lý thuyết+bài tập+đề thi 2002 - 2010

ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
Tit 1 .TA TRONG KHễNG GIAN
A.Mục tiêu bài dạy
1. Kiến thức: Giúp học sinh nắm vững các công thức về tọa độ của điểm, của véc tơ. Mở rộng các bài
toán về tọa độ của điểm và véc tơ: Chứng minh 3 điểm không đồng phẳng, hình chiếu, chân đờng
vuông góc.
2. Kỹ năng: Học sinh giải thành thạo các bài toán về tọa độ của điểm, véc tơ.
3. T duy và thái độ:
- Biết quy lạ về quen, biết tự đánh giá bài làm của bạn và của mình.
- Chủ động tích cực, có tinh thần hợp tác trong học tập .
B. Chuẩn bị: + GV: Giáo án.
+ HS: Ôn tập kt về tọa độ của điểm, véc tơ.
C.Ph ơng pháp chủ yếu : Đàm thoại.
D.Hoạt động dạy học.
H1.TểM TT Lí THUYT
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1
2 2 2
1 2 3 2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
1. ( , , ) 2.
3. , , 4. k.a , ,
5. a 6. a
7. a. . . . 8. a / /
B A B A B A B A B A B A
AB x x y y z z AB AB x x y y z z
a b a b a b a b ka ka ka

a b
a a a b a b
a b
b a b a b a b b a
= = = + +
= =
=


= + + = =


=

= + + =
uuur uuur
r r r
r r r
r r r r r
3
1 2
1 2 3
1 1
2 2 1 1 2 2 3 3
3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
. 0
.

8, . . 9. a . 0 . . . 0
.
10. a , , , , . . ( ,
a
a a
k b a b k
b b b
a k b
a k b a k b b a b a b a b a b
a k b
a a a a
a a
b a b AB AC AB AC Sin AB A
b b b b
b b
= = = =
=


= = = + + =


=



= = =
ữ

r r r r
r r r r r r
r r r r uuur uuur uuur uuur uuur
)C
uuur
cb,,a .11
ng phng
, . 0a b c

=

r r r

cb,,a .12
khụng ng phng
, . 0a b c

=

r r r
13. M chia on AB theo t s k 1:

k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1
14. M l trung im AB:






+++
2
,
2
,
2
BABABA

zzyyxx
M
15. G l trng tõm tam giỏc ABC:






++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
G l trng tõm t din ABCD:
, , ,
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +

ữ

16. Vộct n v :

1 2 3
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)i e j e k e= = = = = =
ur r uur r ur
v
17. Hỡnh chiu Vuụng gúc ca im A(x; y; z ) lờn:

OzzKOyyNOxxM ),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
1
B
C
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,(

19.
2 2 2
1 2 3
1 1
,
2 2
ABC
S AB AC a a a
∆
 
= = + +
 
uuur uuur
O

2 2 2

1 2 3
,
ABCD
S AB AD a a a
 
= = + +
 
W
uuur uuur

20.
/ / / /
/
.
, .
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuuur
uuur uuur

/ / /
/
.
1
, .
2
ABC A B C

V AB AC AA
 
=
 
uuuur
uuur uuur
21.
1
.
6
ABCD
V AB AC AD
 
= ∧
 
uuur uuur uuur

HĐ 2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác - 3 điểm khơng thẳng hàng:
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0
r

•



1 1 1 2 2 2
. : : : :AB k AC a b c a b c≠ ⇔ ≠
uuur uuur
• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC∆
.2
• S
hbh
=
→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành H
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB =
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện hay 4 điểm khơng đồng phẳng:

• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD:
AHSV
BCD
.
3
1
=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=

• Thể tích hình hộp :
/ / / /
/
.
, .
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuuur
uuur uuur
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (α) : ta có
d
u n
α
=
uur r
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có
d
n u
α
=
uur uur
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2

A
D
B'
C'
D'
A'
h
A
D
B
C
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mp (α) (dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM
/

T
ọa độ điểm
M'
'
'
'
2.
2.
2.
M H M

M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM
/
.
T
ọa độ điểm
M'
'
'
'
2.
2.
2.
M H M

M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y:
2a i j
→ → →
= − +
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −
;
3 4 5d i j k
→ → → →
= − +

