Ta n
π
φ φ φ φ
= − ⇔ − =
A.II.1.b Giá trị của R làm cho P
mạch
cực đại.
- Ta có:
2 2
2
2
2 2
( )
( )

m m
L C
m L C
m
m
U U
P R I R
Z Z
R Z Z
R
R
= = =
−
+ −
+
3
A
B
C
R
L,r
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Đặt
2
( )
L C
m
m
Z Z
A R

R
−
= +
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
2 2
( ) ( )
2 2
L C L C
m m L C
m m
Z Z Z Z
A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
m L C
R Z Z
= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
2 2 2
max
1 2 1 0 2 0
2
2 . 2 ( )( )
L C

td td
U U U
P
Z Z
R R R R R R
= = =
−
+ +
Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó là:
Với R
1td
và R
2td
là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi
L C
Z Z r− <
thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực
đại là R = 0.
A.II.1.c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R.
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta
thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
2
2
2 2
( )
m m
m L C
m

U
P R I R
R Z Z
R R r
= =
+ −
= +
- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C m
m L C
Z Z R
P R U
R Z Z
− −
=
+ −
Khi
' 2 2
( ) 0 ( ) 0
L C m m L C L C
P R Z Z R R Z Z R Z Z r= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −

Bảng biến
thiên :
R
0
L C
Z Z r− −
+∞
P’(R
)
+ 0 -
P(R)

2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
2 2
( )
L C
U
P r
r Z Z
=
+ −

0
4
P
R
O
P
max
R=Z
L
- Z
C
- R
0
2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
2 2
( )
L C
U
P r
r Z Z
=

+ −
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
Đồ thị của P theo R
m
:
Nhận xét đồ thị :
• Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R
1
và R
2
cho cùng một giá trị của công suất.
• Công suất đạt giá trị cực đại khi
0
L C
R Z Z r= − − >
• Trong trường hợp
0
L C
R Z Z r= − − <
thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta
thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0 (r tăng dần thì trục P của đồ thị dịch chuyển dần theo
chiều dương trục R).
• Nếu r = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất
của toàn mạch cực đại là
L C
R Z Z= −
Kết luận:
• Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không
hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.
• Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở

R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.
A.II.2. Giá trị R làm cho P
R
cực đại.
- Công suất của biến trở R là
2 2
2
2 2
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
R
L C
L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −
- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
2 2 2 2
0 0
0
( ) ( ) ( )
2

L C L C
R R Z Z R Z Z
A R R
R R
+ + − + −
= = + +
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
2 2 2 2 ( ) 2
L C L C
L C
r Z Z r Z Z
A R r R r r Z Z r const
R R
+ − + −
= + + ≥ + = + − + =
- Ta thấy rằng P
Rmax
khi A
min
nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
5
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
2 2
0
( )
L C
R R Z Z

= + −
- Công suất cực đại của biến trở R là:
2
max
2 2
2 ( ) 2
R
L C
U
P
r Z Z r
=
+ − +
A.II.3. Giá trị R làm cho P
d
cực đại.
- Ta có :
2 2 2
2 2
;
( ) ( )
d d L
L C
P rI U I Z r
U
I
R r Z Z
= = +
=
+ + −

- Vì r; Z
L
; Z
C
và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng
điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I
max
khi giá trị của biến trở R = 0.
B. Mạch chỉ có L biến thiên.
B.I. Hiệu điện thế (U).
B.I.1. Giá trị Z
L
để U
R
, U
C
, U
RC
cực đại.
C, R = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại.
( )
2
2
Z
L C
U U
I
R Z Z
= =
+ −

 Z
L
=

Z
C
 Z
min
= R
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
6
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
B.I.2.a Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax

Cách 1:
Với , đặt
Do hệ số hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:
Vậy
2 2
axLm L
U
U R Z
R
= +
khi
2 2

2
C
L C C
C C
R Z
R
Z Z Z
Z Z
+
= = + >

Cách 2:
- Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
2 2
( )
L L L
L C
U
U IZ Z
R Z Z
= =
+ −
, trong đó R; Z
C
và U là
các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là Z
L
. Tuy nhiên
với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải
dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có
:
sin( ) sin
L
U U
α β γ
=
+
- Vì
2 2
sin cos
R
RC
C
U R
const
U
R Z
γ β
= = = =
+
, suy ra

sin( ) sin( )
sin cos
L
U U
U
α β α β
γ β

= + = +
- Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế U
Lmax
khi
sin( ) 1
2
π
α β α β
+ = ⇒ + =
- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
2
RC C L
U U U=
, từ đó suy
ra
2 2
L C C
Z Z R Z= +
7
i
U
R
U
RC
U
O
U
C
U
L

α
β
γ
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Tóm lại:
• Khi
2 2
C
L
C
R Z
Z
Z
+
=
thì
2 2
max
C
L
R Z
U U
R
+
=
• Khi U
Lmax
thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u
RC
một góc

90
0
.
B.I.1.b Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị U
L
, giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1

và L
2
.
- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U Z I Z I
R Z Z R Z Z

= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
L L
C L L C C L L C
Z Z
R Z Z Z Z R Z Z Z Z
=
+ + − + + −
- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì
2 2
L C C
Z Z R Z= +

với giá trị Z
L
là giá trị làm cho U
Lmax
. Thay vào biểu thức trên:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2
2 2
L L

L C L L C L C L L C
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
=
+ − + −
- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2 1 2 1 2
2 2
( ) 2 ( )
L L L L L L L
Z Z Z Z Z Z Z− = −
8
U
L
L
m
U
0
LL
1
L
2
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Vì L
1
≠ L
2
nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 2

1 2
1 2 1 2
2
2
1 1 1 1
2
L L
L m
L L m
Z Z
L L
Z L hay
Z Z L L L L L
 
= ⇔ = = +
 ÷
+ +
 
với giá L
m
là giá trị là cho U
Lmax
B.I.3 Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
.
- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2 2
2 2

2 2 2 2
2 2
( ) ( )
L
LR L
L C L C
L
U R Z
U
U I R Z
R Z Z R Z Z
R Z
+
= + = =
+ − + −
+
- Đặt
2 2
2 2
( )
L C
L
R Z Z
MT
R Z
+ −
=
+
, ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số Z
L

để tìm giá
trị của Z
L
sao cho MT
min
khi đó giá trị của U
Lrmax
. Đạo hàm của MT theo biến số Z
L
ta thu được :
2 2 2 2
'
2 2 2
2( )( ) 2 [ ( ) ]
( )
( )
L C L L L C
L
L
Z Z R Z Z R Z Z
MT Z
R Z
− + − + −
=
+
- Cho MT’(Z
L
) = 0 ta có :
2 2 2
0

C L C L C
Z Z Z Z Z R− − =
. Nghiệm của phương trình bậc hai này là:
1
2
2 2
2 2
4
0
2
4
0
2
C C
L
C C
L
Z R Z
Z
Z R Z
Z

+ +

= >


− +

= <



. Lập bảng biến thiên ta có:
Z
L
0
2 2
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=

+∞
MT’(Z
L
)

- 0 +
MT (Z
L
)

2
2 2
4
2

C C
R Z Z
R
 
+ −
 ÷
 ÷
 
- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên U
LR
đạt giá trị lớn nhất. Ta thu
được kết quả sau:
Khi
2 2
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4
RLm
C C
U

U
R Z Z
=
+ −
9
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
B.II. Công suất (P).
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi
R và C không đổi.
vậy thì I
max
và giá trị
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch . Do R không đổi nên
Giá trị
Khi đó Z
min
= R