Bµi 2: Cho ba vect¬
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬
→
a
,
→
b
,

→
c
kh«ng ®ång ph¼ng
.
c) H·y biĨu diĨn vect¬
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬
→
a
,
→
b
,
→
c
.
Bµi 3: Cho 3 vect¬
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ). §Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång
ph¼ng .
Bµi 4: Cho:
( ) ( ) ( )

2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
→
→ →
= − = − =
.
T×m täa ®é cđa vect¬: a)
1
4 3
2
d a b c
→ → → →
= − +
b)
4 2e a b c
→ → → →
= − −
Bµi 5: T×m täa ®é cđa vect¬
x
→
, biÕt r»ng: a)
0a x
→ → →
+ =
vµ
( )
1; 2;1a
→
= −
b)
4a x a

→ → →
+ =
vµ
( )
0; 2;1a
→
= −
c)
2a x b
→ → →
+ =
vµ
( )
5;4; 1a
→
= −
,
( )
2; 5;3 .b
→
= −
Bµi 6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −
H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tam gi¸c ABC.
Bµi 7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
H·y t×m täa ®é

träng t©m G cđa tø diƯn ABCD.
Bµi 8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
Bµi 9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
Bµi 10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa
c¸c ®Ønh cßn l¹i.
Bµi 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M.
3
ÔN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
4
ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
Bài tập về nhà
Bài 13 . Cho ba vectơ
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b

= =

( )
3;2; 1 .c

=
Tìm:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a

+ +
ữ ữ


2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c


+ +
ữ

.
Bài 14. Tính góc giữa hai vectơ
a

và
b

:

( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b

= =

( ) ( )
) 2;5;4 , 6;0; 3 .b a b

= =
Bài 15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c

trong mỗi trờng hợp sau đây:

( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c

= = =

( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c

= = =
Bài 17. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành.
d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh A. e) Tính các góc của ABC.
Bài 18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 19. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của
góc B.
Bài 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Bài 21. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài 22. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
5
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Tiết 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A.Mơc tiªu bµi d¹y
1. KiÕn thøc: Gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng bµi tËp vỊ lËp PTMP.
2. Kü n¨ng: Häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c bµi to¸n vỊ lËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng.
3. T duy vµ th¸i ®é:

- BiÕt quy l¹ vỊ quen, biÕt tù ®¸nh gi¸ bµi lµm cđa b¹n vµ cđa m×nh.
- Chđ ®éng tÝch cùc, cã tinh thÇn hỵp t¸c trong häc tËp .
B. Chn bÞ: + GV: Gi¸o ¸n.
+ HS: ¤n tËp kt vỊ ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng.
C. Ph ¬ng ph¸p chđ u : §µm tho¹i.
D. Ho¹t ®éng d¹y häc
HĐ 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n
r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a
r

b
r
là cặp vtcp của α

⇔
a
r
,
b
r
cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n
r
và cặp vtcp
a
r
,
b
r
:
n
r
= [
a
r
,
b
r
]
4. Pt mp
α
qua M(x
o

; y
o
; z
o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n
r
= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7. Chùm mặt phẳng :
Giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó: (α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n

2
≠ 0 :
(
α
): m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα

°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
D

D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
ª
0
212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0
6
//
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

222
ooo

CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
. . . .
.
.
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
α β
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
cos( , )
HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB

,
→
AC
°
]
)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua
r
ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n
r
α
Dạng 3: Mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°
( )AB
n

α
α
→
⊥
=
uuur
r
quaM
Vì (d) nên vtpt u
d
Dạng 4: Mp
α
qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua
rr
=
Dạng 5: Mp(
α
) chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp(α) chứa (d) nên

1 d
u u
α
=
uuur uur
Mp(α) song song (d
/
) nên
/
2
d
u u
α
=
uuur uur
■ Vtpt
/
,
d
d
n u u
 
=
 
r uur uur
Dạng 6 Mp(
α
) qua M,N và
⊥

β
:
■ Mp (α) qua M,N nên
1
u MN
α
=
uuur uuuur
■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên
2
u n
α β
=
uuur uur
°
,
1 2
: [ , ]
( )
u u
MN
α α
β
α
 