, Cosϕ
max
= 1
B.II.1. Có hai giá trị L
1

≠ L
2
cho cùng giá trị công suất.
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
1 2
2 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L C L C
U U
P P R R
R Z Z R Z Z
= ⇔ =
+ − + −
- Khai triển biểu thức trên ta thu được :
1 2
1 2
1 2
2 2
( ) ( )
( )
L C L C
L C L C
L C L C
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
− = −


− = − ⇔

− = − −


(loaïi)
(nhaän)
- Suy ra :
1 2
0
1 2
0
2 2
L L
L
Z Z
L L
Z L
+
+
= ⇔ =
( L
0
là giá trị để P
max
)
B.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z
L.
- Ta có công suất toàn mạch là:
2

2 2
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
, với R, C là các hằng số, nên công
suất của mạch là một hàm số theo biến số Z
L

- Đạo hàm của P theo biến số Z
L
ta có:
2
2 2 2
'( ) 2 '( ) 0
[ ( ) }]
c L
L L
L C
Z Z
P Z RU P Z
R Z Z
−
= ⇒ =
+ −
khi
L C

Z Z=
10
A
B
C
R
L
Z
L
0 Z
L
= Z
C
+∞P’(Z
L
)
+ 0 -P(Z
L
)
0
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Bảng biến thiên
-
Đ
ồ
thị của công suất theo Z
L
:
- Nhận xét đồ thị:
• Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

• Công suất của mạch cực đại khi
1 2
2
L L
L C
Z Z
Z Z
+
= =
, với
1 2
;
L L
Z Z
là hai giá trị của
cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của Z
L
sẽ cho phép định tính
được sự tăng hay giảm của P theoZ
L
. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá
trị của Z
L
trong một số bài toán.
11
P
Z
L
O

P
max
Z
L
= Z
C

2
max
U
P
R
=
2
2 2
C
U
P R
R Z
=
+
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
C. Mạch chỉ có C biến thiên.
C.I. Hiệu điện thế (U).
C.I.1. Giá trị Z
C
để U
R
, U
L

, U
RL
cực đại.
L, R = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại.
( )
2
2
Z
L C
U U
I
R Z Z
= =
+ −
 Z
L
=

Z
C
 Z
min
= R
C.I.2.a. Giá trị Z
C
để U
C
cực đại.
Chứng minh tương tự:
- Khi

2 2
2
L
C L L
L L
R Z R
Z Z Z
Z Z
+
= = + >
thì :
•
2 2
ax
L
Cm
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2 2 2
ax ax ax
; 0
Cm R L Cm L Cm
U U U U U U U U= + + − − =
• u
RL
vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch.

12
C
Z
C
0
Z
Cm
U
C
U
U
Cmax
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân

C.I.2.b. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax
tính theo
C
1
và C
2
.

- Khi có hai giá trị C = C
1
hoặc C = C
2
cho cùng giá trị U
C
thì giá trị C=C
m
làm cho U
Cmax
khi
1 2
1 2
1 1 1 1
( )
2 2
m
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =
C I.3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RC
cực đại.
- Khi
2 2

4
2
L L
C
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4
RCm
L L
U
U
R Z Z
=
+ −
( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau)
C.II. Công suất (P).
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi

và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z= + − = + −
do đó ta thấy rằng bài toán
thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng
thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
P
max
khi Z
C
= Z
L

13
A
B
C
R
L
C
m
C
1
C
2
U
C

0
U
C
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
C.II.1 Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất.
Với hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng giá trị công suất ta có
1 2
0
0 1 2
1 1 1 1
2 2
C C
C
Z Z
Z
C C C
+
 
= ⇔ = +
 ÷
 
Với giá trị C

0
là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
Khi đó Z
min
= R

, Cosϕ
max
= 1
,
I
max
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
C.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
- Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
= Z
L
+∞
P’(Z
C
) + 0 -
P(Z
C
)

2

max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z
=
+
0
- Đồ thị của công suất theo giá trị Z
C

14
P
Z
C
O
P
max
Z
L
= Z
C

2

max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z
=
+
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
D. Mạch chỉ có ω (hay f) biến thiên.
Không dùng giản đồ mà sử dụng đại số.
Nhiều bài toán cho omega1,2 phải đưa về Zl0=Zc0=x rồi từ đó suy ra mối quan hệ giữa x với
Zl1ZL2ZC1ZC2 dựa trên mối quan hệ giữa các giá trị omega để giải dễ hơn
VD: Mạch có cùng công suất với
Thì =
D.I. Hiệu điện thế (U).
D.I.1. Giá trị ω làm cho U
R
cực đại.
U
R
cực đại  I
max
 Z
min

Z
L
= Z
C

0
1
LC
ω ω
= =
U
Rmax
= U
D.I.2.a. Giá trị ω làm cho U
L
cực đại.
- Ta có :
. .
L L L
L
U U
U I Z Z
Z
Z
Z
= = =
, đặt
2
2
2

2
1
( )
L
R L
Z
C
A
Z L
ω
ω
ω
 
+ −
 ÷
 
 
= =
 ÷
 
- Biến đổi biểu thức A ta thu được :
2
2
2 2 2
1
1
R
A
L LC
ω ω

 
= + −
 ÷
 
- Ta tiếp tục đặt
2
1
0x
L
ω
= >
khi đó
2
2
1
R x
A x
L C
 
= + −
 ÷
 
- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:
2
2
'( ) 1
R x
A x
L C C
 

= − −
 ÷
 
- Cho A’(x) = 0 ta thu được
2 2
2
2
LC R C
x
L
−
=
- Vì
2
2
0
L
x R
C
> ⇒ >
khi đó ta thu bảng biến thiên:
x
0
2 2
2
2
LC R C
L
−
∞

15
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
A’(x) - 0 +
A(x)
A
min
- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:
2 2
2
2
L
LC R C
ω ω
= =
−
và
ax
2 2
2 .
4
Lm
U L
U
R LC R C
=
−
Nhận xét : Khi
2
2
0

L
x R
C
≤ ⇒ ≤
thì A
min
khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số
2
1
0a
C
= >
nên hàm số
có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A
min
trong miền xác định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho Z
L

rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị ω làm cho U
Lmax.

Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R
2
C<2L thì đồ thị có dạng:
16
U
U
C
ω
ω

C
0
U
U
C
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
17
0
ω
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
D.I.2.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
L.
2 2 2
1 2
1 1 1 1
2
C
ω ω ω
 
= +
 ÷
 
D.I.3.a. Giá trị ω làm cho U
C
cực đại.
- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω làm

cho U
Cmax
là:
- Khi
2 2
2
1 1
2 2
C
L R R
L C LC L
ω ω
= = − = −
thì
ax
2 2
2 .
4
Cm
U L
U
R LC R C
=
−
với
2
2L
R
C
>

Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R
2
C<2L thì đồ thị có dạng:
18
U
L
U
ω
0
ω
ω
L
0
U
U
L
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
D.I.3.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
C.

( )
2 2 2
1 2
1
2
L

ω ω ω
= +
Lưu ý:
- Khi ω thay doi
ax ax
2 2
2 .
4
Lm Cm
U L
U U
R LC R C
= =
−
2
2
ax
1
C
Lm L
U
U
ω
ω
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 

 
;
2
2
ax
1
C
Cm L
U
U
ω
ω
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 
 
-
C C
L L
f
f
ω
ω
=
nên
2
2

ax
1
C
Lm L
f
U
U f
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 
 
;
2
2
ax
1
C
Cm L
f
U
U f
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 

 
- ω
L
> ω
0
> ω
C ;
2
0 L C
ω ω ω
=
- Nếu L có r ≠ 0 thì R trong công thức là R
td
= R+r
D.II. Công suất (P).
D.II.1. Giá trị ω làm cho P
max
, P
Rmax
, P
dmax
.
- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R

R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt
giá trị cực đại khi:
0
1 1
0L
C
LC
ω ω ω
ω
− = ⇒ = =
. Với
2
max
U
P
R
=