=
 
→
=
r r

r r
qua M(hay N)
vtpt n n
Dạng 7 Mp(
α
) chứa (d) và đi qua M
7
ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
Mp(

) chửựa d neõn
1 d
u u

=
uuur uur
Mp(

) ủi qua
)(dM
vaứ A neõn
2
u AM

=
uuur uuuur

[ , ]u
d

=
uuur
r
qua A
vtptn AM

H 3.BI TP P DNG
Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =
r
e,

( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7=
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1=
r
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2


ữ ữ

c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3


ữ ữ

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng
( )

đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
( )

biết:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxy =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1;2); (3;2; 1)a b
r r
.
Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và:
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và:
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7: Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3;2;1)a b
r r
.

Bài 8: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P), biết (P) có cặp VTCP là:
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10 : Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
B ài 11 : (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-
1=0. Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài tập về nhà
Bài 12: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là
( )
3;2;1a
r
và
( )
3;0;1b
r
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
8
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,

d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
Tiết 3 .ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
A.Mơc tiªu bµi d¹y
1. KiÕn thøc: Gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng bµi tËp vỊ lËp PT ®êng th¼ng.
2. Kü n¨ng: Häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c bµi to¸n vỊ lËp ph¬ng tr×nh ®êng ph¼ng.
3. T duy vµ th¸i ®é:
- BiÕt quy l¹ vỊ quen, biÕt tù ®¸nh gi¸ bµi lµm cđa b¹n vµ cđa m×nh.
- Chđ ®éng tÝch cùc, cã tinh thÇn hỵp t¸c trong häc tËp .
B. Chn bÞ: + GV: Gi¸o ¸n.
+ HS: ¤n tËp kt vỊ ®êng ph¼ng.
C. Ph ¬ng ph¸p chđ u : §µm tho¹i.
D. Ho¹t ®éng d¹y häc
HĐ 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
u
r
= (a
1
;a

2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a

xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và α
2





=+++
=+++
0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương








=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp

/
d
a

 d chéo d’
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
≠
0
(không đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a

].
→
MN
=
0

 d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
]
0≠
và [
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
=0

9
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a
r
//
/
d
a
và
)(
/
dM ∉
}
 d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a
r
//
/
d
a
và

)(
/
dM ∈
}
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a
Kc t ừ đ iểm đến đ ường thẳng :
d
d
a
AMa
dAd
];[
),( =
Kc giữa 2 đ ường thẳng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d

d
d
aa
MNaa
ddd =
6.Góc : (d) có vtcp
d
a
r
; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có vtpt
n
r

Góc gi ữa 2 đường thẳng :
/
/
.
.
'
d
d
d
d
aa
aa
r

r
=
)dcos(d,
Góc gi ữa đ ường và m ặt :
na
na
d
d
rr
rr
.
.
=
)sin(d,
α
HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆

)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua
rr
A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(
α
)
α
α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua
rr
=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β

 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )







=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn

aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(
rrr
=

A
d
HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
10
ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3;2;3)a
r
làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
( ) : - 3 2 -6 0 P x y z+ =
và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình:
( )
R t,
21
22:





+=
+=
=
tz
ty

tx
d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
R t,
21
22:





+=
+=
=
tz
ty
tx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng
thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đ-
ờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với
mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + =
b)

( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.
Bài tập về nhà
Bài 7: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đ-
ờng thẳng (

) cho bởi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


=


= +

.
Bài8: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3

1
:





+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:





+=
+=
+=
tz

ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+
==
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2

1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d





+=

+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
11
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Tiết 4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN (tiếp theo)
A.Mơc tiªu bµi d¹y
1. KiÕn thøc: Gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng bµi tËp vỊ lËp PT ®êng th¼ng.
2. Kü n¨ng: Häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c bµi to¸n vỊ lËp ph¬ng tr×nh ®êng ph¼ng.
3. T duy vµ th¸i ®é:
- BiÕt quy l¹ vỊ quen, biÕt tù ®¸nh gi¸ bµi lµm cđa b¹n vµ cđa m×nh.
- Chđ ®éng tÝch cùc, cã tinh thÇn hỵp t¸c trong häc tËp .
B. Chn bÞ: + GV: Gi¸o ¸n.
+ HS: ¤n tËp kt vỊ ®êng ph¼ng.
C. Ph ¬ng ph¸p chđ u : §µm tho¹i.
D. Ho¹t ®éng d¹y häc
HĐ 1.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm

d
a
= [
a
r
d1
,
a
r
d2
]
+ Mp (α) chứa d
1
, (d)
; mp(β)
chứa d
2
, (d)
⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d = (
α
)
∩
(
β

)
với mp(α) = (A,d
1
) ; mp(β) = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d = (
α

1
)
∩
(
α

2
)
với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d

2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp (α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ (α)
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
,⊥(P) ; mp(β) chứa d
2

, ⊥ (P)
HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
( )

34
24
37
:
1





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz

ty
tx
d ∈





−−=
+−=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2

) .
Bµi 2: : Cho hai đường thẳng d:
2
1
1
1
1
2 −
=
−
−
=
− zyx
và d’:





=
−=
+=
tz
ty
tx
2
4
a.Tìm phương trình tổng qt của mp(P) qua điểm M (1; 2; 3) và vng góc với d.
b.Tìm phương trình tổng qt của mp(Q) chứa d và song song với d’.
c.Chứng minh rằng d chéo d’.Tính độ dài đoạn vng góc chung của d và d’.

d.Tìm phương trình tổng qt của đường vng góc chung d và d’.
Bµi 3: : Cho đường thẳng (d) :
2
3
1
2
1
1 −
=
−
+
=
− zyx

12
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
và hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 4 = 0, (Q): 2x + y + z + 2 = 0.
a.Chứng tỏ (P) và (Q) cắt nhau.Tính góc giữa (P) và (Q).
b.Tính góc giữa d và (Q).
c.Gọi
∆
là giao tuyến của (P) và (Q).Chứng minh rằng d và
∆
vng góc và chéo nhau.
d.Tìm giao điểm A, B của d lần lượt với (P) và (Q).Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho:
mp(
α
): x + 2y + z + 1 = 0 và đường thẳng d:




=++
=−−
03
022
zy
yx
a.Tính góc giữa d và (
α
).
b.Viết phương trình hình chiếu d’ của d trên mp(
α
).
c.Tìm tọa độ giao điểm của d và d’.
Bµi 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d:



=−+−
=++
01
012
zyx
yx
d’:




=+−
=+−+
012
033
yx
zyx
a.Chứng tỏ rằng d cắt d’ tại I.Tìm tọa độ điểm I.
b.Viết phương trình mp(
α
) chứa d và d’.
c.Tính thể tích phần khơng gian giới hạn bởi mp(
α
) và các mặt phẳng tọa độ.
Bµi 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d:



=−++
=−−+
01454
0742
zyx
zyx
đồng thời tiếp xúc với (
α
): x + 2y - 2z - 2 = 0 và
)(
β
: x + 2y - 2z + 4 = 0.

Bµi 7: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d:



=+−
=−−
022
032
zy
zx
d’:



=+−
=+−
0104
0238
zy
yx
a.Tính khoảng cách giữa d và d’.
b.Viết phương trình mp(
α
) chứa d và song song với d’.
c.Viết PT đường thẳng
∆
vng góc với mp(Oxy) và cắt cả hai đường thẳng d, d’.
Tiết 5 .MẶT CẦU
HĐ 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1) ( PTCT)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2) (
0dcbavới
222
>−++
) (PTTQ)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR
−++=
222
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và (α): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α) :

 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là h chiếu của tâm I trên mp
α
)
13
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α
=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22
α

IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α) : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và
( ) ( ) ( )
2

Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( α )
222

)(
CBA
D
I
zC

I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
 A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
 I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α).
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện (

α
) của mc(S) tại A : (
α
) qua A,
→
= IA n vtpt
r
HĐ 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
14
ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ
tâm và bán kính của nó ,biết:
a)
( )
02642:
222
=++++ zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=++++ zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=++++ zyxzyxS
d)
( )
07524:

222
=++ zyxzyxS
e)
( )
022:
222
=+++ yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
05824:
22222
=+++ mymmxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
03cos2sin2:
222
=++ mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay
đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S , đ-
ờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .

Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1

=
+
=
zyx
d
,
( )
1

9
2
3
1
7
:
2


=

=
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3


=

+
=

+ zyx
d
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng(d
1
),(d
2
) và song song với đờng thẳng (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add =
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài tập về nhà
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d

=
=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2


=

=
zyx

d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 8: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: (ĐH Huế-96):
Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
15
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A.
Gäi K lµ giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn lỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB
sao cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
Bµi 12: Cho bèn ®iĨm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng BC .
H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹ ®é cđa ®iĨm H.
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (BCD) .
T×m kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mỈt ph¼ng (BCD).
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp SABCD
biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0).
a) LËp ph¬ng tr×nh c¸c mỈt cđa h×nh chãp.
b) LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp .
c) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SABCD
Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tø diƯn ABCD cã cỈp c¹nh ®èi diƯn b»ng nhau .
b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cđa tø diƯn.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diƯn ABCD.
ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG TỪ 2002 - 2010
Bài 1) ĐH 2002 K.A

1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là
các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng
(AMN)
vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
d
1
:
2 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− + =


+ − + =

và d
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +



= +


= +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∈
1
và song song với đường thằng ∈
2
b) cho điểm M(2 ; 1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∈
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ
dài nhỏ nhất.
3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương
trình
16
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
đường thẳng BC là
3x y 3 0− − =
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội
tiếp
bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 2) ĐH 2002 K.B
1. Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
 
 ÷
 

,
phương trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết
rằng A có hoành độ âm.
2. Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạn h BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP, C
1
N.
Bài 3) ĐH 2002 K.D
1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB =
3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – y + 2 = 0
Và đường thẳng d
m
:
(2 1) (1 ) 1 0
(2 1) 4 2 0
m x m y m
mx m z m
+ + − + − =


+ + + + =

( m là tham số ).
Xác đònh m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Bài 4) ĐH 2003 K.A
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhò diện [B,A’C,D].
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùnh với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0,
b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác đònh tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 5) ĐH 2003 K.B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tam giác ABC có AB = AC ,
·

BAD =
90
0
. Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G
2
;0
3
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
·
BAD
=
60
0
. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn
điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài canh AA’ theo a để tứ giác
B’MDN là hình vuông.
3) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và
điểm C sao cho
AC
uuur
=(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng
OA.
Bài 6) ĐH 2003 K.D
1) Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường tròn
(C) : (x – 1)

2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d : x – y – 1 = 0
17
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng :
d
k
:
3 2 0
1 0
x ky z
kx y z
+ − + =


− + + =

tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P) : x – y – 2z +5 = 0.
3) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên lấy
hai điểm A, B với AB = a . trong mặt phẳng (P) điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D
sao cho AC, BD vuông góc với và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 7) ĐH 2004 K.A
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (0; 2) và B(

3−
;
1−
). Tìm tọa độ trực tâm và
tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi, AC cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0;
2 2
). Gọi M là trung
điểm cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp
A.ABMN
Bài 8) ĐH 2004 K.B
1) trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thằng x –
2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
ϕ

(0
0
<
ϕ
< 90
0
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
ϕ
. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a và
ϕ

.
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +


Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 9) ĐH 2004 K.D
1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m)
với m
≠
0. tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. xác đònh m để tam giác GAB
vuông tại G.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

. Biết A(a; 0; 0),
B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B
1
(-a; 0; b), a > 0, b > 0.
a) Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa hai đường
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt
phẳng
(P) : x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp
(P).
18
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Bài 10) ĐH 2005 K.A
1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng
d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0
tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉng A thuộc d
1

, C thuộc d
2
và các đỉnh B,
D thuộc trục hoành.
2) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng
(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0.
a) tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc góc với d.
Bài 11) ĐHCĐ 2005 B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng
5.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;-3;0),
B(4;0;0), C(0;3;0), B
1
(4;0;4).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A

1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
song song với BC. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài MN.
Bài 12) ĐH 2005 D
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elíp (E) :
2 2
1
4 4
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm
A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC
là tam giá đều.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =


+ − =

a) chứng minh rằng d
1
, d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả
hai đường thẳng d
1
và d
2
.