- Khi đó Z
min
= R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng

pha nhau.
- Tương tự P
Rmax
, P
dmax
khi:
0
1
LC
ω ω
= =
D.II.2. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P
max
tính
theo ω
1
và ω
2
:
- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
2 2
2 2 2 2
1 2
1 2
1 1
( ) ( )

1 2
P P
U U
R R
R L R L
C C
ω ω
ω ω
= ⇔ =
+ − + −
19
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được :
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
(1)
1 1
( )(2)
L L
C C
L L
C C
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω


− = −




− = − −


- Vì ω
1
≠ ω
2
nên nghiệm (1) bị loại
- Khai triển nghiệm (2) ta thu được :
1 2
1
LC
ω ω
=
- Theo kết quả ta có :
2
0 1 2
1
LC
ω ωω
= =
với ω
0
là giá trị cộng hưởng điện.
D.II.3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω .

- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
- Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất
khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét
sau:
• Khi ω = 0 thì
1
C
Z
C
ω
= → ∞
làm cho P = 0
• Khi
0

1
LC
ω ω
= =
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại
• Khi
ω
→ ∞
thì
L
Z L
ω
= → ∞
làm cho P = 0.
Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :
ω
0
0
1
LC
ω ω
= =
+∞
P(ω)

2
U
R
0 0
20

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân

- Nhận xét đồ thị:
• Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị
ω
1
≠
ω
2
cho cùng một giá trị công suất, điều này
phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
E. Một số bài toán khác.
E.I. Các công thức dễ nhầm lẫn.
ax
1 2 1 2
m Lm
L L
L L U
L L U U
= ⇒
≠ ⇒ =
1 2
1 1 1 1
2
m
L L L
 
= +
 ÷
 

ax
1 2 1 2
L Lm
L L
U
U U
ω ω
ω ω
= ⇒
≠ ⇒ =
2 2 2
1 2
1 1 1 1
2
C
ω ω ω
 
= +
 ÷
 
0 ax
1 2 1 2
m
L L P
L L P P
= ⇒
≠ ⇒ =
1 2
0
2

L L
L
+
=
ax
1 2 1 2
m Cm
C C
C C U
C C U U
= ⇒
≠ ⇒ =
1 2
2
m
C C
C
+
=
ax
1 2 1 2
C Cm
C C
U
U U
ω ω
ω ω
= ⇒
≠ ⇒ =
( )

2 2 2
1 2
1
2
L
ω ω ω
= +
0 ax
1 2 1 2
m
C C P
C C P P
= ⇒
≠ ⇒ =
0 1 2
1 1 1 1
2C C C
 
= +
 ÷
 
E.II. Z
L
= Z
C
.
Đoạn mach RLC nối tiếp mắc theo thứ tự R, L (r≠0), C
( )
( )
2

2
2
2
2
2
1
MB L C
L C
U U
U r Z Z
Z
R Rr
r Z Z
= + − =
+
+
+ −
U
MB min
= U
r
khi Z
L
= Z
C
21
0
1
LC
ω

=
ω
P
P
max
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
E.III.1.
0 max
ax
1 2 1 2
I
m
I I
I I
n
ω ω
ω ω
= ⇒ =
≠ ⇒ = =
1 2
ω ω
−
, L đã biết.
thì
1 2
2
1
L
R
n

ω ω
−
=
−
Chứng minh:
( )
( )
( )
( )
0 ax min
ax
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2
2 2 2
2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
2
,
1 1
1 1
1 1

1 1
1 1
1
1
m
m
I Z R
I
I I Z Z nR
n
R L R L nR
C C
L n R L n R
C C
L n R L n R
C C
L
L n R R
n
ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω ω
= ⇒ ⇒ =