b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A,B. Tính diện
tích tam giác OAB ( O là gốc tọa độ).
Bài 13) ĐH 2006 A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0) , A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2. Viết phương trìng mặt phẳng A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết cos
α
=
1
6
.
Bài 14) ĐH 2006 A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
19
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
d
1 :
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
, d

2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1) Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
2) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 15) ĐH 2006 D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
d
1 :

2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
, d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2.
Bài 16) ĐH 2007 A
Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−

và d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +


= +


=

1. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai
đường thẳng d
1
, d
2
.
Bài 17) ĐH 2007 B
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x

2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt
phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn
nhất.
Bài 18) ĐH 2007 D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng
d :
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
.
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
mặt phẳng (OAB).
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Bài 19) DỰ BỊ 2007 D
A. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng
2

z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và (Q) ⊥ (P).
2. Tìm các điểm M ∈ d
1

, N ∈ d
2
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
B. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(0, 1) B(2, –1) và các đường thẳng:
20
ÔN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
d
1
: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m = 0 d
2
: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0
Chứng minh d
1
và d
2
luôn cắt nhau. Gọi P = d
1
∩ d
2
. Tìm m sao cho
PBPA +
lớn nhất
C. Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA

1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
Bài 20) DỰ BỊ 2007 D
I. Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=
+
=
−
và mặt phẳng (P):
02zyx =+++
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết pt đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng
42
.
II. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x ≥ 0 và điểm C
thuộc
trục Oy có trung độ y ≥ 0 sao cho ∆ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích ∆ABC lớn
nhất.

III .Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB ==
, AA
1
= a
2
. Gọi
M, N
lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của
các
đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.
Bài 21) DỰ BỊ 2007 B

I. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); M(0,–3,6)
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO.
Tìm tọa
độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng
B, C
sao cho V
OABC
= 3.
II. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1)
biết
(C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
3AB =
.
III. Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường
tròn đó
sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuông và tính V
SABC
?
Bài 22) DỰ BỊ 2007 B

I Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
II. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
01yx =−+
. Xác định tọa
độ các
đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d
21
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
III. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp. Cho
AB =
a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK)
và tính
thể tích hình chóp OAHK.
Bài 23) DỰ BỊ 2007 A
I. Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng
(d)
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0

− + =


+ + − =

1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
II. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh
AB, AC
theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0;
02y5x2 =−+
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
III. Cho hình chóp SABC có góc
( )
o
60ABC,SBC =
∧
, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a.
Tính theo
a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
Bài 24) DỰ BỊ 2007 A
I. Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1
= 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vng góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
II. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 1. Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại

các
điểm A, B sao cho
AB 2=
. Viết phương trình đường thẳng AB.
III. Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5=
và
o
120BAC =
∧
. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB⊥MA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng
(A
1
BM).
Bài 25) ĐH 2008 A
Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d :
1 2

2 1 2
x y z− −
= =
.
1) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt phẳng (
α
) lớn nhất.
Bài 26) ĐH 2008 B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Bài 27) ĐH 2008 D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
22
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
2) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 28) DỰ BỊ 2008 A
I. Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz . cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 3z + 1 = 0 , đường thẳng
1
5
92
3
:
1
+
==
− zyx
d

và 3 điểm A(4;0;3) , B(–1;–1;3) C(3;2;6)
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) .
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
có bán
kính lớn nhất
II. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
=1 . Tìm các giá trị thực của m
để trên
đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với C sao
cho
góc giữa hai tiếp
tuyến đó bằng 60
0
.
III. Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vng SA=SB=SC = a . Gọi M,N,E lần
lượt là
trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . D là điểm đối xứng của S qua E , I là giao điểm của đường
thẳng
AD với mặt phẳng (SMN) . Chứng minh rằng AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện
MBSI .
Bài 29) DỰ BỊ 2008 B
I. Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;–1) B(2;3;–1) , C(1;3;1) và đường
thẳng d:



=++

=+−
4
01
zyx
yx
1. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1 .
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vng góc
với mặt phẳng (ABC)
II.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(3;0) và B(0;4) . Chứng minh rằng đường
tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với đường tròn đi qua các trung điểm các cạnh của tam giác
OAB .
III. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a , các mặt ACD và BCD vng
góc với nhau . Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc gữa hai đường thẳng AD ,
BC .
Bài 30) ĐH 2009 A
Chung: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB = AD = 2a, CD =
a;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai
mặt
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
I. Chương trình chuẩn:
1) Tr ong mpOxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo
AC và DB. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường
thẳng
∆: x + y – 5 = 0. viết phương trình đường thẳng AB
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z - 4 = 0 và mặt cầu
23

ễN THI TN + C H HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
2x 4y 6z 11 = 0. Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo
mt ng trũn. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
II. Chng trỡnh nõng cao.
1) Tr ong mpOxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
+ 4x + 4y + 6 = 0 v ng thng : x + my
2m + 3 = 0, vi m l tham s thc. Gi I l tõm ca (C). Tỡm m ct (C) ti hai im phõn
bit A v B sao cho din tich tam giỏc IAB ln nht.
2) Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z - 1 = 0 v hai ng
thng
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z+ + +
= = = =

. Xỏc nh to imM thuc
1
sao cho
khong cỏch t M n

2
v khong cỏch t M n (P) bng nhau.
Bi 31) H 2009 B
Chung: Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt phng
(ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v
ã
BAC
= 60
0
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn
mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t din AABC theo a
I. Chng trỡnh chun:
1) Trong mpOxy, cho ng trũn (C): (x 2)
2
+ y
2
=
4
5
v hai ng thng
1
: x y = 0 v

2
: x 7y = 0. Xỏc nh to tõm K v bỏn kớnh ca ng trũn (C
1
); bit rng (C
1

) tip xỳc
vi cỏc ng thng
1
,
2
v tõm K thuc ng trũn (C).
2) Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho t di ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-2;1;3),
C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C
n (P) bng khong cỏch t D n (P)
II. Chng trỡnh nõng cao.
1) Tr ong mpOxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(-1;4) v cỏc nh B,C thuc ng
thng : x y 4 = 0. xỏc nh to cỏc im B, C, bit din tớch tam giỏc ABC bng .18
2) Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z - 5 = 0 v hai im
A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng
trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Bi 32) H 2009 D
Chung: Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt phng
(ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v
ã
BAC
= 60
0
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn
mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t din AABC theo a
I. Chng trỡnh chun:
1) Trong mpOxy, cho ng trũn (C): (x 2)
2
+ y

2
=
4
5
v hai ng thng
1
: x y = 0 v

2
: x 7y = 0. Xỏc nh to tõm K v bỏn kớnh ca ng trũn (C
1
); bit rng (C
1
) tip xỳc
vi cỏc ng thng
1
,
2
v tõm K thuc ng trũn (C).
2) Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho t di ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-2;1;3),
C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C
n (P) bng khong cỏch t D n (P)
II. Chng trỡnh nõng cao.
1) Tr ong mpOxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(-1;4) v cỏc nh B,C thuc ng
thng : x y 4 = 0. xỏc nh to cỏc im B, C, bit din tớch tam giỏc ABC bng .18
24
ƠN THI TN + CĐ ĐH HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm
A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Bài 33) ĐH 2010 A
Chung: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = a
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM và SC theo a.
I. Chương trình chuẩn:
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:
03 =+ yx
và d2:
03 =− yx
. Gọi (T) là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vng tại B. Viết
phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
2
3
và điểm A có hồnh độ dương.
2. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
1
2
12
1
:
−
+
==
−
∆
zyx

và mặt phẳng (P): x- 2y + z
= 0. Gọi C là giao điểm của
∆
với (P), M là điểm thuộc
∆
. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC
= 6.
II. Chương trình nâng cao.
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm
E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng Δ:
2
3
3
2
2
2 +
=
−
=
+ zyx
. Tính
khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài 34) ĐH 2010 B
Chung
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng
60. Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện GABC theo a.
I. Chương trình chuẩn:

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng
24 và đỉnh A có hồnh độ dương.
2. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và
mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1/3
II. Chương trình nâng cao.
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3) và elip (E):
1
23
22
=+
yx
. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm
của (E) (F
1
có hồnh độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (E); N là điểm
đối xứng của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
2. Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
21

1
2
zyx
=
−
=
. Xác định tọa độ điểm M trên trục
hồnh sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM.
25