= = ⇒ = = ⇒ = = >
   
⇒ + − = + − =
 ÷  ÷
   
⇒ − = − ⇒ − = −
− = − − ⇒ − = − −
−
⇒ − = − + ⇒ =
−
22
U
U
MB
Z
C
0
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
F. Cực trị trong máy điện.
F.I.1.
Máy phát điện xoay chiều 1 pha có điện trở trong không đáng kể, mắc vào đoạn mạch nối tiếp RLC.
Rôto có tốc độ quay là n
1
và n
2
thì I
1
= I
2
. Khi rôto có tốc đọ quay là n

0
thì I
max

2 2 2
0 1 2
1 1 1 1
2n n n
 
= +
 ÷
 
hay
2 2
2
1 2
0
2 2
1 2
2n n
n
n n
=
+

F.II.1.
Máy biến áp có lõi đối xứng gồm n nhánh nhưng chỉ có hai nhánh được quấn hai cuộn dây. Khi mắc một
cuộn dây vào điện áp xoay chiều thì các đường sức từ do nó sinh ra không bị thoát ra ngoài và được chia
đều cho hai nhánh còn lại. Khi mắc cuộn 1 vào điện áp hiệu dụng U thì ở cuộn 2 khi để hở có điện áp
hiệu dụng

2
U
. Khi mắc cuộn 2 với điện áp hiệu dụng
2
U
thì điện áp hiệu dụng ở cuộn 1 khi để hở là
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
' '
1 2 1 2 1
2
' '
1 2 1 2
' '
'
2 2 2 2
2
2 2 2
'
2 2 2
1 1 2
1 / 1
1 1
1 1
1 1 1
U N N

n U N N n
U N N
n U N N n
U U U U
U
U
U U UU
n n n
φ φ
φ φ
φ
φ φ
φ
φ
= = ⇒ = =
− −
= ⇒ = =
− −
⇒ = ⇒ = ⇒ =
− − −
23
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
MỤC LỤC
A. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
A.I. Hiệu điện thế (U).
A.I.1. Giá trị R làm cho U
R
cực đại.
A.I.2. Giá trị R làm cho U
L

, U
C
, U
LC
, U
d
cực đại.
A.I.3.a. U
RL
không đổi khi R biến thiên.
A.I.3.b. U
RC
không đổi khi R biến thiên.
A.I.3.c. U
R
không đổi khi R biến thiên.
A.II. Công suất (P).
A.II.4.a. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất.
A.II.1.b. Giá trị của R làm cho P
mạch
cực đại.
A.II.1.c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R.
A.II.2. Giá trị R làm cho P
R
cực đại.
A.II.3. Giá trị R làm cho P

d
cực đại.
B. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
B.I. Hiệu điện thế (U).
B.I.1. Giá trị Z
L
để U
R
, U
C
, U
RC
cực đại.
B.I.2.a. Giá trị Z
L
để U
L
cực đại.
B.I.2.b. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị U
L
,giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2

.
B.I.3. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
RL
cực đại.
B.II. Công suất (P).
B.II.1. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất.
B.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
C. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
C.I Hiệu điện thế (U).
C.I.1. Giá trị Z
C
để U
R
, U
L
, U
RL
cực đại.
24
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
C.I.2.a. Giá trị Z
C
để U
C

cực đại.
C.I.2.b. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax
tính theo C
1
và C
2
.
C I.3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RC
cực đại.
C.II. Công suất (P).
C.II.1. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất.
C.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
D. Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
D.I. Hiệu điện thế (U).

D.I.1. Giá trị ω làm cho U
R
cực đại.
D.I.2.a. Giá trị ω làm cho U
L
cực đại.
D.I.2.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
L.
D.I.3.a. Giá trị ω làm cho U
C
cực đại.
D.I.3.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
C.
D.II. Công suất (P).
D.II.1. Giá trị ω làm cho P
max
, P
Rmax
, P
dmax.
D.II.2. Có hai giá trị ω
1

≠ ω
2
cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P
max
tính theo ω
1
và ω
2
.
D.II.3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.
E. Một số bài toán khác.
F. Cực trị trong máy điện.
25